七年級上冊數(shù)學(xué)培優(yōu)講義（直線、射線、線段）第十一講

直線、射線、線段直線、射線、線段內(nèi)容基本要求略高要求較高要求直線.射線.線段會表示點(diǎn).線段.射線.直線.知道它們之間的聯(lián)系和區(qū)別；結(jié)合圖形理解兩點(diǎn)之間的距離的概念；會比較兩條線段的大小.并能進(jìn)行與線段有關(guān)的簡單計(jì)算會用尺規(guī)作圖：做一條線段等于已知線段.做已知線段的垂直平分線；會用線段中點(diǎn)的知識解決簡單問題；結(jié)合圖形認(rèn)識線段間的數(shù)量關(guān)系會運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離解決有關(guān)問題直線.射線.線段的概念：①在直線的基礎(chǔ)上定義射線.線段：直線上的一點(diǎn)和這點(diǎn)一旁的部分叫射線.這個點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn)．直線上兩點(diǎn)和中間的部分叫線段.這兩個點(diǎn)叫線段的端點(diǎn)．②在線段的基礎(chǔ)上定義直線.射線：把線段向一方無限延伸所形成的圖形叫射線.把線段向兩方無限延伸所形成的圖形是直線．點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)在直線上；點(diǎn)在直線外．兩個重要公理：①經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.也稱為“兩點(diǎn)確定一條直線”．②兩點(diǎn)之間的連線中.線段最短.簡稱“兩點(diǎn)之間.線段最短”．兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)確定的線段的長度．⑴點(diǎn)的表示方法：我們經(jīng)常用一個大寫的英文字母表示點(diǎn)：....……⑵直線的表示方法：用兩個大寫字母來表示.這兩個大寫字母表示直線上的點(diǎn).不分先后順序.如直線AB.如下圖⑴也可以寫作直線BA．②用一個小寫字母來表示.如直線.如上圖⑵．注意：在直線的表示前面必須加上“直線”二字；用兩個大寫字母表示時字母不分先后順序．⑶射線的表示方法：①用兩個大寫字母來表示．第一個大寫字母表示射線的端點(diǎn).第二個大寫字母表示射線上的點(diǎn)．如射線OA.如圖⑶.但不能寫作射線AO．②用一個小寫字母來表示.如射線.如圖⑷．注意：在射線的表示前面必須加上“射線”二字．用兩個大寫字母表示射線時字母有先后順序.射線的端點(diǎn)在前．⑷線段的表示方法：①用兩個大寫字母來表示.這兩個大寫字母表示線段的兩個端點(diǎn).無先后順序之分.如線段AB.如圖⑸.也可以寫作線段BA．②也可以用一個小寫字母來表示：如線段.如圖⑹．注意：在線段的表示前面必須加上“線段”二字．用兩個大寫字母表示線段時字母不分先后順序．直線.射線.線段的主要區(qū)別：類型端點(diǎn)延長線及反向延長線用兩個大寫字母表示直線個無無順序射線個有反向延長線第一個表示端點(diǎn)線段個兩者都有無順序中點(diǎn)：把線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)叫做這條線段的中點(diǎn)．模塊一直線.射線.線段的概念下列說法正確的是（）A.直線上一點(diǎn)一旁的部分叫做射線B.直線是射線的2倍C.射線與射線是同一條射線D.過兩點(diǎn)可畫出兩條射線【解題思路】略【題目答案】【鞏固練習(xí)】下列說法中正確的是（）A.直線的一半是射線B.延長線段至.使C.從北京到上海火車行駛的路程就是這兩地的距離D.三條直線兩兩相交.有三個交點(diǎn)【解題思路】略【題目答案】下列語句準(zhǔn)確規(guī)范的是()A.直線相交于一點(diǎn)B.延長直線C.反向延長射線(是端點(diǎn))D.延長線段到.使【解題思路】略【題目答案】D【鞏固練習(xí)】下面說法中錯誤的是()A.直線和直線是同一條直線B.射線和射線是同一條射線C.線段和線段是同一條線段D.把線段向兩端無限延伸便得到直線【解題思路】略【題目答案】B【鞏固練習(xí)】下列敘述正確的是（）A．孫悟空在天上畫一條十萬八千里的直線B．