新高考高中數(shù)學(xué)核心知識點全透視專題5.1統(tǒng)計(必修)(精講精析篇)(原卷版+解析)

專題5.1統(tǒng)計（必修）（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．借助頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，提升讀圖、數(shù)據(jù)分析的能力，凸顯直觀想象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準差)，并做出合理的解釋，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．4．會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．理解用樣本估計總體的思想，會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.隨機抽樣(1)理解隨機抽樣的必要性和重要性.(2)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.2.用樣本估計總體(1)了解分布的意義和作用,會列頻率分布表,會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖,理解它們各自的特點.(2)理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準差的意義和作用,會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準差.(3)能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準差),并給出合理的解釋.(4)會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征,理解用樣本估計總體的思想.（5）總體百分位的估計(6)會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.三、主干知識梳理（一）簡單隨機抽樣的特點(1)抽取的個體數(shù)較少；(2)是逐個抽取；(3)是不放回抽?。?4)是等可能抽?。挥兴膫€特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣．2.抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況．(2)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．3.分層抽樣問題類型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．(2)已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．(3)分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個體數(shù)量)”．提醒：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個個體(其中i是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個體的個數(shù)，N是總體容量)．（二）1.頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．(3)各個小方形的面積總和等于1.2．頻率分布表的畫法第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝極差/組數(shù)；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．3．頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．(4)在很多題目中，頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，是解題的關(guān)鍵，常利用頻率分布直方圖估計總體分布．（三）中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準差、百分位1.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；2.中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，（起到分水嶺的作用）中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平；平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平；3.方差：方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。┎阉凶鲞@組數(shù)據(jù)的方差．在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定．4.標(biāo)準差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度．5.百分位：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-p%）的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.二、真題展示1．（2023·天津高考真題）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得個評分數(shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）A． B． C． D．2．【多選題】（2023·全國高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準差相同D．兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同考點01隨機抽樣【典例1】（2023·全國高一課時練習(xí)）某班有30位同學(xué)，他們依次編號為01，02，，29，30，現(xiàn)利用下面的隨機數(shù)表選取5位同學(xué)組建“文明校園督查組”．選取方法是從隨機數(shù)表的第1行的第7列和第8列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5位同學(xué)的編號為（）4179271635860893215795620921092914574955828359837883513478702079932122A．08 B．21 C．09 D．29【典例2】（2023·大同市平城中學(xué)校高一月考）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調(diào)300人，而北面共征調(diào)108人（用分層簡單抽樣的方法），則北面共有多少人（）A．8000 B．8100 C．8200 D．8300【總結(jié)提升】1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．2.分層抽樣的前提和遵循的兩條原則(1)前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體的個體數(shù)中所占比例抽取．(2)遵循的兩條原則：①將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．3.兩種抽樣方法的特點、聯(lián)系及適用范圍類別共同點各自特點聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣①抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；②每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體個數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體由差異明顯的幾部分組成考點02莖葉圖及其應(yīng)用【典例3】(2023·山東卷)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7【特別提醒】莖葉圖是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．①“葉”位置只有一個數(shù)字，而“莖”位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；②莖葉圖上重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.考點03頻率分布直方圖【典例4】（2023·天津高考真題）從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為（）

