專題05 平行四邊形-2024年新九年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（滬科版 溫故復(fù)習(xí)）

專題05平行四邊形知識點1：多邊形的相關(guān)概念及其表示方法（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．知識點2：多邊形內(nèi)角和與外角和（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．知識點3：平行四邊形的概念（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．知識點4：平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)1：平行四邊形的對邊相等．性質(zhì)2：平行四邊形的對角相等．性質(zhì)3：平行四邊形的對角線互相平分．補(bǔ)充：（1）平行線間的距離處處相等．（2）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．知識點5：平行四邊形的判定定義判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）補(bǔ)充定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．知識點6：三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC．題型歸納【題型1多邊形內(nèi)角和問題】滿分技法(1)一個多邊形的內(nèi)角和取決于它的邊數(shù),邊數(shù)增加，多邊形的內(nèi)角和也隨之增加，且每增加一條邊，內(nèi)角和增加180°(2)利用多邊形內(nèi)角和定理，已知邊數(shù)可以求內(nèi)角和;反之，已知內(nèi)角和也可以求邊數(shù).1．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）一個正多邊形的內(nèi)角和為．則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．62．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習(xí)）在六邊形中，，，，則（

）A． B． C． D．3．（22-23八年級下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）九邊形的內(nèi)角和等于（

）A． B． C． D．4．（23-24八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點C落在內(nèi)，若，則．

【題型2正多邊形的內(nèi)角問題】滿分技法(1)一個多邊形是正多邊形的條件是各邊都相等，各角都相等,兩者缺一不可.(2)正n邊形的每一個內(nèi)角都相等，且都等于(3)正n邊形的每一個外角都相等,且都等于5．（22-23八年級下·安徽六安·期末）正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．6．（22-23八年級下·安徽六安·期中）一個正多邊形的內(nèi)角和為，則這個正多邊形的每一個外角等于（

）A． B． C． D．7．（22-23八年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，是正六邊形，，分別是，上的點，且，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．8．（22-23八年級下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）（1）正八邊形的每個內(nèi)角是每個外角的倍，求的值；（2）一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù)．【題型3多邊形內(nèi)角和與外角和綜合】滿分技法（1）多邊形的外角和等于360°,是一個定值.當(dāng)已知各外角的比值時，可通過設(shè)未知數(shù)，利用方程思想求解各外角的度數(shù).（2）多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān),都等于360°9．（23-24八年級下·安徽亳州·期中）一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和是，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．12 B．10 C．8 D．610．（22-23八年級下·安徽安慶·期末）十邊形的內(nèi)角和是外角和的（

）倍.A．3 B．4 C．5 D．611．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）觀察每個正多邊形中的變化情況，解答下列問題：(1)將下面的表格補(bǔ)充完整：正多邊形邊數(shù)3456……(2)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正n邊形，使其中的？請說明理由．【題型4利用平行四邊形的性質(zhì)求解】滿分技法(1)平行四邊形的鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.(2)平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊長度之差.12．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，在中，于點E，，，且a是一元二次方程的根，則的周長為（

）A． B． C．10 D．13．（23-24八年級下·安徽池州·階段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交的延長線于點．若，則的長為．14．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）在中，，則．15．（23-24八年級下·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，動點P、Q分別從原點O、點B同時出發(fā)，動點P沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，動點Q在線段上以每秒1個單位長度的速度向點C運(yùn)動，當(dāng)點Q到達(dá)C點時，點P隨之停止運(yùn)動；設(shè)運(yùn)動時間為t（秒）．(1)直接寫出線段的長；(2)求直線的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)時，設(shè)直線與直線交于點D，求直線的解析式以及點D的坐標(biāo)；(4)當(dāng)四邊形是平行四邊形時，直接寫出t的值．【題型5利用平行四邊形的性質(zhì)證明】滿分技法平行四邊形的性質(zhì)常和角平分線的性質(zhì)綜合考查，要特別注意等量轉(zhuǎn)換在解題過程中的應(yīng)用.16．（23-24八年級下·安徽淮南·期中）如圖，平行四邊形中，于點，點在上，交于點，連接，與交于點．(1)求證：；(2)求證：．17．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）四邊形為平行四邊形，E為的中點，P為內(nèi)一點．用無刻度的直尺畫圖，不寫作法，保留作圖痕跡．(1)在圖1中，畫出的中點F；(2)如圖2，在上取點M，使直線平分的周長和面積．18．（22-23八年級下·安徽安慶·期末）如圖，點、是對角線上的兩點，且．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求四邊形的面積．【題型6證明四邊形是平行四邊形】滿分技法巧選平行四邊形的證明思路：已知條件證明思路一組對邊相等①另一組對邊也相等②相等的邊也平行一組對邊平行①另一組對邊也平行②平行的邊也相等對角線相交對角線互相平分一組對角相等另一組對角也相等19．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，已知點D，E，F(xiàn)分別是的中點，則圖中平行四邊形的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．220．（22-23八年級下·安徽蚌埠·期末）如圖，的面積為8，均是等邊三角形，當(dāng)時，四邊形的面積為（

