2024陜西中考數(shù)學(xué)考前5天-1天終極沖刺攻略專項(xiàng)訓(xùn)練（含答案）

目錄contents（四）多邊形與四邊形命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題01圓命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題66視圖與投影命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題139尺規(guī)作圖命題預(yù)測(cè)知識(shí)導(dǎo)圖應(yīng)試必備真題回眸易錯(cuò)專練滿分訓(xùn)練名師押題168中考臨考押題模擬卷（通用）……………………216多邊形與四邊形關(guān)于多邊形與四邊形在中考數(shù)學(xué)中的命題預(yù)測(cè)，可能會(huì)涉及以下幾個(gè)方面的考點(diǎn)：多邊形與四邊形的定義及性質(zhì)：這是基礎(chǔ)考點(diǎn)，會(huì)涉及多邊形的定義、內(nèi)角和公式、外角和定理等。四邊形作為多邊形的一種特殊情況，其性質(zhì)如平行四邊形的對(duì)邊平行且相等、對(duì)角線互相平分等也會(huì)是考查的重點(diǎn)。多邊形與四邊形的判定：比如給定一些條件，要求判斷一個(gè)圖形是否是多邊形或某種特定的四邊形（如平行四邊形、矩形、菱形、正方形等）。這需要考生熟練掌握各種圖形的判定條件。多邊形與四邊形的計(jì)算：這包括利用公式計(jì)算多邊形的內(nèi)角和、外角和，以及四邊形的面積、周長(zhǎng)等。同時(shí)，也會(huì)涉及利用多邊形的性質(zhì)解決一些線段和角的問題。多邊形與四邊形的綜合應(yīng)用：這類題目可能會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)（如方程、函數(shù)、不等式等）進(jìn)行綜合考查，需要考生具備較強(qiáng)的綜合運(yùn)用能力。此外，考慮到中考數(shù)學(xué)的命題趨勢(shì)，多邊形與四邊形的考點(diǎn)可能會(huì)更加注重對(duì)考生思維能力和解題能力的考查。因此，考生在備考時(shí)應(yīng)注重理解基本概念和性質(zhì)，掌握各種圖形的判定條件，提高解題技巧和速度，同時(shí)也要注意培養(yǎng)自己的思維能力和解題能力。Ⅰ、多邊形的內(nèi)角和與外角和一、多邊形的內(nèi)角和公式1. n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)； 通過(guò)多邊形的內(nèi)角和公式可以通過(guò)邊數(shù)求內(nèi)角和，或通過(guò)內(nèi)角和求多邊形的邊數(shù).2. 多邊形的內(nèi)角和公式推導(dǎo)： 如圖所示，從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出（n－3）條對(duì)角線，這（n－3）條對(duì)角線把n邊形分成（n－2）個(gè)三角形，每個(gè)三角形的內(nèi)角和是180°，所以n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°.3. 正多邊形：各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都為.二、多邊形的外角和1. 多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做多邊形的外角.2. 多邊形的外角和：在多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處分別取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和，多邊形的外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少?zèng)]有關(guān)系. 如圖所示：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5就是五邊形ABCDE的外角和，為360°.3. 正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于.4. 多邊形的外角和的推導(dǎo)：多邊形的每個(gè)內(nèi)角加上與它相鄰的外角都等于180°，所以n邊形的外角和等于n個(gè)180°的平角減去多邊形的內(nèi)角和，即.Ⅱ、平行四邊形一、平行四邊形的定義1. 平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.2. 平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有兩條.二、平行四邊形的性質(zhì)1. 平行四邊形的性質(zhì)定理：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分.2. 平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.3． 平行四邊形邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；4． 平行四邊形角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；5． 平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.6. 平行四邊形常見的結(jié)論：（1）平行四邊形的每條對(duì)角線都將平行四邊形分成了兩個(gè)全等的三角形；（2）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半；（3）平行四邊形被對(duì)角線分成的四個(gè)小三角形的面積相等，都等于平行四邊形面積的.三、平行四邊形的判定1. 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2. 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3. 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4. 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.PS：（1）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形；（2）滿足兩組鄰邊分別相等或兩組鄰角分別相等不能判定四邊形是平行四邊形.Ⅲ、矩形、菱形、正方形一、矩形1. 矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形. 矩形一定是平行四邊形，但是平行四邊形不一定是矩形.2. 矩形的性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等.（1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）矩形是中心對(duì)稱圖形，過(guò)中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分；（3）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）；（4）矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，經(jīng)常會(huì)用到等腰三角形的性質(zhì)解決問題.3. 矩形的判定定理（1）三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.4. 判定矩形的思路：四邊形四邊形有三個(gè)角是直角平行四邊形對(duì)角線相等有一個(gè)角是直角矩形矩形矩形二、菱形1. 菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形. 一組鄰邊相等的四邊形不一定是菱形.2. 菱形的性質(zhì)定理：菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直.（1）菱形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，且對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，菱形的邊長(zhǎng)的平方等于兩條對(duì)角線一半的平方和.（3）菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半.3. 菱形的判定定理：（1）四邊相等的四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.四邊形四邊形四條邊相等平行四邊形對(duì)角線互相垂直一組鄰邊相等菱形矩形矩形三、正方形1. 正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.2. 正方形的性質(zhì)：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形、菱形的一切性質(zhì).（1）正方形是有一組鄰邊相等的矩形；（2）正方形是有一個(gè)角是直角的菱形.3. 正方形的判定定理：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（2）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（3）有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.4. 幾個(gè)特殊的四邊形間的關(guān)系：Ⅳ、三角形的中位線一、三角形的中位線的概念及定理1. 概念：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫作三角形中位線. 如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則DE是△ABC的一條中位線.PS：三角形的中位線是一條線段，不是直線或射線.2. 三角形的中位線與三角形的中線是不一樣的，三角形中位線是兩條邊中點(diǎn)的連線，而三角形中線是頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線.3. 三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半. 