2021屆山西省八校高三上學(xué)期12月聯(lián)考(12月4日)數(shù)學(xué)(理)試題

4444山西省八校2021屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考（12月4日）數(shù)學(xué)試題（理科）考生注意：1?本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分?考試時(shí)間120分鐘.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容（除計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)量變及其分布、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例）.第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A=tx||x-1|<3),B=(x|x2-4x-5<°},則AB=()A.lx—2<x<-1A.lx—2<x<-1}D.(x4<x<5}C.fxD.(x4<x<5}2.若復(fù)數(shù)z=3+（a—1）i（a&R）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x+2上，則a二（）A.1B.2C.5D.63.命題“對(duì)任意x>0，都有x+ex>0”的否定為（）A.對(duì)任意A.對(duì)任意x>0，都有x+ex<0B.對(duì)任意x<0，都有x+ex<0C.存在C.存在x>0，使得x+ex<0D.存在x<0，使得x+ex<04?己知函數(shù)f（x）=〔爲(wèi)1）:社，則不等式f床-x2）>f（5x）的解集是（）A.(A.(-8,-6)(1,+8)C.(-1,6)UB.(-8,-1)(6,+8)D.(-6,1)U'x+3y>05.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件<x—y+2>0，則z=x5.若實(shí)數(shù)x，3x+y-8>0

A.[-1,5]B.[-1,2]A.[-1,5]B.[-1,2]6.已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若(9A+OB)AB=(OB+OC)?BC=0,AB=6,AC=4，則A.-5B.-10C.10D.5AO-BCA.-5B.-10C.10D.58.下列函數(shù)圖象不可能是函數(shù)f（x）=xaeX（8.下列函數(shù)圖象不可能是函數(shù)f（x）=xaeX（a&Z）的圖象的是（）y09.已知p：A=]x|—<，q1—xtx|x—a<o},若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（2,+s）b.b,+8)X各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱ABC-A*中，已知M是棱BBi的中點(diǎn)，N是棱AC的中點(diǎn)，則異面直線AM與BN所成角的正切值為（）1D?亍A.73D?亍10.如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為m，11.11.如圖，過(guò)拋物線y2二4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為?的直線l,l與拋物線及其準(zhǔn)線從上到下依次交于A,B,<兀）的部分圖象如圖所示，若存在0<學(xué)，滿足f（也f<兀）的部分圖象如圖所示，若存在0<學(xué)，滿足f（也fgL4，則cos(x-x)=()123B.一43D.4第II卷、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.AFBC■—九，?—九,BF1BF2C點(diǎn)，令兀aa則當(dāng)a=評(píng)，”的值為（）12.已知函數(shù)f(x)=sin(①x+申)(9>0,|^|13.已知S是等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，a=-2，a=16，則S=n586J416-x2x^dx=.-4占的零點(diǎn)分別為&x2占的零點(diǎn)分別為&x2（x1<^），函數(shù)g（x）=I3x一1一2kk+1的零點(diǎn)分別為X3,X4（X3已知3<k<1，函數(shù)零點(diǎn)分別為X3,X4（X3<x4），則（x4一x3）+（x2一打的最小值為16?已知雙曲線C:x2-寧=棱AA上是否存在點(diǎn)P，使得平面PBD丄平面ABE?若存在，求出PA的長(zhǎng)，并證明你的結(jié)論；若1不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.棱AA上是否存在點(diǎn)P，使得平面PBD丄平面ABE?若存在，求出PA的長(zhǎng)，并證明你的結(jié)論；若1不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.長(zhǎng)是9,動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，則AMFP面積的取值范圍是.1三、解答題：本大題共6小題，共70分?解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.一)必考題：共60分.117.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且a1求二面角A-BE-D的余弦值.20.已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C求二面角A-BE-D的余弦值.20.已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(/3,o),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)Mh羋.<2丿求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l:y=kx+m(k<0,m>0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且與圓x2+y2=1相切，試探究AABF的周長(zhǎng)是否為定值?若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.2A+c求sin2+cos2B的值；2若b=2，求△ABC面積的最大值.18.已知數(shù)列｛a｝中，a=1,a二CgN*).n1n+1a+3n1(1)證明：數(shù)列<一+十是等比數(shù)列.a2n(2)若數(shù)列｛(2)若數(shù)列｛b｝滿足b二nnnG"-1)-a2nn求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和T.nn19.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=BC=AA=1,AC=23，點(diǎn)D,E分別為AC和BC的111111中點(diǎn).

