人教A版必修第二冊6432正弦定理學案

其次課時正弦定理

課前篇?自主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學問點1正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即心

Sillzi

b_____c_

sin3—sinC

常見的變形有

sinA：sin3：sinC=a：b：c；

a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；

____a+b+c______

sinA+sinfi+sinC

ab

礪，

sinA=sinB=2R'sinC=2R-

(其中R為3c外接圓的半徑)

學問點2三角形面積公式

(1)S=亍力”=丞也＞=;

(2)S=；0csinA=gacsinB—^ahsinC；

nhc!

(3)5=源=步3+。+。其中R,r分別為△45C的外接圓半徑、

內切圓半徑；

(4)S=7p(p—d)(p—b)(/7—c),其中p=/(a+Z?+c).

［重點理解］

1.正弦定理的特點

(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立.

(2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正

弦的連等式.

(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關系,

可以實現(xiàn)三角形中邊角關系的互化.

2.正弦定理的常見變形

⑴q=2尺sinA，力=2Esin6，C=2RsinC(R為AABC外接圓的半

徑).

(2)sinA=/,sinB=4,sinC=^R為△ABC外接圓的半徑).

(3)三角形的邊長之比等于對應角的正弦比，即a"：c=sinA：

sinB:sinC.

____a+：+c________a_____b_____c_

")sinA+sin3+sinC-sinA-sinsinC

(5)asinB=Z?sinA,asinC=csinA,bsinC=csinB

［自我排查］

1.思維辨析.(對的打“，錯的打“義〃)

⑴在△48C中，C=60°,a=l,b=3,可用正弦定理解此三角

形.()

(2)對于任意△A3C,總有。sinA=asinB.()

(3)在△A3C中，假設sinA>sin3,那么A>3；反之，假設

那么sinA>sinB.()

(4)在△ABC中，假設A=30。，a=2,。=2小，那么3=60。.()

解析：(1)義.三角形的兩邊和這兩條邊的夾角，無法用正弦定理

解此三角形.

db

(2)??由正弦定理知sinA=sinB'即加inA=asinB.

(3)J.在△ABC中,sinA>sinB^a>b^A>B.

-

(4)義.由正弦定理知T——n,即:QCO=所以sin

、'sinAsin8'sin30sin8'

會那么8=60°或120°,又由于/?>a,所以B>A,故8=60°或120°.

2.(多項選擇)(2020?河北衡水中學高二(上)期中考試)在△48C

中，內角A,B,C的對邊分別為a,h,c,假設。=1,b=小,A=

30°,那么3的大小可能為（）

A.30°B.150°

C.60°D.120°

答案：CD

解析：由正弦定理焉=磊，得sin3=如詈=—衛(wèi)=乎.

Xh>a,0°<B<lS00,所以8=60。或8=120。，應選CD.

3.在△A3C中，肯定成立的等式是（）

A.asinA=bsmBB.tzcosA—bcosB

C.?sinB=bsinAD.acosB=bcosA

答案：C

ah

解析：由正弦定理;得asinB=hsinA,應選C.

4.在△ABC中，假設sinA=sinC,那么△人3。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

答案：B

解析：由sinA=sinC,知。=（:,

△ABC為等腰三角形.

5.在△A3C中，BC=4sinC=2sinA,那么A3=.

答案：2小

解析：由正弦定理，得AB=￥§BC=2BC=2事.

sin/I

課堂篇?重點難點研習突破

研習1兩角及一邊解三角形

TT

[典例1]⑴在△A3C中，假設b=5,3=不tanA=2,求c的

值.

(2)在中，a=8,B=60。，C=75。，求A,b,c的值.

［解］(1)由tanA=2,知

?,2,1

smA=由,cosA=忑,

那么sinC=sin［兀一(A+8)］=sin(A+8)

=sinAcosB+cosAsinB

_2乂正乂巫—工

-小義2+小義2-標

hc

在中，由正弦定理合=三彳，知

△ABColll1J^111

/=昔-,解得c=3#

2赤

nhc

(2)由題意得，A=45。，由正弦定理，得缶故。

olil/ASillDdillLx

=4#,c=4(小+1).

