新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.3簡單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱棱錐棱臺(tái)的表面積和體積學(xué)生用書新人教A版必修第二冊(cè)

8.3簡潔幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積學(xué)習(xí)任務(wù)1．通過對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的探討，駕馭棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積的求法．(邏輯推理)2．會(huì)求與棱柱、棱錐、棱臺(tái)有關(guān)的組合體的表面積與體積．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)胡夫大金字塔底邊原長230米，高146.59米，經(jīng)風(fēng)化腐蝕，現(xiàn)降至136.5米，塔的底角為51°51′．假如把建立金字塔的石塊鑿成均等的小塊，平均每塊重2.5噸，像一輛小汽車那樣大．問題：(1)如何計(jì)算建此金字塔需用多少石塊？(2)假如在金字塔的表面涂上一層疼惜液以防止風(fēng)化腐蝕，如何計(jì)算疼惜液的運(yùn)用量？學(xué)問點(diǎn)1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的__．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的__．幾何體的側(cè)面積與表面積有何區(qū)分？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________學(xué)問點(diǎn)2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積1．一般地，假如棱柱的底面積是S，高是h，那么這個(gè)棱柱的體積V棱柱＝____．2．一般地，假如棱錐的底面面積是S，高是h，那么該棱錐的體積V棱錐＝____．3．假如棱臺(tái)的上、下底面面積分別為S′，S，高是h，那么這個(gè)棱臺(tái)的體積V棱臺(tái)＝_______________．1．正三棱錐的高為3，側(cè)棱長為23，則這個(gè)正三棱錐的體積為________．2．棱臺(tái)的上、下底面面積分別是2，4，高為3，則棱臺(tái)的體積等于________．類型1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積【例1】已知正三棱臺(tái)(由正三棱錐截得的三棱臺(tái))的上、下底面邊長分別為3cm和6cm，高為32cm[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本幾何體，再通過這些基本幾何體的表面積進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積，另外有時(shí)也會(huì)用到將幾何體綻開求其綻開圖的面積進(jìn)而得表面積．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長為a時(shí)，該三棱錐的表面積是()A．3+34a2 B．3C．3+32a2 D．6+(2)現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，它的體對(duì)角線長為9和15，高是5，則該直四棱柱的側(cè)面積為________．類型2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積【例2】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a．截面A1DB將正方體分成兩部分，其體積分別為V1，V2，且V2＞V1，求V1，V2以及V1∶V2．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母題探究]在本例條件不變的狀況下，求點(diǎn)A到平面A1BD的距離d．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求幾何體體積的常用方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱錐A1-ABC，三棱錐B-A1B1C，三棱錐C-A1B1C1的體積之比．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3簡潔組合體的表面積與體積【例3】現(xiàn)須要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形態(tài)是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求組合體的表面積和體積，首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面應(yīng)當(dāng)怎樣求，然后再依據(jù)公式求出各面的面積，最終再相加或相減．求體積時(shí)也要先弄清組成，求出各簡潔幾何體的體積，然后再相加或相減．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．若正方體的棱長為2，求以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積和體積．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．若正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．486 B．64C．16 D．962．已知一個(gè)正棱臺(tái)的上、下底面是邊長分別為2、8的正方形，側(cè)棱長為5，則該棱臺(tái)的表面積為()A．148 B．168C．193 D．883．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為________．4．一個(gè)正四棱錐的底面邊長為32cm，側(cè)棱長為5cm，則它的體積為________cm3，表面積為________cm2．回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．如何求空間幾何體的表面積？2．求幾何體體積的常用方法有哪些？8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點(diǎn)1和和思索提示：側(cè)面積指的是幾何體側(cè)面的面積，而表面積是指整個(gè)幾何體表面的面積．學(xué)問點(diǎn)21．Sh2．13Sh3．13h(S′＋S'課前自主體驗(yàn)1．934[關(guān)鍵實(shí)力·合作探究釋疑難]例1解：如圖所示，畫出正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1，其中O1，O為正三棱臺(tái)上、下底面的中心，D，D1分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，則OO1為正三棱臺(tái)的高，DD1為側(cè)面梯形BCC1B1的高，四邊形ODD1O1為直角梯形，所以DD1＝OO12+OD-O1D12＝322+3-322＝3，所以此三棱臺(tái)的表面積S表＝S側(cè)＋跟進(jìn)訓(xùn)練1．(1)A(2)160[(1)∵側(cè)面都是等腰直角三角形，故側(cè)棱長等于22a∴S表＝34a2＋3×12×22a2(2)如圖，設(shè)底面對(duì)角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對(duì)角線A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56．∵該直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝AC22＋BD22＝∴AB＝8．∴直四棱柱的側(cè)面積S＝4×8×5＝160．]例2解：截面將正方體化為兩個(gè)幾何體，其中較小部分是一個(gè)三棱錐A1-ABD，其中底面△ABD是腰長為a的等腰直角三角形，其面積S＝12×AB×AD＝12a底面ABD上的高為h＝AA1＝a．所以其體積V1＝13Sh＝13×12a2×a＝1正方體的體積V＝a3，所以V2＝V－V1＝a3－16a3＝56a所以V1∶V2＝1∶5．母題探究解：三棱錐A1-ABD與三棱錐A-A1BD是同一個(gè)幾何體．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝2a，取BD的中點(diǎn)H，連接A1H，則A1H⊥BD，BH＝HD＝12BD＝22所以A1H＝A1B2-BH則△A1BD的面積S2＝12BD·A1H＝12×2a×62a因?yàn)閂A1-即16a3＝13S2·所以16a3＝13×32a2解得d＝33a，即點(diǎn)A到平面A1BD的距離為33跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：設(shè)三棱臺(tái)的高為h，S△ABC＝S，則S△A1B∴VA1-ABC＝13S△ABC·VC-A1B1C1又V臺(tái)＝13h(S＋4S＋2S)＝73∴VB-＝73Sh－Sh3－4Sh∴三棱錐A1-ABC，B-A1B1C與C-A1B1C1的體積比為1∶2∶4．例3解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8(m)．因?yàn)锳1B1＝AB＝6(m)，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐＝13·A1B12·PO1＝13×62×2＝24(m3)，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉庫的容積V＝V錐跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：所求凸多面體的表面積是兩個(gè)底面邊長為1，高為22的四棱錐的側(cè)面積之和，如圖，四棱錐的側(cè)棱長l＝222所以，以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的表面積S＝8×12×1×1×sin60°＝23因?yàn)橐哉襟w各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體是由兩個(gè)全等的正四棱錐組合而成，該棱錐的高是正方體棱長的一半，底面面積是正方體一個(gè)面面積的一半，則該凸多面體的體積為V＝2×13×12×2×[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]1．B[設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．]2．A[棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，高h(yuǎn)＝52-8-222＝4,∴一個(gè)側(cè)面積S′＝12(2＋8)×4＝20，∴該棱臺(tái)的表面積為：S＝20×4＋2×23．16[VD1-EDF＝VF-DD1E＝13S△D4．2418＋641[如圖，∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長為32cm，∴S正方形ABCD＝18cm2．連接AC，BD，交于點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥底面ABCD，OC＝12AC＝12×32×又棱長PC＝5cm，