(教師版較詳細(xì))橢圓的講義與練習(xí)

．(2)在中，由余弦定理得：∵，∴，即．∴．即的面積與橢圓短軸長有關(guān)．說明：橢圓上的一點與兩個焦點，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關(guān)焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)，的關(guān)系式，使問題找到解決思路．例8、設(shè)F1、F2為橢圓＝1的兩個焦點，P為橢圓上的一點.P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|＞|PF2|,求的值.解:由題意，假設(shè)為直角，那么，即得，，故假設(shè)為直角，，即得，，故注：該題易忽略為直角，想當(dāng)然的認(rèn)為只是為直角題型三：橢圓的離心率問題例9、一個橢圓的焦點將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率．解：∴，∴．說明：變式訓(xùn)練：設(shè)橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．求橢圓的離心率．解：易得，從而有例10、橢圓與軸正向交于點，假設(shè)這個橢圓上總存在點，使(為坐標(biāo)原點)，求其離心率的取值范圍．分析：∵解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，那么橢圓上的點，，∵，∴，即，解得或，∵∴〔舍去〕，，又∴，∴，又，∴．變式訓(xùn)練：假設(shè)橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使．如何證明？選作思考：橢圓，、是其長軸的兩個端點．〔1〕過一個焦點作垂直于長軸的弦，求證：不管、如何變化，．〔2〕如果橢圓上存在一個點，使，求的離心率的取值范圍．分析：此題從條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從和的正切值出發(fā)做出估計，因此要從點的坐標(biāo)、斜率入手．此題的第〔2〕問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：，，根據(jù)得到，將代入，消去，用、、表示，以便利用列出不等式．這里要求思路清楚，計算準(zhǔn)確，一氣呵成．解：〔1〕設(shè)，，．于是，．∵是到的角．∴∵∴，故∴．〔2〕設(shè)，那么，．由于對稱性，不妨設(shè)，于是是到的角．∴∵，∴整理得∵∴.∵，∴∵，∴.，∴，∴或〔舍〕，∴．總結(jié)區(qū)：離心率的值或范圍的求法〔本質(zhì)和通法〕：題型四：弦中點問題例11、中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得，∴，，，∴，∴為所求．說明：〔1〕此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；〔2〕直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題．變式訓(xùn)練：橢圓上不同三點，，與焦點的距離成等差數(shù)列．〔1〕求證；〔2〕假設(shè)線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率．證明：〔1〕由橢圓方程知，，．由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，∴．同理．∵，且，∴，即．〔2〕因為線段的中點為，所以它的垂直平分線方程為：．又∵點在軸上，設(shè)其坐標(biāo)為，代入上式，得：又∵點，都在橢圓上，∴，∴．將此式代入①，并利用的結(jié)論得：∴．例12、橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程．分析一：一點求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求．解法一：設(shè)所求直線的斜率為，那么直線方程為．代入橢圓方程，并整理得:．由韋達定理得．∵是弦中點，∴．故得．所以所求直線方程為．分析二：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，那么由題意得①－②得．⑤將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．所求直線方程為．變式訓(xùn)練：求過點〔0，2〕的直線被橢圓x2＋2y2＝2所截弦的中點的軌跡方程.解：設(shè)直線方程為y=kx+2，把它代入x2＋2y2＝2，整理得〔2k2＋1〕x2+8kx+6=0.要使直線和橢圓有兩個不同交點，那么Δ＞0，即k＜－或k＞.設(shè)直線與橢圓兩個交點為A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，中點坐標(biāo)為C〔x，y〕，那么x＝＝，y=+2＝.〔k＜－或k＞〕，從參數(shù)方程〔k＜－或k＞〕，從參數(shù)方程y=消去k得x2＋2〔y－1〕2＝2，且｜x｜＜＝，0＜y＜．