A．10 B．18 C．20 D．36【典例5】（2023·全國高考真題（理））為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.【總結(jié)提升】1.兩個主要考查角度：（1）利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)．（2）利用頻率分布直方圖估計總體2.熟記結(jié)論：(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所有小長方形的面積的和等于1；(2)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；(3)頻數(shù)/樣本容量＝頻率，此關(guān)系式的變形為頻數(shù)/頻率＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)3.易錯防范：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率組距，而不是頻率

考點04樣本的數(shù)字特征【典例6】（2023·全國高考真題（文））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10【典例7】（2023·全國高考真題（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準差最大的一組是（）A． B．C． D．【典例8】（2023·全國高一課時練習(xí)）若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分分別為89，91，90，92，87，93，96，94，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________；平均數(shù)是__________；最大值是__________；25%分位數(shù)是__________.【總結(jié)提升】1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準差描述波動大小．(2)方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．2.主要命題角度：（1）樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯（2）樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯=1\*GB3①在使用莖葉圖時，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個圖中數(shù)字的特點，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．=2\*GB3②莖葉圖既可以表示兩組數(shù)據(jù)，也可以表示一組數(shù)據(jù)，用它表示的數(shù)據(jù)是完整的數(shù)據(jù)，因此可以從莖葉圖中看出數(shù)據(jù)的眾數(shù)(數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù))、中位數(shù)(中間位置的一個數(shù)，或中間兩個數(shù)的平均數(shù))等．（3）樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯：利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)=1\*GB3①平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標(biāo)準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．=2\*GB3②用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．考點05統(tǒng)計應(yīng)用問題【典例9】（2023·全國高一課時練習(xí)）抽樣調(diào)查30個家庭某月的水電費用，得到如下數(shù)據(jù)（單位：元）：(1)取組距為60，起點為320，列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計該月水電費用在內(nèi)的家庭所占的百分比.【典例10】（2023年高考全國Ⅱ卷文）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表．的分組企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．（精確到0.01）附：．1．（2023·北京順義·牛欄山一中高二期中）如表是某校120名學(xué)生假期閱讀時間（單位：小時）的頻率分布表，現(xiàn)按比例分層抽樣的方法從，，，四組中抽取20名學(xué)生了解其閱讀內(nèi)容，那么從這四組中依次抽取的人數(shù)是（）分組頻數(shù)頻率120.10300.600.05合計1201.00A．2，5，8，5 B．2，5，12，1 C．4，6，8，2 D．3，6，10，12．【多選題】（2023·江蘇省天一中學(xué)）給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（）A．平均數(shù)為3 B．標(biāo)準差為C．眾數(shù)為2和3 D．85%分位數(shù)為4.53．【多選題】（2023·邯山區(qū)新思路學(xué)本文化輔導(dǎo)學(xué)校高一月考）已知某校有高中學(xué)生6000人，該校高中年級的學(xué)生人數(shù)和肥胖情況分別如圖1和圖2所示.圖1圖2下列說法錯誤的是（）A．高一年級的學(xué)生肥胖人數(shù)最多B．高三年級的學(xué)生肥胖人數(shù)最少C．高一年級的學(xué)生肥胖人數(shù)與高二年級的學(xué)生肥胖人數(shù)相同D．該校所有高中學(xué)生的肥胖率是12%4.【多選題】（2023·江蘇廣陵·揚州中學(xué)）某大學(xué)進行自主招生時，需要進行邏輯思維和閱讀表達兩項能力的測試.學(xué)校對參加測試的200名學(xué)生的邏輯思維成績、閱讀表達成績以及這兩項的總成績進行了排名.其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況如圖所示：給出下面四個結(jié)論：①甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中，甲同學(xué)更靠前；②丙同學(xué)的邏輯思維成績排名比乙同學(xué)的邏輯思維成績排名更靠前；③甲同學(xué)的閱讀表達成績排名比他的邏輯思維成績排名更靠前；④乙同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達成績排名更靠前；則所有正確結(jié)論的序號是（）A．① B．② C．③ D．④5．（2023·全國高一課時練習(xí)）某防疫站對學(xué)生進行身體健康調(diào)查，欲采用分層抽樣的辦法抽取樣本．某中學(xué)共有學(xué)生2000名，抽取了一個容量為200的樣本，已知樣本中女生比男生少6人，則該校共有女生__人．6．（2023·河南）洛陽牡丹花會聞名全國.某園林企業(yè)先后培育出牡丹新品種，現(xiàn)選取部分樣本，并測得花冠直徑的數(shù)據(jù)為：（單位：），則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為___________.7.（2023·江蘇如皋·高一月考）已知樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準差為2，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準差為___________.8．