2024年吉林省長春市中考數(shù)學真題試卷及答案

2024年吉林省長春市中考數(shù)學真題試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題3分,共24分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．1.根據(jù)有理數(shù)加法法則,計算過程正確的是（）A. B. C. D.2.南湖公園是長春市著名旅游景點之一,圖①是公園中“四角亭”景觀的照片,圖②是其航拍照片,則圖③是“四角亭”景觀的（）．A.主視圖 B.俯視圖 C.左視圖 D.右視圖3.在剪紙活動中,小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形,其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合,如圖所示,則的大小為（）A. B. C. D.4.下列運算一定正確的是（）A. B. C. D.5.不等關系在生活中廣泛存在．如圖,,分別表示兩位同學的身高,表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學原理是（）A.若,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則6.2024年5月29日16時12分,“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當火箭上升到點時,位于海平面處的雷達測得點到點的距離為千米,仰角為,則此時火箭距海平面的高度為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米7.如圖,在中,是邊的中點．按下列要求作圖:①以點為圓心、適當長為半徑畫弧,交線段于點,交于點;②以點為圓心,長為半徑畫弧,交線段于點;③以點為圓心,長為半徑畫弧,交前一條弧于點,點與點在直線同側;④作直線,交于點．下列結論不一定成立的是（）A. B.C. D.8.如圖,在平面直角坐標系中,點是坐標原點,點在函數(shù)的圖象上．將直線沿軸向上平移,平移后的直線與軸交于點,與函數(shù)的圖象交于點．若,則點的坐標是（）A. B. C. D.二、填空題:本題共6小題,每小題3分,共18分．9.單項式的次數(shù)是_____．10.計算:____．11.若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點,則的取值范圍是________．12.已知直線（,是常數(shù)）經(jīng)過點,且隨的增大而減小,則的值可以是________．（寫出一個即可）13.一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放,邊與直線重合,．現(xiàn)將該三角板繞點順時針旋轉,使點的對應點落在直線上,則點A經(jīng)過的路徑長至少為________．（結果保留）14.如圖,是半圓的直徑,是一條弦,是的中點,于點,交于點,交于點,連結．給出下面四個結論:①;②;③當,時,;④當,時,的面積是．上述結論中,正確結論的序號有________．三、解答題:本題共10小題,共78分．15.先化簡,再求值:,其中．16.2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式,此模式有若干種學科組合,每位高中生可根據(jù)自己的實際情況選擇一種．一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合,該校要將所有選報這種組合的學生分成,,三個班,其中每位學生被分到這三個班的機會均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法,求這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率．17.《九章算術》被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”．下面是其卷中記載的關于“盈不足”的一個問題:今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百．問人數(shù)、金價各幾何？這段話的意思是:今有人合伙買金,每人出400錢,會剩余3400錢;每人出300錢,會剩余100錢．合伙人數(shù)、金價各是多少？請解決上述問題．18.如圖,在四邊形中,,是邊的中點,．求證:四邊形是矩形．19.某校為調(diào)研學生對本校食堂的滿意度,從初中部和高中部各隨機抽取名學生對食堂進行滿意度評分（滿分分）,將收集到的評分數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息:a．高中部名學生所評分數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如下圖:（數(shù)據(jù)分成4組:,,,）b．高中部名學生所評分數(shù)在這一組的是:c．初中部、高中部各名學生所評分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:平均數(shù)中位數(shù)初中部高中部根據(jù)以上信息,回答下列問題:（1）表中的值為________;（2）根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級劃分標準,評分不低于分為“非常滿意”．①在被調(diào)查的學生中,設初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為,,則________;（填“>”“<”或“=”）②高中部共有名學生在食堂就餐,估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)．

20.圖①,圖②,圖③均是的正方形網(wǎng)格,每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點．點A,均在格點上,只用無刻度的直尺,分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形,使其是軸對稱圖形且點,均在格點上．（1）在圖①中,四邊形面積為2;（2）在圖②中,四邊形面積為3;（3）在圖③中,四邊形面積為4．21.區(qū)間測速是指在某一路段前后設置兩個監(jiān)控點,根據(jù)車輛通過兩個監(jiān)控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛,其間經(jīng)過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段,從該路段起點開始,他先勻速行駛小時,再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計）,當他到達該路段終點時,測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）的值為________;（2）當時,求與之間的函數(shù)關系式;（3）通過計算說明在此區(qū)間測速路段內(nèi),該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）

22.【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學興趣小組活動時遇到一個幾何問題:如圖①,在等邊中,,點,分別在邊,上,且,試探究線段長度的最小值．【問題分析】小明通過構造平行四邊形,將雙動點問題轉化為單動點問題,再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑,進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②,過點,分別作,的平行線,并交于點,作射線．在【問題呈現(xiàn)】的條件下,完成下列問題:（1）證明:;（2）的大小為________度,線段長度的最小值為________．【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理,如圖③．小明收集了該房屋的相關數(shù)據(jù),并畫出了示意圖,如圖④,是等腰三角形,四邊形是矩形,米,．是一條兩端點位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩,點在上,點在上．在調(diào)整鋼絲繩端點位置時,其長度也隨之改變,但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為多少米．