）A．8 B．16 C． D．1221．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，在中，，是的中點，，且，求證：四邊形是平行四邊形．22．（22-23八年級下·安徽馬鞍山·期末）如圖，在網(wǎng)格中，線段和線段的端點都是格點（網(wǎng)格線的交點）．

(1)以點，，頂點，畫一個格點平行四邊形；(2)直接寫出你畫出的平行四邊形的周長為______．【題型7與三角形中位線有關(guān)的求解問題】滿分技法構(gòu)造中位線解決中點或中線問題：解決含有一個或多個線段中點的幾何問題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線(構(gòu)造三角形的中位線)進(jìn)而借助三角形中位線定理進(jìn)行解答，23．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，、分別是邊、的中點，且，，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．24．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，，，分別是，，的中點，則圖中平行四邊形的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個25．（23-24八年級下·安徽蕪湖·期中）如圖，在中，，，，為邊上一動點（不與點重合），為等邊三角形，過點作的垂線，為垂線上任意一點，連接，為的中點，連接、，則的最小值是（

）A． B． C． D．1026．（23-24八年級下·安徽銅陵·期中）如圖，在中，，是角平分線，點、分別在、上，且，、分別是、的中點，的延長線交邊于，過、分別作的垂線交邊與、，垂足分別為、．求證：(1)；(2)；(3)；【題型8與三角形中位線有關(guān)的證明】滿分技法三角形的中位線在位置上與第三邊平行，在數(shù)量上等于第三邊的一半，故在證明線段的平行、相等、和差倍分等問題時，經(jīng)常用到三角形中位線定理.27．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，C為的中點，連接交于點D，求證：．

28．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）（1）如圖1，在四邊形中，與相交于點O，，E，F(xiàn)分別是的中點，連接，分別交于點M，N，判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是的中點，連接并延長，分別與的延長線交于點M，N，求證：．29．（22-23八年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，分別是，，的中點，連接，，，求證：．

過關(guān)檢測九、單選題30．（22-23八年級下·安徽六安·期末）一個多邊形的內(nèi)角和等于，則它的邊數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．831．（22-23八年級下·安徽馬鞍山·期末）正八邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是（）A． B． C． D．32．（22-23八年級下·安徽池州·期末）一個多邊形截去一個角后，得到的新多邊形內(nèi)角和為，則原多邊形邊數(shù)為（

）A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或633．（2024八年級下·安徽·專題練習(xí)）按如圖方式分割成9個小平行四邊形，若知道其中個小平行四邊形的周長就能求出的周長，那么的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．534．（22-23八年級下·安徽合肥·期末）如圖，某校園內(nèi)小池塘的岸邊有A、B兩點，難以直接測量A、B兩點間的距離，數(shù)學(xué)實踐活動小組的同學(xué)們在A、B外選擇了一點C，取線段，的中點D，E，測得，則A、B兩點的距離是（

）

A． B． C． D．十、填空題35．（22-23八年級下·安徽淮北·階段練習(xí)）若n邊形的每個內(nèi)角都是，則邊數(shù)n為．36．（22-23八年級下·安徽蚌埠·期末）如圖，在正六邊形中，．

