初中數(shù)學(xué)知識總結(jié)1

初中數(shù)學(xué)知識精煉

會寧縣第五中學(xué)

會寧會師紀(jì)念館

姓名：高維儒

地址：蘭州交通大學(xué)

2010年5月28日

迂

交大學(xué)子家教

第一節(jié)基本知識

㈠、數(shù)與代數(shù)

A.數(shù)與式：

1、有理數(shù)

1）有理數(shù)：①整數(shù)一正整數(shù)/0/負(fù)整數(shù)

②分?jǐn)?shù)一正分?jǐn)?shù)/負(fù)分?jǐn)?shù)

2）數(shù)軸：①規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸。②任何一個有理

數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示。③只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)。在

數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)距離相等。

④數(shù)軸上兩個點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,

正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

3）絕對值：

①在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值。

②正數(shù)的絕對值是他的本身、負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)、0的絕對值

是0。兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。

4）有理數(shù)的運(yùn)算：

a.加法：①同號相加，取相同的符號，把絕對值相加。②異號相加，絕

對值相等時和為0;絕對值不等時，取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較

大的絕對值減去較小的絕對值。③一個數(shù)與0相加不變。

I―咸法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

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「.乘法：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。②任何數(shù)與

0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。

d.除法：①除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。

e.乘方：求N個相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫暴，A

叫底數(shù)，N叫次數(shù)。

「.混合順J也先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里

的。

2、實(shí)數(shù)

1）無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

2）實(shí)數(shù)：

①實(shí)數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)。

②在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反

數(shù)，倒數(shù)，絕對值的意義完全一樣。

③每一個實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示。

3）平方根：

①如果一個正數(shù)X的平方等于A,那么這個正數(shù)X就叫做A的算術(shù)平方

根。

②如果一個數(shù)X的平方等于A,那么這個數(shù)X就叫做A的平方根。

③一個正數(shù)有2個平方根/0的平方根為0/負(fù)數(shù)沒有平方根。

④求一個數(shù)A的平方根運(yùn)算，叫做開平方，其中A叫做被開方數(shù)。

4）立方根：

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①如果一個數(shù)X的立方等于A,那么這個數(shù)X就叫做A的立方根。

②正數(shù)的立方根是正數(shù)、0的立方根是0、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

③求一個數(shù)A的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中A叫做被開方數(shù)。

3、代數(shù)式

1)代數(shù)式：用運(yùn)算符號把數(shù)字和字母連接而成的式子叫代數(shù)式，單獨(dú)一個數(shù)或者

一個字母也是代數(shù)式。

2)合并同類項(xiàng)：

①所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)。

②把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)就叫做合并同類項(xiàng)。

③在合并同類項(xiàng)時，我們把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

4^整式與分式

(1)整式：

①數(shù)與字母的乘積和字母與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個

數(shù)字或字母也是一個單項(xiàng)式；兒個單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式；單項(xiàng)式和多項(xiàng)

式統(tǒng)稱整式。

②一個單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù)。

③一個多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個多項(xiàng)式的次數(shù)。

1》整式運(yùn)算：加減運(yùn)算時，如果遇到括號先去括號，再合并同類項(xiàng)。

a.運(yùn)―法則:AM+AN=A(M+N);(AM)N=AMN;(A/B)N=AN/BN

b.整式的乘法：

①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的籍分別相乘，其余

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字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。

②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),

再把所得的積相加。

③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個多項(xiàng)式的

每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

④公式兩條：

平方差公式:a2-b?=(a+b)(a-b)

完全平方公式：(a+tOJa'+Zab+b。；(a-b)2=a2-2ab+b''

c.整式的除法：

①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)，同底數(shù)基分別相除后，作為商的因式；對于只

在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式。

②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把

所得的商相加。

2＞分解因式：

①把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項(xiàng)式

分解因式。

②方法：提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法。

⑵分式：

①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母，那么這個就是分式，對

于任何一個分式，分母不為Oo

②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等于0的整式，分式的值不

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變。

1＞分式的運(yùn)算：

①乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。

②除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數(shù)。

③加減法：①同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。②異分

母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。

2＞.分式方程：

①分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程。

②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根。

B、方程與不等式

1、方程與方程組

1＞一元一次方程：

①在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的

方程叫一元一次方程。

②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以（不為0）一個代數(shù)式，所得

結(jié)果仍是等式。

③解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化

為10

2＞二元一次方程：

含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次

方程。

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3＞二元一次方程組：

①兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

②適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的

一個解。

③二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解。

④解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法。

4＞一元二次方程：

①只有個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2的方程

②一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系:二次函數(shù)函數(shù)值等于零時就得到了