［巧歸納］本例屬于兩角與一邊求解三角形的類型，此類問題的

根本解法是：

(1)假設所給邊是角的對邊時，可由正弦定理求另一邊，再由三

角形內角和定理求出第三個角，最終由正弦定理求第三邊；

(2)假設所給邊不是角的對邊時，先由三角形內角和定理求第三

個角，再由正弦定理求另外兩邊.

［練習1］在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c.A

=105°,C=45°,c=@那么h=()

A.1B.啦

C.V3D.2

答案：A

解析：在△ABC中，?.?4=105°,C=45°,

.,.B=180°-A-C=180o-105o-45o=30°.

由正弦定理sin5=sinC得sin300=sir^5°'

解得她.

研習2兩邊及一邊的對角解三角形

［典例2］在△A3C中，c=加，a=2,A=45。，解這個三角形.

解???狒=布，

csinA#Xsin45°.

/.sinC=~^~=2=2'

...C=60?；駽=120。.

、“c-cqcr-c,csinB加sin75°r-,?

==

當C=60時，3=75,b~si?n不C=si?n二60八。vv31；

、［7—“cnLlc,csinB加sin15。r-

當C=120時'8=15'sin120。=V3-1.

；.b=y^+T,3=75°,C=60°或。=3-1，5=15°,C=120°.

［巧歸納］三角形解的各種狀況匯總

依據正弦函數(shù)的圖象，由正弦值求角時，可能有一解或兩解，再

進一步求第三角時可能無解，也可能有一解或兩解.例如，a,b和A,

用正弦定理求B時的各種狀況如下：

A為銳角A為鈍角或直角

C

A-*c

J

圖ABA.BAB

①

CC

形A瓦'-B

A2A2tR廣

A、――BAR

tAsR

②

①片

加inA且OsinA

關系式a<hsinAa>haWb

a<b<a<b

②a》b

解的個數(shù)一解兩解無解一解無解

［練習2］在△ABC中，假設c=,，C=?a=2,求A,8,力

的值.

—^―二」一，得

解：由sinAsinC1寸

tzsinCA/2

sinA=

2，

...4=；或A=竽.

71

又，.飛〉。，..C>A,.,.A=W，

7T兀57r

.'.B—n3~4=12,

V6-sinl?

,csinB

b=~?k=.兀=小+1.

sinC

sin3

研習3用正弦定理進行邊角互化

［角度一］運算求解問題

［典例3J(2020.黑龍江鶴崗高一檢測)在銳角△A3C中，角A,8

所對的邊長分別為a,h,假設2公由8=小江那么角A等于()

A7t71

A.3B.

4

一兀2兀

C6D.T

［答案］A

［解析］由于2公由8=小力，由正弦定理可得,

2sinAsinB="\/3sinB,

又sin8r0,所以sinA=B".

jr

由于3c是銳角三角形，所以A=q

［角度二］化簡證明問題

［典例4］在任意△A3C中,求證：a(sinB—sinQ+Z?(sinC-sin

A)+c(sinA-sinB)=0.

［證明I證法一：依據正弦定理，

令a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R為△ABC外接圓

的半徑).

代入，得

左邊=2R(sinAsin3-sinAsinC+sinBsinC—sinBsinA+sin

CsinA—sinCsin8)=0=右邊，所以等式成立.

證法二：依據正弦定理，令sinA=/，sin8=表，sinC=/(其

中R為外接圓的半徑).

代入，得

左邊=〃蘇-丸+〃蘇-丸+c蘇-我二點(m-ac+bc-W

+CQ—仍)=0=右邊，

所以等式成立.

［角度三］推斷三角形的外形

［典例5J在△ABC中，假設a=2bcosC且sin2A=sin2B+sin2C,

試推斷△43C的外形.

ahc

［解］依據正弦定理，得sinA=赤，sin3=而，sin。=元(其中

^L\乙4/X.

