高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點(diǎn)題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專(zhuān)用）第3課時(shí)等比數(shù)列(原卷版+解析)

第3課時(shí)等比數(shù)列編寫(xiě)：廖云波【回歸教材】1.等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?.2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝.(2)前n項(xiàng)和公式：.3.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝＝.(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.4.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項(xiàng)公式還可以改寫(xiě)為，當(dāng)且時(shí)，是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)型函數(shù)，因此數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一些孤立的點(diǎn)．當(dāng)或時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為擺動(dòng)數(shù)列，所有的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）同號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號(hào)．

【典例講練】題型一等比數(shù)列的基本量【例1-1】在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和q；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【例1-2】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則（

）A． B．9 C． D．27歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】設(shè)是公比為的等比數(shù)列，且.則（

）A． B． C．8 D．11【練習(xí)1-2】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則___________.題型二等比數(shù)列的性質(zhì)【例2-1】已知是等比數(shù)列，若，且，則（

）A．10 B．25 C．5 D．15【例2-2】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】【多選題】在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知，，則（

）A． B． C． D．n＝12【練習(xí)2-2】已知等比數(shù)列，，是方程的兩根，則（

）A．8 B．10 C．14 D．16題型三等比數(shù)列的最值問(wèn)題【例3-1】設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列存在最大值 D．是數(shù)列中的最大值歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】【多選題】等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，．給出下列結(jié)論其中正確的結(jié)論是（

）A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的題型四等比數(shù)列的判定【例4-1】在數(shù)列中，已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，，求的通項(xiàng)公式.【例4-2】已知數(shù)列滿足，且．(1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】記是公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【完成課時(shí)作業(yè)（三十九）】

【課時(shí)作業(yè)（三十九）】A組礎(chǔ)題鞏固1．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A．1 B． C．3 D．2．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．33．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或124．在等比數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-25．已知數(shù)列滿足，，則的前10項(xiàng)和等于（

）A． B． C． D．6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A． B． C． D．7．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則公比為（

）A． B． C． D．19．等比數(shù)列中的項(xiàng)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A．3 B． C． D．10．【多選題】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．D．11．記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，則的公比為.12．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則.13．已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．14．在數(shù)列中，，其中．(1)設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試比較與的大?。瓸組挑戰(zhàn)自我1．【多選題】已知等比數(shù)列的公比為，且，記的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，遞減 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則______，最小值為_(kāi)_____．3．規(guī)定摸球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中裝有一個(gè)白球和兩個(gè)紅球，每人有放回地任取一個(gè)，摸到白球得1分，摸到紅球得2分．(1)已知有n個(gè)人參加了這個(gè)摸球試驗(yàn)，記這n人的合計(jì)得分恰為分的概率為，求；(2)已知若干人參加了這個(gè)摸球試驗(yàn)，記這些人的合計(jì)得分恰為n分的概率為，證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．已知數(shù)列中，，．正項(xiàng)等比數(shù)列的公比，且滿足，．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)如果，求的前n項(xiàng)和為；(3)若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．第3課時(shí)等比數(shù)列編寫(xiě)：廖云波【回歸教材】1.等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1.(2)前n項(xiàng)和公式：.3.等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.4.等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的通項(xiàng)公式還可以改寫(xiě)為，當(dāng)且時(shí)，是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)型函數(shù)，因此數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一些孤立的點(diǎn)．當(dāng)或時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為擺動(dòng)數(shù)列，所有的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）同號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號(hào)．

【典例講練】題型一等比數(shù)列的基本量【例1-1】在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和q；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)；(2)，，或，；(3)9；(4)±4.【分析】(1)；(2)根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；(3)；(4)設(shè)等比數(shù)列公比為q，根據(jù)已知條件和等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組即可求解.(1)等比數(shù)列中，，，；(2)等比數(shù)列中，，，，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，或，；(3)等比數(shù)列中，，，，；(4)等比數(shù)列中，設(shè)公比為q，∵，，∴，兩式相除并化簡(jiǎn)得，，解得或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上，或．【例1-2】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則（

）A． B．9 C． D．27【答案】D【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合，求出該等比數(shù)列的公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以有，所以，?dāng)時(shí)，，顯然不成立，故選：D歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】設(shè)是公比為的等比數(shù)列，且.則（

）A． B． C．8 D．11【答案】B【分析】先利用題給條件求得等比數(shù)列的首項(xiàng)，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式去求的值【詳解】是公比為的等比數(shù)列，且.則，解之得，則故選：B【練習(xí)1-2】等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則___________.【答案】或【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，列出方程，求出等比數(shù)列的公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，則，解得或，又，所以或.故答案為：或.題型二等比數(shù)列的性質(zhì)【例2-1】已知{an}是等比數(shù)列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝（

）A．10 B．25 C．5 D．15【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，可求出.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，，所以，即，因?yàn)椋?故選：C【例2-2】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為等比數(shù)列可求的值.【詳解】因?yàn)榍覟榈缺葦?shù)列，故為等比數(shù)列，故，解得，故選：B.歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】【多選題】在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知，，則（

）A． B． C． D．n＝12【答案】BD【分析】由題可得，再由，得到，即可求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，由，可得，又由，所以AC錯(cuò)誤；因?yàn)榭傻?，所以，解得，所以BD正確.故選：BD.【練習(xí)2-2】已知等比數(shù)列，，是方程的兩根，則（

