空間直線及其方程市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

§7．8空間直線及其方程一、空間直線普通方程二、空間直線對稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線夾角四、直線與平面夾角五、雜例方向向量、直線對稱式方程、直線參數(shù)方程兩直線夾角及夾角余弦、兩直線平行與垂直條件直線與平面夾角、夾角正弦直線與平面平行與垂直條件平面束第1頁第1頁一、空間直線普通方程空間直線L能夠看作是兩個平面

1和

2交線．假如兩個相交平面

1和

2方程分別為A1x

B1y

C1z

D1

0和A2x

B2y

C2z

D2

0，那么直線L上任一點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足方程組反過來，假如點(diǎn)M不在直線L上，那么它不也許滿足上述方程組．因此，直線L能夠用上述方程組來表示．上述方程組叫做空間直線普通方程．xyzO

1

2L第2頁第2頁二、空間直線對稱式方程與參數(shù)方程方向向量：假如一個非零向量平行于一條已知直線，這個向量就叫做這條直線方向向量．xyzOs第3頁第3頁二、空間直線對稱式方程與參數(shù)方程方向向量：假如一個非零向量平行于一條已知直線，這個向量就叫做這條直線方向向量．為已知時，直線L位置就完全擬定了．?dāng)M定直線條件：當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x0，y0，x0)s

{m，n，p}和它一方向向量xyzOM0s第4頁第4頁方向向量：假如一個非零向量平行于一條已知直線，這個向量就叫做這條直線方向向量．為已知時，直線L位置就完全擬定了．?dāng)M定直線條件：當(dāng)直線L上一點(diǎn)M0(x0，y0，x0)和它一方向向量xyzOM0s

{m，n，p}s二、空間直線對稱式方程與參數(shù)方程第5頁第5頁直線對稱式方程：設(shè)直線L上一點(diǎn)M0(x0,y0,x0)和它一方向向量s

{m,n,p}為已知，再設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)為直線L上任一點(diǎn)，與L方向向量s平行．從而有因此兩向量相應(yīng)坐標(biāo)成百分比，由于s

{m，n，p}，此方程組就是直線L方程，叫做直線對稱式方程或點(diǎn)向式方程．xyzOM0Ms那么向量

{x

x0，y

y0，z

z0}，第6頁第6頁直線任一方向向量坐標(biāo)m、n、p叫做這直線一組方向數(shù)，而向量方向余弦叫做該直線方向余弦．方向數(shù)：

t，直線參數(shù)方程：設(shè)這個方程組就是直線參數(shù)方程．那么第7頁第7頁

例1用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解令x

1，有所求直線方向向量可取為解此方程組，得y

0，z

2，于是得直線上一點(diǎn)(1，0，

2)．平面x+y+z+1=0和2x

-

y+3z+4=0法線向量分別為n1

{1，1，}，n2

{2，

1，3}s

n1

n2

4i

j

3k．第8頁第8頁得所給直線參數(shù)方程為令所給直線對稱式方程為例1用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解令x

1，有所求直線方向向量可取為解此方程組，得y

0，z

2，于是得直線上一點(diǎn)(1，0，

2)．平面x+y+z+1=0和2x

-

y+3z+4=0法線向量分別為n1

{1，1，}，n2

{2，

1，3}s

n1

n2

4i

j

3k．第9頁第9頁兩直線方向向量夾角(通常指銳角)叫做兩直線夾角．設(shè)直線L1和L2方向向量分別為s1

{m1，n1，p1}和n2

{m2，n2，p2}，那么L1和L2夾角j就是(s1,^s2)和(

s1,^s2)

p

(s1,^s2)兩者中銳角，因此cosj

|cos(s1,^s2)|．三、兩直線夾角來擬定．直線L1和L2夾角j可由cosj第10頁第10頁兩直線L1、L2互相平行或重疊相稱于從兩向量垂直、平行充足必要條件馬上推得下列結(jié)論：兩直線L1、L2互相垂直相稱于m1m2

