2022年中考數(shù)學訓練- 解直角三角形的應(yīng)用（解析版）

2022年中考數(shù)學改革重點題型專練（重慶專用）

專練八、解直角三角形的應(yīng)用

1.近日，市委、市政府公布了第七批重慶市愛國主義教育基地名單，重慶市育才中學創(chuàng)辦

的陶行知紀念館位列其中，如圖，為了測量陶行知紀念館AB的高度，小李在點C處放

置了高度為1.5米的測角儀C。，測得紀念館頂端4點的仰角N4OE=51°,然后他沿著

坡度z=l：2.4的斜坡C尸走了6.5米到達點F,再沿水平方向走4米就到達了紀念館底

端點B.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin5果~0.78,cos51°-0.63,tan51°-1.23）

（1）求點Q到紀念館AB的水平距離;

（2）求紀念館AB的高度約為多少米?

【解答】解：（1）如圖，延長AB交水平線于M,過尸作于N,延長。E交4M

于，,

則HM=CD=15米，DH=CM,

在RtaCFN中，i=l：2.4=型，CF=6.5米，

CN

:.BM=FN=25（米），CN=6（米），

；MN=BF=4米，

；.。，="=6+4=10（米），

答：點D到紀念館AB的水平距離為10米；

（2）在RtZXAQH中，tan/AOE=>^l=tan51°比1.23,

DH

...A4七10X1.23=12.3（米）,

：.AB=AM-BM=AH+HM-BM=12.3+1.5-2.5%11.3（米），

答：紀念館A8的高度約為11.3米.

2.如圖，在同一剖面內(nèi)，小明在點A處用測角儀測得居民樓的頂端尸的仰角為27°,他水

平向右前進了30米來到斜坡的坡腳B處，沿著斜坡BC上行25米到達C點，用測角儀

測得點F的仰角為54°,然后，水平向右前進一段路程來到了居民樓的樓底E處，若斜

坡8c的坡度為3：4,請你求出居民樓EF的高度.

（測角儀的高度忽略不計，計算結(jié)果精確到01米.）

參考數(shù)據(jù)：sin27°七0.45,tan27°^0.51,sin54°^0.81,tan54°弋1.38）

【解答】解：如圖，過點C作CGLA。于點G,EHJ_A。于點H,

得矩形CGHE,

：.CE=GH,CG=EH,

在Rt^BCG中，BC=25米，CG：BG=3：4,

；.CG=E"=15米，8G=20米，

居

民

樓

</a?

//?

ABGH

在RtZXAF”中，AH^AB+BC+GH=30+20+GH=50+CE,

VZMG=27°,

：.FH=AH'Vm21°,

：.EF+\5^(50+CE)X0.51,

在RtAFCE中,

\"ZFCE=54°,

.?.EF=CEXtan54°心1.38CE,

.,.1.38CE+15?=(50+CE)X0.51,

解得CE=四上，

87

?,.M=1.38CEF6.7(米)，

居民樓EF的高度約為16.7米.

3.如圖1,在集美景與科技于一體的重慶融創(chuàng)渝樂小鎮(zhèn)，有一座號稱“山城之光”的摩天

輪建在山體上.如圖2,小北在山體底部A處測得摩天輪頂端。的仰角為52°,然后乘

坐扶梯到達山體平臺B處，已知AB坡度，=3：4,且AB=80米，BC=50米，CD工BF

于點C(A,B,C,D,E,F均在同一平面內(nèi)，AE//BF).

(1)求平臺上點3到山體底部地面AE的距離；

(2)求摩天輪頂端。到山體平臺的距離CD的長.(精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin52°

心0.8,cos52°心0.6,tan52°七1.3)

【解答】解：(1)過點3作8例，A后于點M,延長OC交AE于G,

；斜坡A8的坡度（或坡比）1=3：4,48=80米,

.?.設(shè)8M=3x（米），則AM=4x（米）.

則AB=5x,

:.5x=80,

解得x=16,

；.BM=48米，AM=64米，

.?.平臺上點B到山體底部地面AE的距離為48米；

（2）?.?四邊形8MGC是矩形，

；.CG=BM=48米，MG=BC=5Q米，

：.AG=AM+MG=64+50=114（米）.

在RtA^DG中，

VZDAG=52°,

/.DG=AG*tan52°^114X1.3=148.2（米），

ADC=DG-CG=148.2-48?=100（米）.

摩天輪頂端D到山體平臺BF的距離CD的長約為100米.