37．（22-23八年級下·安徽池州·期末）若一個多邊形的每個外角都等于它相鄰的內(nèi)角，則這個多邊形的每個外角的度數(shù)是．38．（23-24八年級下·安徽黃山·期中）如圖，在中，，，，是的角平分線，是斜邊的中點，過點作于，交于點，連接，則線段．十一、解答題39．（22-23八年級下·安徽池州·期末）定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做“對補(bǔ)四邊形”．例如：四邊形中，若或，則四邊形是“對補(bǔ)四邊形”．概念理解（1）如圖1，四邊形是“對補(bǔ)四邊形”．①若，則______；②若，且，時，求的值．拓展延伸（2）如圖2，四邊形是“對補(bǔ)四邊形”．當(dāng)，且時，圖中之間的數(shù)量關(guān)系是______，并證明這種關(guān)系．40.（22-23八年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）（1）如圖1，這是一個五角星，則．（2）如圖2，將五角星截去一個角后多出一個角，求的度數(shù)．（3）如圖3，將五角星的每個角都截去，求的度數(shù)．

41．（22-23八年級下·安徽宿州·期末）如圖，平行四邊形中，于點，點在上，交于點，連接．

(1)若，求的長度；(2)求證：；(3)求證：．

專題05平行四邊形知識點1：多邊形的相關(guān)概念及其表示方法（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．知識點2：多邊形內(nèi)角和與外角和（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．知識點3：平行四邊形的概念（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．知識點4：平行四邊形的性質(zhì)性質(zhì)1：平行四邊形的對邊相等．性質(zhì)2：平行四邊形的對角相等．性質(zhì)3：平行四邊形的對角線互相平分．補(bǔ)充：（1）平行線間的距離處處相等．（2）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．知識點5：平行四邊形的判定定義判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）補(bǔ)充定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．知識點6：三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC．題型歸納【題型1多邊形內(nèi)角和問題】滿分技法(1)一個多邊形的內(nèi)角和取決于它的邊數(shù),邊數(shù)增加，多邊形的內(nèi)角和也隨之增加，且每增加一條邊，內(nèi)角和增加180°(2)利用多邊形內(nèi)角和定理，已知邊數(shù)可以求內(nèi)角和;反之，已知內(nèi)角和也可以求邊數(shù).1．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）一個正多邊形的內(nèi)角和為．則這個正多邊形的邊數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】本題多邊形內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是理解并熟記多邊形內(nèi)角和公式．根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：可得方程，再解方程即可．【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)有x條，由題意得：解得：故選B2．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習(xí)）在六邊形中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為即可解題．【詳解】解∶∵六邊形的內(nèi)角和為，∴．故選：A．3．（22-23八年級下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）九邊形的內(nèi)角和等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：九邊形的內(nèi)角和等于：．故選：B．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和的計算公式．4．（23-24八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點C落在內(nèi)，若，則．

【答案】/40度【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，圖形的翻折變換，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．利用三角形的內(nèi)角和定理和四邊形的內(nèi)角和解答即可．【詳解】解：如圖，

