高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題(新高考地區(qū)專用)考向14導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用(重點(diǎn))(原卷版+解析)

考向14導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【2022·全國(guó)·高考真題】曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．答案：

【解析】分析：分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；【2022·全國(guó)·高考真題】若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．答案：【解析】分析：設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo)．注意以下幾點(diǎn)：連乘形式則先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．（2）切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn)．（3）曲線“在”點(diǎn)處的切線與“過”點(diǎn)的切線的區(qū)別：曲線在點(diǎn)處的切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點(diǎn)的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條．3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．4．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．1．在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2．過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1．概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．2．幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3．物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：1．(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．2．(2023·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象在處的切線對(duì)應(yīng)的傾斜角為，則sin2=（

）A． B．± C． D．±3．(2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．(2023·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．11．(2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖是網(wǎng)絡(luò)上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可導(dǎo)”的諧音生動(dòng)形象地說明了高等數(shù)學(xué)中“連續(xù)”和“可導(dǎo)”兩個(gè)概念之間的關(guān)系．根據(jù)該表情包的說法，在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．(2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B． C． D．3．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)時(shí)，切線的條數(shù)是（

）A． B． C． D．4．(2023·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．135．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．6．(2023·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函數(shù)為“自重合”函數(shù).下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是“自重合”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．7．(2023·山東濰坊·三模）過點(diǎn)有條直線與函數(shù)的圖像相切，當(dāng)取最大值時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（多選題）(2023·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，，直線與曲線相切，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．9．（多選題）(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線兩條互相垂直的切線，切點(diǎn)為P1、P2(P1、P2不重合），設(shè)直線分別與y軸交于點(diǎn)A，B，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P1、P2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值B．直線P1P2的斜率為定值C．線段AB的長(zhǎng)度為定值D．三角形ABP面積的取值范圍為(0，1]10．（多選題）(2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)、，當(dāng)變化時(shí)，記點(diǎn)構(gòu)成的曲線為，點(diǎn)構(gòu)成的曲線為，則（

