第06講 全等三角形常見七大模型（7大知識(shí)點(diǎn)+7大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學(xué)》銜接講義（解析版）

第第頁第06講全等三角形常見七大模型（7大知識(shí)點(diǎn)+7大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）題型一平移模型題型二軸對(duì)稱模型題型三旋轉(zhuǎn)模型題型四一線三等角模型題型五三垂直全等模型題型六手拉手模型題型七半角全等模型模型一：平移模型把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線．【常見模型】模型二：軸對(duì)稱模型將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等．【常見模型】模型三：旋轉(zhuǎn)模型將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件．【常見模型】模型四：一線三等角模型基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常見模型】模型五：三垂直全等模型模型主體為兩個(gè)直角三角形，且兩條斜邊互相垂直．【常見模型】模型六：手拉手模型將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等．【模型圖示】公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”．對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得．【常見模型】（等腰）（等邊）（等腰直角）模型七：半角全等模型過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型．【常見模型】常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系．半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論．【典型例題一平移模型】1．（20-21八年級(jí)下·陜西咸陽·期末）如圖，將沿方向平移得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，、交于點(diǎn)．下列結(jié)論一定正確的是（）

A． B． C． D．、互相平分【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得到∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，由于只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，則可對(duì)A、B、C選項(xiàng)的進(jìn)行判斷；AC交DE于O點(diǎn)，如圖，證明△AOD≌△COE得到OD=OE，OA=OC，則可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊BC的中點(diǎn)上，∴∠B=∠DEF，BE=CF=CE=AD，AD∥BC，DF=AC，只有當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AC⊥DE；只有當(dāng)BC=2AC時(shí)，DF=AC=BE，所以A、B、C選項(xiàng)的結(jié)論不一定正確；∵AD∥BC，∴∠OAD=∠OCE，∠ODA=∠OEC，而AD=CE，∴△AOD≌△COE（ASA），∴OD=OE，OA=OC即AC、DE互相平分，所以D選項(xiàng)的結(jié)論正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．2．（21-22八年級(jí)下·安徽宿州·期末）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，若將的邊沿方向平移，平移過程中始終滿足下列條件：，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．則當(dāng)點(diǎn)，不重合時(shí)，與的關(guān)系是．【答案】BD與EF互相平分【分析】先根據(jù)DE⊥AC，BF⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CDE，再求證△DEG≌△BFG，即可．【詳解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴ED=BF．設(shè)EF與BD交于點(diǎn)G，由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，∴∠EDG=∠GBF，∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，∴△DEG≌△BFG，∴EG=FG，DG=BG，∴BD與EF互相平分．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是需要證明多次全等，步驟繁瑣，是一道綜合性較強(qiáng)的中檔題．3．（20-21七年級(jí)下·浙江金華·期末）如圖，在和中，，，，在同一條直線上，下列給出四個(gè)論斷：①；②；③；④．解答下列問題：（1）任選三個(gè)作為已知條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，得到一個(gè)真命題．（填入下列橫線上）條件：____________________，結(jié)論：_____________．（填序號(hào)即可）（2）證明（1）中你選的命題．（3）若是由沿方向平移得到的，已知的周長(zhǎng)為，則平移距離______時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)是周長(zhǎng)的兩倍．【答案】（1）條件：②③④；結(jié)論：①．或者條件：①②④；結(jié)論：③；（2）“SAS”或者“SSS”；（3）．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定選取條件即可；（2）利用“SSS”和“SAS”證明三角形全等即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可以得到：AC=DF，BC=EF，AD=BE，四邊形ABFD的周長(zhǎng)=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BC+AC+AD+BE，△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=m，然后根據(jù)四邊形ABFD的周長(zhǎng)是ΔABC周長(zhǎng)的兩倍進(jìn)行求解即可.【詳解】解：（1）由全等三角形的判定條件可知，可以選?、冖邰茏鳛闂l件，利用“SAS”證明△ABC≌△DEF，即可得到條件④AB=DE；可以選?、佗冖茏鳛闂l件，利用“SSS”證明△ABC≌△DEF，即可得到條件③∠ACB=∠DFE（2）當(dāng)選?、冖邰茏鳛闂l件時(shí)，∵BE=CF，∴BC=BE+EC=EC+FC=EF，又∵AC=DF，∠ACB=∠DFE，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AB=DE；當(dāng)選?