高考數(shù)學(xué)大題精做專題08三角形與平面向量結(jié)合問題(第一篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第一篇三角函數(shù)與解三角形專題08三角形與平面向量結(jié)合問題類型對(duì)應(yīng)典例已知平面向量的數(shù)量積求解三角形典例1平面向量的基本定理與解三角形相結(jié)合典例2解三角形與平面向量的數(shù)量積相結(jié)合典例3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解三角形相結(jié)合典例4通過(guò)解三角形求解平面向量的相關(guān)問題典例5以平面圖形為背景考查向量問題典例6以平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算探求三角形的最值問題典例7【典例1】【安徽省合肥一中、安慶一中等六校教育研究會(huì)2020屆高三上學(xué)期第一次素質(zhì)測(cè)試】在中，分別為角的對(duì)邊，且有（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的內(nèi)切圓面積為，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的面積．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）利用兩角和差余弦公式可將已知等式化簡(jiǎn)為，從而求得；結(jié)合可求得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)內(nèi)切圓面積可知內(nèi)切圓半徑為，由內(nèi)切圓特點(diǎn)及切線長(zhǎng)相等的性質(zhì)可得到，代入余弦定理中可得到與的關(guān)系，利用基本不等式可構(gòu)造不等式求得，從而得到當(dāng)時(shí)，取得最小值，將代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.【典例2】【浙江省杭州市西湖區(qū)杭州學(xué)軍中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中】已知在中，，．（1）若的平分線與邊交于點(diǎn)，求；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的最小值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)是角平分線，從而得到，然后得到，代入到中，進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，得到答案；（2）根據(jù)為的中點(diǎn)，在和中用余弦定理，從而得到，然后利用基本不等式，求出的最小值，得到答案.【典例3】【2019屆四川省雅安中學(xué)高三開學(xué)考試】在中，角的對(duì)邊分別是，若．（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的值．【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理得：，化為，由于，所以，最后得；（2）先由且得，再由余弦定理得，，進(jìn)而得．【典例4】【陜西省安康市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月階段性考試】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）求；（2）設(shè)，，且，與的夾角為，求的值.【思路引導(dǎo)】(1)利用正弦定理得.再由平方與余弦定理求得進(jìn)而求得即可.(2)將(1)所得的代入條件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.【典例5】【2019屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，b，c，且，＝1，b＝2．（1）求∠C和邊c；（2）若,,且點(diǎn)P為△BMN內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求的最值．【思路引導(dǎo)】（1）利用倍角公式和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而可求解出，即可求出∠C的大?。蝗缓髴?yīng)用余弦定理即可求出邊長(zhǎng)；（2）建立坐標(biāo)系，由已知向量的關(guān)系,可得，點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出△BMN的內(nèi)切圓方程，運(yùn)用參數(shù)方程，將其代入所求式子中并化簡(jiǎn)整理得，再由三角函數(shù)的值域?yàn)?，故所求式子的最大值即可求出．【典?】【河北衡水金卷2019屆高三高考模擬一理科數(shù)學(xué)試題】已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，分別滿足，，又點(diǎn)滿足．（1）求及角的大小；（2）求的值．【思路引導(dǎo)】（1）由及正弦定理化簡(jiǎn)可得即，從而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得，所以．【典例7】【廣東省珠海市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知、、是的內(nèi)角，、、分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）由得出，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的大?。唬?）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面積公式可得出答案.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆河北省冀州中學(xué)高三年級(jí)模擬考試】△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別是a、b、c，滿足．（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┣蟮淖畲笾?，并求取得最大值時(shí)角B、C的大?。?.【四川省德陽(yáng)市2018屆高三三校聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)】在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)在線段上，，,求的面積.3.【山西省運(yùn)城市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，.（1）求的值；（2）若，求的值.4.【江蘇省鹽城市鹽城中學(xué)2019-2020學(xué)年高三11月月考】如圖，在中，，，，是邊上一點(diǎn)，.（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.5.【湖南省張家界市2018屆高三第三次模擬考】已知中，.