4.翠湖公園中有一四邊形空地，如圖1,已知空地邊緣AB〃C￡>,且48、C。之間的距離

為30米，經(jīng)測量/A=30°,NC=45°,CD長度為42米.（參考數(shù)據(jù)：、歷F.41,如

M.73）

（1）求空地邊緣AB的長度；（結(jié)果精確到1米）

（2）為了打造更具觀賞性、娛樂性、參與性的城市名片，如圖2,公園管理處準備在四

邊形空地內(nèi)修建寬度為2米的園林卵石步道EFGH,其余地面鋪成顆粒塑膠，經(jīng)調(diào)研每

平米卵石步道成本為80元，每平米顆粒塑膠成本為45元，公園目前可用資金有75000

元，請用（1）的結(jié)果計算此次修建費用是否足夠？

【解答】解：（1）如圖，過。作QK_LAB交A8于K,過C作CHLAB交AB的延長線

于“，

'：DK±AB,CHLAB,

.?.N2=/3=/H=90°,

'：AB//CD,

；./1=/3=90°,

.,.NOC8=N5=45°,

二四邊形DKHC是矩形,

，CQ="K=42米，￡>K=C〃=30米,

在RtaCBH中，NH=90°,

???tanN5=tan45°=

Dn

:.CH=BH=3Q米,

：.KB=KH-BH=42-30=12（米）,

在RtZ\AKO中，Z3=90°,

?',tanZA=tan300

Aho

.\AK=V3DK=30V3（米），

.*.AB=AK+KB=30/3+12^64（米）,

答：空地邊緣AB的長度為64米.

(2)由題得，四邊形EFGH為平行四邊形,

:.S平行四邊形EFGH=EF//=2X30=60（平方米），

,（CD+AB）h（42+64）X30.2（平方米）

,,s梯形ABCD=2=2=159°,十萬米），

:?S塑膠地面=5梯形ABCD-S平行四邊形EFGH=1590-60=1530（平方米），

，總花費為：60X80+1530X45=73650（元），

V73650<75000,

圖1

5.重慶移動為了提升網(wǎng)絡(luò)信號，在坡度為i=l：2.4的山坡AD上加裝了信號塔PQ（如圖

所示），信號塔底端Q到坡底A的距離為3.9米.同時為了提醒市民，在距離斜坡底A

點4.4米的水平地面上立了一塊警示牌MN.當太陽光線與水平線成53°角時，測得信號

塔PQ落在警示牌上的影子EN長為3米.

（1）求點。所在位置的鉛直高度；

（2）請計算信號塔PQ的高度大約為多少米.（參考數(shù)據(jù)：sin53°=0.80,cos53°-0.60,

tan53°-1.33,結(jié)果精確到0.1米）

【解答】解：（1）過點E作EFLP0于點F,延長尸。交8A于點G,如圖所示:

則QGJ_B4,

：QA=3.9米，QG-.AG=1：2.4,

.,.設(shè)QG=x米，則AG=2.4x米，

在Rt^AGQ中，由勾股定理得：?+（2.4%）2=3.92,

解得：x=l.5（負值已舍去），

答：點。所在位置的鉛直高度為1.5米：

（2）AG=2.4x=3.6（米），

，EF=NG=AG+AN=3.6+4.4=8（米），

在RtZXPFE中，tan/PEF=F^,

EF

即tan53°=i￡-=-^-?s1.3,

EF8

解得：PF?10.4（米）,

"：FQ=EN-QG=3-1.5=1.5（米），

.?.信號塔尸。的高為:Pg5*10.4+1.5=11.9（米）,

答：信號塔的高度大約為1L9米.

6.如圖，I號樓在2號樓的南側(cè)，樓間距為AB.冬至日正午，太陽光線與水平面所成的角

為32.3°,1號樓在2號樓墻面上的影高為。；春分日正午，太陽光線與水平面所成的

角為55.7°,1號樓在2號樓墻面上的影高為D4.已知CO=35〃].請求出兩樓之間的距

離AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)）

(參考數(shù)據(jù)：sin32.3°40.53,cos32.3°弋0.85,tan32.3°弋0.63,sin55.7°g0.83,

cos55.7°g0.56,tan55.7°?=1.47)

C

2

號

樓

D

【解答】解：過點C作CE_LPB,垂足為E,過點。作。垂足為F,

D

則NC"=NPFD=90°,

由題意可知：設(shè)

在Rtz2sPCE中，tan32.3°=唐，

X

???PE=x?tan32.3°,

同理可得：在RtZXPD尸中，tan55.7°=里,

x

.*.PF=x*tan55.7°,

由PF-PE=EF=CD=35,

可得x?tan55.7°-x*tan32.3°=35,

解得：x—42.

樓間距AB的長度約為42%

7.校內(nèi)數(shù)學興趣小組組織了一次測量探究活動.如圖，大樓的頂部豎有一塊廣告牌8,

小明與同學們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部。的仰角為53°,沿坡面AB向上走到

B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡A8的坡度i=l：如,48=12米，AE

=24米.（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：&值

1.73,sin53°—cos530^~9tan530.

