七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義（直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段）第十一講

直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段內(nèi)容基本要求略高要求較高要求直線(xiàn).射線(xiàn).線(xiàn)段會(huì)表示點(diǎn).線(xiàn)段.射線(xiàn).直線(xiàn).知道它們之間的聯(lián)系和區(qū)別；結(jié)合圖形理解兩點(diǎn)之間的距離的概念；會(huì)比較兩條線(xiàn)段的大小.并能進(jìn)行與線(xiàn)段有關(guān)的簡(jiǎn)單計(jì)算會(huì)用尺規(guī)作圖：做一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段.做已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；會(huì)用線(xiàn)段中點(diǎn)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；結(jié)合圖形認(rèn)識(shí)線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離解決有關(guān)問(wèn)題直線(xiàn).射線(xiàn).線(xiàn)段的概念：①在直線(xiàn)的基礎(chǔ)上定義射線(xiàn).線(xiàn)段：直線(xiàn)上的一點(diǎn)和這點(diǎn)一旁的部分叫射線(xiàn).這個(gè)點(diǎn)叫做射線(xiàn)的端點(diǎn)．直線(xiàn)上兩點(diǎn)和中間的部分叫線(xiàn)段.這兩個(gè)點(diǎn)叫線(xiàn)段的端點(diǎn)．②在線(xiàn)段的基礎(chǔ)上定義直線(xiàn).射線(xiàn)：把線(xiàn)段向一方無(wú)限延伸所形成的圖形叫射線(xiàn).把線(xiàn)段向兩方無(wú)限延伸所形成的圖形是直線(xiàn)．點(diǎn)與直線(xiàn)的關(guān)系：點(diǎn)在直線(xiàn)上；點(diǎn)在直線(xiàn)外．兩個(gè)重要公理：①經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn).也稱(chēng)為“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)”．②兩點(diǎn)之間的連線(xiàn)中.線(xiàn)段最短.簡(jiǎn)稱(chēng)“兩點(diǎn)之間.線(xiàn)段最短”．兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)確定的線(xiàn)段的長(zhǎng)度．⑴點(diǎn)的表示方法：我們經(jīng)常用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母表示點(diǎn)：....……⑵直線(xiàn)的表示方法：用兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示.這兩個(gè)大寫(xiě)字母表示直線(xiàn)上的點(diǎn).不分先后順序.如直線(xiàn)AB.如下圖⑴也可以寫(xiě)作直線(xiàn)BA．②用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示.如直線(xiàn).如上圖⑵．注意：在直線(xiàn)的表示前面必須加上“直線(xiàn)”二字；用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示時(shí)字母不分先后順序．⑶射線(xiàn)的表示方法：①用兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示．第一個(gè)大寫(xiě)字母表示射線(xiàn)的端點(diǎn).第二個(gè)大寫(xiě)字母表示射線(xiàn)上的點(diǎn)．如射線(xiàn)OA.如圖⑶.但不能寫(xiě)作射線(xiàn)AO．②用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示.如射線(xiàn).如圖⑷．注意：在射線(xiàn)的表示前面必須加上“射線(xiàn)”二字．用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示射線(xiàn)時(shí)字母有先后順序.射線(xiàn)的端點(diǎn)在前．⑷線(xiàn)段的表示方法：①用兩個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示.