11.2.1 三角形的內角 第1課時 課件 -2023-2024學年人教版八年級數學

第1課時

三角形的內角和人教版八年級上冊(有誤差)(只能對有限個三角形使用這些方法)新知探究我們在小學已經知道，任意一個三角形的三個內角的和等于180°，是如何得出這一結論的？請你用手中的三角形紙片進行探究.知識點一三角形內角和定理測量1方法剪拼折疊2方法幾何畫板3方法【提示：本頁方法2和3有鏈接，點擊對應方法跳轉至頁面或打開文件】這些“驗證”不是“數學證明”，需要通過推理的方法來證明：三角形三個內角的和等于180°.命題證明ABC已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.畫圖寫出已知求證證明過程？ABCABCABCABCBCABABCB圖1圖2圖3圖4BCA圖5ABC······將三個角拼合到一起的目的是什么呢？為了得到了一個平角.有了平角，根據平角定義，就得到了180°.BBCCAl此操作過程中，直線l與邊BC有什么樣的位置關系？ABCBCABC依據這個啟發(fā)能發(fā)現怎樣的證明思路呢？直線l∥BCl12345依據平角定義，得到180°證明思路：過點A作直線l，使得l∥BC利用平行線的性質，將∠B和∠C進行轉移圖1三角形三個內角的和等于180°.命題證明已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.畫圖寫出已知求證證明過程ABCl12345證明：過點A作直線l，使得l∥BC.∵l∥BC，∴∠2=∠4（兩直線平行，內錯角相等）.同理∠3=∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定義）.∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.證法一三角形三個內角的和等于180°．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.ABC三角形內角和定理

幾何語言：觀察下圖拼圖方法，模仿前面的證明過程，還可以怎樣證明三角形內角和定理？ABCBA圖2ABCl12345證明：延長BC，過點C作直線l，使得l∥AB.∵l∥BC，∴∠1=∠4（兩直線平行，內錯角相等）.∠2=∠5（兩直線平行，同位角相等）.∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.∵∠3，∠4，∠5組成平角，∴∠3+∠4+∠5=180°（平角定義）.ABCl12345證法二以上的證明思路為，依據平角定義，得到180°；利用平行線的性質，轉移角你受到了什么啟發(fā)？你還能用這個思路的其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6m圖6圖7圖8添加平行線（輔助線）（備用圖2）ABC依據平角定義，得到180°；除了構造平角得到180°外，還有其他方式嗎？兩直線平行，同旁內角互補．F1423DEABC（備用圖1）思路②的方案如何添加輔助線？利用平行線的性質，轉移角添加平行線（輔助線）l21用下列方法證明三角形內角和定理.證法三證法四ABCl【證法二】ABCl【證法三】ABCFDE【證法四】ABCl【證法一】為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.輔助線歸納小結依據平角定義，得到180°；兩直線平行，同旁內角互補．利用平行線的性質，轉移角添加平行線（輔助線）思路（轉化法）將正確答案填到相應的橫線上。①在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝65°，則∠C＝_______②在△ABC中，∠C＝42°，∠A＝∠B，則∠B＝_______③在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，則∠A＝_______④在△ABC中，∠C＝36°，∠A：∠B＝1：2，則∠B＝_______85°69°60°96°隱含條件：三角形三個內角的和等于180°知識點二運用三角形內角和定理解：由∠BAC＝40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD＝

∠BAC＝20°.

如圖，在△ABC中，∠BAC＝40°,∠B＝75°，AD是△ABC的角平分線．求∠ADB的度數．例1在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°

＝85°.ACBD北北CABDE

下圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？例2

80°40°分析：A，B，C三島的連線構成△ABC，所求的∠ABC，∠ACB是△ABC的內角.如果能求出∠ABC，就能求∠ACB.??？50°？北北CABDE80°40°？50°？解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°.在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，

從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.所以∠ABE＝180°－∠BAD

＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°.你還能想出其他解法嗎？CABDE12【添加輔助線】解：過點C作CF∥AD，則CF∥BE.∠1＝∠3，∠2

