高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重點(diǎn)突破(人教A版必修第一冊)16指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算的常考點(diǎn)方法總結(jié)(原卷版+解析)

?？碱}型16指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算的?？键c(diǎn)方法總結(jié)必備知識必備知識1.冪的有關(guān)概念(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。2.有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)(a>0，r，s∈Q)；(2)(a>0，r，s∈Q)；(3)(a>0，b>0，r∈Q)。3.對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(1)；(2)；(3)(n∈R)；(4)(m≠0)。4.對數(shù)的性質(zhì)(1)(a>0且a≠1，N>0)；(2)(a>0且a≠1)。3.對數(shù)的重要公式(1)換底公式：(b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0)；(2)，推廣：。方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)1.指數(shù)冪的運(yùn)算遵循的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運(yùn)算；(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)；(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答；2.對數(shù)式化簡或求值的兩種思路(1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并；(2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算；題型探究一題型探究一探究一：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對各選項(xiàng)逐一計算即可求解?！咀兪骄毩?xí)】1．已知，則化為（

）A． B． C．m D．12．若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．探究二：指數(shù)冪的化簡、求值若，則等于（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用立方和公式化簡所求代數(shù)式，由可得出，由此可求得結(jié)果【變式練習(xí)】1．已知，，則的值為（

）A．2 B． C． D．2．設(shè)x，y是正數(shù)，且xy＝y(tǒng)x，y＝9x，則x的值為()A． B．C．1 D．探究三：指數(shù)式和對數(shù)式的互化設(shè)，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解?！咀兪骄毩?xí)】1．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與2．將轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，正確的是（

）A．； B．；C．； D．．探究四：對數(shù)的運(yùn)算若，且，則（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)給定條件，將指數(shù)式化成對數(shù)式，再借助換底公式及對數(shù)運(yùn)算法則計算即得?！咀兪骄毩?xí)】1．設(shè)，，則A． B．C． D．2．已知，則的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．或4題型突破訓(xùn)練題型突破訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)則的大小關(guān)系是A． B． C． D．2．若，則()A． B．1 C． D．3．設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)，且，則（

）A． B．10 C．20 D．1005．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．696．已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b7．已知，，，則（

）．A． B． C． D．8．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093二、多選題9．已知，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A． B．C． D．10．在下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，不正確的是（）A．B．C．D．11．下列運(yùn)算法則正確的是（

）A．B．C．（且）D．12．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．計算得________．14．已知m=2，n=3，則[÷]3的值是______．15．已知，，試用、表示________．16．計算：________.四、解答題17．（1）化簡：；（2）計算：．18．化簡求值：（1）；（2）．19．（1）化簡：（a＞0，b＞0）；（2）先化簡，再求值．已知，，求的值．20．設(shè)，，均為正數(shù)，且.（1）試求，，之間的關(guān)系.（2）求使成立，且與最近的正整數(shù)（即求與的差的絕對值最小的整數(shù)）.（3）比較，，的大小.?？碱}型16指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算的?？键c(diǎn)方法總結(jié)必備知識必備知識1.冪的有關(guān)概念(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(a>0，m，n∈N*，且n>1)。(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。2.有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)(a>0，r，s∈Q)；(2)(a>0，r，s∈Q)；(3)(a>0，b>0，r∈Q)。3.對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(1)；(2)；(3)(n∈R)；(4)(m≠0)。4.對數(shù)的性質(zhì)(1)(a>0且a≠1，N>0)；(2)(a>0且a≠1)。3.對數(shù)的重要公式(1)換底公式：(b>0且b≠1，a>0且a≠1，N>0)；(2)，推廣：。方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)1.指數(shù)冪的運(yùn)算遵循的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運(yùn)算；(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先化成假分?jǐn)?shù)；(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答；2.對數(shù)式化簡或求值的兩種思路(1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并；(2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算；題型探究一題型探究一探究一：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對各選項(xiàng)逐一計算即可求解。答案：B【詳解】解：對A：，故選項(xiàng)A錯誤；對B：，故選項(xiàng)B正確；對C：，不能化簡為，故選項(xiàng)C錯誤；對D：因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D錯誤.故選：B.【變式練習(xí)】1．已知，則化為（