、佗冖茏鳛闂l件時(shí)，∵BE=CF，∴BC=BE+EC=EC+FC=EF，又∵AB=DE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ACB=∠DFE；（3）由平移的性質(zhì)可知：AC=DF，BC=EF，AD=BE∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BC+AC+AD+BE，∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)是ΔABC周長(zhǎng)的兩倍，△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=m，∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)=AD+BE+m=2m，∴2AD=m，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.【典型例題二軸對(duì)稱模型】1．（23-24八年級(jí)上·天津紅橋·期末）如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接，．有下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，根據(jù)可得，結(jié)合，無法證明,繼而得不到，可判斷①；結(jié)合，可得，可證，繼而判斷②④；結(jié)合，可得，可證，繼而判斷③；解答即可．【詳解】∵，∴，∵，無法證明,繼而得不到，故①錯(cuò)誤；∵，∵，∴，∴，，∴②④正確；∵，∴，∴，∴，故③正確；∴正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·湖南懷化·期中）如圖，，為的中點(diǎn)，于，于，圖中全等三角形共有對(duì)．

【答案】【分析】三角形全等條件中必須是三個(gè)元素，并且一定有一組對(duì)應(yīng)邊相等．此類題可以先把單獨(dú)的兩個(gè)全等三角形的對(duì)數(shù)找完，再找由兩個(gè)三角形組合的全等的大三角形的對(duì)數(shù)，最后找由三個(gè)小三角形組合的全等的大三角形的對(duì)數(shù)．【詳解】解：D是的中點(diǎn)，則，∵，，，∴．∵，D是的中點(diǎn)，∴．在和中，，∴．在和中，，∴．綜上，共3對(duì)，故答案為：3．3．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，，，垂足分別為D、E，、相交于點(diǎn)F，．(1)求證：；(2)在不添加輔助線的條件下，直接寫出圖中所有的全等三角形．【答案】(1)見解析(2)；；；【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，，，，兩直角三角形全等還有．（1）根據(jù)垂直的定義得出，根據(jù)可以推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，然后得出結(jié)果即可；（2）由（1）可知，利用證明，利用可證，利用可證．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即；（2）解：根據(jù)解析（1）可知：；在和中，，∴，∴；∴，即，在和中，∴，在和中，∴；綜上分析可知：全等三角形有：，，，；【典型例題三旋轉(zhuǎn)模型】1．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在五邊形中，，，，且，，則五邊形的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是利用全等的性質(zhì)將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，首先證明點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，證明，得到，，再將所求面積轉(zhuǎn)化為進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，則，，，即點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，，，即，在和中，，，，五邊形的面積為：，，．故選：D．2．（21-22九年級(jí)上·廣東汕頭·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，3），把線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段PQ，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是．【答案】（3，7）【分析】過Q作QE⊥y軸于E點(diǎn)，證明△QEP≌△POA，得到EQ=PO=3，EP=OA=4后即可求解．【詳解】解：過Q作QE⊥y軸于E點(diǎn)，如下圖所示：∵旋轉(zhuǎn)90°，∴∠1+∠2=90°，∵EQ⊥y軸，∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3，且∠QEP=∠POA=90°，PQ=PA，∴△QEP≌△POA(AAS)，∴EQ=PO=3，EP=OA=4，∴EO=EP+PO=4+3=7，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(3，7)，故答案為：(3，7)．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，本題的關(guān)鍵過Q作QE⊥y軸于E點(diǎn)，證明△QEP≌△POA．3．（23-24八年級(jí)上·廣東惠州·期中）綜合探究：如圖1，是等腰三角形，，，過點(diǎn)B作于點(diǎn)C，在上截取，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P；

(1)求證：；(2)求證：．(3)如圖2，將繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，是否還與全等？那么與的位置關(guān)系是否發(fā)生變化？說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，不發(fā)生變化，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．掌握全等三角形的判定定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．（1）由條件推出，即可求證；（2）由推出，即可求證；（3）根據(jù)證即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，在和中，∴（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴（3）解：，不發(fā)生變化，理由如下：∵，，∴，∴，∴∵∴∵，∴，∵，∴，∴【典型例題四一線三等角模型】1．（21-22八年級(jí)上·江西吉安·期中）課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方的是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【分析】設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，然后證明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，由題意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CD=BE=2xcm，∵，，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．