（Ⅰ）若，求的面積；（II）若，求的長(zhǎng).6.【山東省、湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2018屆高三第二次（12月)聯(lián)考】設(shè)函數(shù)(Ⅰ)求的單調(diào)增區(qū)間；(Ⅱ)已知的內(nèi)角分別為，若，且能夠蓋住的最大圓面積為，求的最小值.7.【遼寧省沈陽(yáng)市交聯(lián)體2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值和最大值；（2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，且，，若向量與向量共線，求的值.8.在中，.(1)求角的大??；(2)若，垂足為，且，求面積的最小值.9.【重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三上學(xué)期第三次月考】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值．10.【2019屆河北省武邑中學(xué)高三上學(xué)期期末考試】已知的面積為，且．（1）求的值；（2）若，，求的面積．備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第一篇三角函數(shù)與解三角形專題08三角形與平面向量結(jié)合問題類型對(duì)應(yīng)典例已知平面向量的數(shù)量積求解三角形典例1平面向量的基本定理與解三角形相結(jié)合典例2解三角形與平面向量的數(shù)量積相結(jié)合典例3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解三角形相結(jié)合典例4通過(guò)解三角形求解平面向量的相關(guān)問題典例5以平面圖形為背景考查向量問題典例6以平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算探求三角形的最值問題典例7【典例1】【安徽省合肥一中、安慶一中等六校教育研究會(huì)2020屆高三上學(xué)期第一次素質(zhì)測(cè)試】在中，分別為角的對(duì)邊，且有（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的內(nèi)切圓面積為，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的面積．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）利用兩角和差余弦公式可將已知等式化簡(jiǎn)為，從而求得；結(jié)合可求得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)內(nèi)切圓面積可知內(nèi)切圓半徑為，由內(nèi)切圓特點(diǎn)及切線長(zhǎng)相等的性質(zhì)可得到，代入余弦定理中可得到與的關(guān)系，利用基本不等式可構(gòu)造不等式求得，從而得到當(dāng)時(shí)，取得最小值，將代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.解：（Ⅰ），，，，。（Ⅱ）由余弦定理得：由題意可知：的內(nèi)切圓半徑為如圖，設(shè)圓為三角形的內(nèi)切圓，，為切點(diǎn)可得：，，化簡(jiǎn)得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）或又，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為此時(shí)三角形的面積：【典例2】【浙江省杭州市西湖區(qū)杭州學(xué)軍中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期中】已知在中，，．（1）若的平分線與邊交于點(diǎn)，求；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的最小值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)是角平分線，從而得到，然后得到，代入到中，進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，得到答案；（2）根據(jù)為的中點(diǎn)，在和中用余弦定理，從而得到，然后利用基本不等式，求出的最小值，得到答案.解：（1）因?yàn)槭墙瞧椒志€，從而得到所以可得，所以；（2）在和由用余弦定理可得，，而，，所以得到整理得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.【典例3】【2019屆四川省雅安中學(xué)高三開學(xué)考試】在中，角的對(duì)邊分別是，若．（1）求角的大?。唬?）若，的面積為，求的值．【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理得：，化為，由于，所以，最后得；（2）先由且得，再由余弦定理得，，進(jìn)而得．解:（1）∵，由正弦定理得：，∴∵，∴∴，又∴．（2）∵，的面積為，∴∴，，即，，∴【典例4】【陜西省安康市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月階段性考試】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，.（1）求；（2）設(shè)，，且，與的夾角為，求的值.【思路引導(dǎo)】(1)利用正弦定理得.再由平方與余弦定理求得進(jìn)而求得即可.(2)將(1)所得的代入條件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.解：（1）∵∴∴由正弦定理得∵∴根據(jù)余弦定理得：∴（2）由（1）知,代入已知,并結(jié)合正弦定理得,解得或（舍去）所以,∴而∴．【典例5】【2019屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，b，c，且，＝1，b＝2．（1）求∠C和邊c；（2）若,,且點(diǎn)P為△BMN內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求的最值．【思路引導(dǎo)】（1）利用倍角公式和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，進(jìn)而可求解出，即可求出∠C的大??；然后應(yīng)用余弦定理即可求出邊長(zhǎng)；（2）建立坐標(biāo)系，由已知向量的關(guān)系,可得，點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出△BMN的內(nèi)切圓方程，運(yùn)用參數(shù)方程，將其代入所求式子中并化簡(jiǎn)整理得，再由三角函數(shù)的值域?yàn)?，故所求式子的最大值即可求出．解：?）因?yàn)?，所以，所以，所以或，又因?yàn)椋?，所以．由余弦定理可得，．建立坐?biāo)系，由（1）A，由,知，△BMN的內(nèi)切圓方程為：，設(shè)，則令【典例6】【河北衡水金卷2019屆高三高考模擬一理科數(shù)學(xué)試題】已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，分別滿足，，又點(diǎn)滿足．