（2023·江蘇南京·金陵中學(xué)高一月考）甲、乙兩名籃球運動員在隨機抽取的12場比賽中的得分情況如下：甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49．乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．則運動員甲得分的25百分位數(shù)與運動員乙得分的80百分位數(shù)的和為______．9．（2023·河北運河·滄州市一中高一月考）數(shù)據(jù)，，，平均數(shù)為6，標(biāo)準差為2，若數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為a，方差為b，則______．10．（2023·全國高一課時練習(xí)）某區(qū)高二年級的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，隨機抽取M名同學(xué)的成績，數(shù)據(jù)的分組統(tǒng)計表如下：分組頻數(shù)頻率頻率組距24113811合計(1)表中m，n，p，M，N，P的值分別為___________，___________，___________，___________，___________，___________.(2)若該區(qū)高二學(xué)生有5000人，估計這次統(tǒng)考中該區(qū)高二學(xué)生分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為___________.專題5.1統(tǒng)計（必修）（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，凸顯數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．2．借助頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，提升讀圖、數(shù)據(jù)分析的能力，凸顯直觀想象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)．3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準差)，并做出合理的解釋，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．4．會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．理解用樣本估計總體的思想，會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．二、考試要求1.隨機抽樣(1)理解隨機抽樣的必要性和重要性.(2)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.2.用樣本估計總體(1)了解分布的意義和作用,會列頻率分布表,會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖,理解它們各自的特點.(2)理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準差的意義和作用,會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準差.(3)能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準差),并給出合理的解釋.(4)會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征,理解用樣本估計總體的思想.（5）總體百分位的估計(6)會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.三、主干知識梳理（一）簡單隨機抽樣的特點(1)抽取的個體數(shù)較少；(2)是逐個抽??；(3)是不放回抽??；(4)是等可能抽?。挥兴膫€特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣．2.抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況．(2)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點：一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法．3.分層抽樣問題類型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算．(2)已知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．(3)分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個體數(shù)量)”．提醒：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個個體(其中i是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個體的個數(shù)，N是總體容量)．（二）1.頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．(3)各個小方形的面積總和等于1.2．頻率分布表的畫法第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝極差/組數(shù)；第二步：分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表．3．頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和．(4)在很多題目中，頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，是解題的關(guān)鍵，常利用頻率分布直方圖估計總體分布．（三）中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準差、百分位1.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；2.中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，（起到分水嶺的作用）中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平；平均數(shù)：反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平；3.方差：方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大?。催@批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小）并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差．在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定．4.標(biāo)準差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度．5.百分位：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-p%）的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.二、真題展示1．（2023·天津高考真題）從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得個評分數(shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）A． B． C． D．答案：D分析：利用頻率分布直方圖可計算出評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量.【詳解】由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量為.故選：D.2．【多選題】（2023·全國高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中(為非零常數(shù)，則（）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準差相同D．兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案：CD分析：A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.【詳解】A：且，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：CD考點01隨機抽樣【典例1】（2023·全國高一課時練習(xí)）某班有30位同學(xué)，他們依次編號為01，02，，29，30，現(xiàn)利用下面的隨機數(shù)表選取5位同學(xué)組建“文明校園督查組”．選取方法是從隨機數(shù)表的第1行的第7列和第8列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5位同學(xué)的編號為（）4179271635860893215795620921092914574955828359837883513478702079932122A．08 B．21 C．09 D．29答案：D分析：利用隨機數(shù)表的選取方法選出有效的編號，即可得解.【詳解】依次從數(shù)表中讀出的有效編號為：16，08，21，09，21，09，29，去掉重復(fù)的，得到選出來的第5位同學(xué)的編號為29．故選：D．【典例2】（2023·大同市平城中學(xué)校高一月考）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一抽樣問題：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，這三面要征調(diào)300人，而北面共征調(diào)108人（用分層簡單抽樣的方法），則北面共有多少人（）A．8000 B．8100 C．8200 D．8300答案：B分析：設(shè)北面有人，根據(jù)分層抽樣原理列方程求出的值．【詳解】解：設(shè)北面人數(shù)為，根據(jù)題意知，，解得，所以北面共有8100人．故選：B【總結(jié)提升】1.不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率都是相同的．2.分層抽樣的前提和遵循的兩條原則(1)前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體的個體數(shù)中所占比例抽?。?2)遵循的兩條原則：①將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．3.兩種抽樣方法的特點、聯(lián)系及適用范圍類別共同點各自特點聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣①抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；②每次抽出個體后不再將它放回，即不放回抽樣從總體中逐個抽取總體個數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體由差異明顯的幾部分組成考點02莖葉圖及其應(yīng)用【典例3】(2023·山東卷)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7答案：A【解析】由莖葉圖，可得甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，從而乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也是65，所以y＝5.由乙組數(shù)據(jù)59,61,67,65,78，可得乙組數(shù)據(jù)的平均值為66，故甲組數(shù)據(jù)的平均值也為66，從而有eq\f(56＋62＋65＋74＋70＋x,5)＝66，解得x＝3.【特別提醒】莖葉圖是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)．①“葉”位置只有一個數(shù)字，而“莖”位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；②莖葉圖上重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏.考點03頻率分布直方圖【典例4】（2023·天津高考真題）從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為（）

A．10 B．18 C．20 D．36答案：B分析：根據(jù)直方圖確定直徑落在區(qū)間之間的零件頻率，然后結(jié)合樣本總數(shù)計算其個數(shù)即可.【詳解】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，則區(qū)間內(nèi)零件的個數(shù)為：.故選：B.【典例5】（2023·全國高考真題（理））為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.答案：(1)，；(2)，.分析：(1)由及頻率和為1可解得和的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).【詳解】(1)由題得，解得，由，解得.(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為，乙離子殘留百分比的平均值為【總結(jié)提升】1.兩個主要考查角度：（1）利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)．（2）利用頻率分布直方圖估計總體2.熟記結(jié)論：(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所有小長方形的面積的和等于1；(2)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；(3)頻數(shù)/樣本容量＝頻率，此關(guān)系式的變形為頻數(shù)/頻率＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)3.易錯防范：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率組距，而不是頻率

考點04樣本的數(shù)字特征【典例6】（2023·全國高考真題（文））設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10答案：C【解析】因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C【典例7】（2023·全國高考真題（理））在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準差最大的一組是（）A． B．C． D．答案：B【解析】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項這一組的標(biāo)準差最大.故選：B.【典例8】（2023·全國高一課時練習(xí)）若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分分別為89，91，90，92，87，93，96，94，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________；平均數(shù)是__________；最大值是__________；25%分位數(shù)是__________.答案：91.5##分析：首先我們把數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)相關(guān)定義進行計算.【詳解】把這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87，89，90，91，92，93，94，96，所以中位數(shù)是；平均數(shù)；最大值為96；因為數(shù)據(jù)個數(shù)為8，而且，因此這組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是.故答案為：91.5，91.5，96，89.5【總結(jié)提升】1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標(biāo)準差描述波動大?。?2)方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\x\to(x)2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\x\to(x)2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．