這兩個(gè)大寫(xiě)字母表示線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn).無(wú)先后順序之分.如線(xiàn)段AB.如圖⑸.也可以寫(xiě)作線(xiàn)段BA．②也可以用一個(gè)小寫(xiě)字母來(lái)表示：如線(xiàn)段.如圖⑹．注意：在線(xiàn)段的表示前面必須加上“線(xiàn)段”二字．用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示線(xiàn)段時(shí)字母不分先后順序．直線(xiàn).射線(xiàn).線(xiàn)段的主要區(qū)別：類(lèi)型端點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)及反向延長(zhǎng)線(xiàn)用兩個(gè)大寫(xiě)字母表示直線(xiàn)個(gè)無(wú)無(wú)順序射線(xiàn)個(gè)有反向延長(zhǎng)線(xiàn)第一個(gè)表示端點(diǎn)線(xiàn)段個(gè)兩者都有無(wú)順序中點(diǎn)：把線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段的點(diǎn)叫做這條線(xiàn)段的中點(diǎn)．模塊一直線(xiàn).射線(xiàn).線(xiàn)段的概念下列說(shuō)法正確的是（）A.直線(xiàn)上一點(diǎn)一旁的部分叫做射線(xiàn)B.直線(xiàn)是射線(xiàn)的2倍C.射線(xiàn)與射線(xiàn)是同一條射線(xiàn)D.過(guò)兩點(diǎn)可畫(huà)出兩條射線(xiàn)【解題思路】略【題目答案】【鞏固練習(xí)】下列說(shuō)法中正確的是（）A.直線(xiàn)的一半是射線(xiàn)B.延長(zhǎng)線(xiàn)段至.使C.從北京到上?；疖?chē)行駛的路程就是這兩地的距離D.三條直線(xiàn)兩兩相交.有三個(gè)交點(diǎn)【解題思路】略【題目答案】下列語(yǔ)句準(zhǔn)確規(guī)范的是()A.直線(xiàn)相交于一點(diǎn)B.延長(zhǎng)直線(xiàn)C.反向延長(zhǎng)射線(xiàn)(是端點(diǎn))D.延長(zhǎng)線(xiàn)段到.使【解題思路】略【題目答案】D【鞏固練習(xí)】下面說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A.直線(xiàn)和直線(xiàn)是同一條直線(xiàn)B.射線(xiàn)和射線(xiàn)是同一條射線(xiàn)C.線(xiàn)段和線(xiàn)段是同一條線(xiàn)段D.把線(xiàn)段向兩端無(wú)限延伸便得到直線(xiàn)【解題思路】略【題目答案】B【鞏固練習(xí)】下列敘述正確的是（）A．孫悟空在天上畫(huà)一條十萬(wàn)八千里的直線(xiàn)B．筆直的公路是一條直線(xiàn)C．點(diǎn)一定在直線(xiàn)上D．過(guò)點(diǎn).可以畫(huà)兩條不同的直線(xiàn).分別為直線(xiàn)和直線(xiàn)【解題思路】略【題目答案】根據(jù)直線(xiàn).射線(xiàn).線(xiàn)段各自的性質(zhì).如下圖.能夠相交的是（）【解題思路】略【題目答案】B【鞏固練習(xí)】下列四個(gè)圖形中各有一條射線(xiàn)和一條線(xiàn)段.它們能相交的是（）【解題思路】略【題目答案】C【鞏固練習(xí)】下列敘述正確的是()A．可以畫(huà)一條長(zhǎng)的直線(xiàn) B．一根拉緊的線(xiàn)是一條直線(xiàn)C．直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)C點(diǎn)D．直線(xiàn)AB與直線(xiàn)BA是不同的直線(xiàn)【解題思路】略【題目答案】C如圖所示根據(jù)要求作圖：⑴連結(jié)AB；⑵作射線(xiàn)AC；⑶作直線(xiàn)BC．【解題思路】略【題目答案】如圖模塊二直線(xiàn)公理公理：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)如圖.圖中共有條線(xiàn)段.【解題思路】.【題目答案】15【鞏固練習(xí)】平面上有三個(gè)點(diǎn).經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn).則可以畫(huà)幾條直線(xiàn)?【解題思路】略【題目答案】1條或3條.模塊三線(xiàn)段的相關(guān)計(jì)算如圖所示.是線(xiàn)段的中點(diǎn).則.．【解題思路】.．【題目答案】；；．【鞏固練習(xí)】判斷：若.則說(shuō)明是的中點(diǎn)．【解題思路】錯(cuò)誤.如圖.雖然.但不是的中點(diǎn).