（1）求及角的大?。唬?）求的值．【思路引導(dǎo)】（1）由及正弦定理化簡(jiǎn)可得即，從而得．又，所以，由余弦定理得；（2）由，得，所以．解：（1）由及正弦定理得，即，在中，，所以．又，所以．在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，所以．【典例7】【廣東省珠海市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】已知、、是的內(nèi)角，、、分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）由得出，利用正弦定理邊角互化思想以及余弦定理可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的大?。唬?）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形的面積公式可得出答案.解：（1），，，，由正弦定理得，整理得，，，；（2）在中，，，由余弦定理知，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，因此，面積的最大值為.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【2020屆河北省冀州中學(xué)高三年級(jí)模擬考試】△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別是a、b、c，滿足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角B、C的大?。猓海á瘢┯梢阎び捎嘞叶ɡ淼?，∴，∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，.．∵，∴，∴當(dāng)，取最大值，解得．2.【四川省德陽(yáng)市2018屆高三三校聯(lián)合測(cè)試數(shù)學(xué)】在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)在線段上，，,求的面積.解：因?yàn)?，由正弦定理得：?在中，，所以，兩邊平方得：由，，得解得：；所以的面積3.【山西省運(yùn)城市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末】在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，.（1）求的值；（2）若，求的值.【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理知：，化簡(jiǎn)得，即.（2）由得到，因?yàn)?，，解得，代入即?解：（1）∵由正弦定理知：，∴又∵∴∴∴∴又∵∴（2）∵∴又∵∴又∵∴∴由余弦定理知，∴4.【江蘇省鹽城市鹽城中學(xué)2019-2020學(xué)年高三11月月考】如圖，在中，，，，是邊上一點(diǎn)，.（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【思路引導(dǎo)】（1）將都轉(zhuǎn)化為用為基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得的值.（2）將原方程轉(zhuǎn)化為，同（1）的方法，將轉(zhuǎn)化為用為基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積和模的運(yùn)算，求出的值.解：（1）是邊上一點(diǎn)，，故（2），，5.【湖南省張家界市2018屆高三第三次模擬考】已知中，.（Ⅰ）若，求的面積；（II）若，求的長(zhǎng).【思路引導(dǎo)】（1）由余弦定理得到，進(jìn)而得到三角形ABC是直角三角形，根據(jù)公式求得面積；（2）設(shè)，則，,由余弦公式得到，.解析：（Ⅰ）由題意知，，解得，∴，∴.（Ⅱ）設(shè)，則，.在中，，解得或（舍去），∴.在中，.6.【山東省、湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2018屆高三第二次（12月)聯(lián)考】設(shè)函數(shù)(Ⅰ)求的單調(diào)增區(qū)間；(Ⅱ)已知的內(nèi)角分別為，若，且能夠蓋住的最大圓面積為，求的最小值.【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)由三角形兩角和的正弦展開利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得，令，求解增區(qū)間即可；（Ⅱ）由，得，由題意可知：的內(nèi)切圓半徑為，根據(jù)切線長(zhǎng)相等結(jié)合圖象得，再結(jié)合余弦定理得，利用均值不等式求最值即可.解：(Ⅰ)..的單調(diào)增區(qū)間為.(Ⅱ)，所以.由余弦定理可知：.由題意可知：的內(nèi)切圓半徑為.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，如圖所示可得：.或（舍），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.令也可以這樣轉(zhuǎn)化：代入；或（舍）；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.7.【遼寧省沈陽(yáng)市交聯(lián)體2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值和最大值；（2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，且，，若向量與向量共線，求的值.【思路引導(dǎo)】（1）利用二倍角公式及化一公式，化簡(jiǎn)的表達(dá)式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，在給定區(qū)域上求最值；（2）由，解得角，利用共線條件及正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理解得的值.解：（1）當(dāng)，即時(shí)，有最小值為當(dāng)，即時(shí)，有最大值為(2)與向量共線由正弦定理得①，由余弦定理可得②①②聯(lián)立可得8.在中，.(1)求角的大??；(2)若，垂足為，且，求面積的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）由，兩邊平方，整理可得，即，從而可得；（2）在直角與直角中中，，，從而可得，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得面積的最小值.解：（1）由，兩邊平方，即，得到，即．所以.（2）在直角中，，在直角中，，又，所以，所以，由得，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，從而.9.【重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三上學(xué)期第三次月考】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的