三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.二、中點(diǎn)四邊形1. 中點(diǎn)四邊形：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形叫作中點(diǎn)四邊形.2. 常見的中點(diǎn)四邊形（1）順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形；（3）順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形；（4）順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形；（5）順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.3. 中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形的兩條對(duì)角線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.（1）若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形；（2）若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形；（3）若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.1．（2023?蘭州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，以B為圓心，BF長(zhǎng)為半徑的圓弧過(guò)AD與CE的交點(diǎn)G，連接BG．若AB＝4，CE＝10，則AG＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得BF＝EF＝CF＝5，然后在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，在Rt△BCE中，點(diǎn)F為斜邊CE的中點(diǎn)，∴QUOTE，∴BG＝BF＝5，在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，由勾股定理得：QUOTE．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓的概念，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；同圓的半徑相等．2．（2023?綿陽(yáng)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn)，且BG＝3GC，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，且交AG于點(diǎn)F，則tan∠EDF的值為（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE【分析】由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4及BG＝3CG，可求出BG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出AG的長(zhǎng)，證△ADE∽△GAB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求得AE、DE的長(zhǎng)，證△ABF≌△DAE，得AF＝DE，根據(jù)線段的和差求得EF的長(zhǎng)即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴BC＝CD＝DA＝AB＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AGB，∵BG＝3CG，∴BG＝3，∴在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，∴AGQUOTE，∵DE⊥AG，∴∠DEA＝∠DEF＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△GAB，∴AD：GA＝AE：GB＝DE：AB，∴4：5＝AE：3＝DE：4，∴AEQUOTE，DEQUOTE，又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEF＝90°，又∵AB＝AD，∠DAE＝∠ABF（同角的余角相等），∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DEQUOTE，∴EF＝AF﹣AEQUOTE，∴tan∠EDFQUOTE，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正切的定義等知識(shí)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)求出線段的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023?呼和浩特）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．若AM＝1，BN＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．QUOTE B．3 C．QUOTE D．QUOTE【分析】依據(jù)題意，連接BM，記BD與MN交于點(diǎn)O，先證△DMO≌△BNO，從而得DM＝BN＝2，再由線段MN垂直平分BD從而BM＝DM＝2，又在Rt△BAM中可得AM的值，從而再在Rt△BAD中可求得BD．【解答】解：由題意，連接BM，記BD與MN交于點(diǎn)O．∵線段MN垂直平分BD，∴BO＝DO，BM＝DM．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠MDO＝∠NBO．又∠DOM＝∠BON，∴△DMO≌△BNO（ASA）．∴DM＝BN＝BM＝2．在Rt△BAM中，∴ABQUOTE．∴在Rt△BAD中可得，BDQUOTE2QUOTE．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．4．（2023?臺(tái)州）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在邊AD上取一點(diǎn)E，使BE＝BC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠AEB＝∠FBC，結(jié)合已知BE＝BC，利用AAS證得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC＝AD＝6，從而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A，在△ABE和△FCB中，QUOTE，∴△ABE≌△FCB（AAS），∴FC＝AB＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，在Rt△FCB中，由勾股定理得QUOTE，故答案為：QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知矩形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角．5．（2023?陜西）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．點(diǎn)E在邊AD上，且ED＝3，M、N分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BM＝BN，P是線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN．若PM+PN＝4．則線段PC的長(zhǎng)為．【分析】過(guò)點(diǎn)P分別作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB，由題意知PG＝PF，再說(shuō)明PM與PH重合，PN與PG重合，得出四邊形MPNB為正方形，即可求出PC＝2QUOTE．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作PF⊥DC，PG⊥BC，PH⊥AB，∵DE＝CD＝3，∠D＝90°，∴∠ECD＝45°，∴∠ECB＝45°，∴PG＝PF，∵PM≥PH，PN≥PG，∴PM+PN≥PH+PG＝4，∵PM+PN＝4，∴PM與PH重合，PN與PG重合，∴四邊形PHBG為正方形，∴PH＝PG＝2，∴PC＝2QUOTE．故答案為：2QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題關(guān)鍵．6．（2023?棗莊）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝7，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，若△CEF的周長(zhǎng)為32，則OF的長(zhǎng)為．【分析】在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，可知O是中點(diǎn)，∠BCD＝90°，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，則CF＝EF＝DF，△CEF的周長(zhǎng)為32，CE＝7，則CF+EF＝25，即DE＝25，根據(jù)勾股定理可得CD＝24＝BC，從而求得BE，再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可解答．【解答】解：在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴∠BCD＝90°，O是中點(diǎn)，∵F為DE的中點(diǎn)，∴CF＝EF＝DF，∵△CEF的周長(zhǎng)為32，CE＝7，∴CF+EF＝25，即DE＝25，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理可得CD＝24＝BC，∴BE＝24﹣7＝17，根據(jù)三角形的中位線可得OFQUOTEBEQUOTE．故答案為：QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，熟悉性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2023?