要明確點(diǎn)把線(xiàn)段分成兩條相等的線(xiàn)段才可．【題目答案】錯(cuò)誤【鞏固練習(xí)】判斷：已知..三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上..那么是的中點(diǎn)．【解題思路】錯(cuò)誤.幾何中的題目如果無(wú)圖.要特別注意讀準(zhǔn)題意.適時(shí)分類(lèi)求解．如下圖⑴.⑵.均滿(mǎn)足題意．【題目答案】錯(cuò)誤如圖.已知線(xiàn)段上依次有三個(gè)點(diǎn)把線(xiàn)段分成四個(gè)部分..求的長(zhǎng)度.【解題思路】根據(jù)題意可設(shè).所以有：.【題目答案】36【鞏固練習(xí)】已知.是上順次兩點(diǎn).且.為的中點(diǎn).為的中點(diǎn).求的長(zhǎng).【解題思路】設(shè).....【題目答案】10如圖.已知線(xiàn)段上依次有三個(gè)點(diǎn)把線(xiàn)段分成四個(gè)部分.分別是的中點(diǎn).若求的長(zhǎng)度.【解題思路】根據(jù)題意可設(shè)【題目答案】7【鞏固練習(xí)】攝影組從市到市有一天的路程.計(jì)劃上午比下午多走100千米到市吃飯.由于堵車(chē).中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn).只行駛了原計(jì)劃的三分之一.過(guò)了小鎮(zhèn).汽車(chē)趕了400千米.傍晚才停下來(lái)休息.司機(jī)說(shuō).再走從市到這里路程的二分之一就到達(dá)目的地了.問(wèn)兩市相距多少千米？【解題思路】根據(jù)題意畫(huà)圖.為中午趕到的小鎮(zhèn).為傍晚趕到的地方.根據(jù)題意可得：.所以有.則（千米）.【題目答案】600千米模塊四兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短從家到學(xué)校共有條路可以走.如圖所示.若想走最近的路.應(yīng)選擇（填序號(hào)）.這是根據(jù)．【解題思路】略【題目答案】②；兩點(diǎn)之間.線(xiàn)段最短.如圖.已知在直線(xiàn)的兩側(cè).在上求一點(diǎn).使最??；【解題思路】如圖.連接.與的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn).利用“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”.教師不妨可在其他出處取一點(diǎn).顯然.【題目答案】如圖【鞏固練習(xí)】如圖.有一個(gè)正方體的盒子.在盒子內(nèi)的頂點(diǎn)處有一只蜘蛛.而在對(duì)角的頂點(diǎn)處有一只蒼蠅.蜘蛛應(yīng)沿著什么路徑爬行.才能在最短的時(shí)間內(nèi)捕捉到蒼蠅？（假設(shè)蒼蠅在處不動(dòng)）【解題思路】把盒面展開(kāi).使包含點(diǎn)和的兩個(gè)盒面在同一平面內(nèi).如圖3-1是其中的一種.根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.只要連接即可.設(shè)與交于點(diǎn).則就是最短路線(xiàn).【題目答案】把盒面展開(kāi).使包含點(diǎn)和的兩個(gè)盒面在同一平面內(nèi).如圖3-1是其中的一種.根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短.只要連接即可.設(shè)與交于點(diǎn).則就是最短路線(xiàn).板塊五線(xiàn)段長(zhǎng)度總和數(shù)線(xiàn)段：如果直線(xiàn)上有個(gè)點(diǎn)（含有條基本線(xiàn)段.把相鄰兩點(diǎn)間的線(xiàn)段叫做基本線(xiàn)段）.直線(xiàn)上的線(xiàn)段條數(shù)為：（條）.如圖.直線(xiàn)上有三個(gè)不同的點(diǎn).且.那么到三點(diǎn)距離的和最小的點(diǎn)（）A．是點(diǎn)B．是線(xiàn)段的中點(diǎn)C．是線(xiàn)段外的一點(diǎn)D．有無(wú)窮多個(gè)【解題思路】略【題目答案】A【鞏固練習(xí)】如圖.是線(xiàn)段上一點(diǎn).是線(xiàn)段的中點(diǎn).已知圖中所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和為.線(xiàn)段的長(zhǎng)度和線(xiàn)段的長(zhǎng)度都是正整數(shù).則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.【解題思路】設(shè)線(xiàn)段.則有.于是有.上式中均為正整數(shù).故為偶數(shù).又當(dāng)時(shí)..故只能取或4.當(dāng)時(shí).