高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）專題研究平面向量的綜合應(yīng)用(原卷版+解析)

專題研究平面向量的綜合應(yīng)用編寫：廖云波【知識(shí)提煉】1.三角形的“四心”（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.2.三角形“四心”的向量表示在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）三角形的重心：是的重心.（2）三角形的垂心：是的垂心.（3）三角形的內(nèi)心：是的內(nèi)心.（4）三角形的外心：是的外心.題型一向量在物理、幾何中的應(yīng)用【例1-1】如圖，一個(gè)力作用于小車G，使小車G發(fā)生了40米的位移，的大小為50N，且與小車的位移方向（的方向）的夾角為，則力做的功為（

）A．1000J B． C．2000J D．500J【例1-2】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對(duì)岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【例1-3】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（，）.設(shè)，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法證明：.歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2.一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行的速度大小是___________.【練習(xí)1-2】在中，，對(duì)任意，有.（1）求角；（2）若，，且、相交于點(diǎn).求證：.題型二向量與三角函數(shù)【例2-1】已知向量，設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，分別是角的對(duì)邊，若，且，求的面積.【例2-2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)向量，.(1)若，，求A；(2)若，，為銳角，求的值.【例2-3】已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，.（1）求（2）已知且，求的長.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】在等腰直角三角形中，已知，點(diǎn)D，E分別在邊，上，.(1)若D為的中點(diǎn)，三角形的面積為4，求證：E為的中點(diǎn)；(2)若，求的面積.題型三“四心”問題【例3-1】點(diǎn)O，N，P滿足，，，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的（

）A．重心，外心，垂心B．重心，外心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，內(nèi)心【例3-2】若O在△ABC所在的平面內(nèi)，a，b，c是△ABC的三邊，滿足以下條件，則O是△ABC的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】如圖，O為的外心，，，則________.【練習(xí)3-2】【多選題】下列說法中，正確的是（

）A．在中，若，則為的垂心B．若是內(nèi)心，且滿足，則這個(gè)三角形一定是銳角三角形C．在中，若，則為的重心D．若O是△所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則直線一定經(jīng)過△的內(nèi)心【請完成課時(shí)作業(yè)（三十五）】

【課時(shí)作業(yè)（三十五）】一、單選題1．定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則等于（

）A．B．C．或 D．2．一只鷹正以與水平方向成角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光垂直于地面照射下來，鷹在地面上影子的速度是50m/s，則鷹的飛行速度為（

）A． B． C． D．3．已知力與水平方向的夾角為（斜向上），大小為，一個(gè)質(zhì)量為的木塊受力的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)的水平平面上運(yùn)動(dòng)了，則力和摩擦力所做的功分別為（

）（）A．， B．， C．， D．，4．在△中，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，如果滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心5．已知是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心6．若O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足+λ(λ∈(0，+∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（

）A．外心B．內(nèi)心C．重心 D．垂心7．已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心二、多選題8．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面內(nèi)，則下列說法正確的是（

）A．若，則O是△ABC的外心B．若，則P是△ABC的垂心C．若，則N是△ABC的重心D．若，則I是△ABC的垂心三、填空題9．是邊長為2的等邊三角形，AD為BC邊上的中線，M為AD的中點(diǎn)，則的值.10．在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，點(diǎn)為的重心.若，則的內(nèi)角的大小為______；若時(shí)，則的面積為______.11．設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．四、解答題12．在中，，分別為邊上的點(diǎn)，且．求證：．13．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求角A：(2)若，，且，求．14．設(shè)向量，，.(1)若與垂直，求的值；(2)求的取值范圍.15．已知向量．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為，若，求()的取值范圍．專題研究平面向量的綜合應(yīng)用編寫：廖云波【知識(shí)提煉】1.三角形的“四心”（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.2.三角形“四心”的向量表示在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）三角形的重心：是的重心.（2）三角形的垂心：是的垂心.（3）三角形的內(nèi)心：是的內(nèi)心.（4）三角形的外心：是的外心.題型一向量在物理、幾何中的應(yīng)用【例1-1】如圖，一個(gè)力作用于小車G，使小車G發(fā)生了40米的位移，的大小為50N，且與小車的位移方向（的方向）的夾角為，則力做的功為（