筆直的公路是一條直線C．點(diǎn)一定在直線上D．過點(diǎn).可以畫兩條不同的直線.分別為直線和直線【解題思路】略【題目答案】根據(jù)直線.射線.線段各自的性質(zhì).如下圖.能夠相交的是（）【解題思路】略【題目答案】B【鞏固練習(xí)】下列四個圖形中各有一條射線和一條線段.它們能相交的是（）【解題思路】略【題目答案】C【鞏固練習(xí)】下列敘述正確的是()A．可以畫一條長的直線 B．一根拉緊的線是一條直線C．直線AB經(jīng)過C點(diǎn)D．直線AB與直線BA是不同的直線【解題思路】略【題目答案】C如圖所示根據(jù)要求作圖：⑴連結(jié)AB；⑵作射線AC；⑶作直線BC．【解題思路】略【題目答案】如圖模塊二直線公理公理：兩點(diǎn)確定一條直線如圖.圖中共有條線段.【解題思路】.【題目答案】15【鞏固練習(xí)】平面上有三個點(diǎn).經(jīng)過兩點(diǎn)畫一條直線.則可以畫幾條直線?【解題思路】略【題目答案】1條或3條.模塊三線段的相關(guān)計(jì)算如圖所示.是線段的中點(diǎn).則.．【解題思路】.．【題目答案】；；．【鞏固練習(xí)】判斷：若.則說明是的中點(diǎn)．【解題思路】錯誤.如圖.雖然.但不是的中點(diǎn).要明確點(diǎn)把線段分成兩條相等的線段才可．【題目答案】錯誤【鞏固練習(xí)】判斷：已知..三點(diǎn)在同一條直線上..那么是的中點(diǎn)．【解題思路】錯誤.幾何中的題目如果無圖.要特別注意讀準(zhǔn)題意.適時分類求解．如下圖⑴.⑵.均滿足題意．【題目答案】錯誤如圖.已知線段上依次有三個點(diǎn)把線段分成四個部分..求的長度.【解題思路】根據(jù)題意可設(shè).所以有：.【題目答案】36【鞏固練習(xí)】已知.是上順次兩點(diǎn).且.為的中點(diǎn).為的中點(diǎn).求的長.【解題思路】設(shè).....【題目答案】10如圖.已知線段上依次有三個點(diǎn)把線段分成四個部分.分別是的中點(diǎn).若求的長度.【解題思路】根據(jù)題意可設(shè)【題目答案】7【鞏固練習(xí)】攝影組從市到市有一天的路程.計(jì)劃上午比下午多走100千米到市吃飯.由于堵車.中午才趕到一個小鎮(zhèn).只行駛了原計(jì)劃的三分之一.過了小鎮(zhèn).汽車趕了400千米.傍晚才停下來休息.司機(jī)說.再走從市到這里路程的二分之一就到達(dá)目的地了.問兩市相距多少千米？【解題思路】根據(jù)題意畫圖.為中午趕到的小鎮(zhèn).為傍晚趕到的地方.根據(jù)題意可得：.所以有.則（千米）.【題目答案】600千米模塊四兩點(diǎn)之間線段最短從家到學(xué)校共有條路可以走.如圖所示.若想走最近的路.應(yīng)選擇（填序號）.這是根據(jù)．【解題思路】略【題目答案】②；兩點(diǎn)之間.線段最短.如圖.已知在直線的兩側(cè).在上求一點(diǎn).使最小；【解題思路】如圖.連接.與的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).利用“兩點(diǎn)之間線段最短”.教師不妨可在其他出處取一點(diǎn).顯然.【題目答案】如圖【鞏固練習(xí)】如圖.有一個正方體的盒子.在盒子內(nèi)的頂點(diǎn)處有一只蜘蛛.而在對角的頂點(diǎn)處有一只蒼蠅.蜘蛛應(yīng)沿著什么路徑爬行.才能在最短的時間內(nèi)捕捉到蒼蠅？（假設(shè)蒼蠅在處不動）【解題思路】把盒面展開.使包含點(diǎn)和的兩個盒面在同一平面內(nèi).如圖3-1是其中的一種.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短.只要連接即可.設(shè)與交于點(diǎn).則就是最短路線.【題目答案】把盒面展開.使包含點(diǎn)和的兩個盒面在同一平面內(nèi).如圖3-1是其中的一種.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短.只要連接即可.設(shè)與交于點(diǎn).則就是最短路線.板塊五線段長度總和數(shù)線段：如果直線上有個點(diǎn)（含有條基本線段.把相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做基本線段）.