云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于QUOTE，求平行線AB與DC間的距離．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等得到∠BAD＝∠BCD，再根據(jù)AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，可得到∠DAE＝∠BCF，再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行得到∠DAE＝∠AEB，于是有∠BCF＝∠AEB，得出AE∥FC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形AECF是平行四邊形，最后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；（2）連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可證得AB＝EB，結(jié)合已知∠ABC＝60°得到△ABE是等邊三角形，從而求出AB＝AE＝EB＝EC＝4，∠BAE＝60°，再證得∠EAC＝30°，即可得到∠BAC＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而得出平行線AB與DC間的距離．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，∵AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，∴QUOTE，QUOTE，∴∠DAE＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BCF＝∠AEB，∴AE∥FC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，∵△ABE的面積等于QUOTE，∴QUOTE，∴AB＝4，即AB＝AE＝EB＝4，由（1）知四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEB是△AEC的一個(gè)外角，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AC⊥AB，由勾股定理得QUOTE，即平行線AB與DC間的距離是QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是此題的關(guān)鍵，理解平行線間的距離的定義，等邊三角形的性質(zhì)與判定．8．（2023?北京）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACBQUOTE，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）先證四邊形AECF是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得∠AEC＝∠AEB＝90°，再證△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BEQUOTE，然后由銳角三角函數(shù)定義得EC＝2AE＝2QUOTE，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC＝EF，∴平行四邊形AECF是矩形；（2）解：∵四邊形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BEQUOTEABQUOTE，∵tan∠ACBQUOTE，∴EC＝2AE＝2QUOTE，∴BC＝BE+ECQUOTE2QUOTE3QUOTE，即BC的長(zhǎng)為3QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2023?武山縣一模）若四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，則它一定是（）A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上說(shuō)法均不正確2．（2023?潮陽(yáng)區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F．已知DEQUOTE，則CF的長(zhǎng)為（）A．QUOTE B．2 C．QUOTE D．2QUOTE3．（2023?唐河縣模擬）如圖，菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC交BD于點(diǎn)E，若∠BAD＝118°，則∠CEB＝（）A．59° B．62° C．69° D．72°4．（2023?合陽(yáng)縣二模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交CD于點(diǎn)F，則∠BFC＝°．5．（2023?龍巖模擬）如圖，在矩形ABCD中，QUOTE，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不含B．C兩點(diǎn)），連接AE，以AE為一邊在AE的右上方作等邊三角形AEF，連接DF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值為．6．（2023?廬江縣二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M點(diǎn)，AF交BD于N點(diǎn)．（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則△CEF的周長(zhǎng)是．（2）若QUOTE，則AM＝．7．（2023?沈陽(yáng)模擬）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作FG⊥AD，分別交AD、BC于點(diǎn)F、G，∠CBD＝∠CEG．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若CG＝3，F(xiàn)G＝8，則?ABCD的面積為．8．（2024?濱湖區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，QUOTE，M、N分別在邊AD、BC上，將四邊形AMNB沿MN翻折，使AB的對(duì)應(yīng)線段EF經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)D．（1）若DE＝DM時(shí)，求QUOTE的值；（2）若△DEM是直角三角形，求QUOTE的值．1．（2024?萊蕪區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝5，QUOTE，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF，EF，若∠EFD＝90°，則AE的長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．QUOTE D．QUOTE2．（2024?廣東模擬）如圖所示，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段OD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，連接CF交BD于點(diǎn)H，則：①EF＝EC；②CF2＝CG?CA；③CO?CG＝EH?EB；④若DE＝1，則BF＝4QUOTE．正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④3．（2023?松陽(yáng)縣二模）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，連接BF分別交DE，AC于點(diǎn)G，H．若BG＝GF＝DF，則sin∠FBC的值是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE4．（2024?青島一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，AD的中點(diǎn)，連接AE，BF，點(diǎn)G，H分別是AE，BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為．5．（2024?灞橋區(qū)校級(jí)二模）如圖，菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接EF，作∠GEF＝60°且△GEF面積為QUOTE，則DG的最小值為．6．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作EF的垂線分別交邊AD、BC于點(diǎn)G、點(diǎn)H．若線段EF恰好平分矩形ABCD的面積，且DF＝1，則GH的長(zhǎng)為．7．（2024?雙流區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CE，∠BEC＝∠ADC，EF平分∠BEC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段BD上，且BG＝CG，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H，連接FG，EH．（1）求證：CE＝BG；（2）當(dāng)BH＝DE時(shí)，試判斷△BCH的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若QUOTE，求∠BEH的正切值．8．（2024?河北一模）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且CE⊥DF于點(diǎn)O．（1）試猜想線段CE與DF的數(shù)量關(guān)系為；（2）數(shù)學(xué)小組的同學(xué)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入的探究：①如圖2，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于點(diǎn)O，求證：EG＝FH；②如圖3，將①中的條件“在正方形ABCD中”改為“在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a”，其他條件不變，試推理線段EG與FH的數(shù)量關(guān)系；③如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，AB＝BC＝CD＝6，點(diǎn)M為AB的三等分點(diǎn)，連接CM，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥CM，垂足為點(diǎn)O，直接寫出線段DN的長(zhǎng)．