，，．，，．四邊形的內(nèi)角和為，，．，．故答案為：．【題型2正多邊形的內(nèi)角問題】滿分技法(1)一個多邊形是正多邊形的條件是各邊都相等，各角都相等,兩者缺一不可.(2)正n邊形的每一個內(nèi)角都相等，且都等于(3)正n邊形的每一個外角都相等,且都等于5．（22-23八年級下·安徽六安·期末）正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解正六邊形的一個外角，再利用鄰補(bǔ)角的含義求解其一個內(nèi)角即可．【詳解】解：∵正六邊形的每一個外角的度數(shù)是，∴正六邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是；故選B【點睛】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角與外角的綜合應(yīng)用，熟記正多邊形的每一個外角都相等，每一個內(nèi)角都相等是解本題的關(guān)鍵．6．（22-23八年級下·安徽六安·期中）一個正多邊形的內(nèi)角和為，則這個正多邊形的每一個外角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出這個多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和定理得出答案．【詳解】根據(jù)題意，得，解得，這個正多邊形得每一個外角等于．故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形外角和定理，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．即多邊形的內(nèi)角和為：，多邊形的外角和為．7．（22-23八年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，是正六邊形，，分別是，上的點，且，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用多邊形的內(nèi)角和定理求得，再利用平行線的性質(zhì)及角的和差即可得解．【詳解】解：∵是正六邊形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故選：C【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（22-23八年級下·安徽蚌埠·階段練習(xí)）（1）正八邊形的每個內(nèi)角是每個外角的倍，求的值；（2）一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù)．【答案】（1）；（2）十四邊形【分析】（1）分別求出正八邊形的每個內(nèi)角和外角的度數(shù)，即可求解；（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）∵正八邊形的每個內(nèi)角，正八邊形的每個外角，∴；（2）設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得：，解得．∴這個多邊形是十四邊形．【點睛】此題考查多邊形內(nèi)角與外角，正確的列出方程組是解題的關(guān)鍵．【題型3多邊形內(nèi)角和與外角和綜合】滿分技法（1）多邊形的外角和等于360°,是一個定值.當(dāng)已知各外角的比值時，可通過設(shè)未知數(shù)，利用方程思想求解各外角的度數(shù).（2）多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān),都等于360°9．（23-24八年級下·安徽亳州·期中）一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和是，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得，計算即可，本題考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得，解得，故選B．10．（22-23八年級下·安徽安慶·期末）十邊形的內(nèi)角和是外角和的（

）倍.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先求出十邊形的內(nèi)角和，再根據(jù)外角和求出結(jié)果即可．【詳解】解：十邊形的內(nèi)角和為：，十邊形的外角和為，，∴十邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和與內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式．11．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）觀察每個正多邊形中的變化情況，解答下列問題：(1)將下面的表格補(bǔ)充完整：正多邊形邊數(shù)3456……(2)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正n邊形，使其中的？請說明理由．【答案】(1)，，，，18；(2)存在，見解析【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理與外角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和為．（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式與外角求出多邊形的每一個內(nèi)角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案；（2）根據(jù)（1）的求解方法建立方程，求出方程的解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，設(shè)正多邊形的的每一個內(nèi)角為，∴，解得，∴多邊形的邊數(shù)為；填表如下：正多邊形的邊數(shù)345618的度數(shù)（2）解：存在這樣的正n邊形．∴，∴，解得，經(jīng)檢驗符合題意；所以存在這樣的正n邊形，它是正十邊形．【題型4利用平行四邊形的性質(zhì)求解】滿分技法(1)平行四邊形的鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半.(2)平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊長度之差.12．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，在中，于點E，，，且a是一元二次方程的根，則的周長為（