對應(yīng)的一元二次方程；二次函數(shù)的圖像與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二

次方程的解。

③一元二次方程的解法

㈠)配方法:利用配方，使方程變?yōu)橥耆椒焦?，在用直接開平方法去

求出解

(b)分解囚式法:利用提取公因式法或公式法或十字相乘法把方程化為兩

個乘積的形式去解

(c)公式法:方程的根X=(-b±〃2-4念、)/2a

④解一元二次方程的步驟：

(#配方法的步段：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為

1,再同時加上1次項(xiàng)的系數(shù)的?半的平方，最后配成完全平方公式

(I，)分解因?江的步驟:把方程右邊化為0,然后看看是否能用提取公因

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式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以,

就可以化為乘積的形式

（C）公式法:就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為

a,一次項(xiàng)的系數(shù)為b,常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c

⑤韋達(dá)定理:韋達(dá)定理就是在一元二次方程中，二根之和二-b/a,二根之

積飛/a（可以表示為x,+x2=-b/a,XiX2=c/a）.韋達(dá)定理，可以求出一-元二次

方程中的各系數(shù)

⑥一元二次方程根的情況：

根的判別式“△”，讀作“diaota"，A=b2-4ac,這里可以分為3種情

況：

時，一元二次方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根；

H.Z\=0時，一元二次方程有2個相同的實(shí)數(shù)根；

III.A<0時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根；

2、不等式與不等式組

1〉不等式：用符號〉，=,〈號連接的式子叫不等式。

2》不等號的方向：

①不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。

②不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。

3>不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

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②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。

4>一元一次不等式：

左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不

等式叫一元一次不等式。

5>一元一次不等式組：

①關(guān)于同一個未知數(shù)的兒個一元一次不等式合在i起，就組成了一?元一

次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一

次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

3、函數(shù)

(1)一次函數(shù)：

1>若兩個變量x,y間的關(guān)系式可以表示成丫=1^+6(b為常數(shù)，k不等于0)

的形式，則稱y是x的一次函數(shù)。特殊當(dāng)b=0時，稱y是x的正比例函數(shù)。

2》一次函數(shù)的圖象(直線)：①把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的

值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)

組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直

線。③在一次函數(shù)中，當(dāng)K<0,B〈0,則經(jīng)234象限；當(dāng)K<0,B)0時，則經(jīng)

124象限；當(dāng)K〉0,B〈0時，則經(jīng)134象限;當(dāng)K〉0,B)0時，則經(jīng)123象限。

④當(dāng)K〉0時，Y的值隨X值的增大而增大，當(dāng)X〈0時，Y的值隨X值的增大而

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減少。

⑵二次函數(shù)：

1〉若兩個變量X,y間的關(guān)系式可以表示成y=ax2+bx+c(a^0)的形式，則稱y是

x的二次函數(shù)。

2＞二次函數(shù)的表達(dá)式：

①一般式：y=ax2+bx+c(a^O)

②頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a#0)；頂點(diǎn)(h,k)

③交點(diǎn)式：y=a(x-xi)(x-x2)(awO)；交點(diǎn)(x.0)和區(qū),0)

3＞二次函數(shù)的圖像(拋物線)：①a＞0開口向上，X〉-2時y隨x的增大而增大,

2a

±

-l"y隨x的增大而減小；a〈0開口向下，x＞-2時y隨x的增大而減小,

2±a2a

-fy隨x的增大而增大；②c是與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，③頂點(diǎn)坐標(biāo)

2±a

世U),對稱軸x=-2,最值丫=皿也；與x軸的交點(diǎn)

2?4a2a4a

_2

((b±Jb-4ac)/2a,0)o

㈡空間與圖形

A、圖形的認(rèn)識

1、點(diǎn)，線，面

1＞點(diǎn)，線，面：

①圖形是由點(diǎn)，線，面構(gòu)成的。

②面與面相交得線，線與線相交得點(diǎn)。

③點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體。

2》展開與折疊：

①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側(cè)棱是相鄰兩個側(cè)面的

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交線，棱柱的所有側(cè)棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側(cè)面的形

