11.2.1 三角形的內(nèi)角 第1課時(shí) 課件 -2023-2024學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)

第1課時(shí)

三角形的內(nèi)角和人教版八年級(jí)上冊(cè)(有誤差)(只能對(duì)有限個(gè)三角形使用這些方法)新知探究我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，是如何得出這一結(jié)論的？請(qǐng)你用手中的三角形紙片進(jìn)行探究.知識(shí)點(diǎn)一三角形內(nèi)角和定理測(cè)量1方法剪拼折疊2方法幾何畫板3方法【提示：本頁方法2和3有鏈接，點(diǎn)擊對(duì)應(yīng)方法跳轉(zhuǎn)至頁面或打開文件】這些“驗(yàn)證”不是“數(shù)學(xué)證明”，需要通過推理的方法來證明：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.命題證明ABC已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.畫圖寫出已知求證證明過程？ABCABCABCABCBCABABCB圖1圖2圖3圖4BCA圖5ABC······將三個(gè)角拼合到一起的目的是什么呢？為了得到了一個(gè)平角.有了平角，根據(jù)平角定義，就得到了180°.BBCCAl此操作過程中，直線l與邊BC有什么樣的位置關(guān)系？ABCBCABC依據(jù)這個(gè)啟發(fā)能發(fā)現(xiàn)怎樣的證明思路呢？直線l∥BCl12345依據(jù)平角定義，得到180°證明思路：過點(diǎn)A作直線l，使得l∥BC利用平行線的性質(zhì)，將∠B和∠C進(jìn)行轉(zhuǎn)移圖1三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.命題證明已知：△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.畫圖寫出已知求證證明過程ABCl12345證明：過點(diǎn)A作直線l，使得l∥BC.∵l∥BC，∴∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.同理∠3=∠5.∵∠1，∠4，∠5組成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定義）.∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.證法一三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.ABC三角形內(nèi)角和定理

幾何語言：觀察下圖拼圖方法，模仿前面的證明過程，還可以怎樣證明三角形內(nèi)角和定理？ABCBA圖2ABCl12345證明：延長BC，過點(diǎn)C作直線l，使得l∥AB.∵l∥BC，∴∠1=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∠2=∠5（兩直線平行，同位角相等）.∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.∵∠3，∠4，∠5組成平角，∴∠3+∠4+∠5=180°（平角定義）.ABCl12345證法二以上的證明思路為，依據(jù)平角定義，得到180°；利用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角你受到了什么啟發(fā)？你還能用這個(gè)思路的其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6m圖6圖7圖8添加平行線（輔助線）（備用圖2）ABC依據(jù)平角定義，得到180°；除了構(gòu)造平角得到180°外，還有其他方式嗎？兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．F1423DEABC（備用圖1）思路②的方案如何添加輔助線？利用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角添加平行線（輔助線）l21用下列方法證明三角形內(nèi)角和定理.證法三證法四ABCl【證法二】ABCl【證法三】ABCFDE【證法四】ABCl【證法一】為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.輔助線歸納小結(jié)依據(jù)平角定義，得到180°；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．利用平行線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)移角添加平行線（輔助線）思路（轉(zhuǎn)化法）將正確答案填到相應(yīng)的橫線上。①在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝65°，則∠C＝_______②在△ABC中，∠C＝42°，∠A＝∠B，則∠B＝_______③在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，則∠A＝_______④在△ABC中，∠C＝36°，∠A：∠B＝1：2，則∠B＝_______85°69°60°96°隱含條件：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°知識(shí)點(diǎn)二運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解：由∠BAC＝40°,AD是△ABC的角平分線，得∠BAD＝

∠BAC＝20°.

如圖，在△ABC中，∠BAC＝40°,∠B＝75°，AD是△ABC的角平分線．求∠ADB的度數(shù)．例1在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－75°－20°

＝85°.ACBD北北CABDE

下圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB呢？例2

80°40°分析：A，B，C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ABC，∠ACB是△ABC的內(nèi)角.如果能求出∠ABC，就能求∠ACB.??？50°？北北CABDE80°40°？50°？解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°.由AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°.在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，

從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.所以∠ABE＝180°－∠BAD

＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠EBC＝100°－40°＝60°.你還能想出其他解法嗎？CABDE12【添加輔助線】解：過點(diǎn)C作CF∥AD，則CF∥BE.∠1＝∠3，∠2