）A． B． C．10 D．【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．先解方程求得，再根據(jù)勾股定理求得，從而計算出的周長即可．【詳解】解：是一元二次方程的根，，即，解得，或（不合題意，舍去）．∴，，在中，，，的周長．故選：A．13．（23-24八年級下·安徽池州·階段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交的延長線于點．若，則的長為．【答案】5【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．能證得是等腰三角形是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，所以．由平分得，由平行線的性質(zhì)得，運(yùn)用等量代換得，從而得到為等腰三角形，得．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，平分，，，，，．故答案為：．14．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）在中，，則．【答案】/度【分析】由四邊形是平行四邊形，可得，，又由，即可求得的度數(shù)，繼而求得答案．【詳解】解：如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．15．（23-24八年級下·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，動點P、Q分別從原點O、點B同時出發(fā)，動點P沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，動點Q在線段上以每秒1個單位長度的速度向點C運(yùn)動，當(dāng)點Q到達(dá)C點時，點P隨之停止運(yùn)動；設(shè)運(yùn)動時間為t（秒）．(1)直接寫出線段的長；(2)求直線的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)時，設(shè)直線與直線交于點D，求直線的解析式以及點D的坐標(biāo)；(4)當(dāng)四邊形是平行四邊形時，直接寫出t的值．【答案】(1)(2)(3)；(4)【分析】（1）根據(jù)兩點間距離公式進(jìn)行求解即可；（2）用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式即可；（3）先求出點P、Q的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，求出點D坐標(biāo)即可；（4）根據(jù)四邊形是平行四邊形，得出，根據(jù)列出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為；（3）解：∵，，∴直線平行x軸，∵動點P、Q分別從原點O、點B同時出發(fā)，點P沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，動點Q在線段上以每秒1個單位長度的速度向點C運(yùn)動，∴當(dāng)時，點Q的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為；聯(lián)立，解得：，∴點D的坐標(biāo)為．（4）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵動點P、Q分別從原點O、點B同時出發(fā)，動點P沿x軸正方向以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，動點Q在線段上以每秒1個單位長度的速度向點C運(yùn)動，∴，，∴，解得：，即當(dāng)四邊形是平行四邊形時，直接寫出t的值為6．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，兩條直線的交點坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握待定系數(shù)法．【題型5利用平行四邊形的性質(zhì)證明】滿分技法平行四邊形的性質(zhì)常和角平分線的性質(zhì)綜合考查，要特別注意等量轉(zhuǎn)換在解題過程中的應(yīng)用.16．（23-24八年級下·安徽淮南·期中）如圖，平行四邊形中，于點，點在上，交于點，連接，與交于點．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，推出，則根據(jù)可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由勾股定理得，進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】（1）于點，．，．四邊形是平行四邊形．，，，，，．在與中，，．（2），，，，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，根據(jù)證明是解題的關(guān)鍵．17．（23-24八年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）四邊形為平行四邊形，E為的中點，P為內(nèi)一點．用無刻度的直尺畫圖，不寫作法，保留作圖痕跡．(1)在圖1中，畫出的中點F；(2)如圖2，在上取點M，使直線平分的周長和面積．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）如圖所示，連接交于O，連接交于G，連接并延長交于F，點F即為所求；（2）如圖所示，連接交于O，連接并向兩邊延長分別交于M、N，則直線即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，連接交于O，連接交于G，連接并延長交于F，點F即為所求；分別是的中線，則由三角形三條中線交于一點可知也為的中線，則點F即為所求；（2）解：如圖所示，連接交于O，連接并向兩邊延長分別交于M、N，則直線即為所求；易證明，則可證明直線平分的周長和面積．18．（22-23八年級下·安徽安慶·期末）如圖，點、是對角線上的兩點，且．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，交于點，由平行四邊形的性質(zhì)得，，再證，即可得出結(jié)論；由勾股定理得，則，得，可求的長，由面積關(guān)系可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，交于點，

四邊形是平行四邊形，，，，，，即，又，四邊形是平行四邊形．（2）解：，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6證明四邊形是平行四邊形】滿分技法巧選平行四邊形的證明思路：已知條件證明思路一組對邊相等①另一組對邊也相等②相等的邊也平行一組對邊平行①另一組對邊也平行②平行的邊也相等對角線相交對角線互相平分一組對角相等另一組對角也相等19．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，已知點D，E，F(xiàn)分別是的中點，則圖中平行四邊形的個數(shù)是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定等知識點，熟悉掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用三角形中位線得到條件證明平行四邊形即可．【詳解】解：∵點D，E，F(xiàn)分別是的中點，∴，∴四邊形，，為平行四邊形．故選：C．20．（22-23八年級下·安徽蚌埠·期末）如圖，的面積為8，均是等邊三角形，當(dāng)時，四邊形的面積為（

）A．8 B．16 C． D．12【答案】B【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，從而可得，同理可得，因此四邊形是平行四邊形.再證三點共線，三點共線.從而可得與底相同，高相同，由此可求得的面積.【詳解】