2.主要命題角度：（1）樣本的數(shù)字特征與頻率分布直方圖交匯（2）樣本的數(shù)字特征與莖葉圖交匯=1\*GB3①在使用莖葉圖時，一定要觀察所有的樣本數(shù)據(jù)，弄清楚這個圖中數(shù)字的特點，不要漏掉了數(shù)據(jù)，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．=2\*GB3②莖葉圖既可以表示兩組數(shù)據(jù)，也可以表示一組數(shù)據(jù)，用它表示的數(shù)據(jù)是完整的數(shù)據(jù)，因此可以從莖葉圖中看出數(shù)據(jù)的眾數(shù)(數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù))、中位數(shù)(中間位置的一個數(shù)，或中間兩個數(shù)的平均數(shù))等．（3）樣本的數(shù)字特征與優(yōu)化決策問題交匯：利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)=1\*GB3①平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標(biāo)準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．=2\*GB3②用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征．考點05統(tǒng)計應(yīng)用問題【典例9】（2023·全國高一課時練習(xí)）抽樣調(diào)查30個家庭某月的水電費用，得到如下數(shù)據(jù)（單位：元）：(1)取組距為60，起點為320，列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計該月水電費用在內(nèi)的家庭所占的百分比.答案：(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)20%.分析：(1)根據(jù)已知條件，利用題中數(shù)據(jù)分別寫出頻數(shù)，然后計算頻率，最后列表即可；(2)根據(jù)(1)中結(jié)論分別計算各組的頻率與組距之比，然后根據(jù)頻率分布表作圖即可；(3)計算該月水電費用在內(nèi)的家庭的頻率之和即可求解.【詳解】(1)由題中數(shù)據(jù)可得，頻率分布表如下分組頻數(shù)頻率60.20180.6040.1320.07合計301.00(2)頻率分布直方圖如圖：(3)該月水電費用落在內(nèi)的家庭所占的百分比為，所以估計該月水電費用在內(nèi)的家庭所占的百分比為20%.【典例10】（2023年高考全國Ⅱ卷文）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表．的分組企業(yè)數(shù)22453147（1）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；（2）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）．（精確到0.01）附：．答案：（1）產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%；（2）這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準差的估計值分別為30%，17%．【解析】（1）根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的100個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)頻率為．產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為．用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例為21%，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為2%．（2），，，所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準差的估計值分別為30%，17%．1．（2023·北京順義·牛欄山一中高二期中）如表是某校120名學(xué)生假期閱讀時間（單位：小時）的頻率分布表，現(xiàn)按比例分層抽樣的方法從，，，四組中抽取20名學(xué)生了解其閱讀內(nèi)容，那么從這四組中依次抽取的人數(shù)是（）分組頻數(shù)頻率120.10300.600.05合計1201.00A．2，5，8，5 B．2，5，12，1 C．4，6，8，2 D．3，6，10，1答案：B分析：先求出小組的頻率的值，由分層抽樣抽樣比相等，分別由乘以各組的頻率即可得各組中依次抽取的人數(shù)，進而可得正確選項.【詳解】根據(jù)題意，小組的頻率為，則第一小組抽取的人數(shù)為，第二小組抽取的人數(shù)為，第三小組抽取的人數(shù)為，第四小組抽取的人數(shù)為．即4個小組依次抽取的人數(shù)是2，5，12，1；故選：B.2．【多選題】（2023·江蘇省天一中學(xué)）給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（）A．平均數(shù)為3 B．標(biāo)準差為C．眾數(shù)為2和3 D．85%分位數(shù)為4.5答案：AC分析：根據(jù)平均數(shù)，方差、標(biāo)準差的計算公式，可判定A、B項；由眾數(shù)和百分位數(shù)的概念可判定C、D，即可求解.【詳解】平均數(shù)為，故A正確；標(biāo)準差為，故B錯誤；觀察數(shù)據(jù)可得眾數(shù)為2和3，故C正確；將數(shù)據(jù)從小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5.則，∴第85百分位數(shù)為5，故D錯誤.故選：AC.3．【多選題】（2023·邯山區(qū)新思路學(xué)本文化輔導(dǎo)學(xué)校高一月考）已知某校有高中學(xué)生6000人，該校高中年級的學(xué)生人數(shù)和肥胖情況分別如圖1和圖2所示.圖1圖2下列說法錯誤的是（）A．高一年級的學(xué)生肥胖人數(shù)最多B．高三年級的學(xué)生肥胖人數(shù)最少C．高一年級的學(xué)生肥胖人數(shù)與高二年級的學(xué)生肥胖人數(shù)相同D．該校所有高中學(xué)生的肥胖率是12%答案：BCD分析：根據(jù)題干數(shù)據(jù)以及餅狀圖和條形圖的比例關(guān)系，即可判斷【詳解】由題意可得該校高一年級的學(xué)生人數(shù)為，肥胖人數(shù)為；高二年級的學(xué)生人數(shù)為，肥胖人數(shù)為；高三年級的學(xué)生人數(shù)為，肥胖人數(shù)為，則A正確，BC錯誤；該校所有高中學(xué)生的肥胖率是，則D錯誤.故選：BCD4.【多選題】（2023·江蘇廣陵·揚州中學(xué)）某大學(xué)進行自主招生時，需要進行邏輯思維和閱讀表達兩項能力的測試.學(xué)校對參加測試的200名學(xué)生的邏輯思維成績、閱讀表達成績以及這兩項的總成績進行了排名.其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況如圖所示：給出下面四個結(jié)論：①甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中，甲同學(xué)更靠前；②丙同學(xué)的邏輯思維成績排名比乙同學(xué)的邏輯思維成績排名更靠前；③甲同學(xué)的閱讀表達成績排名比他的邏輯思維成績排名更靠前；④乙同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達成績排名更靠前；則所有正確結(jié)論的序號是（）A．① B．② C．③ D．④答案：AB分析：通過對兩圖形的閱讀和理解，分別比較甲、乙、丙的縱橫坐標(biāo)，可以分析出來甲、乙、丙的類比情況，從而可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)圖示可得：甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成