1．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF＝3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．24 B．18 C．12 D．92．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，連接OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．25°3．如圖是由全等的含60°角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE4．如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，ED⊥BC交AB于點(diǎn)D，DF⊥AC于點(diǎn)F，則線段EF的最小值為．5．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB的平分線分別交AB、BD于M、N兩點(diǎn)，若QUOTE，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．6．如圖，線段AB的端點(diǎn)B在直線MN上，過(guò)線段AB上的一點(diǎn)O作MN的平行線，分別交∠ABM和∠ABN的平分線于點(diǎn)C，D，連接AC，AD．添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：當(dāng)時(shí)，四邊形ACBD為矩形．7．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P從A出發(fā)在線段AD上以1個(gè)單位/秒向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）設(shè)△APQ的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)行時(shí)間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）t取幾時(shí)S的值最大，最大值是多少？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？8．【特例感知】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB，AD的中點(diǎn)，DE、CF交于點(diǎn)G．（1）易證△ADE≌△DCF，可知DE、CF的關(guān)系為；（直接填寫結(jié)果）（2）連接BG，若AB＝6，求BG的長(zhǎng)．【初步探究】如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥DE分別交AD、BC于F、G，垂足為O．求證：FG＝DE．【基本應(yīng)用】如圖3，將邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)M處，折痕為PQ，點(diǎn)P、Q分別在邊AD、BC上，求PQ的長(zhǎng)．1．（2023?武山縣一模）若四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，則它一定是（）A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上說(shuō)法均不正確【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：這三種四邊形的對(duì)角線都互相平分，這個(gè)條件不能缺．【解答】解：對(duì)角線互相垂直且相等平行四邊形是正方形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；所以無(wú)法確定其形狀．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)四邊形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，特殊四邊形之間的相互關(guān)系是考查重點(diǎn)．2．（2023?潮陽(yáng)區(qū)一模）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交BC于點(diǎn)F．已知DEQUOTE，則CF的長(zhǎng)為（）A．QUOTE B．2 C．QUOTE D．2QUOTE【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，交AD于G，證明△DGE是等腰直角三角形，由DEQUOTE，可得DG＝EG＝1．易證△AGE≌△EHF，則EG＝HF＝1，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC交BC于點(diǎn)H，交AD于G，在正方形ABCD中，AD∥BC，∠EBH＝∠ADB＝45°，∴四邊形AGHB和四邊形DGHC是長(zhǎng)方形，△DGE是等腰直角三角形，∴AG＝BH＝EH，DG＝EG＝1，∴CH＝DG＝1，∵AG⊥GH，AE⊥EF，∴∠AGE＝∠AEF＝∠FHE＝90°，∴∠GAE+∠AEG＝∠FEH+∠AEG＝90°，∴∠GAE＝∠FEH，∴△AGE≌△EHF（ASA），∴GE＝FH＝1；∴CF＝CH+FH＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是添加正確的輔助線，得出全等．3．（2023?唐河縣模擬）如圖，菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC交BD于點(diǎn)E，若∠BAD＝118°，則∠CEB＝（）A．59° B．62° C．69° D．72°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得：AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝31°，由菱形的對(duì)角線平分線組對(duì)角可得∠CBE＝31°，最后由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝118°，∴∠ABDQUOTE31°，∴∠CBE＝31°，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°﹣31°＝59°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角．4．（2023?合陽(yáng)縣二模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線交CD于點(diǎn)F，則∠BFC＝54°．【分析】先利用多邊形的內(nèi)角和公式求出正五邊形中每一個(gè)角的度數(shù)，再根據(jù)垂直定義可得∠ABF＝90°，從而可得∠CBF＝18°，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠C＝∠ABC＝108°，∵FB⊥AB，∴∠ABF＝90°，∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝18°，∴∠BFC＝180°﹣∠C﹣∠CBF＝54°，故答案為：54．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023?龍巖模擬）如圖，在矩形ABCD中，QUOTE，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不含B．C兩點(diǎn)），連接AE，以AE為一邊在AE的右上方作等邊三角形AEF，連接DF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值為QUOTE．【分析】在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，連接GF，GF與AD交于點(diǎn)H，通過(guò)判定ABE≌AGF，即可得到∠AGF＝∠ABE＝90°，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F在過(guò)點(diǎn)G且與AG垂直的垂線GH上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)DF⊥GF時(shí)，DF最短，此時(shí)∠AGH＝∠DFH＝90°；再根據(jù)△AGH∽△DFH，即可得到DF的長(zhǎng)．【解答】解：如圖所示，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，連接GF，GF與AD交于點(diǎn)H，又∵△AEF是等邊三角形，∴AB＝AG，∠BAG＝∠EAF，AE＝AF，∴∠BAE＝∠GAF，∴△ABE≌AGF（SAS），∴∠AGF＝∠ABE＝90°，∴當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F在過(guò)點(diǎn)G且與AG垂直的垂線GH上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)DF⊥GF時(shí)，DF最短，此時(shí)∠AGH＝∠DFH＝90°，∴DF∥AG，∴△AGH∽△DFH，∴QUOTE，又∵Rt△AGH中，AG＝1，∠GAH＝30°，∴AHQUOTE，∴DHQUOTE，∴QUOTE，即DFQUOTE，∴線段DF長(zhǎng)度的最小值為QUOTE．故答案為：QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形．6．（2023?廬江縣二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M點(diǎn)，AF交BD于N點(diǎn)．（1）若正方形的邊長(zhǎng)為2，則△CEF的周長(zhǎng)是4．（2）若QUOTE，則AM＝QUOTE．