2．（22-23七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接、，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】10【分析】先證明，再證明，即可作答．【詳解】，又，，，，，，，，，，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（21-22七年級(jí)下·河南鄭州·期末）在直線m上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D，A，E，在直線m上方有，且滿足．【積累經(jīng)驗(yàn)】（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是______；【類比遷移】（2）如將2，當(dāng)時(shí)，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，是鈍角，，，，直線m與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，的面積是12，請(qǐng)直接寫出與的面積之和．【答案】（1）；（2）仍然成立，理由見解析；（3）與的面積之和為4．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）由得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合得證，最后得到；（2）由得到，進(jìn)而得到，然后結(jié)合得證，最后得到．（3）由，得出，由證得，得出，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出F即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1），理由如下，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）仍然成立，理由如下，∵，，，∵，∴，∴，；（3）∵，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，∴，，∵，∴，∵，∴與的面積之和為4．【典型例題五三垂直全等模型】1．（21-22八年級(jí)上·河北保定·期中）如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【分析】根據(jù)題意證明即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴，∵∠ACE＝90°，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·四川成都·二模）如圖所示，中，．直線l經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F．若，則．

【答案】7【分析】根據(jù)全等三角形來實(shí)現(xiàn)相等線段之間的關(guān)系，從而進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠CFA=90°．∴∠EAB+∠EBA=90°．又∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°．∴∠EBA=∠CAF．在△AEB和△CFA中∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△AEB≌△CFA．∴AE=CF，BE=AF．∴AE+AF=BE+CF．∴EF=BE+CF．∵，∴；故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的證明三角形全等．3．（21-22九年級(jí)上·黑龍江佳木斯·期中）在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于．

(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，求證：；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試問：、、有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，、、之間的等量關(guān)系是___（直接寫出答案，不需證明）．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析(3)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于找出證明三角形全等的條件．（1）先用證明，得，，進(jìn)而得出；（2）先用證明，可得，，進(jìn)而得出；（3）證明過程同（2），進(jìn)而可得．【詳解】（1）證明：由題意知，，，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∴．（2）解：．證明：∵，，∴，∴，，∴，在和中，∵，∴，∴，，又∵,∴．（3）解：．證明：∵于，于，∴，∴，，∴∠ACD＝∠EBC，在和中，∵，∴，∴，，又∵，∴．【典型例題六手拉手模型】1．（21-22八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點(diǎn)F，以下結(jié)論中正確的有（

）個(gè)①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)“手拉手”模型證明，從而得到，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)即可求解，即可證明①；作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明，結(jié)合角平分線的判定定理即可證明②；利用面積法表示和的面積，然后利用比值即可證明③；利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的思想，在上取點(diǎn)，使得，首先判斷出為等邊三角形，再結(jié)合“手拉手”模型推出即可證明④．【詳解】解：①∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故①正確；②如圖所示，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，∵，∴，在和中，∴，∴，∴平分，故②正確；③如圖所示，作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴整理得：，∵，∴，∴，故③正確；④如圖所示，在上取點(diǎn)，使得，∵，平分，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，故④正確；綜上，①②③④均正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等邊三角形的基本性質(zhì)，掌握全等三角形中的輔助線的基本模型，包括“手拉手”模型，截長(zhǎng)補(bǔ)短的思想等是解題關(guān)鍵．2．（12-13七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤．恒成立的結(jié)論有．