21.已知函數(shù)f(x)二Inx.1設(shè)函數(shù)t(x)=一x2-(a+2)x+2af(x)，討論t(x)的單調(diào)性.2函數(shù)g(x)=x3(x>0)的圖象在點(diǎn)P處的切線為l，是否存在這樣的點(diǎn)P使得直線l與曲線y二f(x)也相切？若存在，判斷滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］1x二t+-在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P是曲線C:i、(t為參數(shù))上的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn),1y=2It--2sin9一3cos2sin9一3cos9x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C一的極坐標(biāo)方程為P=⑴求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)Q在曲線C上，求|PQ|的最小值以及取得最小值時(shí)P的直角坐標(biāo).［選修4—5:不等式選講］設(shè)函數(shù)f設(shè)函數(shù)f(x)二x-一a+|x+a|(a>0).證明：f(x)>2運(yùn).當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)<3恒成立，求a的取值范圍.高三數(shù)學(xué)試題參考答案(理科)一、選擇題B依題意可得A=(x|-2<x<4)，B={x|-1<x<5}，所以AB=lx|-1<x<4)，故選B.D復(fù)數(shù)z=3+(a-1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(3,a-1)在直線y二x+2上,a-1=3+2，a=6，故選D.C命題的否定為存在x>0，使得x+ex<0,故選C.D由題知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則6-x2>5x，解得-6<x<1，故選D.D畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示，作出直線x+y二0并平移?易知目標(biāo)函數(shù)z=x+y在點(diǎn)A處取Ix+3y二0Ix二3得最小值，沒(méi)有最大值聯(lián)立h+y-8二0，解得［y―此時(shí)x+y二2，所以Z=x+y的取值范圍為

[2,+8[2,+8），故選D.0B由已知得，（OA+OB）-（OB-OA）=（OB+OC）-（OC-OB）=0oOB2-OA2二OC2-OB2二0o|OA卜〔OB卜pc]，則O為△ABC的外心.設(shè)OD丄AB,OE丄AC,垂足分別為D,E（圖略）.根據(jù)兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義，可知AO-BC=AO-（AC-AB）=ao^ac-ao石=|ac|-|ad|-|阿=-尬故選B.C如圖，取AA的中點(diǎn)P璉接PN,PB.由直三棱柱的性質(zhì)可知AM//PB，則ZPBN為異面直線AM111與BN所成的角（或其補(bǔ)角）.設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2,則PN=邁，PB=€5，BN=^3，所以PN2+BNPN2+BN2=PB2，所以ZPNB=90。.在RtAPBN中，tanZPBN=PN=扭=76BN—右=丁故選C.8.C對(duì)于A，圖象中函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)是偶函數(shù)，則當(dāng)Q為正偶數(shù)時(shí)，滿足對(duì)應(yīng)圖象；對(duì)于B,圖象中函數(shù)的定義域?yàn)椋▁x主0）,函數(shù)是偶函數(shù)，則當(dāng)Q為負(fù)偶數(shù)時(shí)，滿足對(duì)應(yīng)圖象；對(duì)于C,圖象中函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，遞增的速度越來(lái)越慢，沒(méi)有符合條件的Q；對(duì)于D,圖象中函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，遞增的速度越來(lái)越快，則驢為正奇數(shù)時(shí)，滿足對(duì)應(yīng)圖象故選C.9.DTA=tx|(x—2)(x—1)>0且x主1}=tx|x>2或x<1},B=tx|x<a},又p是q的必要不充分條件,

