高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件：4 2 1 第二課時(shí) 等差數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用(人教A版)

第四章第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過推導(dǎo)等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)，通過利用等差數(shù)列的相關(guān)公式解決實(shí)際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，當(dāng)d＝0時(shí)，an是一個(gè)固定常數(shù)；當(dāng)d≠0時(shí)，an相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)；點(diǎn)(n，an)分布在以____為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點(diǎn).d2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形及推廣3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1){an}是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)m，n，p，q滿足m＋n＝p＋q，則am＋an＝____________.①特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時(shí)，am＋an＝2ak.②對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的____，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為______數(shù)列.ap＋aq和等差(3)若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則①{c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為____的等差數(shù)列；②{can}(c為任一常數(shù))是公差為______的等差數(shù)列；③{an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為______的等差數(shù)列.(4)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為__________的等差數(shù)列.(5){an}的公差為d，則d>0?{an}為______數(shù)列；d<0?{an}為______數(shù)列；d＝0?{an}為常數(shù)列.dcd2dpd1＋qd2遞增遞減1.思考辨析，判斷正誤×(1)等差數(shù)列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(

)提示

反例：an＝n－1，a10＝9，a1＋a9＝8，不滿足a10＝a1＋a9.(2)若數(shù)列a1，a2，a3，a4，…是等差數(shù)列，則數(shù)列a1，a3，a5，…也是等差數(shù)列.(

)(3)若數(shù)列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差為d的等差數(shù)列，則a1，a2，a3，…也是等差數(shù)列.(

)提示

反例：設(shè)兩數(shù)列為1，3，5，…，4，6，8，…，顯然1，4，3，6，5，8，…不是等差數(shù)列.(4)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則an＋1＝an－1＋2d，n>1，且n∈N*.(

)√×√2.在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，a2＝2，則公差d＝(

) A.－1 B.2 C.4 D.6

解析

由題意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.B2.在等差數(shù)列{an}中，a10＝18，a2＝2，則公差d＝(

) A.－1 B.2 C.4 D.6

解析

由題意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.B3.已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(

) A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51

解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，

又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51， ∴101a51＝0，∴a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.C4.在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a8＝－3，a4＝－2，則a6＝________.

解析

由a2＋a8＝a4＋a6得a6＝－1.－1課堂互動(dòng)題型剖析2題型一an＝am＋(n－m)d的應(yīng)用【例1】

在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式.

解

因?yàn)閍8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.

又因?yàn)閍n＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1，n∈N*.靈活利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形，可以減少運(yùn)算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即變?yōu)閍n＝a1＋(n－1)d，可以減少記憶負(fù)擔(dān).思維升華靈活利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形，可以減少運(yùn)算.令m＝1，an＝am＋(n－m)d即變?yōu)閍n＝a1＋(n－1)d，可以減少記憶負(fù)擔(dān).思維升華【訓(xùn)練1】

已知{bn}為等差數(shù)列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________.8解析

法一

∵{bn}為等差數(shù)列，∴可設(shè)其公差為d，∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.∴b8＝2×8－8＝8.＝2×5＋(－2)＝8.【例2】

(1)已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a6＝8，則5a4＋a7＝(

) A.32 B.27 C.24 D.16題型二等差數(shù)列的性質(zhì)C解析法一設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，則a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.法二在等差數(shù)列中，m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.根據(jù)等差數(shù)列的四項(xiàng)中，第一項(xiàng)與第四項(xiàng)的和等于第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的和，【遷移1】

(變條件，變結(jié)論)本例(1)中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.

解法一因?yàn)閍5，a10，a15成等差數(shù)列，

所以a5＋a15＝2a10.

所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.

法二因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，

所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，【遷移2】

(變條件，變結(jié)論)本例(1)中條件變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8.解法一∵在等差數(shù)列{an}中a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450.解得a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.法二設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.根據(jù)an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450.∴a1＋4d＝90.而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180.等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)和，求其余幾項(xiàng)和或者求其中某項(xiàng)，對(duì)于這樣的問題，在解題過程中通常就要注意考慮利用等差數(shù)列的下列性質(zhì)：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng).(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.思維升華【訓(xùn)練2】

(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝________. (2)已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9＝________.2027解析

(1)3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.(2)法一由性質(zhì)可知，數(shù)列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差數(shù)列，所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，則a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27.法二設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6，解得d＝－2，所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27.題型三等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸，夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸，那么《易經(jīng)》中小寒與清明之間的晷影長(zhǎng)之差為(

)A.105.6寸

B.48寸

C.57.6寸

D.67.2寸C解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟及注意點(diǎn)(1)解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟：①審題，即仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；③判型，即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；④求解，即求出該問題的數(shù)學(xué)解；⑤還原，即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題.思維升華【訓(xùn)練3】

假設(shè)某市2020年新建住房400萬(wàn)平方米，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米.那么該市在________年新建住房的面積開始大于820萬(wàn)平方米.20291.記牢等差數(shù)列的常見性質(zhì) (1)an，am是數(shù)列{an}中任意兩項(xiàng)，則an＝am＋(n－m)d，此式既是通項(xiàng)公式的變形公式，又可作為等差數(shù)列的性質(zhì)，經(jīng)常使用. (2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq.