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）【答案】①②③⑤【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定以及性質(zhì)．①由于和是等邊三角形，可知，，，從而利用證出，可推知；②由得，，，得到，再根據(jù)推出為等邊三角形，又由，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知②正確；③由①和②可得出，，即可證；④根據(jù)，，可知，，且，得出，可知④錯(cuò)誤；⑤利用等邊三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是，可知⑤正確．【詳解】解：①∵正和正，∴，，，∵，，∴，在和中，∴，∴，，故①正確；②又∵，，，∴．∴，∴，∴，∴，故②正確；③∵，∴，∵∴，∴，∴，故③正確；④∵，且，∴，故④錯(cuò)誤；⑤∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴∴，故⑤正確．∴正確的有：①②③⑤．故答案為：①②③⑤．3．（23-24七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，在和中，，，若，連接、交于點(diǎn)；(1)求證：．(2)求的度數(shù)．(3)如圖(2)，是等腰直角三角形，，，，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，連接，在直線上方作以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連接，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；（1）根據(jù)題意得出，即可證明；（2）根據(jù)題意可得是等邊三角形，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（3）分情況討論，當(dāng)在線段上時(shí)，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明，得出，結(jié)合圖形，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴又∵，，∴（2）解：∵，，∴是等邊三角形，∴∵∴∴；（3）解：如圖所示，當(dāng)在線段上時(shí)，∵是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形∴，又∵，，∴∴∴∵∴如圖所示，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，∴∴∵∴綜上所述，或【典型例題七半角全等模型】1．（23-24八年級(jí)上·山西臨汾·期末）如圖，在中，，，D、E是邊上的兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F，連結(jié)有下列結(jié)論：①；②；③若，，則；④．其中錯(cuò)誤的是（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的常見模型-“半角”模型，通過證明，，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵，，∴，∵∴∵∴即：，∴，故①正確；∴∵，，∴∵∴∴，故②正確；∵，，∴，，∵，∴，故③正確；由①②得：，若，則，顯然錯(cuò)誤故④錯(cuò)誤；故選：D．2．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在等腰中，的鄰補(bǔ)角的角平分線交的角平分線于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)E，作交于點(diǎn)F，連接．下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分；③；④．其中正確的是．（填寫序號(hào)）【答案】①②④【分析】根據(jù)角平分線的定義以及外角等于，即可證明①是正確的；證明，得，則②是正確的；將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，與重合，點(diǎn)F與點(diǎn)M是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，結(jié)合外角性質(zhì)以及等角對(duì)等邊，即可作答．【詳解】解：∵∴∵的鄰補(bǔ)角的角平分線交的角平分線于點(diǎn)D，∴在中，∴①是正確的；∵∴∵的角平分線∴∵∴∴∴垂直平分∴②是正確的；將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，與重合，點(diǎn)F與點(diǎn)M是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如圖：易得∴∵，且∴∴則∴④是正確的；過點(diǎn)作，如圖所示：∵∴∵∴∴∵∴∴③是錯(cuò)誤的綜上①②④是正確的故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角以及內(nèi)角和性質(zhì)，角平分線，等角對(duì)等邊等知識(shí)內(nèi)容，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線證明全等．3．（18-19七年級(jí)上·山東威?！て谀?）如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，若，可求得、、之間的數(shù)量關(guān)系為________．（只思考解題思路，完成填空即可，不必書寫證明過程）（2）如圖2，在四邊形中，，，E、F分別是邊、延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，若，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎，若成立，請(qǐng)完成證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）．理由見解析．【分析】（1）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖中，在上截取，連接，證明，推出，，再證明，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，∵，，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，AM=AF∠MAE=∠FAEAE=AE，∴，∴，∵，∴；故答案為：．（2）結(jié)論：．理由：在上截取，連接，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，則，∴∵，，∴，在與中，，∴，∴，即，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練1平移模型】1．如圖，中，，將沿BC方向平移得到，其中A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)，DE與AC交于點(diǎn)G．若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不一定正確的是（