）A．8 B．10 C．14 D．16【答案】B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理寫(xiě)出，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可得到答案【詳解】，是方程的兩根根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有：故選：B題型三等比數(shù)列的最值問(wèn)題【例3-1】設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列存在最大值 D．是數(shù)列中的最大值【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.再分析每一個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，且，，，所以，，所以，所以在等比數(shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于.對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)于B：，故B不正確；對(duì)于C：根據(jù)上面的分析，等比數(shù)列中每一項(xiàng)都為正值，所以無(wú)最大值，所以數(shù)列無(wú)最大值，故C不正確；對(duì)于D：因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，從到的每一項(xiàng)都大于，從開(kāi)始后面所有的項(xiàng)的值都小于且大于，所以是數(shù)列中的最大值，故D正確.故選：D.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】【多選題】等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件，，．給出下列結(jié)論其中正確的結(jié)論是（

）A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的【答案】ABD【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)題目條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，，，即，，又，又，，且，，故A正確；對(duì)于B，，，即，故B正確；對(duì)于C，由于，而，故有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題可知，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正確.故選：.題型四等比數(shù)列的判定【例4-1】在數(shù)列中，已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，，求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義分析即可.（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，構(gòu)造求.（1）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，得，即所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（2）因?yàn)?，，所以，由?）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，于是，又因?yàn)?，所以，?【例4-2】已知數(shù)列滿足，且．(1)若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證.（2）由（1）可得，根據(jù)分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式，即可得答案.（1）因?yàn)椋?，所以，即，又，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可得，所以，所以前項(xiàng)和歸納總結(jié)：【練習(xí)4-1】記是公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）設(shè)公差為，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到；（2）由已知遞推關(guān)系式可得，由此可得證得數(shù)列為等比數(shù)列；結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)可得；（3）分別驗(yàn)證時(shí)，不等式成立；當(dāng)時(shí)，采用放縮法可得，依此對(duì)不等式進(jìn)行放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得當(dāng)時(shí)不等式成立，由此可得結(jié)論.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.(2)由（1）知：，則，由得：，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.【完成課時(shí)作業(yè)（三十九）】

【課時(shí)作業(yè)（三十九）】A組礎(chǔ)題鞏固1．正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：，即可求出答案.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：，因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以.故選：C.2．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.3．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質(zhì)得到方程，求出，再檢驗(yàn)即可；【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，解得或，因?yàn)?，所以，則．故選：A4．在等比數(shù)列中，已知前n項(xiàng)和，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【分析】利用成等比數(shù)列列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】，由于是等比數(shù)列，所以，即.故選：B5．已知數(shù)列滿足，，則的前10項(xiàng)和等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】由題，，所以，所以是公比的等比數(shù)列，，；故選：C.6．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于、的值，可求得、的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)椋瑒t，由已知可得，可得，，則，因此，.故選：B.7．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定的等式，利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】在等比數(shù)列中，，于是得，而，所以.故選：C8．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則公比為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及等比中項(xiàng)可得，進(jìn)而可得，即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，∴，∴，解得，∴，即公比為1.故選：D.9．等比數(shù)列中的項(xiàng)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意確定函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而得到，然后根據(jù)等比中項(xiàng)求得答案.【詳解】由題意，，則時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，于是x=1和x=3是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故，是的兩個(gè)根，所以，所以，又，所以，，設(shè)公比為，，所以.故選：D.10．【多選題】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．D．【答案】AB【分析】由，分別得到，，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則正確；由，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為7，公比為4的等比數(shù)列，則正確；，相減可得，所以，則錯(cuò)誤；，，則錯(cuò)誤．故選：AB．11．記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若，則的公比為_(kāi)_____【答案】-1【分析】先將公比假設(shè)為，接著對(duì)與1進(jìn)行討論，分別求出的值即可求出答案【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)的公比為，若時(shí)，由可得，整理得，因?yàn)?，所以即，解?舍去)或，因?yàn)?，所以，若時(shí)，，，所以舍去，綜上所述，，故答案為：-112．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則.【答案】.【詳解】由得，所以【點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.13．已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得，即可解出．（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．14．在數(shù)列中，，其中．(1)設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試比較與的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知得，代入給定等式并變形，再利用等比數(shù)列定義判斷作答.（2）利用分組求和法求出，作與的差，構(gòu)造新數(shù)列并判斷其單調(diào)性即可推理作答.(1)，由得：，而，則，整理得，而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.(2)由（1）知，，于是得，，因此，，令，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，即時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.B組挑戰(zhàn)自我1．【多選題】已知等比數(shù)列的公比為，且，記的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，遞減 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【分析】由，，得到，即可判斷A錯(cuò)誤；利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本不等式求解，可判定B正確；分類(lèi)討論與1的大小關(guān)系，可判定C正確；分析出的特征，得到，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)?，，所以，所以遞增，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B正確.對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，最小，所以，故C正確.對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，是擺動(dòng)數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為正，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，遞減，因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，最大，的前2022項(xiàng)中有1011項(xiàng)為正，1011項(xiàng)為負(fù)，所以，所以恒成立，所以D正確.故選：BCD.2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則______，最小值為_(kāi)_____．【答案】

2

8【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)可求出；利用，，成等比數(shù)列，結(jié)合基本不等式可得最小值.【詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所