2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.3.3函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)（教師用書）教案新人教A版選修2-2學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級授課地點(diǎn)教具教材分析《2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)》第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.3節(jié)中，1.3.3小節(jié)“函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)”是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重要部分，旨在讓學(xué)生通過導(dǎo)數(shù)理解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而掌握利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最大值與最小值的方法。本節(jié)內(nèi)容與實(shí)際生活緊密聯(lián)系，如最優(yōu)化問題，有助于學(xué)生培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力。課程設(shè)計(jì)將圍繞新人教A版選修2-2教材，以導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生探討函數(shù)極值與最值問題，結(jié)合實(shí)際例題，加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理解。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)“函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)”課程設(shè)計(jì)立足于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)抽象能力；在探討函數(shù)極值與最值的過程中，鍛煉學(xué)生邏輯推理能力，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維；結(jié)合實(shí)際例題，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；在解決問題的過程中，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，讓學(xué)生熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，并能靈活運(yùn)用。此外，通過小組合作與討論，激發(fā)學(xué)生的交流協(xié)作能力，提升解決問題的綜合素質(zhì)，充分體現(xiàn)新課改倡導(dǎo)的核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)。學(xué)情分析本節(jié)課的教學(xué)對象為高中年級學(xué)生，經(jīng)過前兩個(gè)小節(jié)的學(xué)習(xí)，他們對導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算方法已有一定了解，具備基本的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力。但在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值問題時(shí)，可能仍存在以下問題和挑戰(zhàn)：

1.學(xué)生層次：學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)層次不一，對導(dǎo)數(shù)的理解和運(yùn)用程度存在差異。部分學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義理解不深，難以將其與函數(shù)最值問題有效結(jié)合。

2.知識方面：學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，可能無法熟練地將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，對導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則掌握不夠熟練，導(dǎo)致解題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

3.能力方面：學(xué)生在分析函數(shù)單調(diào)性、求解極值和最值時(shí)，可能缺乏邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，難以獨(dú)立完成較復(fù)雜的題目。

4.素質(zhì)方面：學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、合作交流能力和解決問題的綜合素質(zhì)有待提高。在課堂教學(xué)中，部分學(xué)生可能過于依賴教師，缺乏主動(dòng)探究的精神。

5.行為習(xí)慣：學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能存在以下不良習(xí)慣：不注重審題，導(dǎo)致解題方向錯(cuò)誤；對公式、定理死記硬背，不注重理解；解題過程中忽視細(xì)節(jié)，導(dǎo)致失分。

針對以上學(xué)情分析，以下教學(xué)策略和建議：

1.教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異，實(shí)施分層教學(xué)，提高學(xué)生整體水平。

2.加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)概念及其幾何、物理意義的講解，使學(xué)生深刻理解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的作用。

3.通過典型例題和練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性、求解極值和最值，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力。

4.創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，培養(yǎng)其自主學(xué)習(xí)能力。

5.組織小組合作與討論，促進(jìn)學(xué)生交流協(xié)作，提高解決問題的綜合素質(zhì)。

6.培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如認(rèn)真審題、理解公式定理、關(guān)注解題細(xì)節(jié)等。教學(xué)資源1.硬件資源：

-多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、計(jì)算機(jī)、音響系統(tǒng)）

-互動(dòng)式白板或黑板

-學(xué)生用計(jì)算器

2.軟件資源：

-教學(xué)課件（包含導(dǎo)數(shù)概念、函數(shù)圖像、典型例題等）

-數(shù)學(xué)軟件（如幾何畫板、Mathematica等，用于動(dòng)態(tài)演示函數(shù)圖像和導(dǎo)數(shù)變化）

-電子教案

3.課程平臺(tái)：

-學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)（用于發(fā)布作業(yè)、通知和教學(xué)資料）

-班級群組交流平臺(tái)（用于學(xué)生討論和疑問解答）

4.信息化資源：

-電子教材

-教學(xué)視頻（講解導(dǎo)數(shù)概念和例題）

-在線題庫（包含導(dǎo)數(shù)相關(guān)練習(xí)題）

5.教學(xué)手段：

-傳統(tǒng)教學(xué)手段（板書、講解、示范）

-信息技術(shù)輔助教學(xué)（多媒體演示、軟件操作、在線互動(dòng)）

-小組合作學(xué)習(xí)

-探究式學(xué)習(xí)

-案例分析

-課堂問答與討論

6.輔助材料：

-紙質(zhì)教材和輔導(dǎo)書

-函數(shù)圖像打印資料

-導(dǎo)數(shù)相關(guān)圖表和公式卡片教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中應(yīng)用的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用嗎？它如何幫助我們解決實(shí)際問題？”

展示一些與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的實(shí)際情境圖片，如優(yōu)化問題，讓學(xué)生初步感受導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義。

簡短介紹導(dǎo)數(shù)的概念和在本章的重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)的基本概念及其在判定函數(shù)單調(diào)性的作用。

過程：

講解導(dǎo)數(shù)的定義，以及它與函數(shù)圖像的關(guān)系。

使用圖表和示意圖展示導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。

通過具體函數(shù)示例，讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)在判定函數(shù)最值中的應(yīng)用。

3.導(dǎo)數(shù)案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用。

過程：

選擇幾個(gè)典型的函數(shù)最值案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、解題步驟和導(dǎo)數(shù)的具體應(yīng)用。

引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，并討論其解題策略。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成小組，每組選擇一個(gè)案例或問題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論如何使用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值，并探討可能遇到的挑戰(zhàn)。

每組準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表上臺(tái)展示討論成果，包括解題策略和步驟。

其他學(xué)生和教師提問和點(diǎn)評，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，提出改進(jìn)建議。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值中的重要性。