9.DTA=???BA.由數(shù)軸可得a<1，故選D.10.A球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，所以圓柱的體積「冗R2x2R=2冗R3，球的10.A體積V=4—R3，所以m=#=4—RL=2.又圓柱的表面積為S=2—Rx2R+2—R2=6—R2，球的表(m116(11—x2-一一=x2-一一Vnx丿Vx丿6，其常數(shù)項(xiàng)為6—R23m6，其常數(shù)項(xiàng)為6—R23m=1，nS面積為S=4兀R2,所以n=s1=211.C設(shè)A（xi，人），11.C設(shè)A（xi，人），B（x2,打），則AB=x+x+2=16sin60。310p2x+x=.^又xx==1，123124可得珂=3,凹==，=岀=3BF同理可得冊(cè)="22，所以九1以212.B由圖象知函數(shù)的周期T=12.B由圖象知函數(shù)的周期T=2(13兀1212丿=兀12122（12122（5—、=sin(2X5—+9IV6丿V6丿.??5—+9=2k—+3—,32keZ.?91<兀，?：9=—keZ.?91<兀，?：9=——，f(x)=sin2x——.6丿3<x<—，滿足f(x)=f(x)=,2——11——.—<2x—<，則e=2x—，06166???條件存在0<x124——=2x-關(guān)于片對(duì)稱,262(2x-—1(—、+(2xV16丿V26丿兀2得x2丁—x1'且sin2x一一V16丿22—1則cos(x—x)=cos2x—12宀兀宀兀^3設(shè)2x—=a，則2x=+a，即sina=，16164

（2兀）（兀2兀）cos=cos—+a—113丿163丿=sina=3，故選B.4則cos(x—x)=12二、填空題13.21?/{a}為等比數(shù)列,8?a85a=aq4，51?a1_—2_168，.S6aG—q6)-8[1-二、填空題13.21?/{a}為等比數(shù)列,8?a85a=aq4，51?a1_—2_168，.S6aG—q6)-8[1-(-2)61—q1+2=21=~814.8兀因?yàn)镴4(；'16-x2—xL=J4p‘16-x2dx—J4xdx，而14￡16-x2dx由定積分的幾何意義知其為—4—4—4—4半徑為4的半圓，面積為8兀，14xdx=善—42=0，所以J4J16-x2dx=8兀.—4—4I5「十c、k1nk2k+115.log因?yàn)閤<x，所以3x]=1—=，3x2=1+3212k+1k+1丄，3一=1+丄，

2k+12k+1=3k+1=k+1，又因?yàn)閤3<X4，所以3X3=1-所以3x2-專=2k+1，3x4-x3所以3(x4-X3M2-X1)=(2k+1)(3k+1).令k+1=t，te3,2)，則k=t—1,t4,2丿L3丿>0,h4,2］上單調(diào)遞增,3丿所以h(t)et4,2丿L3丿>0,h4,2］上單調(diào)遞增,3丿所以h(t)e[2,6丿，3(x4-x3)+(x2-xi)e[2,6丿，故(x—x)+(x—x)elog5,log6_2丿_2丿4321L323丿16.???M是雙曲線C左支上的點(diǎn)，..|MF|—|MF|=-.???△MFF的周長(zhǎng)是9,12.??|MF|+\MF\+|FF|=9.FF127MFJ=2設(shè)M(x0,y0)，則|MF|=MX。+2)2+y2==也+2匕+3xj-3=2，解得xo=-3；30=±計(jì)?根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性,不妨取y=半，則m—404，.kMF1=訂，???直線MF的方程為y=J3（x+2）.???直線MF與11所以(2k+1)(3k+D=(2t-1)(3t-2)=6t+2—7.t6t2—2，則h'(t)=6——=—-t2t2漸近線y=展平行，???雙曲線C的右支上任意一點(diǎn)到直線吧的距離都大于兩平行線間的距離，即都大于訐，?:s〉2吟"=343-三、解答題17.解：（1）在AABC中，由余弦定理可知a2+c2-b2=2accosB,11由題意知a2+c2-b2=ac，?:cosB=一.24A+C冗B又在AABC中，A+B+C=兀，?：sin2+cos2B=sin2-22+cos2BB1+cosBcosB1=cos2+cos2B=+2cos2B-1=2cos2B+一2221A+C又cosB=一，?：sin2一421+cos2B=——41(2)Tb=2,a2+c2-b2=ac,2.??a2+c2-4=1ac,218