）A． B． C．AC與DE互相垂直平分 D．【答案】D【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，AB=DE，AC//DF，故選項(xiàng)A、B結(jié)論正確，不符合題意；由平移的性質(zhì)可知，AB//DE，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴CG=GA，GE=AB=DE，∴AC與DE互相垂直平分，故選項(xiàng)C結(jié)論正確，不符合題意；∵∠B與∠ACB不一定相等，∴∠DAG與∠DEC不一定相等，故選項(xiàng)D結(jié)論中不一定正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、平移的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，若將的邊沿方向平移，平移過程中始終滿足下列條件：，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．則當(dāng)點(diǎn)，不重合時(shí)，與的關(guān)系是______．【答案】BD與EF互相平分【分析】先根據(jù)DE⊥AC，BF⊥AC，AE=CF，求證△ABF≌△CDE，再求證△DEG≌△BFG，即可．【詳解】∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），∴ED=BF．設(shè)EF與BD交于點(diǎn)G，由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，∴∠EDG=∠GBF，∵∠EGD=∠FGB，ED=BF，∴△DEG≌△BFG，∴EG=FG，DG=BG，∴BD與EF互相平分．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是需要證明多次全等，步驟繁瑣，是一道綜合性較強(qiáng)的中檔題．3．如圖，△ABC的邊AC與△CDE的邊CE在一條直線上，且點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，AB=CD，BC=DE．(1)求證：△ABC≌△CDE；(2)將△ABC沿射線AC方向平移得到△，邊與邊CD的交點(diǎn)為F，連接EF，若EF將CDE分為面積相等的兩部分，且AB=4，則CF=【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）首先由點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)得出，再根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得再由EF將CDE分為面積相等的兩部分得（1）證明：∵點(diǎn)C為AE的中點(diǎn)，∴在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（2）解：將△ABC沿射線AC方向平移得到，且AB=4，∴∵邊與邊CD的交點(diǎn)為F，連接EF，EF將CDE分為面積相等的兩部分，如圖∴故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及平移的性質(zhì)，根據(jù)SSS證明△ABC≌△CDE是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2軸對(duì)稱模型】1．如圖所示，△ABC中，AB+BC=10，A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱，則△BCD的周長(zhǎng)是（）A．6 B．8 C．10 D．無法確定【答案】C【詳解】∵A、C關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴DE垂直平分AC，∴AD=CD，∵AB+BC=10，∴△BCD的周長(zhǎng)為：BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=10故選C.2．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC所在直線為對(duì)稱軸作△ABC的對(duì)稱圖形△ABD和△ACE，∠BAC=150°，線段BD與CE相交于點(diǎn)O，連接BE、ED、DC、OA．有如下結(jié)論：①∠EAD=90°；②∠BOE=60°；③OA平分∠BOC．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為_______．【答案】①②③【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠BAD=∠CAE=∠BAC，再根據(jù)周角等于360°列式計(jì)算即可求出∠EAD=90°，判斷出①正確，再求出∠BAE=∠CAD=60°，根據(jù)翻折可得∠AEC=∠ABD=∠ABC，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BOE=∠BAE，判斷出②正確，根據(jù)三角形的角平分線交于一點(diǎn)判斷即可判斷出③正確．【詳解】解，∵△ABD和△ACE是△ABC的軸對(duì)稱圖形，∴∠BAD=∠CAE=∠BAC，AB=AE，AC=AD，∴∠EAD=3∠BAC－360°＝3×150°－360°=90°，故①正確，∴∠BAE=∠CAD=（360°－90°－150°）=60°，由翻折的性質(zhì)得：∠AEC=∠ABD=∠ABC，又∵∠EPO=∠BPA，∴∠BOE=∠BAE=60°，故②正確，∵AB平分∠OBC，AC平分∠BCO，∴OA平分∠BOC，故③正確，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖清圖中各角度之間的關(guān)系是解題得的關(guān)鍵．3．如圖，．(1)作出與關(guān)于直線對(duì)稱的，其中點(diǎn)D是點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，在上截取線段，使得．求證：D，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由軸對(duì)稱的定義畫出圖形即可；（2）由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，再利用證明，推出，證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，為所作；；（2）證明：連接，如圖，∵和關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴D，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的作圖和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)；熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3旋轉(zhuǎn)模型】1．如圖，在中，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到，連接．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)判斷①；根據(jù)全等三角形的判定定理判斷②；根據(jù)SAS定理判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系判斷④．