用空間向量研究距離、夾角問題 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何1.4.2用空間向量研究距離、

夾角問題能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的直線與平面、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序.學(xué)習(xí)目標(biāo)體會向量方法在研究幾何問題中的作用.點(diǎn)到直線的距離如圖，向量AP在直線1上的投影向量為AQ,

則△APQ是直角三角形.設(shè)AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a·u)u.在

Rt△APQ中

，由勾股定理得PQ=√APP-

1AQP=Ja2-(a.u)2.點(diǎn)到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P

作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則

n

是直線l的方向向量，且點(diǎn)P

到平面α的距離就是AP在直線1上的投影向量QP的長度.因此例1如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A?

B?C?

D?中

，E為線段A?

B?的中

點(diǎn)

，F(xiàn)

為線段AB

的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)B

到直線AC?的距離；(2)求直線FC

到平面AEC?

的距離解：以D?為原點(diǎn)，D?A,DC,D?D所在直線分別為x軸、y

軸

、z

軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C?(0,1,0)

,

1所以AB=(0,1,0),AC?=(-1,1,-1),

,

,重聲(1)取a=AB=(0,1,0),

,則a2=1,

所以點(diǎn)B

到直線AC?的距離為

毒所

,所以

,

取z=1,

則

x=1,y=2.所以n=(1,2,1)是平面AEC?的一個法向量.又因為所以點(diǎn)F

到平面AEC?的距離為即直線FC

到平面AEC?的距離為所以點(diǎn)F到平面AEC?的距離即為直線FC

到平面AEC?的距離,所以FC//EC?

,

所以FC//平面AEC?

.設(shè)平面

AEC?的法向量為n=(x,y,z),則(2)因為(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何向題轉(zhuǎn)化為向量問

題

；(2)通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問題；(3)把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”例2如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中

，M,N

分別為BC,AD的中點(diǎn)，求直線AM和

CN夾角的余弦值.又△ABC

和△ACD

均為等邊三角形，所以所以所以直線AM

和

CN夾角的余弦值為

解：以{CA,CB,CD}作為基底，則

1設(shè)向量CN與MA

的夾角為θ,則直線AM和

CN夾角的余弦值等于|cosθ|.事一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得.也就是說，若異面直線，l?

所成的角為θ,其方向異面直線所成的角向量分別是u,v,

則*直線與平面所成的角直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B,

設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,

平面α的法向量為n,

則·二面角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.若平面α,β的法向量分別是n?和

n?,則平面α與平面β的夾角即為向量n?和

n?的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,則例3如圖，在直三棱柱ABC-A?

B?C?

中

，AC=CB=2

,AA?

=3,∠ACB=90°,P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q,R分別在棱AA,BB?上，AQ=2AQ,BR=2RB?

.

求平面PQR與平面A?B?C夾角的余弦值.解：以C?為

原

點(diǎn)

，C?A,C?

B,C?C所在直線為x軸

、y

軸、z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面A?B?C的法向量為n,

平面PQR

的法向量為n?,則平面PQR

與平面A?B?C的夾角就是n

與

n?的夾角或其補(bǔ)角因為C?C⊥

平面A?B?C,

所以平面A?B?C?

的一個法向量為n?=(0,0,1).根據(jù)所建立的空間直角坐標(biāo)系，可知P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).

所以PQ=(2,-1,-1),PR=(0,1,-2).設(shè)平面PQR

與平面AB?C的夾角為θ,則cosθ=|cos<n,即平面PQR

與平面A?B?C?的夾角的余弦值為設(shè)n?=(x,y,z),則取n?=(3,4,2),

則,所以,所以例4下圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg,

每

根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g

取

9.8

m/s2,精確到0.01N).

又因為降落傘勻速下落，所以IF

合I=IG

禮物I=1×9.8=9.8(N)所以4√3|F|n

=9.8.所以解：如圖，設(shè)水平面的單位法向量為n,

其中每一根繩子的拉力均為F.因為<n,F>=30°,所以F在

n

上的投影向量為所以8根繩子拉力的合力垂(

1

)

求

證：PA//平面EDB;(

2

)

求

證：PB⊥平

面EFD;(3)求平面CPB

與平面PBD的夾角的大小.例5如圖，在四棱錐P-ABCD

中，底面

ABCD

是正方形，側(cè)棱PD⊥底面

ABCD,PD=DC,E是

PC

的中點(diǎn)，作EF⊥PB交

PB于

點(diǎn)F.解：以D為原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x

軸、y

軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DC=1.(1)連接AC,

交

BD

于

點(diǎn)G,連接EG.所以

PA=2EG,

即PA//EG.而EGc

平面EDB,且PAa

平面

EDB,因此PA//平面

EDB.故點(diǎn)G的坐標(biāo)為,

且PA=(1,0,-1),因為底面

ABCD是正方形，所以點(diǎn)G是它的中心，依題意得A(1,0,0),P(0,0,1),事(2)證明：依題意得B(1,1,0),PB=(1,1,-1).又

,

故所以PB⊥DE.由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,

所以PB⊥平面EFD.(3)已知PB⊥EF,由(2)可知

PB⊥DF

,故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角.設(shè)點(diǎn)F

的坐標(biāo)為(x,y,z),則

PF=(x,y,z-1).因為PF=kPB,所以(x,y,z-1)=k(1,1,-1)=(k,k,-k),

即

x=k,y=k,z=1-k.設(shè)PB·DF=0,

則(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0.所以,點(diǎn)F

的坐標(biāo)為又點(diǎn)E的坐標(biāo)為,所所以所以∠EFD=60°,即平面CPB與平面PBD

的夾角大小為60°(1)綜合法：以邏輯推理作為工具解決問題；(2)向量法：利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題；(3)坐標(biāo)法：利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題.解決立體幾何問題的方法1.若異面直線l,l

的方向向量分別是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),則異面直線?