）A． B． C．m D．1答案：C【詳解】，.故選：C．2．若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．答案：C【詳解】要使有意義，需使，解得，表示為區(qū)間形式即.故選C.探究二：指數(shù)冪的化簡、求值若，則等于（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用立方和公式化簡所求代數(shù)式，由可得出，由此可求得結(jié)果答案：C【詳解】，，因此，.故選：C.【變式練習(xí)】1．已知，，則的值為（

）A．2 B． C． D．答案：B【詳解】．故選：B2．設(shè)x，y是正數(shù)，且xy＝y(tǒng)x，y＝9x，則x的值為()A． B．C．1 D．答案：B【詳解】x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝＝.故選B.探究三：指數(shù)式和對數(shù)式的互化設(shè)，則（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解。答案：B【詳解】由可得，所以，所以有，故選：B.【變式練習(xí)】1．下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與答案：C【詳解】，故正確；，故正確；，，故不正確；，故正確．故選：C．2．將轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，正確的是（

）A．； B．；C．； D．．答案：C【詳解】根據(jù)對數(shù)的定義和．故選：C．探究四：對數(shù)的運(yùn)算若，且，則（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：根據(jù)給定條件，將指數(shù)式化成對數(shù)式，再借助換底公式及對數(shù)運(yùn)算法則計算即得。答案：D【詳解】因?yàn)?，于是得，，又因?yàn)?，則有，即，因此，，而，解得，所以.故選：D【變式練習(xí)】1．設(shè)，，則A． B．C． D．答案：B【詳解】分析：求出，得到的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果．詳解：.,即又即故選B.2．已知，則的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．或4答案：B【詳解】依題意有，，設(shè)，，即，解得或．當(dāng)時，，此時不滿足，舍去，所以．故選B．題型突破訓(xùn)練題型突破訓(xùn)練一、單選題1．設(shè)則的大小關(guān)系是A． B． C． D．答案：C【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，故選.2．若，則()A． B．1 C． D．答案：C【詳解】依題意，.故選C.3．設(shè)，且，則（

）A． B． C． D．答案：B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又?故選：B.4．設(shè)，且，則（

）A． B．10 C．20 D．100答案：A【詳解】由，可得，，由換底公式得，，所以，又因?yàn)?，可得．故選：A.5．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69答案：C【詳解】，所以，則，所以，，解得.故選：C.6．已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b答案：A【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.7．已知，，，則（

）．A． B． C． D．答案：C【詳解】試題分析：因?yàn)樗赃xC．8．根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A．1033 B．1053C．1073 D．1093答案：D【詳解】試題分析：設(shè)，兩邊取對數(shù)，，所以，即最接近，故選D.二、多選題9．已知，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A． B．C． D．答案：AD【詳解】解：，，因此A正確；，因此B不正確；，，解得，因此C不正確；，因此D正確．故選：AD．10．在下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，不正確的是（）A．B．C．D．答案：ABD【詳解】對于A，，左邊，右邊，故A錯誤；對于B，，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，由分式指數(shù)冪可得，則，故C正確；對于D，，故D錯誤.∴不正確的是A、B、D.故選：ABD.11．下列運(yùn)算法則正確的是（

）A．B．C．（且）D．答案：CD【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則無意義，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，若，，則無意義，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，由換底公式可得（且），C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)，、時，，D選項(xiàng)正確.故選：CD.12．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．答案：ACD【詳解】解：設(shè)，則，，，所以，即，所以，所以，故D正確；由，所以，故A正確，B錯誤；因?yàn)?，，又，所以，即，故C正確；故選：ACD三、填空題13．計算得________．答案：【詳解】.故答案為：14．已知m=2，n=3，則[÷]3的值是______．答案：【詳解】m=2，n=3，則原式==m?n-3=2×3-3=，故答案為．15．已知，，試用、表示________．答案：【詳解】，，即，解得，．故答案為：.16．計算：________.答案：4【詳解】，故答案為：四、解答題17．（1）化簡：；（2）計算：．答案：（1）；（2）【詳解】（1）原式．（2）原式．18．化簡求值：（1）；（2）．答案：（1）37；（2）8.【詳解】原式=,（2）原式=1