四川省眉山市東坡區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題

東坡區(qū)23級(jí)高一下期校校期末聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（共計(jì)40分，每小題5分）1.已知向量，，且，則（）A.8 B.2 C.4 D.2.設(shè)復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.向量與的長(zhǎng)度相等 B.向量的?？梢员容^大小C.共線的單位向量都相等 D.只有零向量的模等于04.要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位5.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.6.若直線平面，直線，則（）A. B.l與a異面 C.l與a相交 D.l與a沒(méi)有公共點(diǎn)7.如圖，在中，設(shè)，，，，則（）A. B. C. D.8.一圓臺(tái)上、下底面的直徑分別為4，12，高為10，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A. B. C. D.二、多選題（共計(jì)18分，每小題6分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等 B.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐 D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)10.下列等式成立的是（）A. B.C. D.11.設(shè)函數(shù)（，為常數(shù)，，），若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B.函數(shù)的最小正周期為C.直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（共計(jì)15分，每小題5分）12.若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為2，則球的半徑為_(kāi)_____.13.已知向量，，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_____.14.若方程在有解，則a的取值范圍是______.四、解答題（共計(jì)77分，15題13分，16、17題15分，18、19題17分）15.（13分）已知向量，.（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值.16.（15分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合.17.（15分）如圖所示，正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，H是BC的中點(diǎn)，O為底面中心，.（1）求出正六棱錐的高，斜高，側(cè)棱長(zhǎng)；（2）求六棱錐的表面積和體積.18.（17分）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，已知，.（1）若的面積等于，求邊a，b；（2）若，求的面積；（3）求周長(zhǎng)的最大值.19.（17分）若函數(shù)，則稱向量為函數(shù)的特征向量，函數(shù)為向量的特征函數(shù).（1）若函數(shù)，求的特征向量；（2）若向量的特征函數(shù)為，求當(dāng)，且時(shí)的值；（3）已知點(diǎn)，，設(shè)向量的特征函數(shù)為，函數(shù).在函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

東坡區(qū)23級(jí)高一下期校校期末聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1-4：AACB5-8：BDCD1.A【分析】由向量垂直得到方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A.2.A【詳解】試題分析：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故答案為A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及幾何意義.3.C【分析】了解向量的模的意義即可判斷A，B，D選項(xiàng)，非零共線向量方向可相同或相反，即可判斷C項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因向量與是一對(duì)相反向量，長(zhǎng)度相等，方向相反，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因向量的模是向量的長(zhǎng)度，是一個(gè)非負(fù)數(shù)，故可以比較大小，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，共線的單位向量的方向可以相同或相反，故它們可以是一對(duì)相反向量，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，向量的模等于0即說(shuō)明它是零向量，故D項(xiàng)正確.故選：C.4.B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，即函數(shù)的圖象.故選：B.5.B【分析】先求出，再由正弦定理進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理得，即，所?故選：B.6.D【分析】由線面位置關(guān)系結(jié)合異面直線的概念可直接得到答案.【詳解】若直線平面，直線，則或l與a異面，故l與a沒(méi)有公共點(diǎn).故選：D.7.C【分析】結(jié)合圖形由向量的線性運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，故選：C.8.D【分析】先將圓臺(tái)補(bǔ)形為圓錐，利用圓錐的性質(zhì)，可得圓錐的側(cè)面積，進(jìn)而可得圓臺(tái)的側(cè)面積.【詳解】如圖，將圓臺(tái)補(bǔ)形為圓錐，可得圓錐的底面半徑為.因?yàn)閳A臺(tái)的高為，根據(jù)圓錐的性質(zhì)可得，所以圓錐的高，可得圓錐的母線長(zhǎng)，.