過程：

簡要回顧導(dǎo)數(shù)的基本概念、案例分析及其在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和現(xiàn)實(shí)生活中的價(jià)值和作用。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生完成與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的習(xí)題，并撰寫一篇關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的小短文，以鞏固學(xué)習(xí)效果。知識點(diǎn)梳理1.導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算

-導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像在該點(diǎn)切線的斜率。

-導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則：常數(shù)倍、和差、積、商的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則。

-基本導(dǎo)數(shù)公式：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

-單調(diào)遞增：當(dāng)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增。

-單調(diào)遞減：當(dāng)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減。

-極值點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)或從負(fù)變正的點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)。

3.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)

-極大值：在導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)的點(diǎn)上，函數(shù)取得極大值。

-極小值：在導(dǎo)數(shù)從負(fù)變正的點(diǎn)上，函數(shù)取得極小值。

-二階導(dǎo)數(shù)的判斷：當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)取得局部極小值；當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)取得局部極大值。

4.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)

-求解閉區(qū)間上的最值：首先求解區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)，然后比較端點(diǎn)值和極值點(diǎn)處的函數(shù)值。

-無界區(qū)間最值：當(dāng)函數(shù)在某一方向上無界時(shí)，只需考慮該方向上的單調(diào)性。

5.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

-優(yōu)化問題：求解最大利潤、最小成本、最短路徑等問題。

-函數(shù)圖像分析：通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)圖像的凹凸性、拐點(diǎn)等特征。

6.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

-求解復(fù)雜函數(shù)的極值和最值問題。

-利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題。

-結(jié)合其他數(shù)學(xué)工具（如積分、微分方程等）解決更高級的問題。

7.常見錯(cuò)誤與注意事項(xiàng)

-計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意區(qū)分變量的取值范圍，避免漏算或錯(cuò)算。

-在求解極值時(shí)，要檢查極值點(diǎn)附近的單調(diào)性，避免遺漏極值點(diǎn)。

-在求解最值時(shí)，要考慮閉區(qū)間和開區(qū)間的區(qū)別，以及無界區(qū)間的情況。內(nèi)容邏輯關(guān)系1.重點(diǎn)知識點(diǎn)闡述

①導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算

-知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算規(guī)則、基本導(dǎo)數(shù)公式。

-重點(diǎn)句：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像在某點(diǎn)切線的斜率；掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則和基本公式。

②函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

-知識點(diǎn)：單調(diào)遞增、遞減與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，極值點(diǎn)。

-重點(diǎn)句：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)相關(guān)；極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零。

③函數(shù)的極值與最值

-知識點(diǎn)：極大值、極小值，二階導(dǎo)數(shù)的判斷，閉區(qū)間上的最值。

-重點(diǎn)句：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)或從負(fù)變正；二階導(dǎo)數(shù)判斷極值的性質(zhì)；求解閉區(qū)間上的最值。

2.板書設(shè)計(jì)

-①導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算

-定義：f'(x)=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

-計(jì)算規(guī)則：常數(shù)倍、和差、積、商

-基本公式：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

-②函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

-單調(diào)遞增：f'(x)>0

-單調(diào)遞減：f'(x)<0

-極值點(diǎn)：f'(x)=0

-③函數(shù)的極值與最值

-極大值/極小值：f'(x)由正變負(fù)/由負(fù)變正

-二階導(dǎo)數(shù)判斷：f''(x)>0（局部極小值）/f''(x)<0（局部極大值）

-最值求解：比較端點(diǎn)值與極值點(diǎn)

3.內(nèi)容邏輯關(guān)系

-①導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是基礎(chǔ)，理解導(dǎo)數(shù)的定義和計(jì)算規(guī)則對于后續(xù)內(nèi)容至關(guān)重要。

-②函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的初步階段，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，為求解極值和最值打下基礎(chǔ)。

-③極值與最值的求解是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的深化，需要綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識，結(jié)合實(shí)際問題情境，解決更復(fù)雜的問題。

板書設(shè)計(jì)應(yīng)條理清楚，通過序號和簡潔的句子將重點(diǎn)知識點(diǎn)串聯(lián)起來，幫助學(xué)生構(gòu)建知識框架，便于學(xué)生理解和記憶。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

1.導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算

-導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率。

-掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則，包括常數(shù)倍、和差、積、商的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則。

-熟悉冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

-函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)且僅當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0。

-函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)且僅當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0。

-函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0。

3.函數(shù)的極值與最值

-函數(shù)的極大值和極小值出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)從正變負(fù)或從負(fù)變正的點(diǎn)上。

-二階導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的凹凸性，進(jìn)而判斷極值的性質(zhì)。

-求解閉區(qū)間上的最值需要比較端點(diǎn)值和極值點(diǎn)處的函數(shù)值。

當(dāng)堂檢測：

1.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

-f(x)=x^3-2x^2+3x+4

-g(x)=e^x*sin(x)

-h(x)=ln(x^2+1)

2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：

-f(x)=x^2-6x+9

-g(x)=-x^3+3x^2

-h(x)=sqrt(1-x^2)

3.求解下列函數(shù)的極值和最值：

-f(x)=x^3-12x

-g(x)=x^2-4x+4

-h(x)=x^4-8x^3+18x^2

4.應(yīng)用題：

-某商品的利潤函數(shù)為P(x)=100x-10x^2，求最大利潤及對應(yīng)的銷售量。

-一輛汽車以v(t)=4t^2-2t的速度行駛，求它在何時(shí)達(dá)到最大速度。

檢測答案：

1.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

-f'(x)=3x^2-4x+3

-g'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)

-h'(x)=2x/(x^2+1)

2.判斷下列函