和都是等邊三角形，，，即，，.是等邊三角形，，.同理可得，∴四邊形是平行四邊形.，，三點共線，三點共線.作于G,于H，則，且，.，.故選：B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定.解題的關(guān)鍵是要證明與底相同，高相同.21．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，在中，，是的中點，，且，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的性質(zhì)；根據(jù)三線合一可得，結(jié)合已知條件可得，根據(jù)等邊對等角可得，結(jié)合已知條件可得，即可證明，進(jìn)而根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可得證．【詳解】證明：，是的中點，又，．，．又，，，四邊形是平行四邊形．22．（22-23八年級下·安徽馬鞍山·期末）如圖，在網(wǎng)格中，線段和線段的端點都是格點（網(wǎng)格線的交點）．

(1)以點，，頂點，畫一個格點平行四邊形；(2)直接寫出你畫出的平行四邊形的周長為______．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定畫出圖形；（2）利用勾股定理求出邊長可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖平行四邊形即為所求；

（2）解：根據(jù)題意得：，∴平行四邊形的周長為．【點睛】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計作圖，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【題型7與三角形中位線有關(guān)的求解問題】滿分技法構(gòu)造中位線解決中點或中線問題：解決含有一個或多個線段中點的幾何問題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線(構(gòu)造三角形的中位線)進(jìn)而借助三角形中位線定理進(jìn)行解答，23．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，、分別是邊、的中點，且，，，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半，熟練掌握中位線定理并作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，計算即可．【詳解】解：連接，

∵、分別是邊、的中點，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，故選：C．24．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，，，分別是，，的中點，則圖中平行四邊形的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了中位線定理，平行四邊形的判定，熟悉掌握判定的方法是解題的關(guān)鍵．利用中位線得到定理證明平行四邊形即可．【詳解】解：∵，，分別是，，的中點，∴，，，，，，∴四邊形，，為平行四邊形，故選：B．25．（23-24八年級下·安徽蕪湖·期中）如圖，在中，，，，為邊上一動點（不與點重合），為等邊三角形，過點作的垂線，為垂線上任意一點，連接，為的中點，連接、，則的最小值是（

）A． B． C． D．10【答案】A【分析】取的中點，連接，推出三點共線，進(jìn)而得到點在直線上運(yùn)動，作點關(guān)于的對稱點，連接，得到，進(jìn)而得到三點共線時，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，取的中點，連接，∵，為的中點，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴三點共線，∴點在直線上運(yùn)動，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，連接，作，∴，垂直平分，∴當(dāng)三點共線時，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴．∴的最小值是；故選：A．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，三角形的中位線，勾股定理，利用軸對稱解決線段和最小的問題,解題的關(guān)鍵是確定點的運(yùn)動軌跡．26．（23-24八年級下·安徽銅陵·期中）如圖，在中，，是角平分線，點、分別在、上，且，、分別是、的中點，的延長線交邊于，過、分別作的垂線交邊與、，垂足分別為、．求證：(1)；(2)；(3)；【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和垂直的定義證明，，可得，即可證明；（2）連接，取的中點P，連接，根據(jù)三角形中位線的定義可得，，，，利用三角形外角可得，從而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明；（3）連接，根據(jù)和中點的定義可得四邊形為平行四邊形，即可證明．【詳解】（1）證明：∵是角平分線，∴∵∴∵，∴∵∴∴，∵∴∴，∴∵∴∴∴；（2）連接，取的中點P，連接∵是的中點，∴∴，∵是的中點，∴∴，∵∴∴∵∴，∵∴∵∴∴∵，∴∵，∴，∴∵∴∴∴；（3）證明：連接∵∴∵是的中點，∴∴，∵∴四邊形為平行四邊形∴∴∵，∴【點睛】本題考查了三角形綜合問題，涉及到角平分線的定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線等，正確作出輔助線是關(guān)鍵．【題型8與三角形中位線有關(guān)的證明】滿分技法三角形的中位線在位置上與第三邊平行，在數(shù)量上等于第三邊的一半，故在證明線段的平行、相等、和差倍分等問題時，經(jīng)常用到三角形中位線定理.27．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，C為的中點，連接交于點D，求證：．

【答案】見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由且C為的中點可得到四邊形是平行四邊形，則，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：如圖：連接，