）A．1000J B． C．2000J D．500J【答案】A【解析】【分析】利用功的計(jì)算公式以及向量數(shù)量積定義，列式求解即可．【詳解】解：因?yàn)榍遗c小車的位移方向的夾角為，又力作用于小車，使小車發(fā)生了40米的位移，則力做的功為．故選：A．【例1-2】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對(duì)岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大?。驹斀狻拷猓河深}意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：，，在中，有，所以，，，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為，故選：C.【例1-3】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（，）.設(shè)，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法證明：.【答案】(1)，.(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；（2）利用數(shù)量積為0證明.(1)因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?所以.所以，.(2)由（1）可得：，.因?yàn)?，所以，所?歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東2.一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行的速度大小是___________.【答案】【解析】【分析】由已知條件求解直角三角形，根據(jù)向量的平行四邊形法則，結(jié)合向量的模長公式，即可求解小貨船航行速度的大小.【詳解】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段，設(shè)小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：因?yàn)橐粭l東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東，，在中，有，所以，所以，所以，所以小貨船航行速度的大小為．故答案為：【練習(xí)1-2】在中，，對(duì)任意，有.（1）求角；（2）若，，且、相交于點(diǎn).求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）將不等式兩邊平方可得，可得出，求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）將、用、表示，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于.所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以；?）先證明結(jié)論：已知為直線外一點(diǎn)，、、為直線上三個(gè)不同的點(diǎn)，若，則.因?yàn)?、、為直線上三個(gè)不同的點(diǎn)，則，可設(shè)，即，所以，，所以，，結(jié)論成立.本題中，由（1）知，是邊長為的等邊三角形，.因?yàn)樵谏?，設(shè)，又因?yàn)樵谏?，所以，所以，，解?因?yàn)?，，所?故，得證.題型二向量與三角函數(shù)【例2-1】已知向量，設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，分別是角的對(duì)邊，若，且，求的面積.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)的恒等變換可得，根據(jù)公式即可求最小正周期；(2)由可求，根據(jù)余弦定理可求，利用三角形面積公式即可求解.【詳解】解：（1），函數(shù).故函數(shù)的最小正周期.（2）由得，，即.，，解得.由余弦定理得：，且，，解得..【例2-2】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)向量，.(1)若，，求A；(2)若，，為銳角，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通過兩向量平行的判定條件和正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換即可得到結(jié)果（2）通過兩向量數(shù)量積和正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，再通過三角形內(nèi)角和為以及兩角的余弦和公式即可得到結(jié)果（1）∵，，，

∴，∴由正弦定理邊角互化得

，即，∵，∴或，∵，∴，，∴在中，，∴.（2）∵，，∴，∴由正弦定理得，∵，∴，

∵，∴，∵，∴，∴【例2-3】已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，.（1）求（2）已知且，求的長.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）由余弦定理得，再利用余弦定理結(jié)合的范圍可得答案；（2），兩邊平方得，令由求得，由余弦定理得到.【詳解】（1）由余弦定理得，整理可得，，.（2），，，令得得，或（舍去），所以，由余弦定理，可得，所以.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】在等腰直角三角形中，已知，點(diǎn)D，E分別在邊，上，.(1)若D為的中點(diǎn)，三角形的面積為4，求證：E為的中點(diǎn)；(2)若，求的面積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）利用條件及三角形面積公式可得，即證；（2）利用條件可得，再利用向量模長公式可求，即得.(1)∵在等腰直角三角形中，已知，D為的中點(diǎn)，，∴又三角形的面積為4，∴∴，又∴E為的中點(diǎn).(2)∵在等腰直角三角形中，，，∴，又，∴，解得，∴.題型三“四心”問題【例3-1】點(diǎn)O，N，P滿足，，，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的（

）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，內(nèi)心【答案】C【解析】【分析】由三角形四心的性質(zhì)判斷【詳解】，則到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，是△ABC的外心，，設(shè)中點(diǎn)為，則，在中線上，同理得在其他兩條中線上，故N是△ABC的重心，，則，故，同理得，P是△ABC的垂心，故選：C【例3-2】若O在△ABC所在的平面內(nèi)，a，b，c是△ABC的三邊，滿足以下條件，則O是△ABC的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】C【解析】【分析】由得，即可得平分，同理證得平分，平分，即可得出答案.【詳解】且，，化簡得，設(shè)，又與分別為和方向上的單位向量，平分，又共線，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的內(nèi)心.故選：C.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】如圖，O為的外心，，，則___________.【答案】10【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則可得，然后利用數(shù)量積的定義和圓的弦的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】如圖，過圓心作的垂線，則垂足分別為的中點(diǎn)，∵，，∴,,故答案為：10【練習(xí)3-2】【多選題】下列說法中，正確的是（