n1n2

p1p2

0；第11頁第11頁設(shè)兩直線夾角為j，則解兩直線方向向量分別為cosjs1

{1，

4，1}和s2

{2，

2，

1}．例2第12頁第12頁四、直線與平面夾角當(dāng)直線與平面不垂直時，直線和它在平面上投影直線夾當(dāng)直線與平面垂直時，)j角j(0

j<)稱為直線與平面夾角，要求直線與平面夾角為．第13頁第13頁因此sinj

sinj

|cos(s,^n)|．按兩向量夾角余弦坐標(biāo)表示式，有設(shè)直線方向向量和平面法線向量分別為s

{m，n，p}，n

{A，B，C}，直線與平面夾角為j，那么j

|

(s,^n)|，第14頁第14頁由于直線與平面垂直相稱于直線方向向量與平面法線向量平行，因此，直線與平面垂直相稱于由于直線與平面平行或直線在平面上相稱于直線方向向量與平面法線向量垂直，因此，直線與平面平行或直線在平面上相稱于A

m

B

n

C

p

0．第15頁第15頁由此可得所求直線方程為例3求過點(diǎn)(1，

2，4)且與平面2x

3y

z

4

0垂直直線方程．解平面法線向量{2，

3，1}能夠作為所求直線方向向量．第16頁第16頁五、雜例于是所求直線方程為例4求與兩平面x

4z

3和2x

y

5z

1交線平行且過點(diǎn)(

3，2，5)直線方程．解平面x

4z

3和2x

y

5z

1法線向量分別為兩平面交線方向向量為此向量可作為所求直線方向向，n1

{1，0，

4}，n2

{2，

1，

5}，

(4i

3j

k)，s

n1

n2

第17頁第17頁x

1，y

2，z

2．解所給直線參數(shù)方程為x

2

t，y

3

t，z

4

2t，代入平面方程中，得2(2

t)

(3

t)

(4

2t)

6

0．解上列方程，得t

1．將t

1代入直線參數(shù)方程，得所求交點(diǎn)坐標(biāo)為例5

第18頁第18頁L例6求過點(diǎn)(2，1，3)且與直線垂直相交直線方程．PM第19頁第19頁例6求過點(diǎn)(2，1，3)且與直線垂直相交直線方程．解先作一個過已知點(diǎn)且與已知直線垂直平面，這個平面方程為3(x

2)

2(y

1)

(z

3)

0．再求所作平面與已知直線交點(diǎn)，令=

t得參數(shù)方程x

1

3t，y

1

2t，z

t．得將參數(shù)方程代入平面方程，得．將代入?yún)?shù)方程，第20頁第20頁所求直線方程為例6求過點(diǎn)(2，1，3)且與直線垂直相交直線方程．解先作一個過已知點(diǎn)且與已知直線垂直平面，這個平面方程為3(x

2)

2(y

1)

(z

3)

0．再求所作平面與已知直線交點(diǎn)，第21頁第21頁考慮三元一次方程：A1x

B1y

C1z

D1

l(A2x

B2y

C2z

D2)

0，即A1

lA2)x

(B1

lB2)y

(C1

lC1)z

D1

lD2

0，設(shè)直線L普通方程為平面束：另一方面，任何通過直線L平面也一定包括在上述通過L平對于任何一個l值，上述方程都表示一個平面，并且這些平面都也就是說，這個方程表示通過直線L一族平面．通過直線L．通過定直線所有平面全體稱為平面束．面族中．方程A1x

B1y

C1z

D1

l(A2x

B2y

C2z

D2)

0就是通過直線L平面束方程．第22頁第22頁A1x

B1y

C1z

D1

l(A2x

B2y

C2z

D2)

0．L第23頁第23頁

例7求直線在平面x

y

z

0上投影直線方程．L垂直于

平面投影直線第24頁第24頁

例7求直線在平面x

y

z

0上投影直線(x

y

z

1)

l(x

y

z

1)

0，

解設(shè)過已知直線平面束方程為即