∵C為的中點，∴，∵，∴，∵，即，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴是的中位線，∴．28．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）（1）如圖1，在四邊形中，與相交于點O，，E，F(xiàn)分別是的中點，連接，分別交于點M，N，判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是的中點，連接并延長，分別與的延長線交于點M，N，求證：．【答案】（1）是等腰三角形，理由見解析；（2）見解析．【分析】本題考查了中位線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）先取的中點H，連接，得出分別是，的中位線，再結(jié)合中位線的性質(zhì)以及，得出，根據(jù)等邊對等角，得出，即可作答．（2）連接，取的中點H，連接分別是，的中位線，再結(jié)合中位線的性質(zhì)以及，根據(jù)等邊對等角以及角的等量代換，即可作答．【詳解】解：（1）是等腰三角形，理由如下：如圖，取的中點H，連接，∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴分別是，的中位線，∴，，，，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）如圖，連接，取的中點H，連接∵E，F(xiàn)分別是的中點，∴分別是，的中位線，∴，，，，∵，∴，∴，∵，，∴，，∴．29．（22-23八年級下·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，分別是，，的中點，連接，，，求證：．

【答案】見解析【分析】由，，分別是，，的中點，可得，分別是，的中位線，根據(jù)中位線定理和已知即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，，分別是，，的中點，，分別是和的中位線，，，又，．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，解題時要善于根據(jù)已知信息確定應(yīng)用的知識．過關(guān)檢測九、單選題30．（22-23八年級下·安徽六安·期末）一個多邊形的內(nèi)角和等于，則它的邊數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)邊形的內(nèi)角和為得到，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，，．故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理：邊形的內(nèi)角和為．31．（22-23八年級下·安徽馬鞍山·期末）正八邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求解即可．【詳解】解：由題意得，正八邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是，故選C．【點睛】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角和定理，熟知多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．32．（22-23八年級下·安徽池州·期末）一個多邊形截去一個角后，得到的新多邊形內(nèi)角和為，則原多邊形邊數(shù)為（

）A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6【答案】D【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出n，再根據(jù)截去一個角，則會存在以下三種情況，多邊形邊數(shù)不變，增加1或減少1來解答．【詳解】解：設(shè)新多邊形邊數(shù)為n，∵新多邊形內(nèi)角和為，∴，解得，若多邊形截去一個角，則會存在以下三種情況，多邊形邊數(shù)不變，增加1或減少1，如下圖所示：

∴原多邊形邊數(shù)為4或5或6，故選：D．【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和和邊數(shù)的關(guān)系，掌握內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.33．（2024八年級下·安徽·專題練習(xí)）按如圖方式分割成9個小平行四邊形，若知道其中個小平行四邊形的周長就能求出的周長，那么的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．如圖，設(shè)平行四邊形①的周長為，平行四邊形②的周長為，平行四邊形③的周長為．由題意可知大平行四邊形的周長，由此即可判斷．【詳解】解：如圖，設(shè)平行四邊形①的周長為，平行四邊形②的周長為，平行四邊形③的周長為．由題意可知大平行四邊形的周長，知道九個小平行四邊形中小平行四邊形①②③的周長，就一定能算出這個大平行四邊形的周長，的最小值為3．故選：B．34．（22-23八年級下·安徽合肥·期末）如圖，某校園內(nèi)小池塘的岸邊有A、B兩點，難以直接測量A、B兩點間的距離，數(shù)學(xué)實踐活動小組的同學(xué)們在A、B外選擇了一點C，取線段，的中點D，E，測得，則A、B兩點的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形中位線定理解決問題即可．【詳解】解：∵取線段，的中點D，E，∴是的中位線，∴，故選：D．【點睛】本題考查三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，屬于中考?？碱}型．十、填空題35．（22-23八年級下·安徽淮北·階段練習(xí)）若n邊形的每個內(nèi)角都是，則邊數(shù)n為．【答案】5【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可．【詳解】解：由題意得，解得：．故答案為：5．【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記內(nèi)角和公式并列出方程是解題的關(guān)鍵．36．（22-23八年級下·安徽蚌埠·期末）如圖，在正六邊形中，．

【答案】/度【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式：（為正整數(shù)），求出正六邊形的內(nèi)角和，再由正多邊形每