【分析】（1）過(guò)A作GA⊥AE，交CD延長(zhǎng)線于G，根據(jù)垂直定義可得∠GAE＝90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，從而可得∠ADG＝90°，再利用等式的性質(zhì)可得∠BAE＝∠DAG，從而利用ASA可證△ABE≌△ADG，進(jìn)而可得BE＝DG，AG＝AE，然后根據(jù)已知可得∠EAF＝∠GAF＝45°，從而利用SAS可證△EAF≌△GAF，進(jìn)而可得EF＝GF，最后利用等量代換可得△CEF的周長(zhǎng)＝CD+BC＝4，即可解答；（2）連接MF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BDC＝∠ADB＝45°，從而可得∠MAN＝∠NDF＝45°，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠ANM＝∠DNF，從而可得△AMN∽△DFN，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得QUOTE，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AND＝∠FNM，從而可得△ADN∽△MFN，最后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠MFN＝∠ADN＝45°，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠AMF＝90°，進(jìn)而可得△AMF為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）過(guò)A作GA⊥AE，交CD延長(zhǎng)線于G，∴∠GAE＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝180°﹣∠ADC＝90°，∴∠ABC＝∠ADG＝90°，∵∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠GAE﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（ASA），∴BE＝DG，AG＝AE，∵∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠EAG﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF＝45°，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∴△CEF的周長(zhǎng)＝EF+EC+CF＝GF+EC+CF＝DG+DF+EC+CF＝BE+DF+FC+CE＝CD+BC＝2+2＝4，故答案為：4；（2）連接MF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDC＝∠ADB＝45°，∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，∴△AMN∽△DFN，∴QUOTE，∵∠AND＝∠FNM，∴△ADN∽△MFN，∴∠MFN＝∠ADN＝45°，∴∠AMF＝180°﹣∠MAN﹣∠MFN＝90°，∴△AMF為等腰直角三角形，∵AFQUOTE，∴AMQUOTE，故答案為：QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2023?沈陽(yáng)模擬）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作FG⊥AD，分別交AD、BC于點(diǎn)F、G，∠CBD＝∠CEG．（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若CG＝3，F(xiàn)G＝8，則?ABCD的面積為QUOTE．【分析】（1）由FG⊥AD和平行四邊形知識(shí)得出FG⊥BC，再根據(jù)角的知識(shí)得出∠BEG+∠CEG＝90°，即∠BEC＝90°，得出BD⊥AC，最終得出結(jié)論；（2）先證△AEF≌△CEG得出EF＝EG＝4，再根據(jù)勾股定理得出CE＝5，BE2＝42+BG2，根據(jù)BE2+EG2＝BC2列出式子，求出BG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC，最后根據(jù)平行四邊形面積公式即可求出．【解答】（1）證明：∵FG⊥AD，∴∠DFE＝∠AFE＝90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EGB＝∠DFE＝90°，∴∠BEG+∠CBD＝90°，∵∠CBD＝∠CEG，∴∠BEG+∠CEG＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BD⊥AC，∴?ABCD是菱形．（2）解：∵?ABCD是菱形，∴OA＝OC，由（1）可知：∠EGB＝90°，∠AFE＝90°，∴∠EGC＝∠AFE，∵∠AEF＝∠CEG，∴△AEF≌△CEG（AAS），∴FE＝EG，∵FG＝8，∴FE＝EG＝4，在Rt△CEG中：CG2+EG2＝CE2，∵CG＝3，∴CE＝5，在Rt△BEG中：BE2＝EG2+BG2，∴BE2＝42+BG2，由（1）可知：∠BEC＝90°，∴BE2+CE2＝BC2，∴42+BG2+52＝（3+BG）2，∴BGQUOTE，∴BC＝3QUOTE，∴QUOTE．故答案為：QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的知識(shí)、平行四邊形的知識(shí)、勾股定理的知識(shí)，有一定的難度．求邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)是解答（2）的關(guān)鍵．8．（2024?濱湖區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，QUOTE，M、N分別在邊AD、BC上，將四邊形AMNB沿MN翻折，使AB的對(duì)應(yīng)線段EF經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)D．（1）若DE＝DM時(shí)，求QUOTE的值；（2）若△DEM是直角三角形，求QUOTE的值．【分析】（1）過(guò)D作DG⊥EM于G，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到QUOTE的值；（2）若△DEM是直角三角形，需要分類討論．分別依據(jù)折疊的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得到QUOTE的值．【解答】解：（1）如圖所示，過(guò)D作DG⊥EM于G，∵DE＝DM，DG⊥EM，∴G是EM的中點(diǎn)，由折疊可得∠E＝∠A，EM＝AM，∴QUOTEtanE，設(shè)DG＝4k，EG＝3k，則DE＝5k＝DM，EM＝6k＝AM，∴QUOTE；（2）分三種情況：①如圖所示，當(dāng)∠EMD＝90°時(shí)，延長(zhǎng)AD，NF，交于點(diǎn)H，則∠H＝90°＝∠FNC，由折疊可得∠E＝∠A，EM＝AM，∴QUOTEtanE，設(shè)DM＝4k，EM＝3k，則DE＝5k，AM＝3k，AD＝3k+4k＝7k，∴EF＝7k，DF＝2k，∵∠EMD＝∠H，∠EDM＝∠FDH，∴△DEM∽△DFH，∴QUOTE，即QUOTE，∴FHQUOTEk，又∵菱形ABCD的高NH＝AD×sinAQUOTEk，∴FNQUOTEkQUOTEkQUOTEk，∴BNQUOTEk，CN＝BC﹣BN＝7kQUOTEkQUOTEk，∴QUOTE．②如圖所示，當(dāng)∠MDE＝90°時(shí)，延長(zhǎng)EF交BC于H，則∠FHN＝90°，由折疊可得∠E＝∠A，EM＝AM，∴QUOTEtanE，設(shè)DM＝4k，ED＝3k，則EM＝5k＝AM，∴AD＝5k+4k＝9k，∴EF＝9k，DF＝9k﹣3k＝6k，又∵菱形ABCD的高DH＝CD×sinC＝9kQUOTEk，∴FHQUOTEk﹣6kQUOTEk，∵∠EDM＝∠FHN，∠E＝∠HFN，∴△DEM∽△HFN，∴QUOTE，即QUOTE，∴FN＝2k＝BN，∴CN＝BC﹣BN＝9k﹣2k＝7k，∴QUOTE．③當(dāng)∠E＝90°時(shí)，不合題意．綜上所述，QUOTE的值為QUOTE或QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊變換、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．解決問題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)；解題的難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得線段的長(zhǎng)．1．（2024?萊蕪區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝5，QUOTE，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接DF，EF，若∠EFD＝90°，則AE的長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．QUOTE D．QUOTE【分析】延長(zhǎng)EF交DA的延長(zhǎng)線于Q，連接DE，設(shè)BE＝x．首先證明DQ＝DE＝x+5，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EF交DA的延長(zhǎng)線于Q，連接DE，設(shè)BE＝x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵F為AB的中點(diǎn)，∴AF＝FB，∵∠AFQ＝∠BFE，∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝AD+AQ＝x+5，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∴AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+5）2﹣52＝（6QUOTE）2﹣x2，整理得：x2+5x﹣36＝0，解得x＝4或﹣9（舍去），∴BE＝4，∴AEQUOTE2QUOTE，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．（2024?