即一ac>2ac-4，?:ac<.231?/cosB=一，?：sinB=一44o1.廠1871?S=ac-sinB<—x—x——

△ABC2234<15△ABC面積的最大值為3?18.（1）證明：由an+1an-a+3n)1eN*丿，知——an+11——+—a2丿n113又——+2=2，a2211<+—a2

n＞是以2為首項(xiàng)'3為公比的等比數(shù)列.2）解：由（1）n3n-1nT=1x—+2x—+3x—++(n-1)x1222021T11n=1X—+2X——+2212211+(n—1)x+nx-,2n-12n2n-111n=+++22o2122n+2???T=4-n兩式相減得卩1+丄-n丄=2-出2n-12n2n-13319.解：(1)存在點(diǎn)P滿足題意，且PA=-.4證明如下：如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接EF,AF,DF,11則EF//AB//AB，?:AFu平面ABE.11???AB=BC,D是AC的中點(diǎn)，???BD丄AC.在直三棱柱ABC-ABC中，平面ABC丄平面AACC，且交線為AC,11111???BD丄平面AACC，?:BD丄AF.11在平面Ai在平面AiACCi內(nèi),AP_ADAD_DF_~TZPAD_ZADF_90。，.??RtAPADRtAADF，從而可得AF丄PD.又?PDBD_D，?:AF丄平面PBD.?/AFu平面ABE，?:平面PBD丄平面ABE.(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB，DC，DF所在直線分別為x，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則＜m-則＜m-AB44v32y+z_0?_0B'丄,0,0、，A:0,-6、，Ef17311L2J12丿（44丿易知D（0,0,0）,BE_【一1逅!1,51，AB_［晅01，DB_f11—,0,044丿\丿22\2丿L2丿設(shè)平面ABE的法向量為m_(x,y,z),取y_2，得m_（-^*'3,2,一翦）,同理可求得平面BDE同理可求得平面BDE的一個(gè)法向量為n_m-n8+311貝卩cos〈m,n）__——_——'!mnJ12+4+3x*齊319-—?.:其余弦值為市19由圖可知二面角鼻一BE-D.:其余弦值為市19?—?20.解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+由題可知另一個(gè)焦點(diǎn)為F'a2b2.由橢圓的定義可知|MF|+\MF'|=：(1-J3)2+(1+打)2+2=4=2a,因?yàn)閏=J3且b2=a2-c2,所以b=1,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為才+y2=1.(2)因?yàn)橹本€l:y=kx+m(k<0,m>0)與圓x2+y2=1相切,所以——==1，即m2=1+k2.1+k2設(shè)Aq,人），B（設(shè)Aq,人），B（x2,打），聯(lián)立＜x2，消去y整理得—+y2=1I4(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，所以A=16(4k2-m2+1)=48k2>0,8km4m2-4x+x=—，xx=124k2+1124k2+1所以AB=J1+k+x所以AB=J1+k+xT2-4xx212=鈕2+1-m2舞罟<4k2-m2+1，=2-邑,21J3同理阿=2Px2'所以|AF|+|BF|二4-+x)=4+所以|AF|+|BF|二4-224k2+14k2+1所以|AF|+|BF|+|AB=4+需-黔=4'故AABF的周長(zhǎng)為定值4.121.解：(1)因?yàn)閠(x)=x2—(a+2)x+2alnx，22a(x—2)(x—a)所以t(x)=x—(a+2)+=xx所以①當(dāng)a<0時(shí)，t(x)在(0,2］上為減函數(shù)，在b,+8)為增函數(shù);②當(dāng)0<a<2時(shí)，t(x)在(0,a］上為增函數(shù)，在4,2〕上為減函數(shù)，在［2,+8)上為增函數(shù);③當(dāng)a=2時(shí)，t(x)在(0,)上為增函數(shù);④當(dāng)a>2時(shí)，t(x)在(0,2］上為增函數(shù)，在b,a］上為減函數(shù)，在［a,+8)上為增函數(shù).⑵設(shè)P(x,x3)(x>0).000因?yàn)間'(x)=3x2，所以g(x)=3x2，00所以直線1的方程為y—x3=3x2(x—x)，即y=3x2x—2x3①.00000假設(shè)直線1與/(x)的圖象也相切，切點(diǎn)為(x,lnx).11因?yàn)閒(x)=，所以f(x)=-,x1x1所以直線l的方程也可以寫(xiě)為y-Inx=—(x—x所以直線l的方程也可以寫(xiě)為y-Inx111乂因?yàn)?x2=，即x=—0x13x210所以直線1的方程為y所以直線1的方程為y-l