特別地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，則有an＋am＝2ak.2.熟記等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的步驟.3.注意公式的變形及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量.課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題C解析由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，2.已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m為(

) A.12 B.8 C.6 D.4

解析

由等差數(shù)列性質(zhì)得， a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)

＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.BA4.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中《均輸章》有如下問題：“今有五人分六錢，令前三人所得與后二人等，各人所得均增，問各得幾何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五人個(gè)分重量為6錢(‘錢’是古代的一種重量單位)的物品，A，B，C三人所得錢數(shù)之和與D，E二人所得錢數(shù)之和相同，且A，B，C，D，E每人所得錢數(shù)依次成遞增等差數(shù)列，問五個(gè)人各分得多少錢的物品？”在這個(gè)問題中，C分得物品的錢數(shù)是(

)C5.等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(

) A.10 B.20 C.40 D.2＋log25

解析

因?yàn)?a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4＝220，

所以原式＝log2220＝20.B二、填空題6.在等差數(shù)列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，則a4a6＝________.4解析

∵等差數(shù)列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，∴a4a6＝4.7.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列.若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，則k＝________.18三、解答題9.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，通項(xiàng)公式為an＝2np＋nq(n∈N*，p，q為常數(shù))，且a1，a4，a5成等差數(shù)列，求p，q的值.

解由a1＝3，得2p＋q＝3.①

因?yàn)閍1，a4，a5成等差數(shù)列，所以2a4＝a1＋a5.

又因?yàn)閍4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，

所以3＋25p＋5q＝25p＋8q.②

由①②得p＝q＝1.故所求p，q的值都是1.10.對(duì)數(shù)列{an}，規(guī)定{Δan}為數(shù)列{an}的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Δan＝an＋1－an(n∈N*).對(duì)于k≥2，k∈Z*，規(guī)定{Δkan}為{an}的k階差分?jǐn)?shù)列，其中Δkan＝Δk－1an＋1－Δk－1an＝Δ(Δk－1an). (1)試寫出一個(gè)等差數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列的前5項(xiàng)；解由題意，一個(gè)等差數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列是一個(gè)各項(xiàng)均為其公差的常數(shù)列.故可得許多一階差分?jǐn)?shù)列，如1，1，1，1，1，…(答案不唯一，符合題意即可).(2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2＋n(n∈N*)，試判斷數(shù)列{Δan}，{Δ2an}是否為等差數(shù)列.解∵Δan＝an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，Δan＋1－Δan＝2，Δa1＝a2－a1＝4.∴{Δan}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.∴Δan＝2n＋2，∵Δ2an＝Δan＋1－Δan＝2(n＋1)＋2－(2n＋2)＝2，∴{Δ2an}是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列.D解析

設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)a1，d>0，則an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴數(shù)列{an}遞增，p1正確；

[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}遞增，p4正確，故選D.12.(多選題)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝3，公差為d(d∈N*)，若2021是該數(shù)列的一項(xiàng)，則公差d不可能是(

) A.2 B.3 C.4 D.5BCD13.有一批電視機(jī)原銷售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷售.甲商場(chǎng)用如下方法促銷：買一臺(tái)單價(jià)為780元，買兩臺(tái)單價(jià)為760元，以此類推，每多買一臺(tái)則所購(gòu)買各臺(tái)的單價(jià)均減少20元，但每臺(tái)最少不低于440元；乙商場(chǎng)一律按原價(jià)的75%銷售.某單位需購(gòu)買一批此類電視機(jī)，則去哪一家商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少？解設(shè)某單位需購(gòu)買電視機(jī)n臺(tái).在甲商場(chǎng)購(gòu)買時(shí)，所買電視機(jī)的售價(jià)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800，由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，即購(gòu)買臺(tái)數(shù)不超過18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)(800－20n)元；購(gòu)買臺(tái)數(shù)超過18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)440元.到乙商場(chǎng)購(gòu)買時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為800×75%＝600(元).比較在甲、乙兩家家電商場(chǎng)的費(fèi)用(800－20n)n－600n＝20n(10－n).當(dāng)n＜10時(shí)，(800－20n)n＞600n，到乙商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少；當(dāng)n＝10時(shí)，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)相同；當(dāng)10＜n≤18時(shí)，(800－20n)n＜600n，到甲商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少；當(dāng)n＞18時(shí)，440n＜600n，到甲商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少.因此，當(dāng)購(gòu)買電視機(jī)臺(tái)數(shù)少于10臺(tái)時(shí)，到乙商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少；當(dāng)購(gòu)買電視機(jī)10臺(tái)時(shí)，到兩家商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)相同；當(dāng)購(gòu)買電視機(jī)臺(tái)數(shù)多于10臺(tái)時(shí)，到甲商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少.14.已知兩個(gè)等差數(shù)列{an}：5，8，11，…與{bn}：3，7，11，…，它們的公共項(xiàng)組成數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn＝________；若數(shù)列{an}和{bn}的項(xiàng)數(shù)均為100，則{cn}的項(xiàng)數(shù)是________.12n－125備用工具&資料購(gòu)買臺(tái)數(shù)超過18臺(tái)時(shí)，每臺(tái)售價(jià)440元.到乙商場(chǎng)購(gòu)買時(shí)，每臺(tái)售價(jià)為800×75%＝600(元).比較在甲、乙兩家家電商場(chǎng)的費(fèi)用(800－20n)n－600n＝20n(10－n).當(dāng)n＜10時(shí)，(800－20n)n＞600n，到乙商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少；當(dāng)n＝10時(shí)，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)相同；當(dāng)10＜n≤18時(shí)，(800－20n)n＜600n，到甲商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少；當(dāng)n＞18時(shí)，440n＜600n，到甲商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少.因此，當(dāng)購(gòu)買電視機(jī)臺(tái)數(shù)少于10臺(tái)時(shí)，到乙商場(chǎng)購(gòu)買花費(fèi)較少；當(dāng)購(gòu)買