）A．在中，若，則為的垂心B．若是內(nèi)心，且滿足，則這個(gè)三角形一定是銳角三角形C．在中，若，則為的重心D．若O是△所在平面上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則直線一定經(jīng)過△的內(nèi)心【答案】ACD【解析】【分析】是內(nèi)心時(shí)，證明即得，由此結(jié)合余弦定理判斷B，由向量的線性運(yùn)算證明是三角形重心判斷C，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，證明向量垂直，從而得是垂心判斷D．【詳解】中，若，則，所以，同理，所以是的垂線，A正確．如下圖是內(nèi)心，延長線交于，設(shè)，，，是外心，是三角形內(nèi)角平分線，，，又，所以．所以，所以，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，，則，所以，若，則，設(shè)，則，為鈍角，B錯(cuò)；如下圖，是中點(diǎn)，則，又，所以，所以共線，且，所以是外心，C正確；由是，方向上的單位向量，則為的角平分線上的向量，又，故直線一定經(jīng)過△的內(nèi)心，D正確；故選：ACD．【請完成課時(shí)作業(yè)（三十五）】

【課時(shí)作業(yè)（三十五）】一、單選題1．定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則等于（

）A． B．C．或 D．【答案】A【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值，結(jié)合題中定義可求得的值.【詳解】由已知可得，，則，因此，.故選：A.2．一只鷹正以與水平方向成角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽光垂直于地面照射下來，鷹在地面上影子的速度是50m/s，則鷹的飛行速度為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意知水平速度為50m/s，然后由求解.【詳解】解：如圖所示：由題意知：，所以，故選：C3．已知力與水平方向的夾角為（斜向上），大小為，一個(gè)質(zhì)量為的木塊受力的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)的水平平面上運(yùn)動(dòng)了，則力和摩擦力所做的功分別為（

）（）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】【分析】結(jié)合物理知識(shí)，求解力在水平方向及豎直方向的分量，進(jìn)而得出摩擦力，利用做功公式即可求解.【詳解】解：由題可知，以木塊運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?，則力在水平方向的分量為：，在豎直方向的分量為：，則摩擦力為：，則力做功為,摩擦力做功.故選：A.4．在△中，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，如果滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的含義，結(jié)合數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，即可判斷和選擇.【詳解】表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，故表示起點(diǎn)為，終點(diǎn)在的平分線上的向量，又，，與共起點(diǎn)，且為同向的向量，則點(diǎn)也在的角平分線上，故點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過三角形的內(nèi)心.故選：A.5．已知是平面上一定點(diǎn)，、、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】D【解析】【分析】計(jì)算的值，可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，，因此，點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的垂心，故選：D.6．若O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足+λ(λ∈(0，+∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（

）A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【答案】C【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，通過向量的線性運(yùn)算求得，由此判斷出的軌跡經(jīng)過三角形的重心.【詳解】設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則有)，因此由已知得+λ，即=λ，于是=λ，則，因此P點(diǎn)在直線AD上，又AD是△ABC的BC邊上的中線，因此點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過三角形ABC的重心．故選：C7．已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】B【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，兩端同時(shí)點(diǎn)乘，由可得答案.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，兩端同時(shí)點(diǎn)乘，所以，所以，所以點(diǎn)在的垂直平分線上，即經(jīng)過的外心.故選：B.二、多選題8．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面內(nèi)，則下列說法正確的是（

）A．若，則O是△ABC的外心B．若，則P是△ABC的垂心C．若，則N是△ABC的重心D．若，則I是△ABC的垂心【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)三角形外心、垂心、重心和內(nèi)心的定義，結(jié)合平面向量的運(yùn)算即可求得答案.【詳解】對(duì)A，根據(jù)外心的定義，易知A正確；對(duì)B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正確；對(duì)C，記AB、BC、CA的中點(diǎn)為D、E、F，由題意，則，同理可得：，則N是重心，故C正確；對(duì)D，由題意，，則I是垂心，故D正確故選：ABCD.三、填空題9．若是邊長為2的等邊三角形，AD為BC邊上的中線，M為AD的中點(diǎn)，則的值為___________.【答案】##-1.5【解析】【分析】已知是邊長為2的等邊三角形，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則，，又，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可．【詳解】解：已知是邊長為2的等邊三角形，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則，，又，則，故答案為：．10．在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，點(diǎn)為的重心.若，則的內(nèi)角的大小為______；若時(shí)，則的面積為______.【答案】

##

##【解析】【分析】取邊的中點(diǎn)，則由重心的性質(zhì)知，進(jìn)而根據(jù)向量關(guān)系得，同理得，，再代入已知整理得，進(jìn)而得，再根據(jù)余弦定理與面積公式求解即可.【詳解】解：如圖，取邊的中點(diǎn)，則由重心的性質(zhì)知，所以，同理，，，因?yàn)?，所以，整理得：，因?yàn)?，所以，整理得：，所以，即，所以，，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：；11．設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，