不是整數(shù)；于是..【題目答案】3如圖.線(xiàn)段厘米.那么圖中所有線(xiàn)段長(zhǎng)度之和等于多少厘米？【解題思路】所有線(xiàn)段和為：【題目答案】20【鞏固練習(xí)】已知是線(xiàn)段上順次三點(diǎn)..則這個(gè)圖形中所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和為多少？【解題思路】所有線(xiàn)段和為：【題目答案】50一條直線(xiàn)從左到右依次排列著2004個(gè)點(diǎn):已知點(diǎn)是線(xiàn)段的等分點(diǎn)中最靠近的那個(gè)分點(diǎn).例如.點(diǎn)就是線(xiàn)段的五等份點(diǎn)中最靠近的那個(gè)點(diǎn).如果線(xiàn)段的長(zhǎng)度是1.線(xiàn)段的長(zhǎng)度為.求證:【解題思路】略【題目答案】由題意.應(yīng)是的二等份點(diǎn).所以.應(yīng)是的三等分點(diǎn)中最靠近的那個(gè)點(diǎn).所以一般地.是的等份點(diǎn)中最靠近的那個(gè)點(diǎn).所以移項(xiàng)化簡(jiǎn)得:即試看具體情有:依次類(lèi)推得.所以是線(xiàn)段的中點(diǎn).是線(xiàn)段上的一點(diǎn).如圖所示.若所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度都是正整數(shù).且線(xiàn)段的所有可能數(shù)的乘積等于140.則線(xiàn)段的所有可能的長(zhǎng)度的和等于【解題思路】因?yàn)樗芯€(xiàn)段的長(zhǎng)為正整數(shù).且是的中點(diǎn).設(shè)的長(zhǎng)度為.則有(是正整數(shù))又.且是線(xiàn)段的所有可能的長(zhǎng)度的乘積.所以或.故的所有可能長(zhǎng)度的和為.【鞏固練習(xí)】如圖.已知是線(xiàn)段上一點(diǎn).是線(xiàn)段的中點(diǎn).是線(xiàn)段的中點(diǎn).為的中點(diǎn).為的中點(diǎn).則等于（）A．1B．2C．3D．4【解題思路】略【題目答案】B【鞏固練習(xí)】如圖.是直線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn).請(qǐng)你在點(diǎn)的右側(cè)每隔1厘米取一個(gè)點(diǎn).共取三個(gè)點(diǎn).那么.（1）用三個(gè)字母任意標(biāo)在所取的三個(gè)點(diǎn)上.一共有_______中不同標(biāo)法；（2）在每種標(biāo)法中.的長(zhǎng)度與的長(zhǎng)度的比分別是__________.【解題思路】（1）將三個(gè)字母任意標(biāo)在所取的三個(gè)點(diǎn)上.第一個(gè)點(diǎn)有3種標(biāo)法.第二個(gè)點(diǎn)有2種標(biāo)法.第三個(gè)點(diǎn)有1中標(biāo)法.所以共有種標(biāo)法.（2）下面是6種標(biāo)法：①中.②中.③中.④中.⑤中.⑥中.板塊六線(xiàn)段長(zhǎng)短比較（1）疊合法：比較兩條線(xiàn)段.的長(zhǎng)短.可把它們移到同一條直線(xiàn)上.使一個(gè)端點(diǎn)和重合.另一個(gè)端點(diǎn)和落在直線(xiàn)上（或）的同側(cè).若點(diǎn).重合.則；若在線(xiàn)段上.則；若在線(xiàn)段外.則.（2）度量法：分別度量出每條線(xiàn)段的長(zhǎng)度.再按長(zhǎng)度的大小.比較線(xiàn)段的大小.線(xiàn)段的大小關(guān)系和它們長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的.如圖.線(xiàn)段.是中點(diǎn).是中點(diǎn).試比較和的大小.【解題思路】略【題目答案】【鞏固練習(xí)】如圖.已知.是線(xiàn)段上的任意兩點(diǎn).是的中點(diǎn).是的中點(diǎn).請(qǐng)你說(shuō)明：.【解題思路】略【題目答案】根據(jù)題意可得：課后課后練習(xí)１.如圖.是上任意一點(diǎn).是的三等分點(diǎn).是的三等分點(diǎn)..求的長(zhǎng)度.【解題思路】【題目答案】２.如圖.已知在直線(xiàn)的同側(cè).在上求一點(diǎn).使最??；【解題思路】如圖.作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).連接交于點(diǎn).即為所求的點(diǎn)！教師可以另取任意一點(diǎn).向?qū)W生說(shuō)明為什么這樣的情況下符合提議！【題目答案】如圖.點(diǎn)即為所求３.如圖.依次是線(xiàn)段上三點(diǎn).已知..則圖中所有線(xiàn)段長(zhǎng)度之和是多少？【解題思路