狀都是長方體。

②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

3〉截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

4＞視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

5＞多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖

形。

6＞弧、扇形：

①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。

②圓可以分割成若干個扇形。

2、角

1＞線：

①線段有兩個端點(diǎn)。

②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點(diǎn)。

③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點(diǎn)。

④經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線。

2〉比較長短：

①兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。

②兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離。

3＞角的度量與表示：

①角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成，兩條射線的公共端點(diǎn)是這個角的

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頂點(diǎn)。

②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

4〉角的比較：

①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。

②一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，所成的角

叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。

③從一個角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條

射線叫做這個角的平分線。

4》平行：

①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

②經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。

③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

5＞垂直：

①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。

②互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。

③平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

A.垂直平分線：垂直且平分一條線段的直線叫垂直平分線，也稱中垂線。

B.垂直平分線定理：

a性質(zhì)定理：在垂直平分線上的點(diǎn)到該線段兩端點(diǎn)的距離相等；

b判定定理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這線段的垂直平分線上

6＞角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平分線。

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a性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等

b判定定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的角平分線上

7〉三角形：將三條線段依次首尾相連構(gòu)成的圖形叫三角形。

（1）三角形的元素

①四線：中線、高線、角平分線、中位線。

②四心：重心（三角形三邊中線的交點(diǎn)一與頂點(diǎn)的連線平分底邊）、

垂心（三角形三邊高線的交點(diǎn)一與頂點(diǎn)的連線垂直底邊）、

內(nèi)心（三角形三頂角角平分線的交點(diǎn)f與頂點(diǎn)的連線平分

頂角；到三角形三邊距離相等）、

外心（三角形三邊中垂線的交點(diǎn)一到三頂點(diǎn)的距離相等）。

③三頂角、六外角（一外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角之和）

（2）三角形的分類

①按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。

②按邊分：a不等腰三角形

b等腰三角形：

a〉腰與底不等的三角形

b〉腰與底相等的三角形即等邊三角形

（3）特殊三角形的特殊性質(zhì)

直角三角形：斜邊中線定理（直角三角形斜邊的中線等于斜邊的?

半），垂心在直角頂點(diǎn)處，外心在斜邊中點(diǎn)處，三邊

長滿足勾股定理，兩銳角互余。

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等腰三角形：三線合一（底邊中線、高線、角平分線三線合一）;

兩底角相等，兩腰相等；

等邊三角形：三角三邊相等；四心合一；每邊都滿足三線合一

8〉正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形

a性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)

b判定：i.對角線相等的菱形；ii.鄰邊相等的矩形。

第二節(jié)基本定理

1、過兩點(diǎn)有且只有一條直線

2、兩點(diǎn)之間線段最短

3、同角或等角的補(bǔ)角相等

4、同角或等角的余角相等

5、過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直

6、直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短

7、平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

8、如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9、同位角相等，兩直線平行

10、內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

12、兩直線平行，同位角相等

13、兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

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15、定理：三角形兩邊的和大于第三邊

16、推論：三角形兩邊的差小于第三邊

17、三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180。

18、推論1：直角三角形的兩個銳角互余

19、推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20、推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21、全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

22、邊角邊公理(SAS)：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

23、角邊角公理(ASA)：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

24、推論(AAS)：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

25、邊邊邊公理(SSS)：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

26、斜邊、直角邊公理(HL)：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形

全等

27、定理1：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

28、定理2：到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，都在這個角的平分線上

29、角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

30、等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31、推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32、三線合一：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33、推論3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

34、等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所

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對的邊也相等（等角對等邊）

35、推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

36、推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的

一半

38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39、定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等

40、逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，都在這條線段的垂直平分線上

41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合

42、定理1：關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43、定理2：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直

平分線

44、定理3：兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，

那么交點(diǎn)在對稱軸上

45、逆定理：如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個

圖形關(guān)于這條直線對稱

46、勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a?+b2=c2,那么這

個三角形是直角三角形

48、定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°

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49、四邊形的外角和等于360°

50、多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

51、推論：任意多邊的外角和等于360。

52、平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等

53、平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對邊相等

54、推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等

55、平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分

56、平行四邊形判定定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57、平行四邊形判定定理2:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58、平行四邊形判定定理3:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59、平行四邊形判定定理4:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

60、矩形性質(zhì)定理1:矩形的四個角都是直角

61、矩形性質(zhì)定理2：矩形的對角線相等

62、矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

63、矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

64、菱形性質(zhì)定理1:菱形的四條邊都相等

65、菱形性質(zhì)定理2:菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66、菱形面積=對角線乘積的一半，即$=(aXb)/2

67、菱形判定定理1:四邊都相等的四邊形是菱形

68、菱形判定定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69、正方形性質(zhì)定理1:正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

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70、正方形性質(zhì)定理2:正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條

對角線平分一組對角

71、定理1：關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72、定理2：對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心

平分

73、逆定理：如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那

么這兩個圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱

74、等腰梯形性質(zhì)定理：等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75、等腰梯形的兩條對角線相等

76、等腰梯形判定定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77、對角線相等的梯形是等腰梯形

78、平行線等分線段定理：如果一組平行線在--條直線上截得的線段相等，那么

在其他直線上截得的線段也相等

79、推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰

80、推論2:經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82、梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半L二