【詳解】解：∵△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，①正確；∵EA與DA不一定相等，∴△ABE與△ACD不一定全等，②錯(cuò)誤；∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAE＝45°，在△AED和△AEF中，∴△AED≌△AEF，③正確；∵△ADC≌△AFB，∴BF＝CD，∵BE＋BF＞DE∴BE＋DC＞DE，④錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換，掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，，，將繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接AE，若，則的面積是_______．【答案】3【分析】由旋轉(zhuǎn)可得，可求得，可求得的面積．【詳解】解：如圖，過D作于點(diǎn)H，過E作交的延長(zhǎng)線于F，則四邊形是矩形，，∴，∴∴，∴，且，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)圖形是全等圖形是解題的關(guān)鍵．3．復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如下圖①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，連接BQ，CP，則BQ＝CP．”（1）小亮是個(gè)愛動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過對(duì)圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ＝CP．請(qǐng)你幫小亮完成證明；（2）之后，小亮又將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，“BQ＝CP”仍然成立嗎？若成立，請(qǐng)你就圖②給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析【分析】(1)根據(jù)得，，所以，由旋轉(zhuǎn)得，，根據(jù)題目給出的即可證明出，由全等三角形的性質(zhì)即可證明．(2)和(1)同理，根據(jù)得，，所以，由旋轉(zhuǎn)得，，根據(jù)題目給出的即可證明出，由全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】(1)證明：，，，在與中，，，．(2)仍然成立，證明如下：，，，在與中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明過程中涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，找準(zhǔn)全等的條件，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4一線三等角模型】1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，在△ABD與△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．如圖，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于點(diǎn)D，BE⊥DE于點(diǎn)E，且點(diǎn)C在DE上，若AD＝5，BE＝8，則DE的長(zhǎng)為_____．【答案】13【分析】先根據(jù)AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，則∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可證明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．【詳解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB∴∠DAC=∠ECB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CE=AD=5，CD=BE=8，∴DE=CD+CE=13，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，垂線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．3．（1）如圖1，已知：在中，，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，直線m，直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，其中為任意鈍角，請(qǐng)問結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析【分析】（1）根據(jù)可證明，可得，可得．（2）由已知條件可知，，可得，結(jié)合條件可證明，同（1）可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）如圖1，∵直線m，直線m，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴；（2）如圖2，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5三垂直全等模型】1．如下圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．DE=6cm，AD=9cm，則BE的長(zhǎng)是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【答案】C【分析】本題可通過全等三角形來求BE的長(zhǎng)．△BEC和△CDA中，已知了一組直角，∠CBE和∠ACD同為∠BCE的余角，AC=BC，可據(jù)此判定兩三角形全等；那么可得出的條件為CE=AD，BE=CD，因此只需求出CD的長(zhǎng)即可．而CD的長(zhǎng)可根據(jù)CE即AD的長(zhǎng)和DE的長(zhǎng)得出，由此可得解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE；∴EC=AD，BE=DC；∵DE=6cm，AD=9cm，則BE的長(zhǎng)是3cm．故選C．【點(diǎn)睛】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．2．如圖，在中，，，分別過點(diǎn)，作經(jīng)過點(diǎn)的直線的垂線段，，若，，則的長(zhǎng)為______．【答案】6【分析】利用垂直的定義得到，由平角的定義及同角的余角相等得到，利用證得，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到，，由即可求出長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，，，在和中，，∴，，，則．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)由平角的定義及同角的余角相等證得是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，中，，點(diǎn)P在上，，，垂足分別為D，E，已知．(1)試說明；(2)求BE多長(zhǎng)？【答案】(1)見解析，(2)2．【分析】（1）根據(jù)已知易得，再由，，利用同角的余角相等易得，進(jìn)而證明；（2）由全等三角形性質(zhì)可知．