）A．曲線恒在軸上方B．曲線與有唯一公共點(diǎn)C．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)D．存在實(shí)數(shù)，使得曲線、分布在直線兩側(cè)11．(2023·全國(guó)·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)________．12．(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值為___________.13．(2023·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的：___________.①在上單調(diào)遞減；②曲線存在斜率為的切線.14．(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，請(qǐng)寫出與的一條公切線的方程______．15．(2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在一條直線同時(shí)與兩個(gè)函數(shù)圖象相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________．16．(2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線方程為____________．若該切線與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是____________．1．（2023·全國(guó)·高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）參考答案A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+3．（2023·全國(guó)·高考真題（理））函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．4．(2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線5．(2023·全國(guó)·高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．6．(2023·全國(guó)·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．8．（2023·全國(guó)·高考真題（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．9．（2023·全國(guó)·高考真題（文））曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.10．(2023·全國(guó)·高考真題（文））已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．11．（2023·全國(guó)·高考真題（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．12．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．1．答案：C【解析】，，曲線在點(diǎn)（2，2）處的切線方程為，即．故選：C.2．答案：C【解析】因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴．故選：C.3．答案：D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，所以對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)任意恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以a的取值范圍是．故選：D．4．答案：A【解析】由切點(diǎn)在曲線上，得①；由切點(diǎn)在切線上，得②；對(duì)曲線求導(dǎo)得，∴，即③，聯(lián)立①②③，解之得故選：A.1．答案：B【解析】由“連續(xù)不一定可導(dǎo)”知，“在處連續(xù)”不能推出“在處可導(dǎo)”,比如函數(shù)在處連續(xù)，但是在處不可導(dǎo)；由“可導(dǎo)一定連續(xù)”知，“在處可導(dǎo)”可以推出“在處連續(xù)”.因此在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的必要不充分條件答案選：B2．答案：A【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，故切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以代入切線方程得，則關(guān)于t的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則或，所以當(dāng)，時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，且時(shí)，，時(shí)，，所以只需，解得故選：A3．答案：D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，切線斜率，切線方程為：；又切線過，；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，恒成立，可得圖象如下圖所示，則當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，切線的條數(shù)為條.故選：D.4．答案：B【解析】設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，由切線的方程可得切線的斜率為1，令，則，故切點(diǎn)為，代入，得，、為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值9，故選：B5．答案：B【解析】，，設(shè)公切線與的圖象切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，∴，故，所以，∴，∵，故，設(shè)，則，∴在上遞增，在上遞減，∴，∴實(shí)數(shù)a的最大值為e故選：B.6．答案：D【解析】對(duì)于A，C，函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除.若曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則首先要保證兩點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相同；對(duì)于B，，若斜率相同，則切點(diǎn)，，代入解得切線方程分別為，；若切線重合，則，此時(shí)兩切點(diǎn)，為同一點(diǎn)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令得，則取，切線均為，即存在不同的兩點(diǎn)，使得切線重合，故D正確.故選：D．7．答案：B【解析】由，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，結(jié)合圖象易得，過點(diǎn)至多有3條直線與函數(shù)的圖像相切，故.此時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得，存在三條切線即函數(shù)有三個(gè)不同的根，又，易得在上，，單調(diào)遞增；在和上，，單調(diào)遞減，畫出圖象可得當(dāng)，即時(shí)符合題意故選：B8．答案：ACD【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，，即，?duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故B不正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，由可知D正確.故選：ACD9．答案：ABC【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，且，若時(shí)，直線，的斜率分別為，，此時(shí)，不合題意；若時(shí)，則直線，的斜率分別為，，此時(shí)，不合題意.所以或，則，，由題意可得，可得，若，則；若，則，不合題意，所以，選項(xiàng)A對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，易知點(diǎn)，，所以，直線的斜率為，選項(xiàng)B對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，直線的方程為，令可得，即點(diǎn)，直線的方程為，令可得，即點(diǎn)，所以，，選項(xiàng)C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立可得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，，選項(xiàng)D錯(cuò).故選：ABC.10．答案：AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，令可得或，因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)、，則，即.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，則曲線為函數(shù)的圖象以及射線，且當(dāng)時(shí)，，所以，曲線在軸上方，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則所以，曲線為函數(shù)的圖象以及射線，由圖可知，曲線、無(wú)公共點(diǎn)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線沒有公共點(diǎn)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，則，又因?yàn)?，所以，曲線在處的切線方程為，即.構(gòu)造函數(shù)，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，曲線、分布在直線的兩側(cè)，D對(duì).故選：AD.11．答案：1【解析】設(shè)函數(shù)，的公共點(diǎn)為，則即則．令，易得在上單調(diào)遞增，所以以由，解得，所以切點(diǎn)為，所以，則．故答案為：1.12．答案：8【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則解得所以，即則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).故答案為：813．答案：（答案不唯一）【解析】若同時(shí)滿足所給的兩個(gè)條件，則對(duì)恒成立，解得：，即，且在上有解，即在上有解，由函數(shù)的單調(diào)性可解得：.所以.則（答案不唯一，只要滿足（即可）故答案為：14．答案：或【解析】設(shè)公切線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，公切線斜率；公切線方程為：或，整理可得：或，，即，，解得：或，公切線方程為：或.故答案為：或.15．答案：【解析】數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)，存在一條直線同時(shí)與兩函數(shù)圖象相切；當(dāng)，若存在一條直線同時(shí)與兩函數(shù)圖象相切，則時(shí)，有解，所以，令，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，且在上恒成立，所以，即．故答案為：16．答案：

【解析】切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，所以切線l方程為．函數(shù)，即過點(diǎn)，當(dāng)切線l過點(diǎn)時(shí)，切線l與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，將其代入切線l方程得；當(dāng)切線l與（）相切時(shí)直線與函數(shù)的圖象只有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)切線l：與（）在處相切，，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入切線方程解得，因此直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，．故答案為：；1．答案：D【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.2．答案：D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.3．答案：B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.4．（多選題）答案：AC【解析】由題，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．答案：

【解析】解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；6．答案：【解析】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：7．答案：【解析】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：8．答案：【解析】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．9．答案：【解析】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，所求的切線方程為，即.故答案為：.10．【解析】(1)由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；(2)，則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?11．【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.12．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法