553

（1）求點8距水平地面的高度；

（2）求廣告牌。。的高度.

C

。

一

口

□

4口

5口

53目

【解答】解：（1）如圖，過點B作BMLAE,BNLCE,垂足分別為M、N,

由題意可知，ZCBN=45°,ZDAE=53°,/=1：V3>AB=12米，AE=24米，

Vz=l：V3=—=tanZBAM,

AM

AZBAM=30°,

：.BM=^AB=6（米），

2

即點B距水平地面AE的高度為6米；

（2）在RtzXABM中，

:.NE=BM=LAB=6（米），

_2

AM=?AB=&\[^（米），

2

：.ME=AM+AE=（673+24）米，

；NCBN=45°,

:.CN=BN=ME=（6V3+24）米，

：.CE=CN+NE=（673+30）米，

在RtZ\ADE中，ZDAE=53°,AE=24米，

：.DE=AE'tan53°g24X*=32（米），

3

：.CD=CE-DE

-673+30-32

=6^3-2

==8.4（米）

答：廣告牌CO的高約8.4米.

8.已知如圖，斜坡AP的坡度為1：2.4,斜坡A尸的水平長度為24米在坡頂A處的同一水

平面上有一座古塔BC在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°,在坡頂A處測得

該塔

的塔頂B的仰角為60°.

求：（1）坡頂A到地面尸。的距離：

（2）古塔8c的高度（結(jié)果保留根號）.

【解答】解：（1）作AOLPQ于延長8C交P。于E,

則四邊形AOEC為矩形，

；.AD=CE,

?.,斜坡AP的坡度為1：2.4,斜坡AP的水平長度為24米,

：.AD=10,即坡頂A到地面尸。的距離為10米；

（2）設(shè)BC=x米，

在RtZSABC中，tan/BAC=匹，即?=工，

ACAC

解得，AC=?,

3

在RtZ\BPE中，NBPE=45°,

：.PE=BE,即24+返■J-X+IO,

3

解得，x=21+7j3

答：古塔BC的高度為（21+7?）米.

9.如圖，線段AB表示一信號塔，OE表示一斜坡，DCLCE.且點8,C,E三點在同一水

平線上，點A,B,C,D,E在同一平面內(nèi)，斜坡OE的坡比為1：M，OE=42米.某

人站在坡頂D處測得塔頂A點的仰角為37°,站在坡底C處測得塔頂A點的仰角為48°

（人的身高忽略不計），求信號塔的高度AB（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin37。七旦,

5

tan37°=3,sin48°gtan48°g紅）

【解答】解：過點。作。尸，A8于點F,

A,

?.?斜坡DE的坡度（或坡比）/=1：M，OE=42米,

.?.設(shè)0c=x%,則CE=4^m.

在中，

,：DC2+CE1=DE2,即/+（揚）2=422,解得x=21,

，QC=21米,

;NB=NDFB=/DCB=90°,

二四邊形OF8C是矩形，DF=BC,

：.DC=BF=2}米，

設(shè)AF=ytn,

在RtZ\AO尸中,

VZADF=37°,

AAF=DF*tan37°Q3DF,

4

/.DF=—ym,

3

在RtAABC中，

VZACB=48°，

：.AB=BC'tan4S0心紅。尸,

10

：.AF+BF=^-DF,

10

解得y=45,

.,.AF=45米，

：.AB^AF+BF=45+2\=66（米）.

答：信號塔的高度AB約為66米.

10.如圖1,為安全計，某山坡的AB段斜坡需按如圖2中的方式進行“網(wǎng)格化加固”處理.為

此，需進行有關(guān)測量.今在樓頂C點測得：斜坡兩端點A,B的俯角分別為45°,67°,

AB中點M的俯角為56°；且已知斜坡底端B點離樓房底端D點的距離為10米.求：（參

考數(shù)據(jù)：一絲,

tan67°sin67°tan56^―)

5132

(2)

（1）樓高CO的長；

（2）斜坡A8的長.

【解答】解：（1）由題意得，=10,ZCBD=ZECB=61°,

在RtABCD中，

C￡）=BO?tanNCBO=IOXtan67°弋10乂型=24（米）,

5

故樓高CD的長約為24米；

(2)作A￡_LC￡>于E,MF_LCD于F,MG_LQH與G,

是AB的中點，

；.G為的中點，ED=2FD,

設(shè)8"=2x米，則BG=x米，

：.AE=(10+2x)米，MF=(10+A)米，

在RtZ\ACE中，CE=AE=(10+2x)米，

在/中，CF=BD?tanNCMF=(10+x)Xtan56°*&(10+x)(米)，

2

：.ED=CD-CE=[24-(10+2x)|(米)，F(xiàn)D=CD-CF=[24-(10+x)](米),

2

'：ED=2FD,

.*.24-(10+2x)=2[24-&(10+x)],解得x=4(米)，

2

；.BH=2x=8米，CE=10+2x=18米，

：.AH=EF=24-18=6(米)),

：.AB^yjAH2+5^2=^g2+g2=io(米)，

故斜坡A8的長約為10米.