與

l?

所成角的余弦值等于解析：

設(shè)異面直線l

與l?所成的角為θ,a.b=-4,|.故選B.課堂小練a=√5,|b|=2√5,A_2

A.5BDD.2.已知棱長為1的正方體ABCD-EFGH,

若點(diǎn)P在正方體內(nèi)部且滿足

,

則

點(diǎn)P

到

AB的距離為(A口又AB=(1,0,0),∴AP

在AB

上的投影為解析：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則∴點(diǎn)P到

AB的距離為.故選A.則AD

與平面

AA?CC

所成的角的正弦值為(3.在正三棱柱

ABC-A?B?C?中，已知AB=1,D在

棱BB?上，且BD=1,A則∵平面ABC⊥平面AA?C?C,設(shè)AD與平面AAC?C所成的角為a,故選A.解析：取AC

的中點(diǎn)E,連則

,D(0,0,1),接BE,

則BE⊥AC,如圖建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz,BE⊥AC,∴BE⊥平面AA?C?C,為平面AA?C?C

的一個法向量.則4.已知菱形ABCD

中，∠ABC=60°,沿對角線AC

折疊之后，使得平面BAC⊥

平

面DAC,則二面角B-CD-A

的余弦值為(A.2日C.口解析：設(shè)菱形

ABCD

的邊長為1,取AC的中

點(diǎn)O,

連

接BO

、DO,因

為

∠ABC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥

平面DAC,

平

面BAC∩平

面DAC=AC,所

以BO1令z=1,

得x=√3,y=1,則

n=(√3,1,1),

易知平面CDA的一個法向量為設(shè)平面BCD

的法向量為n=(x,y,z),

則平

面ACD,如圖建系，則O(0,0,0),故

選D.,

所

以所以即手申4,5.

(多選)已知正方體ABCD-A?B?C?D?

的棱長為1,點(diǎn)E、0

分別是A?B?

、A?C1的中點(diǎn)，P在正方體內(nèi)部且滿足

則下列說法正確的是

A.點(diǎn)

A

到直線BE

的距離是B.點(diǎn)

O到平面ABC?D?的距離為C.平面A?BD與平面B?CD?間的距離為D.點(diǎn)

P到直線AB的距離為的距離

故A

錯誤；易知,平面ABC?D?的一個法向量DA=(0,-1,1),則點(diǎn)O到平面ABC?D?的距離故B

正確；解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A?(0,0,1),C?(1,1,1),D?(0,1,1),,所以BA=(-1,0,0),設(shè)∠ABE=θ,

則,

故A到直線BEAB=(1,0,-1),AD=(0,1,-1),A?D?=(0,1,0),設(shè)

平

面A?BD的法向量為n=(x,y,z),則

,所以令z=1,得y=1,x=1,

所以n=(1,1,1),所以點(diǎn)D到平面A?BD的距離

因為易證得平面A?BD//

平

面B?CD,所以平面A?BD

與平面B?CD?

間的距離等于點(diǎn)D?

到平面A?BD

的距離，所以平面A?BD與平面B?CD?間的距離為因為故C

正確；,

又AB=(1,0,0),

則所以點(diǎn)P

到

AB

的距離故

D

錯.故選BC.6.如圖，在三棱錐S-ABC

中

，SA=SB=SC,

且

M,N分別是AC,SB

的中點(diǎn)，則異面直線SM

與

CN

所成角的余弦值直線SM

與平面SAB

所成角的大小為

所以以S

為坐標(biāo)原點(diǎn)，SA,SB,SC

的方向分別為x軸

、y

軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)SA=SB=SC=2,則S(0,0,0),B(0,2,0),A(2,0,0),C(0,0,2),M(1,0,1),N(0,1,0),所以SM=(1,0,1),CN=(0,1,-2),

所

以所以異面直線SM

與

CN

所成角的余弦值為所以直線SM與平面SAB

所成角的大小為易得平面SAB

的一個法向量為SC=(0,0,2),

則所以7.如圖，在四棱錐P-ABCD

中，底面ABCD為直角梯形，BCPAD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥

平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.(1)求異面直線PB與

CD

所成角的大??；(2)求點(diǎn)D到平面PBC

的距離.解析：(1)易得AB,AD,AP兩兩互相垂直，故以A

為原點(diǎn)，AB,AD,AP的方向分別為x軸

，y軸

，z

軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,3,0),所以PB=(1,0,-1),CD=(-1,1,0).設(shè)異面直線PB與

CD所成角的大小為θ,(2)設(shè)平面PBC的一個法向量為n=(u,v,w),由(

1

)

可

得BC=(0,2,0),則

即

,取u=w=1,得

n=(1,0,1),所以點(diǎn)D到平面PBC的距離則

設(shè)異面直線PB與CD

所成角的大小為8.已知四棱柱

ABCD-A?