廣東模擬）如圖所示，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段OD上，連接CE，作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F，連接CF交BD于點(diǎn)H，則：①EF＝EC；②CF2＝CG?CA；③CO?CG＝EH?EB；④若DE＝1，則BF＝4QUOTE．正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【分析】①由“SAS”可證△ADE≌△CDE，可得AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，由四邊形的內(nèi)角和定理可證∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，可得AE＝EF＝EC；②通過(guò)證明△FCG∽△ACF，可得CF2＝CG?CA；③通過(guò)證明△BEC∽△CEH，可得BE?EH＝EC2，通過(guò)證明△GEC∽△EOC，可得EC2＝OC?CG，可得BE?EH＝OC?CG；④由矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得AF＝2AM，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求BF＝4QUOTE．【解答】解：如圖，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，∠DAE＝∠DCE，∴∠EAF＝∠BCE，∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE＝360°，∴∠BCE+∠EFB＝180°，又∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠AFE＝∠BCE＝∠EAF，∴AE＝EF，∴EF＝EC，故①正確；∵EF＝EC，∠FEC＝90°，∴∠EFC＝∠ECF＝45°，∴∠FAC＝∠EFC＝45°，又∵∠ACF＝∠FCG，∴△FCG∽△ACF，∴QUOTE，∴CF2＝CG?CA，故②正確；∵∠ECF＝∠DBC＝45°，∠BEC＝∠HEC，∴△BEC∽△CEH，∴QUOTE，∴BE?EH＝EC2，∵∠CEO+∠ECO＝90°＝∠CEO+∠GEO，∴∠GEO＝∠ECO，又∵∠GEC＝∠EOC＝90°，∴△GEC∽△EOC，∴QUOTE，∴EC2＝OC?CG，∴BE?EH＝OC?CG，故③正確；過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD于N，EM⊥AB于M，則四邊形AMEN是矩形，∴AM＝EN，∵AE＝EF，EM⊥AB，∴AF＝2AM，∵DE＝1，∠ADB＝45°，EN⊥AD，∴△DEN是等腰直角三角形，∴NE＝DNQUOTEAM，∴AF＝2AMQUOTE，∴BF＝4QUOTE，故④正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023?松陽(yáng)縣二模）如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，連接BF分別交DE，AC于點(diǎn)G，H．若BG＝GF＝DF，則sin∠FBC的值是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OG，令A(yù)C交BF于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等和余角的性質(zhì)可得∠OHG＝∠CHF＝∠ACD＝∠COG，設(shè)OG＝x，DF＝2x，則OG＝GH＝HF＝FC＝x，進(jìn)而可得sin∠FBC的．【解答】解：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OG，∵BG＝GF＝DF，∴∠FGD＝∠FDG，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴OG是△BDF的中位線，∴OG∥DC，DF＝BG＝GF＝2OG，∴∠ACD＝∠COG，∵DE⊥AC，∴∠FGD+∠OHG＝90°，∠ACD+∠FDG＝90°，∴∠OHG＝∠ACD，∵∠OHG＝∠CHF，∴∠OHG＝∠CHF＝∠ACD＝∠COG，∴OG＝GH，HF＝FC，設(shè)OG＝GH＝x，則DF＝GF＝2x，∴HF＝FC＝GF﹣GH＝2x﹣x＝x，CD＝DF+CF＝3x，∴OG＝GH＝HF＝FC＝x，∴BF＝4x，∴sin∠FBCQUOTE．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，對(duì)頂角相等和余角的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．4．（2024?青島一模）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，AD的中點(diǎn)，連接AE，BF，點(diǎn)G，H分別是AE，BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為QUOTE．【分析】連接AH并延長(zhǎng)交BC于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠C＝90°，AD∥BC，CD＝BC＝AD＝4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PB＝AF＝2QUOTE，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AH并延長(zhǎng)交BC于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，AD∥BC，CD＝AD＝BC＝4，∵E，F(xiàn)分別是邊CD，AD的中點(diǎn)，∴CE＝AFQUOTE4＝2，∵AD∥BC，∴∠BPH＝∠FAH，在△PBH和△AFH中，QUOTE，∴△PBH≌△AFH（AAS），∴PB＝AF＝2，∴CP＝BC﹣PB＝2，∴PEQUOTE2QUOTE，∵點(diǎn)G，H分別是AE，BF的中點(diǎn)，∴GHQUOTEEPQUOTE．故答案為：QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．5．（2024?灞橋區(qū)校級(jí)二模）如圖，菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接EF，作∠GEF＝60°且△GEF面積為QUOTE，則DG的最小值為QUOTE．【分析】連接EC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)G作GK⊥EF于K，先求出BE＝4，EH＝2QUOTE，BH＝2，CH＝6，∠BCE＝30°，EC＝4QUOTE，∠CEH＝60°，進(jìn)而得∠BEC＝∠ECD＝90°，再根據(jù)△GEF的面積為3QUOTE得EF?EG＝12，設(shè)CE的中點(diǎn)為T，連接GT，則EH?ET＝12，故得EF?EG＝EH?ET，再證∠GET＝∠HEF，從而得△GET和△HEF相似，則∠EGT＝∠EHF＝90°，設(shè)ET的中點(diǎn)為O，連接OG，則OG＝OEQUOTEETQUOTE，因此可得點(diǎn)G始終在以點(diǎn)O為圓心，以QUOTE為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接OD，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得DG≥OD﹣OG，故當(dāng)點(diǎn)D，G，O在同一條直線上時(shí)，DG為最小，最小值為OD﹣OG，在Rt△OCD中由勾股定理得ODQUOTE，由此可得DG的最小值．【解答】解：連接EC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，過(guò)點(diǎn)G作GK⊥EF于K，如圖1所示：在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴BC＝AB＝CD＝8，BEQUOTEAB＝4，AB∥CD，在Rt△BEH中，∠B＝60°，BE＝4，∴sin∠BQUOTE，cos∠BQUOTE，∴EH＝BE?sin∠B＝4?sin60°＝2QUOTE，BH＝BE?cos∠B＝4?cos60°＝2，∴CH＝BC﹣BH＝8﹣2＝6，在Rt△ECH中，EH＝2QUOTE，CH＝6，∴tan∠BCEQUOTE，∴銳角∠BCE＝30°，∴EC＝2EH＝4QUOTE，∠CEH＝60°，∵∠B＝60°，∠BCE＝30°，∴∠BEC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ECD＝90°，在Rt△EGK中，∠GEF＝60°，∴sin∠GEFQUOTE，∴GK＝EG?sin∠GEF＝EG?sin60°，∵S△GEFQUOTEEF?GK＝3QUOTE，∴QUOTE?EF?EG?sin60°＝3QUOTE，∴EF?EG＝12，設(shè)CE的中點(diǎn)為T，連接GT，如圖2所示：∴ETQUOTEECQUOTE4QUOTE2QUOTE，∴EH?ET＝2QUOTE2QUOTE12，∴EF?EG＝EH?ET，即QUOTE，又∵∠GEF＝∠CEH＝60°，∴∠GET+∠CEF＝∠CEF+∠HEF＝60°，∴∠GET＝∠HEF，∴△GET∽△HEF，∴∠EGT＝∠EHF＝90°，設(shè)ET的中點(diǎn)為O，連接OG，則OG＝OEQUOTEETQUOTE2QUOTE，∴在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G始終在以點(diǎn)O為圓心，以QUOTE為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接OD，如圖3所示：根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：DG+OG≥OD，∴DG≥OD﹣OG，∴當(dāng)點(diǎn)D，G，O在同一條直線上時(shí)，DG為最小，最小值為OD﹣OG，∵CE＝4QUOTE，OEQUOTE，∴OC＝CE﹣OE＝3QUOTE，∴∠ECD＝90°，在Rt△OCD中，CD＝8，OC＝3QUOTE由勾股定理得：ODQUOTE，∴OD﹣OGQUOTE，∴DG的最小值為QUOTE．