R是△ABC外接圓的半徑).

由于sin2A=sin2j5+sin2c

所以a2=b2~\~c2,

所以4是直角，B+C=90。，

依據正弦定理，得a=2RsinA,c=2RsinC,

故由a=2/?cosC可得sinA=2sin8cosC,

解法一：由于A=180°—(8+C),sinA=2sinJBCOSC,

所以sin(jB+Q=sinBcosC+cosBsinC

=2sinBcosC,

所以sin(B-Q=0.

又一90°<8—。<90。，所以3=C,

所以△ABC是等腰直角三角形.

解法二：由于2sinBcosC=2sinBcos(90°—B)=:2sin2B=:sinA—l,

所以sin3=與.

由于0。<8<90°,所以8=45。，C=45°,

所以△ABC是等腰直角三角形.

n=2/?sinA

6=2/esinH

r=2/CsinC

2.推斷三角形外形的兩種途徑

(1)利用正弦定理把條件轉化為邊的關系，通過因式分解、配方

等方法得出邊的相應關系，從而推斷三角形的外形.

2)利用正弦定理把條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系，通過三

角函數(shù)恒等變形得出內角的關系，從而推斷出三角形的外形，此時要

留意應用A+B+C=TI這個結論.

在這兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項

提取公因式，以免漏解.

[練習3]LA43c的三個內角A,B,C所對的邊分別為a,b,

b

c,asmAsinB-\-bcos2A=yf2a,那么,=()

A.2sB.2^2

C.^3D.

答案：D

解析：由正弦定理，#sin2AsinB+sinBcos2A=^/2sinA,即sin

B(sin2A+cos2A)=-\/2sinA.

所以sinB=^/2sinA.

bsinB=

asinA^2.

2.在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,。所對的邊，假設ccos

A=b,那么△A3C()

A.肯定是銳角三角形B.肯定是鈍角三角形

C.肯定是直角三角形D.肯定是斜三角形

答案：C

解析：由正弦定理，得sinCcosA=sin8,

又由于sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,

整理，得sinAcosC=0.

又由于sinAWO,

所以cosC=0,即C=90°,

所以△ABC肯定是直角三角形.

3.△ABC的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c.bsinA+acosB

=0,那么B=.

答案：y

解析：由題意及正弦定理，得

sinBsin4+sinAcosB=0,

又sinAWO,所以sin8=—cosB,

371

所以tanB=—1,又0<B<兀，故3=彳.

4.在△ABC中，假設acos4=hcos3,試推斷△A3C的外形.

解：由正弦定理，得。=2RsinA,b=2AsinB(R是△ABC外接圓

的半徑)，

由acosA=hcosB,得sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin2B.

由于2A,28￡(0,2兀)，

所以24=23或24+25=兀.

7T

即A=B或A+B=],

所以△43C為等腰三角形或直角三角形.

研習4正弦定理和余弦定理的綜合應用

［角度一］求值問題

［典例6］設△ABC的內角A,B,C所對應的邊長分別是a,b,

3

c,且cos3=m，b—2.

⑴當1=30°時,求a的值;

(2)當△ABC的面積為3時，求a+c的值.

34

［解］⑴由于cos3=5，所以sin3=亍

又由于A=30。，

2X1

Acir?A2s

所以由正弦定理，知。=飛、萬=丁=本

5

(2)由于Sz\ABC=gacsinB,

、215

所以gac=3,ac=?,

由余弦定理，得。2=〃+/—2QCCOS3,

所以4=a2+c2-^ac=a2-+c2—9,

即次+?=13,那么(a+c)2—2ac=13,

(a+c)2=28,故a+c=2市.

［練習4J(2019?全國卷I)4A8C的內角A,B,C的對邊分別為

a,b,c.設(sinsinC)2=sin2A-sin3sinC.

⑴求A;

(2)假設婚a+0=2c,求sinC.

解：⑴由得

sin^+si^C—sin2A=sinBsinC,

由正弦定理，得82+/一辟=歷.