則該圓臺(tái)的側(cè)面積為.故選：D.9.ABD10.AD11.ACD9.ABD【分析】利用圓柱的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用棱柱的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B；利用正棱錐的定義判斷選項(xiàng)C；利用棱臺(tái)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等.判斷正確；選項(xiàng)B：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形.判斷正確；選項(xiàng)C：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn).判斷正確.故選：ABD.10.AD【詳解】利用兩角和差公式和二倍角公式依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：AD.11.ACD【分析】根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性以及，求得的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸、最小正周期，再三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，所以，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A，因?yàn)?，所以是的零點(diǎn)，所以是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故A正確；對(duì)于C，因?yàn)椋允堑囊粭l對(duì)稱軸，所以，，則，因?yàn)?，，所以，又，故，則，所以是圖象的一條對(duì)稱軸，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)槭堑囊粭l對(duì)稱軸，所以，，，所以，解得，所以，因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位長(zhǎng)度得，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的突破口是利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合條件求得的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，進(jìn)而求得，，由此得解.12.313.14.12.3【分析】直接由勾股定理計(jì)算可得.【詳解】由于球心到平面的距離為，所得圓面的半徑為2，則球的半徑為.故答案為：3.13.【分析】根據(jù)投影向量公式可得.【詳解】因，為單位向量，，所以在方向上的投影向量為，故答案為：.14.【分析】根據(jù)題意，將原式化為，由正弦函數(shù)的值域列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由轉(zhuǎn)化為，即，因?yàn)?，則，則，所以，則，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.15.（1）6（2）【分析】（1）由得到，然后即可解出k；（2）由得到，然后用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可解出k.【詳解】（1）由知，……4’即……6’（2）由，，知……8’由知，……10’故，即，從而.……13’16.（1）（2）最大值為0，.【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最小正周期；（2）由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合.【詳解】（1）.……5’所以的最小正周期.……7’（2），則函數(shù)最大值為0.……11’當(dāng)取得最大值時(shí)，，，即，.……13’所以的最大值為0，取得最大值時(shí)x的取值集合為.……15’17.（1）高為6，斜高為，側(cè)棱長(zhǎng)為（2）表面積為，體積為【分析】（1）依據(jù)圖象，根據(jù)底邊是正六邊及邊長(zhǎng)可求出OH，進(jìn)而在中，可求出SO，即正六棱錐的高及斜高，繼而在等腰中可求得側(cè)棱長(zhǎng)；（2）求出底面積，利用棱錐體積計(jì)算公式求解即可.【詳解】（1）如圖：在正六棱錐中，，H為BC中點(diǎn)，所以.因?yàn)镺是正六邊形ABCDEF的中心，所以SO為正六棱錐的高.，在中，，所以.……3’在中，.……6’在中，，，所以.……9’故該正六棱錐的高為6，斜高為，側(cè)棱長(zhǎng)為.（2）的面積為，的面積為，所以正六棱錐的表面積為，……12’體積為……15’18.（1），（2）（3）6【分析】（1）借助余弦定理與面積公式計(jì)算即可得；（2）借助正弦定理與三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合面積公式計(jì)算即可得；（3）借助正弦定理將邊化為角后，借助輔助角公式與正弦型函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】（1）由余弦定理得：，……1’由，則，即，……2’聯(lián)立方程組，解得，；……4’（2）由題得，即，……5’當(dāng)時(shí)，，則，故，，……7’當(dāng)時(shí)，，即，則有，即，則，……9’則；……11’（3）由正弦定理得，……14’又，則當(dāng)時(shí)，有，……16’故周長(zhǎng)的最大值為……17’19.（1）（2）（3）不存在理由見(jiàn)解析【分析】（1）由三角函數(shù)的和差公式可得，再結(jié)合特征向量的定義，即可得出答案.（2）由特征向量的定義可得，代入解得，再計(jì)算，最后利用兩角和差公式即可得出答案.（3）由特征向量的定義可得，三角函數(shù)倍角公式可得，若函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)Q，使得；再計(jì)算其數(shù)量積可得，再利用整體法結(jié)合余弦型函數(shù)的值域即可判斷.【詳解】（1）因?yàn)?，…?’所以函數(shù)的特征向量……3’（2）因?yàn)?，所?又.所以.因?yàn)?，所以，所?……