直線上的線段條數(shù)為：（條）.如圖.直線上有三個不同的點(diǎn).且.那么到三點(diǎn)距離的和最小的點(diǎn)（）A．是點(diǎn)B．是線段的中點(diǎn)C．是線段外的一點(diǎn)D．有無窮多個【解題思路】略【題目答案】A【鞏固練習(xí)】如圖.是線段上一點(diǎn).是線段的中點(diǎn).已知圖中所有線段的長度之和為.線段的長度和線段的長度都是正整數(shù).則線段的長度為__________.【解題思路】設(shè)線段.則有.于是有.上式中均為正整數(shù).故為偶數(shù).又當(dāng)時..故只能取或4.當(dāng)時.不是整數(shù)；于是..【題目答案】3如圖.線段厘米.那么圖中所有線段長度之和等于多少厘米？【解題思路】所有線段和為：【題目答案】20【鞏固練習(xí)】已知是線段上順次三點(diǎn)..則這個圖形中所有線段的長度之和為多少？【解題思路】所有線段和為：【題目答案】50一條直線從左到右依次排列著2004個點(diǎn):已知點(diǎn)是線段的等分點(diǎn)中最靠近的那個分點(diǎn).例如.點(diǎn)就是線段的五等份點(diǎn)中最靠近的那個點(diǎn).如果線段的長度是1.線段的長度為.求證:【解題思路】略【題目答案】由題意.應(yīng)是的二等份點(diǎn).所以.應(yīng)是的三等分點(diǎn)中最靠近的那個點(diǎn).所以一般地.是的等份點(diǎn)中最靠近的那個點(diǎn).所以移項(xiàng)化簡得:即試看具體情有:依次類推得.所以是線段的中點(diǎn).是線段上的一點(diǎn).如圖所示.若所有線段的長度都是正整數(shù).且線段的所有可能數(shù)的乘積等于140.則線段的所有可能的長度的和等于【解題思路】因?yàn)樗芯€段的長為正整數(shù).且是的中點(diǎn).設(shè)的長度為.則有(是正整數(shù))又.且是線段的所有可能的長度的乘積.所以或.故的所有可能長度的和為.【鞏固練習(xí)】如圖.已知是線段上一點(diǎn).是線段的中點(diǎn).是線段的中點(diǎn).為的中點(diǎn).為的中點(diǎn).則等于（）A．1B．2C．3D．4【解題思路】略【題目答案】B【鞏固練習(xí)】如圖.是直線上的一個點(diǎn).請你在點(diǎn)的右側(cè)每隔1厘米取一個點(diǎn).共取三個點(diǎn).那么.（1）用三個字母任意標(biāo)在所取的三個點(diǎn)上.一共有_______中不同標(biāo)法；（2）在每種標(biāo)法中.的長度與的長度的比分別是__________.【解題思路】（1）將三個字母任意標(biāo)在所取的三個點(diǎn)上.第一個點(diǎn)有3種標(biāo)法.第二個點(diǎn)有2種標(biāo)法.第三個點(diǎn)有1中標(biāo)法.所以共有種標(biāo)法.（2）下面是6種標(biāo)法：①中.②中.③中.④中.⑤中.⑥中.板塊六線段長短比較（1）疊合法：比較兩條線段.的長短.可把它們移到同一條直線上.使一個端點(diǎn)和重合.另一個端點(diǎn)和落在直線上（或）的同側(cè).若點(diǎn).重合.則；若在線段上.則；若在線段外.則.（2）度量法：分別度量出每條線段的長度.再按長度的大小.比較線段的大小.線段的大小關(guān)系和它們長度的大小關(guān)系是一致的.如圖.線段.是中點(diǎn).是中點(diǎn).試比較和的大小.【解題思路】略【題目答案】【鞏固練習(xí)】如圖.已知.是線段上的任意兩點(diǎn).是的中點(diǎn).是的中點(diǎn).請你說明：.【解題思路】略【題目答案】根據(jù)題意可得：課后課后練習(xí)１.如圖.是上任意一點(diǎn).是的三等分點(diǎn).是的三等分點(diǎn)..求的長度.【解題思路】【題目答案】２.如圖.已知在直線的同側(cè).在上求一點(diǎn).使最?。弧窘忸}思路】如圖.作關(guān)于的對稱點(diǎn).連接交于點(diǎn).即為所求的點(diǎn)！教師可以另取任意一點(diǎn).向?qū)W生說明為什么這樣的情況下符合提議！【題目答案】如圖.點(diǎn)即為所求３.如圖.依次是線段上三點(diǎn).已知..則圖中所有線段長度之和是多少？【解題思路