(a+b)/2；面積s=(a+b)h/2=L*h

83、(1)比例的基本性質(zhì)：

如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc，那么a:b=c:d

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84、（2）合比性質(zhì):

如果a/b=c/d,那么（a±b）/b=（c±d）/d

85、（3）等比性質(zhì):

如果a/b=c/d="*=m/n（b+d+…+nWO）,

那么（a+c+…+m）/（b+d+…+n）=a/b

86、平行線分線段成比例定理：平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例

87、推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對

應(yīng)線段成比例

88、定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段

成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三

邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例

90、定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所

構(gòu)成的三角形與原三角形相似

91、相似三角形判定定理1:兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）

92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93、判定定理2:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94、判定定理3:三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）

95、定理：如果一個直角三角形的斜邊和--條直角邊與另一個直角三角形的斜

邊和?條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似

96、性質(zhì)定理1:相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比

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都等于相似比

97、性質(zhì)定理2:相似三角形周長的比等于相似比

98、性質(zhì)定理3：相似三角形面積的比等于相似比的平方

99、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角

的正弦值

100、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余

角的正切值

10k圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合

102、圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合

103、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合

104、同圓或等圓的半徑相等

105、到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓

106、和已知線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線

107、到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個角的平分線

108、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的

一條直線

109、定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓。

110、垂徑定理.：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111、推論1

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

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③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條

弧

112、推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所

對的弦的弦心距相等

115、推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心

距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

116、定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117、推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角

所對的弧也相等

118、推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是

直徑

119、推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是

直角三角形

120、定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對

角

12k①直線L和。0相交d<r

②直線L和。0相切d=r

③直線L和。0相離d>r

122、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

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123、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

124、推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

125、推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等；圓心和這

一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

127、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129、推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等

131、推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段

的比例中項(xiàng)

132、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交

點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)

133、推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩

條線段長的積相等

134、如果兩個圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

135>①兩圓外離d>R+r

②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)

⑤兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r)

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136、定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137、定理：把圓分成n(n23):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個圓的

外切正n邊形

138、定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

139、正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)X180°/n

140、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141＞正n邊形的面積Sn=-nab=-pb;p表示正n邊形的周長,b為邊心距。

22

142、正三角形面積s=ah/2=a*ga/4=V5a2/4a表示邊長

143、如果在一個頂點(diǎn)周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360°,

因此kX(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144、弧長計(jì)算公式：L=n兀R/180

145、扇形面積公式：S扇形=11兀1^/360=1^/2

146、內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

第三節(jié)常用數(shù)學(xué)公式

L平方、立方差

a"-b2=(a+b)(a-b);(a+b)2=a"+2ab+b2;(a-b)2=a"-2ab+b2.

222222

(a+b)-(a-b)=4ab;(a-b)=(a+b)-4ab;4ab=(a+b)-(a-b)o

a3+b-(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

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2.三角不等式

|a+b|W|a|+1b|

Ia-b]W周+1bI

|a|Wb<=>-bWaWb

Ia-b||a；|-1b|

-1a|WaW|a|

3.一元二次方程的解：X=(-b±V&2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)：X,+X2=-b/a；Xi*Xz=c/a

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個相等的實(shí)根

b2-4ac>0注：方程有兩個不等的實(shí)根

b2-4ac<0注：方程沒有實(shí)根，有共扼復(fù)數(shù)根

4.某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+l)/2；

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-l)=n2；

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+l)；

12+22+32+42+52+62+72+82+-+n2=n(n+1)(2n+l)/6；

13+23+33+43+53+63+…n3=r?(n+1)2/4；

l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+l)=n(n+1)(n+2)/3.

5.正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

注：其中R表示三角形的外接圓半徑

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6.余弦定理b2=a2+c2-2accosB

注：角B是邊a和邊c的夾角

第四節(jié)基本方法

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一

個或兒個多項(xiàng)式正整數(shù)次幕的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方

法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等

式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項(xiàng)式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變

形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、兒何、三角等的

解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因

式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、

換元、待定系數(shù)等等。

3、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未

知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變

元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達(dá)定理

一元二次方程ax，bx+c=O（a、b、c屬于R,aWO）根的判別，△=b'-4ac,

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迂

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不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（組），

解不等式，研究函數(shù)乃至凡何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。

韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數(shù)的和與積,

求這兩個數(shù)等簡單應(yīng)用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號，解

對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。

5、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)問題時，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些

待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系

數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱

為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

6、構(gòu)造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔

助元素，它可以是一個圖形、一個方程（組）、一個等式、一個函數(shù)、一個等價(jià)命

題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)

方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)

知識互相滲透，有利于問題的解決。

7、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，

從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定

原命題正確的一種方法。