＝∠4，（兩直線平行，內錯角相等）∴∠ACB

＝

∠1

＋∠2

＝

∠3＋∠4

（等量代換）＝50°＋40°＝90°∠CAB＝∠BAD

－

∠3＝80

°－50°＝30°.50°40°80°∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.F34△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則∠A=______，∠B=______，∠C=______.90°30°60°1.鞏固練習2.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度數.2314解：∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠D=180°，∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D=360°.即∠BCD+∠BAD+40°+40°=360°.則∠BCD=360°－150°－80°=130°.【課本P13練習第2題】1本節(jié)課學習了哪些主要內容？2為什么要用推理的方法證明“三角形的內角和等于180”？3是如何找到三角形內角和定理的證明思路的？課堂小結三角形內角和定理三角形三個內角的和等于180°命題證明步驟1.寫出已知求證（畫出圖形）2.寫出證明過程數學方法輔助線（虛線）數學思想轉化把未知轉化為已知把生疏問題轉化為熟悉問題把復雜問題轉化為簡單問題三角形的內角和ABCl12345畢達哥拉斯的證法ABCl12345歐幾里得的證法ABCF1423DE普羅克拉斯方案泰勒斯拼圖驗證ABCBC（未給出證明）在數學歷史的發(fā)展過程中，也是按照這樣的方式證明三角形的內角和的.數學文化【提示：點擊返回按鈕回到問題頁】ABCABCABCABC剪拼折疊2方法BCABABCB圖1圖2圖3圖4BCA圖5ABC折疊【提示：點擊折疊按鈕出現動畫效果】···如下圖所示是我們常用的三角板，兩銳角的度數之和為多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的兩個銳角互余知識點1探究新知問題1：如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？

在直角三角形ABC中，因為∠C=90°，由三角形內角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B=90°.由此，你可以得到直角三角形有什么性質呢？問題2：探究新知ABC直角三角形的兩個銳角互余．(直角三角形的性質定理）應用格式：

在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．歸納總結探究新知方法一（利用平行的判定和性質）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質）：

∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.例1（1）如圖

，∠B=∠C=90°，AD交BC于點O，∠A與∠D有什么關系？圖素養(yǎng)考點1利用直角三角形的性質證明角相等或求角的度數探究新知解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.（2）如圖

，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，∠A與∠C有什么關系？請說明理由.圖與圖有哪些共同點與不同點？探究新知

在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數是(

)A．120°B．90°

C．60°

D．30°D如圖，AB∥CD，EF與AB，CD分別相交于點E，F，EP⊥EF，與∠EFD的平分線FP相交于點P，且∠BEP＝50°，則∠EPF＝(

)度A．70B．65C．60D．55A鞏固練習例2如圖，∠C=∠D=90°，

AD，

BC相交于點E.∠CAE與∠DBE有什么關系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°–∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°–∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.探究新知如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交點，∠DCB＝45°.求∠ABE的度數．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.鞏固練習【思考】通過前面的例題，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？基本圖形∠A=∠C∠A=∠D歸納總結探究新知有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？

如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC中，

因為∠A+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.有兩個角互余的三角形是直角三角形知識點2探究新知ABCABC應用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個角互余的三角形是直角三角形.

(直角三角形的判定定理）歸納總結探究新知例1如圖，∠C=90°，

∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.素養(yǎng)考點2利用直角三角形的判定定理識別直角三角形探究新知已知∠A＝37°，∠B＝53°，則△ABC為(

)A．銳角三角形

B．鈍角三角形C．直角三角形

D．以上都有可能

C具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD鞏固練習例2如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.探究新知如圖，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.試判斷△ABD的形狀．解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C

＝180°–80°–70°＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.

在△ABD中，∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴△ABD是直角三角形．鞏固練習

一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點D，則∠BDC=_________．解析：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，

∴∠ADE=180°–∠CEA–∠BAE=75°，

∴∠BDC=∠ADE=75°.75°鏈接中考1.如圖，一張長方形紙