/72+d—Q2be1

由余弦定理，得cosA==黑甘

乙L/C乙UL4

由于0。＜4＜180。，所以。=60。.

(2)由(1)知5=120。一C,

由題設及正弦定理，得啦sinA+sin(12(T-C)=2sinC,

即乎+乎cosC+^sinC=2sinC,

［2

可得cos(C+6(T)=一ry.

由于0。＜。＜120。，所以sin(C+60°)=^-,

故sinC=sin(C+600-60°)

=sin(C+60°)cos60°—cos(C+60°)sin60°

［角度二］化簡證明問題

［典例7］在△ABC中，證明以下各式：

(l)(a2—Z?2—c2)tanA+(tz2—/72+c2)tanB=0；

、cos2Acos2B__1_1

()q202-"2廿

［證明］(l)左邊=(/一〃一/)黑+32-〃+/)鬻

=(q2一爐―/)金土j，+(a2—/+/).親

2abJ~(b2+c1—a2)cP+c2—^

2R［b2-bc2—a2

1+D=o=右邊，

故原式得證.

1-2sin2A1—2sin25

(2)左邊=2

Q-h2

一2sin2A2sin2g

二荷—b2)~(27?)2sin2A+(2/?)2sin2B

112,211

=下一講一兩十兩一1一刀一石豆，

故原式得證.

課后篇?根底達標延長閱讀

1.在△A3C中，a=15,。=10,A=60°,那么cos3=()

A-空B空

A.33

C-匪D逅

答案：D

Hb

解析：由正弦定理，得高7=硒，

.1510

?'sin60o_sinB'

..sinB-15—3.

又a>b,：.A>B,

:.cosB=*,應選D.

2.(多項選擇)(2020?遼寧沈陽高一聯(lián)合體期末考試)在△ABC中,

角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,且(a+h)：3+c)：S+c)=9:

10：11,那么以下結論正確的選項是()

A.sinA：sinB：sinC=4：5：6

B.△ABC是鈍角三角形

C.5c的最大內角是最小內角的2倍

D.假設c=6,那么△43C的外接圓的半徑為罕

答案：ACD

解析：對于A,由于3+3：(Q+C)：s+c)=9：10：11,所以

a-\-b=9x,

可設<a+c=10x,(其中%>0),解得Q=4X,h=5x,c=6x,所以

力+c=11%

sinAsinBsinC=a"bc=4：5：6,所以A正確；

對于B,a,b,c中c最大，所以角A,B,C中角C最大，又

<72+/?2—C2(4x)2+(5%)2—(6x)21

>0

cosC=-三/一=VC-g?所以C為銳角，所以B

Zab2X4%X5xX

錯誤；

對于C,a,b,c中a最小，所以角4,B,C中角4最小，又

(?+/72—a2(6x)2+(5x)2—(4x)23

cosA=-2cb-=—2X6xX5x—=不

所以cos24=2cos2A—1=",所以cos2A=cosC,

由于角A,B,。中角C最大且C為銳角，所以2A￡(0,兀)，C

G[O,5，所以2A=C,所以C正確；

對于D,由于2R=$1：dR^}/\ABC外接圓的半徑），sinC=

qi-cos2C=乎,所以2R=擊，解得R=芋,所以D正確.應選

8

ACD.

3.在3c中，角4,B,C所對應的邊分別為a,b,c,bcosC

+ccosB=2b,那么/=.

答案：2

解析：由于bcosC+ccosB=2b,

由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sin3,

所以sin(B+C)=2sin3,

即sinA=2sinB,那么。=2b,所以？=2.

b

4.在△ABC中，假設(sinA+sin3)(sinA-sinB)=sin2。，那么

△ABC是三角形.

答案：直角

解析：由得sin2A—sin2B=sin2C,

nhc

依據正弦定理，得-4=1—=一三=2m

?sinAsinBsinC'

所以闈2一閡2=闔2,

化簡整理得/+理=次.