說明：〔1〕有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡．〔2〕解法二是“點差法〞，解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率．〔3“韋達定理應(yīng)用〞及“點差法〞．有關(guān)二次曲線問題也適用．總結(jié)區(qū)：點差法：題型五：參數(shù)方程問題〔常用于最值〕例13、設(shè)橢圓(為參數(shù))上一點與軸正向所成角，求點的坐標(biāo)．分析：利用參數(shù)與之間的關(guān)系求解．解：設(shè)，由與軸正向所成角為，∴，即．而，，由此得到，，∴點坐標(biāo)為．變式訓(xùn)練：(1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．分析：此題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．為簡化運算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題．解：(1)．(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點，，那么故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12．說明：題型六：定值、最值問題例14、求橢圓上的點到直線的距離的最小值．分析：解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)橢圓上的點的坐標(biāo)為，那么點到直線的距離為．當(dāng)時，．說明：當(dāng)直接設(shè)點的坐標(biāo)不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程．變式訓(xùn)練：設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點，長軸在軸上，離心率，點到這個橢圓上的點的最遠(yuǎn)距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上的點的距離等于的點的坐標(biāo)．分析：此題考查橢圓的性質(zhì)、距離公式、最大值以及分析問題的能力，在求的最大值時，要注意討論的取值范圍．此題可以用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也可用橢圓的參數(shù)方程，要善于應(yīng)用不等式、平面幾何、三角等知識解決一些綜合性問題，從而加強等價轉(zhuǎn)換、形數(shù)結(jié)合的思想，提高邏輯推理能力．解法一：設(shè)所求橢圓的直角坐標(biāo)方程是，其中待定．由可得：，即．設(shè)橢圓上的點到點的距離是，那么，其中．如果，那么當(dāng)時，〔從而〕有最大值．由題設(shè)得，由此得，與矛盾．因此必有成立，于是當(dāng)時，〔從而〕有最大值．由題設(shè)得，可得，．∴所求橢圓方程是．由及求得的橢圓方程可得，橢圓上的點，點到點的距離是．解法二：根據(jù)題設(shè)條件，可取橢圓的參數(shù)方程是，其中，待定，，為參數(shù)．由可得，即．設(shè)橢圓上的點到點的距離為，那么，如果，即，那么當(dāng)時，〔從而〕有最大值．由題設(shè)得，由此得，與矛盾，因此必有成立．于是當(dāng)時〔從而〕有最大值．由題設(shè)知，∴，．∴所求橢圓的參數(shù)方程是．由，，可得橢圓上的是，．例15、設(shè)，，，求的最大值和最小值．分析：此題的關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合，觀察方程與橢圓方程的結(jié)構(gòu)一致．設(shè)，顯然它表示一個圓，由此可以畫出圖形，考慮橢圓及圓的位置關(guān)系求得最值．解：由，得可見它表示一個橢圓，其中心在點，焦點在軸上，且過〔0，0〕點和〔3，0〕點．設(shè)，那么它表示一個圓，其圓心為〔－1，0〕半徑為．在同一坐標(biāo)系中作出橢圓及圓，如下列圖．觀察圖形可知，當(dāng)圓過〔0，0〕點時，半徑最小，即，此時；當(dāng)圓過〔3，0〕點時，半徑最大，即，∴．∴的最小值為0，最大值為15．變式訓(xùn)練：.解：利用數(shù)形結(jié)合。例16、以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程．分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，此題實際上就是要在直線上找一點，使該點到直線同側(cè)的兩點〔即兩焦點〕的距離之和最小，只須利用對稱就可解決．解：如下列圖，橢圓的焦點為，．解方程組得交點的坐標(biāo)為〔－5，4〕．此時最?。髾E圓的長軸：，∴，又，∴．因此，所求橢圓的方程為．例17、橢圓上有兩點P、Q，是原點，假設(shè)OP、OQ斜率之積為。〔1〕求證：|OP|2+|OQ|2為定值?！?〕求PQ的中點M的軌跡方程。解：〔1〕設(shè)P、Q的兩點坐標(biāo)分別為、Q,P、Q分別在橢圓上，且，得〔3〕代入