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴．在和中，，∴．（2）由（1）得，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)利用同角的余角相等證明角相等是證明關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6手拉手模型】1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH=EB=3，AE=4，則CH的長(zhǎng)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由AD垂直于BC，CE垂直于AB，利用垂直的定義得到一對(duì)角為直角，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，利用三角形的內(nèi)角和定理得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，以及一對(duì)邊相等，利用AAS得到三角形AEH與三角形EBC全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=EC，由EC-EH，即AE-EH即可求出HC的長(zhǎng)．【詳解】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEH=90°，∵∠AHE=∠CHD，∴∠BAD=∠BCE，∵在△HEA和△BEC中，∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE=EC=4，則CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．故選A.【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．如圖，是一個(gè)銳角三角形，分別以、為邊向外作等邊三角形、，連接、交于點(diǎn)，連接．(1)求證：≌；(2)求的度數(shù)；(3)求證：平分．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由、是等邊三角形，易證，繼而可證；（2）由≌，得到，進(jìn)一步得到，由三角形內(nèi)角和得到答案；（3）作于點(diǎn)于點(diǎn)，證明，由，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，，，即，≌；（2）解：≌，，，；（3）證明：如圖，作于點(diǎn)于點(diǎn)，，，，，，，，平分．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角平分性的判定知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（1）如圖①，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；（3）在四邊形中，，E，F(xiàn)分別是邊所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）或或【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)到G，使，連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（2）如圖2，同理可得：；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建，同理證明和．可得新的結(jié)論：；如圖4，作輔助線，同理證明和，可得新結(jié)論；【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)到G，使，連接．在與中，，∴．∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2，延長(zhǎng)到G，使，連接．∵，∴，在與中，，∴．∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵．∴；（3）圖2中，成立，圖3中，，理由如下：在上截取，使，連接．∵，∴．在與中，，∴．∴．∴．∴．在和中，，∴．∴，∵，∴．圖4中，，理由如下：在上截取，使，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴；綜上所述，線段之間的數(shù)量關(guān)系為：或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的定義等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練7半角全等模型】1．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，連接EF，有下列結(jié)論：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正確的有（）A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【分析】利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得△ABF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∵△ADC繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正確，∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正確無法判斷BE＝CD，故①錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2．如圖，是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，，．E、F分別在AB、AC上，且，則三角形AEF的周長(zhǎng)為______．【答案】10【分析】延長(zhǎng)AB到N，使BN=CF，連接DN，求出∠FCD=∠EBD=∠NBD=90°，根據(jù)SAS證△NBD≌△FCD，推出DN=DF，∠NDB=∠FDC，求出∠EDF=∠EDN，根據(jù)SAS證△EDF≌△EDN，推出EF=EN，易得△AEF的周長(zhǎng)等于AB+AC．【詳解】解：延長(zhǎng)AB到N，使BN=CF，連接DN，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．∵△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，∴AB=AC=5，∵BE+CF=EF，∴△AEF的周長(zhǎng)為：AE+EF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．問題情境：已知，在等邊△ABC中，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在直線AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系．