23.如圖,在中,,．點是邊上的一點（點不與點,重合）,作射線,在射線上取點,使,以為邊作正方形,使點和點在直線同側．（1）當點是邊的中點時,求的長;（2）當時,點到直線的距離為________;（3）連結,當時,求正方形的邊長;（4）若點到直線的距離是點到直線距離的3倍,則的長為________．（寫出一個即可）

24.在平面直角坐標系中,點是坐標原點,拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點,是該拋物線上不重合的兩點,橫坐標分別為,,點的橫坐標為,點的縱坐標與點的縱坐標相同,連結,．（1）求該拋物線對應的函數(shù)表達式;（2）求證:當取不為零的任意實數(shù)時,的值始終為2;（3）作的垂直平分線交直線于點,以為邊,為對角線作菱形,連結．①當與此拋物線的對稱軸重合時,求菱形的面積;②當此拋物線在菱形內(nèi)部的點的縱坐標隨的增大而增大時,直接寫出的取值范圍．

2024年吉林省長春市中考數(shù)學真題試卷一、選擇題．1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】B【解析】解:如圖,過點A作x軸的垂線交x軸于點E,過點C作y軸的垂線交y軸于點D,則軸∵∴,∴．∵在反比例函數(shù)的圖象上∴．∴將直線向上平移若干個單位長度后得到直線∴∴∵軸∴∴∴∴,解得:,即點C的橫坐標為2將代入,得∴C點的坐標為∴,∴∴∴故選:B．二、填空題．9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】2（答案不唯一）13.【答案】14.【答案】①②③【解析】解:如圖:連接∵是的中點∴∴,即①正確;∵是直徑∴∴∵∴∵∴∴∵,∴∵∴∴∴,即②正確;在和∴∴,即∴,即∴∵∴,即③正確;如圖:假設半圓的圓心為O,連接∵,,是的中點∴∴∵∴是等邊三角形∴,即是菱形∴∵∴,即,解得:∴∵∴,即④錯誤．故答案為:①②③．三、解答題．15.【答案】,16.【答案】17.【答案】共33人合伙買金,金價為9800錢18.證明:∵是邊的中點∴在和中,∴∴∵∴∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是矩形．19.【答案】（1）（2）①;②估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)為人【小問1詳解】解:由題意知,高中部評分的中位數(shù)為第位數(shù)的平均數(shù),即故答案為:;【小問2詳解】①解:由題意知,初中部評分的中位數(shù)為,高中部評分的中位數(shù)為∴故答案為:;②解:∵∴估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)為人．20.【小問1詳解】解:如圖①:四邊形即為所求;（不唯一）．【小問2詳解】解:如圖②:四邊形即為所求;（不唯一）．【小問3詳解】解:如圖③:四邊形即為所求;（不唯一）．21.【答案】（1）（2）（3）沒有超速【小問1詳解】解:由題意可得:,解得:．故答案為:．【小問2詳解】解:設當時,y與x之間的函數(shù)關系式為則:,解得:∴．【小問3詳解】解:當時,∴先勻速行駛小時的速度為:∵∴輛汽車減速前沒有超速．22.【答案】問題解決:（1）見解析（2）30,;方法應用:線段長度的最小值為米【解析】解:問題解決:（1）證明:過點,分別作,的平行線,并交于點,作射線四邊形是平行四邊形;（2）在等邊中,;當時,最小,此時最小在中,線段長度的最小值為;方法應用:過點,分別作,的平行線,并交于點,作射線,連接四邊形是平行四邊形四邊形是矩形當時,最小,此時最小作于點R在中,在中,線段長度的最小值為米．23.【答案】（1）（2）（3）（4）或【小問1詳解】解:根據(jù)題意可知:為等腰三角形,故點是邊的中點時,;在中,;【小問2詳解】根據(jù)題意作,如圖所示;當時,則設點到直線的距離為解得:;【小問3詳解】如圖,當時,點落在上設,則,過點作于則,解得:故所以正方形的邊長為;【小問4詳解】如圖,,在異側時;設,,則三邊的比值為當,在同側設,則,三邊比為三邊比為設,則,,解得:綜上所述:的長為或24.【答案】（1）（2）見詳解（3）①;②或或【小問1詳解】解:將代入得:解得:∴拋物線表達式為:;【小問2詳解】解:過點B作于點H,則由題意得:∴,∴在中,;【小問3詳解】解:①如圖,記交于點M由題意得,由得:對稱軸為直線:∵四邊形是菱形∴點A,C關于對稱,∵與此拋物線的對稱軸重合∴解得:∴∴∴∵∴,則∴;②記拋物線頂點為點F,把代入,得:∴∵拋物線在菱形內(nèi)部的點的縱坐標隨的增