故答案為：QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，與圓有關(guān)的概念，熟練掌握菱形的性質(zhì)，解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是通過(guò)構(gòu)造相似三角形得出點(diǎn)G點(diǎn)G始終在以點(diǎn)O為圓心，以QUOTE為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．6．（2024?秦都區(qū)校級(jí)一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作EF的垂線分別交邊AD、BC于點(diǎn)G、點(diǎn)H．若線段EF恰好平分矩形ABCD的面積，且DF＝1，則GH的長(zhǎng)為QUOTE．【分析】先判斷EF過(guò)矩形的對(duì)稱中心，作DI∥EF，AJ∥GH，證明△ADI∽△BAJ，從而求出BJ，進(jìn)而求得．【解答】解：如圖，連接AC，交EF于O，∵線段EF恰好平分矩形ABCD的面積，∴O是矩形的對(duì)稱中心，∴BE＝DF＝1，作DI∥EF，AJ∥GH，∵四邊形ABCD是矩形，∴DF∥IE，∴四邊形DIEF是平行四邊形，∴EI＝DF＝1，∴AI＝AB﹣BE﹣EI＝2，同理可得，AJ＝GH，∵EF⊥GH，∴DI⊥AJ，由（1）得，∠AID＝∠AJB，∴△ADI∽△BAJ，∴QUOTE，∴QUOTE，∴BJQUOTE，在Rt△ABJ中由勾股定理得，AJQUOTE，∴GHQUOTE，故答案為：QUOTE，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解題的關(guān)鍵．7．（2024?雙流區(qū)模擬）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CE，∠BEC＝∠ADC，EF平分∠BEC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)G在線段BD上，且BG＝CG，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H，連接FG，EH．（1）求證：CE＝BG；（2）當(dāng)BH＝DE時(shí)，試判斷△BCH的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若QUOTE，求∠BEH的正切值．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)證出BF＝EF，證明∠CGE＝∠CEB，得出CG＝CE，則可得出結(jié)論；（2）證明△HBC∽△CEB，得出QUOTE，則可得出結(jié)論；（3）證明△CFG∽△CGB，得出QUOTE，同理△BEF∽△CGF，得出QUOTE，證明△CFK∽△EFC，得出QUOTE，過(guò)F作FP⊥CG于P，過(guò)H作QH⊥BE于Q，證明△KCF∽△HCB，得出QUOTE，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．【解答】（1）證明：∵EF平分∠BEC，∴∠BEC＝2∠BEF＝2∠CEF，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB，又∵BD為菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠DBC＝2∠DBA，∴∠BEC＝2∠DBC＝2∠DBA，∴∠BEF＝∠CEF＝∠DBC＝∠DBA，∴BF＝EF，∵∠CGE＝∠CBG+∠BCG＝2∠GBC＝2∠BEF，∴∠CGE＝∠CEB，∴CG＝CE，∴CE＝BG；（2）解：△BCH是等腰三角形，理由如下：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∠CBD＝∠CDB，∴2∠CBE+∠BCE+∠DCE＝180°，又∵在△BCE中，∠CBE+∠BEC+∠BCE＝180°，即∠CBE+2∠CBE+∠BCE＝180°，∴∠DCE＝∠CBE＝∠CDB，∴EC＝ED＝BH，在△HBC和△CEB中，∠HBC＝∠CEB，∠BCH＝∠EBC，∴△HBC∽△CEB，∴QUOTE，∴HC＝CB，∴△BCH是等腰三角形；（3）解：由（1）知△GBF≌△CEF，∴GF＝CF，設(shè)線段CG，EF相交于點(diǎn)K，∵QUOTE，∴設(shè)FG＝CF＝3k，則CE＝5k，∴BG＝CG＝CE＝5k，∴∠FGC＝∠FCG，∴∠GBC＝∠FGC，又∵∠FCG＝∠GCB，∴△CFG∽△CGB，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，同理△BEF∽△CGF，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵∠FCK＝∠CEF，∠CFK＝∠EFC，∴△CFK∽△EFC，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，過(guò)F作FP⊥CG于P，過(guò)H作QH⊥BE于Q，∵FC＝FG，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∵∠HBE＝∠CBE＝∠PCF，∴QUOTE，QUOTE，∵∠BEF＝∠CBE，∴∠HBE＝∠BEF，∴KF∥AB，∴△KCF∽△HCB，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE．QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)．8．（2024?河北一模）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且CE⊥DF于點(diǎn)O．（1）試猜想線段CE與DF的數(shù)量關(guān)系為CE＝DF；（2）數(shù)學(xué)小組的同學(xué)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入的探究：①如圖2，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH于點(diǎn)O，求證：EG＝FH；②如圖3，將①中的條件“在正方形ABCD中”改為“在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a”，其他條件不變，試推理線段EG與FH的數(shù)量關(guān)系；③如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，AB＝BC＝CD＝6，點(diǎn)M為AB的三等分點(diǎn)，連接CM，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥CM，垂足為點(diǎn)O，直接寫出線段DN的長(zhǎng)．【分析】（1）證明△BCE≌△CDF（ASA），得出CE＝DF；（2）①過(guò)點(diǎn)H作HN⊥BC交于N，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BA交于M，證明△HFN≌△GEM（ASA）即可求解；②過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥BC交于Q，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB交于P，由（1）可得△QHF∽△PGE；③如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DS⊥BC于S，根據(jù)垂直的定義得到∠DSN＝∠DSC＝∠B＝90°，根據(jù)已知條件得到BM＝2或BM＝1，根據(jù)勾股定理得到CM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠B＝90°，又∵DF⊥CE，∴∠CDO+∠DCO＝90°＝∠DCO+∠BCE，∴∠CDO＝∠BCE，在△BCE和△CDF中，QUOTE，∴△BCE≌△CDF（ASA），∴CE＝DF，故答案為：CE＝DF；（1）①證明：過(guò)點(diǎn)H作HN⊥BC交于N，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BA交于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴MG＝HN，∵HF⊥EG，∴∠MGE＝∠NHF，∴△HFN≌△GEM（ASA），∴HF＝EG；故答案為：HF＝EG；②解：EG＝2FH；理由：過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥BC交于Q，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB交于P，由（1）可得，∠QHF＝∠PGE，∴△QHF∽△PGE，∴QUOTE，∵AB＝a，BC＝2a，∴PG＝2a，HQ＝a，∴QUOTE；∴EG＝2FH；③解：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DS⊥BC于S，∴∠DSN＝∠DSC＝∠B＝90°，∵∠DCS＝60°，CD＝6，∴DSQUOTECD＝3QUOTE，∵點(diǎn)M為AB的三等分點(diǎn)，AB＝6，∴BM＝4或BM＝2，∵BC＝6，∴CMQUOTE2QUOTE或CMQUOTE2QUOTE，由（1）知△BCM∽△SDN，∴QUOTE，∴QUOTE或QUOTE，解得DNQUOTE或QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形的綜合題，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．1．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF＝3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．24 B．18 C．12 D．9【分析】由三角形的中位線定理可得BC＝2EF＝6，即可求解．【解答】解：∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴BC＝2EF＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)＝4×6＝24，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，是基礎(chǔ)題．2．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，連接OE．若∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，則∠1的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．25°【分析】直接利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BCA的度數(shù)，再利用三角形中位線定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E是邊CD的中點(diǎn)，∴EO是△DBC的中位線，∴EO∥BC，∴∠1＝∠ACB＝50°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形中位線定理等知識(shí)，得出EO是△DBC的中位線是解題關(guān)鍵．3．如圖是由全等的含60°角的小菱形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小菱形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，其中點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE【分析】過(guò)B作BE⊥AC于E，利用菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可．【解答】解：連接BE，∵是小菱形，∴對(duì)角線垂直，∴BE⊥AC，由題意知，BE⊥AC，∠1＝60°，設(shè)小菱形的邊長(zhǎng)為a，CEQUOTEa，BE＝2a，∴tan∠ACBQUOTE，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)、特殊三角形邊角關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，ED⊥BC交AB于點(diǎn)D，DF⊥AC于點(diǎn)F，則線段EF的最小值為QUOTE．【分析】根據(jù)題意可證△ABC是直角三角形，且DE⊥CB，DF⊥AC，可得DFCE是矩形，則CD＝EF，根據(jù)垂線段最短，可求CD的最小值，即EF的最小值．【解答】解：連接CD，∵AC2+BC2＝169，BA2＝169∴BC2+AC2＝BA2∴∠BCA＝90°且DE⊥CB，DF⊥AC∴四邊形DECF是矩形∴EF＝CD∴當(dāng)CD值最小時(shí)，EF的值最小∴根據(jù)垂線段最短則當(dāng)CD⊥BA時(shí)，CD的值最小此時(shí)，∵S△ABCQUOTECB×ACQUOTECD×BA∴CDQUOTE∴EF的最小值為QUOTE故答案為QUOTE【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，垂線段最短，本題的關(guān)鍵是證EF＝CD．5．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB的平分線分別交AB、BD于M、N兩點(diǎn)，若QUOTE，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2QUOTE．【分析】作MH⊥AC于H，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠MAH＝45°，則△AMH為等腰直角三角形，再求出AH＝MH＝MB，根據(jù)勾股定理即可求得．【解答】解：作MH⊥AC于H，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠MAH＝45°，∴AH＝MH，∵CM平分∠ACB，∴BM＝MHQUOTE，在Rt△AMH中，AMQUOTE2，∴AB＝AM+BM＝2QUOTE，故答案為：2QUOTE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形，掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，線段AB的端點(diǎn)B在直線MN上，過(guò)線段AB上的一點(diǎn)O作MN的平行線，分別交∠ABM和∠ABN的平分線于點(diǎn)C，D，連接AC，AD．添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：當(dāng)O是AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ACBD為矩形．【分析】證∠OCB＝∠OBC，則OC＝OB，同理OD＝OB，再由OA＝OB，證出四邊形ACBD是平行四邊形，然后證AB＝CD，即可得出結(jié)論．【解答】解：添加條件為：O是AB的中點(diǎn)，理由如下：∵CD∥MN，∴∠OCB＝∠CBM，∵BC平分∠ABM，∴∠OBC＝∠CBM，∴∠OCB＝∠OBC，∴OC＝OB，同理可證：OB＝OD，∴OB＝OC＝OD，∵O是AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB，∴四邊形ACBD是平行四邊形，∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，∴AB＝CD，∴平行四邊形ACBD是矩形，故答案為：O是AB的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)P從A出發(fā)在線段AD上以1個(gè)單位/秒向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）設(shè)△APQ的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)行時(shí)間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）t取幾時(shí)S的值最大，最大值是多少？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？【分析】（1）利用sin∠ACBQUOTE，得出sin∠PAQQUOTE，即可得出PE＝APsin∠PAQQUOTE（10﹣t），進(jìn)而表示出△APQ的面積為S；（2）利用二次函數(shù)最值求法運(yùn)用配方法求出，得出最值；（3）根據(jù)當(dāng)AP＝AQ時(shí)和當(dāng)PA＝PQ時(shí)當(dāng)QA＝QP時(shí)，分別得出t的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，根據(jù)勾股定理得AC＝10，∴sin∠ACBQUOTE，同法可得sin∠PAQQUOTE，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，在Rt△APE中，∵AP＝10﹣t，∴PE＝APsin∠PAQQUOTE（10﹣t），∴SQUOTEtQUOTE（10﹣t），即SQUOTEt2+3t（0＜t≤8）；（2）∵SQUOTE（t2﹣10t+25）QUOTE（t﹣5）2QUOTE，當(dāng)t＝5時(shí)，△APQ的面積S取得最大值，為QUOTE；（3）△APQ是等腰三角形，①當(dāng)AP＝AQ時(shí)，t＝10﹣t，則t＝5，②當(dāng)PA＝PQ時(shí)，作PE⊥AQ于E∵cos∠OAQQUOTE，則AEQUOTEt，∴AQQUOTEt，∴tQUOTEt＝10，∴tQUOTE，③當(dāng)QA＝QP時(shí)，作QF⊥AD于點(diǎn)F，∴AFQUOTE（10﹣t），∴QUOTE（10﹣t）＝t，∴tQUOTE，綜上所述，當(dāng)t＝5或tQUOTE或tQUOTE時(shí)，△APQ是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了二次函數(shù)的最值問題以及等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值問題是中考中重點(diǎn)內(nèi)容同學(xué)們應(yīng)熟練掌握并應(yīng)用．8．【特例感知】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB，AD的中點(diǎn)，DE、CF交于點(diǎn)G．（1）易證△ADE≌△DCF，可知DE、CF的關(guān)系為DE＝CF，DE⊥CF；（直接填寫結(jié)果）（2）連接BG，若AB＝6，求BG的長(zhǎng)．【初步探究】如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)G⊥DE分別交AD、BC于F、G，垂足為O．求證：FG＝DE．【基本應(yīng)用】如圖3，將邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD的中點(diǎn)M處，折痕為PQ，點(diǎn)P、Q分別在邊AD、BC上，求PQ的長(zhǎng)．【分析】【特例感知】（1）由“SAS”可證△ADE≌△DCF，即可得出結(jié)論；（2）由“AAS”可證△ADE≌△BHE，可得AD＝BH，由直角三角形的性質(zhì)可求解；【初步探究】由“ASA”可證△ADE≌△DCH，可得DE＝CH＝FG；【基本應(yīng)用】由全等三角形的性質(zhì)可證PQ＝AM，由勾股定理可求解．【解答】【特例感知】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝AB＝CD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)是AB，AD的中點(diǎn)，∴AEQUOTEAB，DFQUOTEAD，∴AE＝DF，在△ADE和△DCF中，QUOTE，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE＝CF，∠AED＝∠DFC，∵∠AED+∠ADE＝90°，∴∠ADE+∠DFC＝90°，∴∠DGF＝90°，∴DE⊥CF，故答案為：DE＝CF，DE⊥CF；（2）解：延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于H，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠EBH＝90°，又∵AE＝BE，∠AED＝∠BEH，∴△ADE≌△BHE（AAS），∴AD＝BH，∴BH＝BC，又∵DE⊥CF，∴BG＝BC＝6；【初步探究】證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CH∥GF，交AD于H，交DE于N，∵HC∥GF，AD∥BC，∴四邊形FHCG是平行四邊形，∴FG＝CH，∵HC∥GF，