．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，不妨設(shè)，，令，則．令，則面積為，只需求出的最小值．．因?yàn)?，所以令，得．隨著a的變化，的變化情況如下表：a0減極小值增所以．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)，即時(shí)，．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為32．[方法四]：兩次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅱ）的方法一直接對(duì)面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡(jiǎn)潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識(shí)最少，配湊巧妙，技巧性較高.考向14導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【2022·全國(guó)·高考真題】曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．答案：

【解析】分析：分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；【2022·全國(guó)·高考真題】若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．答案：【解析】分析：設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：1．求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo)．注意以下幾點(diǎn)：連乘形式則先展開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元2．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：（1）函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo)．（2）切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn)．（3）曲線“在”點(diǎn)處的切線與“過”點(diǎn)的切線的區(qū)別：曲線在點(diǎn)處的切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為，是唯一的一條切線；曲線過點(diǎn)的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可能有多條．3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．4．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．1．在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2．過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1．概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．2．幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3．物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：1．(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】，，曲線在點(diǎn)（2，2）處的切線方程為，即．故選：C.2．(2023·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象在處的切線對(duì)應(yīng)的傾斜角為，則sin2=（

）A． B．± C． D．±答案：C【解析】因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴．故選：C.3．(2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，所以對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)任意恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以a的取值范圍是．故選：D．4．(2023·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．1答案：A【解析】由切點(diǎn)在曲線上，得①；由切點(diǎn)在切線上，得②；對(duì)曲線求導(dǎo)得，∴，即③，聯(lián)立①②③，解之得故選：A.1．(2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖是網(wǎng)絡(luò)上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可導(dǎo)”的諧音生動(dòng)形象地說明了高等數(shù)學(xué)中“連續(xù)”和“可導(dǎo)”兩個(gè)概念之間的關(guān)系．根據(jù)該表情包的說法，在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B【解析】由“連續(xù)不一定可導(dǎo)”知，“在處連續(xù)”不能推出“在處可導(dǎo)”,比如函數(shù)在處連續(xù)，但是在處不可導(dǎo)；由“可導(dǎo)一定連續(xù)”知，“在處可導(dǎo)”可以推出“在處連續(xù)”.因此在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的必要不充分條件答案選：B2．(2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，故切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以代入切線方程得，則關(guān)于t的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則或，所以當(dāng)，時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，且時(shí)，，時(shí)，，所以只需，解得故選：A3．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)時(shí)，切線的條數(shù)是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，切線斜率，切線方程為：；又切線過，；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，恒成立，可得圖象如下圖所示，則當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同的解，切線的條數(shù)為條.故選：D.4．(2023·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．13答案：B【解析】設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，由切線的方程可得切線的斜率為1，令，則，故切點(diǎn)為，代入，得，、為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取得最小值9，故選：B5．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)與的圖象存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，設(shè)公切線與的圖象切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，∴，故，所以，∴，∵，故，設(shè)，則，∴在上遞增，在上遞減，∴，∴實(shí)數(shù)a的最大值為e故選：B.6．(2023·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函數(shù)為“自重合”函數(shù).下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是“自重合”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】對(duì)于A，C，函數(shù)都不是奇函數(shù)，故排除.若曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則首先要保證兩點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相同；對(duì)于B，，若斜率相同，則切點(diǎn)，，代入解得切線方程分別為，；若切線重合，則，此時(shí)兩切點(diǎn)，為同一點(diǎn)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令得，則取，切線均為，即存在不同的兩點(diǎn)，使得切線重合，故D正確.故選：D．7．(2023·山東濰坊·三模）過點(diǎn)有條直線與函數(shù)的圖像相切，當(dāng)取最大值時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，結(jié)合圖象易得，過點(diǎn)至多有3條直線與函數(shù)的圖像相切，故.此時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得，存在三條切線即函數(shù)有三個(gè)不同的根，又，易得在上，，單調(diào)遞增；在和上，，單調(diào)遞減，畫出圖象可得當(dāng)，即時(shí)符合題意故選：B8．（多選題）(2023·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，，直線與曲線相切，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．答案：ACD【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，解得，，即，?duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故B不正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，由可知D正確.故選：ACD9．（多選題）(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線兩條互相垂直的切線，切點(diǎn)為P1、P2(P1、P2不重合），設(shè)直線分別與y軸交于點(diǎn)A，B，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P1、P2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值B．直線P1P2的斜率為定值C．線段AB的長(zhǎng)度為定值D．三角形ABP面積的取值范圍為(0，1]答案：ABC【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，且，若時(shí)，直線，的斜率分別為，，此時(shí)，不合題意；若時(shí)，則直線，的斜率分別為，，此時(shí)，不合題意.所以或，則，，由題意可得，可得，若，則；若，則，不合題意，所以，選項(xiàng)A對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，易知點(diǎn)，，所以，直線的斜率為，選項(xiàng)B對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，直線的方程為，令可得，即點(diǎn)，直線的方程為，令可得，即點(diǎn)，所以，，選項(xiàng)C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立可得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，，選項(xiàng)D錯(cuò).故選：ABC.10．（多選題）(2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)、，當(dāng)變化時(shí)，記點(diǎn)構(gòu)成的曲線為，點(diǎn)構(gòu)成的曲線為，則（