方法感悟：小芳的思考過程是在CM上取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；小麗的思考過程是在AB取一點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；問題解決：（1）如圖1，M、N分別在邊AC，AB上時(shí)，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，M在邊AC上，點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，標(biāo)出相應(yīng)字母，探索CM、MN、AN三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）CM＝AN+MN，詳見解析；（2）CM＝MN﹣AN，詳見解析【分析】（1）在AC上截取CD＝AN，連接OD，證明△CDO≌△ANO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD＝ON，∠COD＝∠AON，證明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，結(jié)合圖形證明結(jié)論；（2）在AC延長(zhǎng)線上截取CD＝AN，連接OD，仿照（1）的方法解答．【詳解】解：（1）CM＝AN+MN，理由如下：在AC上截取CD＝AN，連接OD，∵△ABC為等邊三角形，∠BAC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OA＝OC，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∵∠MON＝60°，∴∠COD+∠AOM＝60°，∵∠AOC＝120°，∴∠DOM＝60°，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO，∴DM＝MN，∴CM＝CD+DM＝AN+MN；（2）補(bǔ)全圖形如圖2所示：CM＝MN﹣AN，理由如下：在AC延長(zhǎng)線上截取CD＝AN，連接OD，在△CDO和△ANO中，，∴△CDO≌△ANO（SAS）∴OD＝ON，∠COD＝∠AON，∴∠DOM＝∠NOM，在△DMO和△NMO中，，∴△DMO≌△NMO（SAS）∴MN＝DM，∴CM＝DM﹣CD＝MN﹣AN．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理．1．（2024·山東臨沂·一模）如圖，點(diǎn)是的邊上的中線，，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．延長(zhǎng)至，使，連接．由證明，得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)至，使，連接．則，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，在中，，即，，故選：A．2．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在五邊形中，，，，且，，則五邊形的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三點(diǎn)共線，解題的關(guān)鍵是利用全等的性質(zhì)將面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，首先證明點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，證明，得到，，再將所求面積轉(zhuǎn)化為進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，，則，，，即點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，，，即，在和中，，，，五邊形的面積為：，，．故選：D．3．（23-24八年級(jí)下·安徽蚌埠·開學(xué)考試）如圖所示，在中，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查直角三角形的全等判定與性質(zhì)，首先證明，又由，，得出，，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，，，，∴，∴又∵，，∴，，∴．故選B4．（21-22八年級(jí)上·福建龍巖·期中）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點(diǎn)，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將關(guān)于對(duì)稱得到，從而可得的面積為15，再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據(jù)與的面積之和等于與的面積之和即可得．【詳解】解：如圖，將關(guān)于AE對(duì)稱得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．5．（23-24七年級(jí)下·重慶·期末）在中，，點(diǎn)D是上，點(diǎn)E在上，，，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)：過點(diǎn)作，連接，先證明，得到，求出的長(zhǎng)，再證明，得到，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，連接，則：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；故選B．6．（23-24七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）如圖，在中，延長(zhǎng)到E，使得，連接，過點(diǎn)A作，且．連接與的延長(zhǎng)線交于D點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，可證明，得，因?yàn)?，所以以，求得，再證明，得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，故答案為：．7．（23-24七年級(jí)下·重慶·期末）如圖，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，連接，過點(diǎn)D作于E，，則．【答案】3【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作，證明，得到，，再證明，推出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：3．8．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，已知點(diǎn)B是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），在的同側(cè)作等邊和等邊，連接交于點(diǎn)H，交于G，交于F，連接，則當(dāng)最小時(shí)，．【答案】【分析】由題意可證得，在上截取可證，推出，當(dāng)時(shí)，最小，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：∴即：∵∴∴在上截取∴∴，∴即：∴是等邊三角形∴∴∴當(dāng)時(shí)，最小此時(shí)，∵∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生的推理論證能力．9．（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽·階段練習(xí)）如圖，在和中，，，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)