□

□

□

□

□

□

□

□

11.如圖，某風景區(qū)內(nèi)有一瀑布，A3表示瀑布的垂直高度，在與瀑布底端同一水平位置的

點D處測得瀑布頂端4的仰角0為45°,斜坡CD的坡度i=3：4,CD=100米，在觀

景臺C處測得瀑布頂端A的仰角a為37°,若點B、D、E在同一水平線上，求瀑布的

落差A(yù)B.（參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.6,cos37°g0.8,tan37°心0.75）

【解答】解：Vz=3：4=tanZCDE=^,

DE

:.CE：DE=3：4,

設(shè)CE=3x米，則。E=4x米，

在RtZ\COE中，由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=10()2,

解得：x=20(負值舍去)，

.?.CE=60米，QE=80米，

過C作CFLAB于F,則四邊形CEBF是矩形.

，BF=CE=60米，CF=BE.

在RtZViOB中，ZADB=45°,

...△A8。是等腰直角三角形，

：.AB=BD,

設(shè)A8=8O=y米.

在RtZXAC/中，ZACF=31°,

Vtan4。尸=處p0.75=3,

CF4

：.AF^CF,

4

60=3(y+80),

解得：yg480.

答：瀑布的落差約為480米.

12.某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘.道閘關(guān)閉時，如圖1,四邊形ABCD為矩形，AB長

3米，AO長1米，點。距地面為0.2米.道閘打開的過程中，邊AO固定，連桿AB,

CD分別繞點A,D轉(zhuǎn)動,且邊BC始終與邊A。平行.

(1)如圖2,當?shù)篱l打開至NAOC=45°時，邊CD上一點P到地面的距離PE為1.2

米，求點P到MN的距離PF的長.

(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米.當?shù)篱l打開至NAQC=36°時，

轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：sin36°弋0.59,cos36°^0.81,tan36°?

0.73）

圖1

【解答】解：（1）如圖，過點。作。垂足為Q,由題意可知，ZADC=45°,

PE=1.2米，QE=0.2米，

在RtZ\P￡>Q中，NPDQ=45°,PQ=1.2-0.2=1米，

：.DQ=PQ=\（米），

：.PF=AB-DQ=3-1=2（米），

（2）當/AOC=36°,PE=1.6米時,則NDPQ=36°,PQ=1.6-0.2=1.4（米），

...￡）Q=P0-tan36°21.4X0.73=1.022（米），

：.PF=3-1.022^1.98（米），

V1.98>1.8,

.?.能通過.

S2

13.如圖1,2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，已知AB,8c于點B,底座BC的長

為1米，底座BC與支架AC所成的角NACB=60°,點〃在支架AF上，籃板底部支架

EH//BC,EFLEH于點E,已知A"長HF長米，“E長1米.

(1)求籃板底部支架HE與支架AF所成的角/FHE的度數(shù).

(2)求籃板底部點E到地面的距離.(結(jié)果保留根號)

【解答】解：(1)在RtZ\EFH中，cos/FHE=-^1=返,

HFV22

：.ZFHE=45°,

答：籃板底部支架4E與支架AF所成的角NFHE的度數(shù)為45°：

(2)延長FE交CB的延長線于M,過點A作AGJ_FM于G,過點H作HNLAG于N,

則四邊形ABMG和四邊形HNGE是矩形,

：.GM=AB,HN=EG,

在RtZXABC中，：tan/ACB=里

BC

."B=BCtan60°=1X次=我，

:.GM=AB=M，

在RtZiAN”中，NFAN=NFHE=45°,

.?.HN=44sin45。=亞義亞=工，

222

EM=EG+GM=L+M，

2

答：籃板底部點E到地面的距離是（1+V3）米.

2

14.圖1是一款折疊式跑步機，由支桿4E（點A、E固定），滑動桿PF和底座A。組成，

AC為滑槽，圖2是其側(cè)面簡化示意圖，忽略跑步機的厚度，已知AE=60。"，AC=120c〃?，

收納時，當滑動端點P向右滑至點C時，滑動桿P尸恰好與滑槽4c重合.

（1）如圖3,當滑動端點P滑至AC的中點B時，求點F到底座的距離；

（2）當滑動端點P從點B向左滑動到點Q,PF與的夾角是70°時，小明觀察點尸

處的儀表盤視角為最佳，求此時滑動端點P繼續(xù)向左滑動的距離BQ的長