＝∠4，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACB

＝

∠1

＋∠2

＝

∠3＋∠4

（等量代換）＝50°＋40°＝90°∠CAB＝∠BAD

－

∠3＝80

°－50°＝30°.50°40°80°∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB＝180°－90°－30°＝60°.答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.F34△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則∠A=______，∠B=______，∠C=______.90°30°60°1.鞏固練習(xí)2.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對(duì)稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度數(shù).2314解：∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠D=180°，∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D=360°.即∠BCD+∠BAD+40°+40°=360°.則∠BCD=360°－150°－80°=130°.【課本P13練習(xí)第2題】1本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？2為什么要用推理的方法證明“三角形的內(nèi)角和等于180”？3是如何找到三角形內(nèi)角和定理的證明思路的？課堂小結(jié)三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°命題證明步驟1.寫出已知求證（畫出圖形）2.寫出證明過程數(shù)學(xué)方法輔助線（虛線）數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化把未知轉(zhuǎn)化為已知把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題三角形的內(nèi)角和ABCl12345畢達(dá)哥拉斯的證法ABCl12345歐幾里得的證法ABCF1423DE普羅克拉斯方案泰勒斯拼圖驗(yàn)證ABCBC（未給出證明）在數(shù)學(xué)歷史的發(fā)展過程中，也是按照這樣的方式證明三角形的內(nèi)角和的.數(shù)學(xué)文化【提示：點(diǎn)擊返回按鈕回到問題頁】ABCABCABCABC剪拼折疊2方法BCABABCB圖1圖2圖3圖4BCA圖5ABC折疊【提示：點(diǎn)擊折疊按鈕出現(xiàn)動(dòng)畫效果】···如下圖所示是我們常用的三角板，兩銳角的度數(shù)之和為多少度?30°+60°=90°45°+45°=90°直角三角形的兩個(gè)銳角互余知識(shí)點(diǎn)1探究新知問題1：如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？

在直角三角形ABC中，因?yàn)椤螩=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B=90°.由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？問題2：探究新知ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．(直角三角形的性質(zhì)定理）應(yīng)用格式：

在Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．歸納總結(jié)探究新知方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠A=∠D.方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：

∵∠B=∠C=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.例1（1）如圖

，∠B=∠C=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠D有什么關(guān)系？圖素養(yǎng)考點(diǎn)1利用直角三角形的性質(zhì)證明角相等或求角的度數(shù)探究新知解：∠A=∠C.理由如下：∵∠B=∠D=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠C.（2）如圖

，∠B=∠D=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與∠C有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由.圖與圖有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？探究新知

在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于60°，則另一個(gè)銳角的度數(shù)是(

)A．120°B．90°

C．60°

D．30°D如圖，AB∥CD，EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EP⊥EF，與∠EFD的平分線FP相交于點(diǎn)P，且∠BEP＝50°，則∠EPF＝(

)度A．70B．65C．60D．55A鞏固練習(xí)例2如圖，∠C=∠D=90°，

AD，

BC相交于點(diǎn)E.∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°–∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°–∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.探究新知如圖，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F(xiàn)是BE和CD的交點(diǎn)，∠DCB＝45°.求∠ABE的度數(shù)．解：∵CD是AB上的高，∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.∵BE是AC上的高，∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.鞏固練習(xí)【思考】通過前面的例題，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？基本圖形∠A=∠C∠A=∠D歸納總結(jié)探究新知有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？

如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC中，

因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°，

又∠A+∠B=90°，

所以∠C=90°.

即△ABC是直角三角形.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形知識(shí)點(diǎn)2探究新知ABCABC應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

(直角三角形的判定定理）歸納總結(jié)探究新知例1如圖，∠C=90°，

∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？ACBDE((12解：在Rt△ABC中，

∠2+∠A=90°.∵∠1=∠2，

∴∠1+∠A=90°.即△ADE是直角三角形.素養(yǎng)考點(diǎn)2利用直角三角形的判定定理識(shí)別直角三角形探究新知已知∠A＝37°，∠B＝53°，則△ABC為(

)A．銳角三角形

B．鈍角三角形C．直角三角形

D．以上都有可能

C具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是(

)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝2∠B＝3∠CD鞏固練習(xí)例2如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？解：△ABD是直角三角形.理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED=90°，∴∠C+∠D=90°，∵∠A=∠C，∴∠A+∠D=90°，∴△ABD是直角三角形.探究新知如圖，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.試判斷△ABD的形狀．解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C

＝180°–80°–70°＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.

在△ABD中，∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，∴△ABD是直角三角形．鞏固練習(xí)

一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點(diǎn)D，則∠BDC=_________．解析：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，

∴∠ADE=180°–∠CEA–∠BAE=75°，

∴∠BDC=∠ADE=75°.75°鏈接中考1.如圖，一張長方形紙