）A．曲線恒在軸上方B．曲線與有唯一公共點(diǎn)C．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)D．存在實(shí)數(shù)，使得曲線、分布在直線兩側(cè)答案：AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，令可得或，因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)、，則，即.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，則曲線為函數(shù)的圖象以及射線，且當(dāng)時(shí)，，所以，曲線在軸上方，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則所以，曲線為函數(shù)的圖象以及射線，由圖可知，曲線、無(wú)公共點(diǎn)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線沒有公共點(diǎn)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)，，則，又因?yàn)椋?，曲線在處的切線方程為，即.構(gòu)造函數(shù)，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，曲線、分布在直線的兩側(cè)，D對(duì).故選：AD.11．(2023·全國(guó)·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)，，若曲線與曲線在公共點(diǎn)處的切線相同，則實(shí)數(shù)________．答案：1【解析】設(shè)函數(shù)，的公共點(diǎn)為，則即則．令，易得在上單調(diào)遞增，所以以由，解得，所以切點(diǎn)為，所以，則．故答案為：1.12．(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，，直線與曲線相切，則的最小值為___________.答案：8【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則解得所以，即則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào).故答案為：813．(2023·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的：___________.①在上單調(diào)遞減；②曲線存在斜率為的切線.答案：（答案不唯一）【解析】若同時(shí)滿足所給的兩個(gè)條件，則對(duì)恒成立，解得：，即，且在上有解，即在上有解，由函數(shù)的單調(diào)性可解得：.所以.則（答案不唯一，只要滿足（即可）故答案為：14．(2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，請(qǐng)寫出與的一條公切線的方程______．答案：或【解析】設(shè)公切線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，公切線斜率；公切線方程為：或，整理可得：或，，即，，解得：或，公切線方程為：或.故答案為：或.15．(2023·山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在一條直線同時(shí)與兩個(gè)函數(shù)圖象相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________．答案：【解析】數(shù)形結(jié)合可得：當(dāng)，存在一條直線同時(shí)與兩函數(shù)圖象相切；當(dāng)，若存在一條直線同時(shí)與兩函數(shù)圖象相切，則時(shí)，有解，所以，令，因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，且在上恒成立，所以，即．故答案為：16．(2023·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線方程為____________．若該切線與的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是____________．答案：

【解析】切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，所以切線l方程為．函數(shù)，即過點(diǎn)，當(dāng)切線l過點(diǎn)時(shí)，切線l與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，將其代入切線l方程得；當(dāng)切線l與（）相切時(shí)直線與函數(shù)的圖象只有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)切線l：與（）在處相切，，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入切線方程解得，因此直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，．故答案為：；1．（2023·全國(guó)·高考真題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點(diǎn)睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)特性進(jìn)行估計(jì)，解法二是根據(jù)基于對(duì)指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.2．（2023·全國(guó)·高考真題（理））若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+答案：D【解析】分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.3．（2023·全國(guó)·高考真題（理））函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4．（多選題）(2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線答案：AC【解析】分析：利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．(2023·全國(guó)·高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．答案：

【解析】分析：分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；6．(2023·全國(guó)·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．答案：【解析】分析：設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．答案：【解析】分析：結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.8．（2023·全國(guó)·高考真題（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．答案：【解析】分析：先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．9．（2023·全國(guó)·高考真題（文））曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為______________.答案：【解析】分析：設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.【