上海市閔行區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)一模試題含解析

上海市閔行區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）同學(xué)們應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置干脆填寫(xiě)結(jié)果．1.若集合，，則______．【答案】【解析】【分析】先解得集合，再依據(jù)交集的運(yùn)算即可求得.【詳解】集合，因?yàn)?，所以，故答案為?2.若x滿意（其中i為虛數(shù)單位），則x＝______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)除法計(jì)算求解.【詳解】由可得，故答案為：3.雙曲線的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而求得雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以，則，所以雙曲線的離心率為.故答案為：4.在中，已知邊，角，，則邊______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理即可得解.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，所以由正弦定理得，即，解得，所?故答案為：.5.已知正實(shí)數(shù)x、y滿意，，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)指對(duì)互化求，再依據(jù)指數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】，所以.故答案為：6.將一顆骰子連擲兩次，每次結(jié)果相互獨(dú)立，則第一次點(diǎn)數(shù)小于3且其次次點(diǎn)數(shù)大于3的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】利用古典概型的概率求法，先求出總的基本領(lǐng)件的件數(shù)，再列舉出滿意條件的基本領(lǐng)件，從而得解.【詳解】依題意，將一顆骰子連擲兩次的基本領(lǐng)件的件數(shù)為，而第一次點(diǎn)數(shù)小于3且其次次點(diǎn)數(shù)大于3（記為事務(wù)）的基本領(lǐng)件有，共6件，所以.故答案為：.7.如圖，對(duì)于直四棱柱，要使，則在四邊形中，滿意的條件可以是______．（只需寫(xiě)出一個(gè)正確的條件）【答案】（只要使得即可）.【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理及線面垂直的定義可得出結(jié)論.【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)槠矫妫矫?，則，若，，、平面，平面，平面，.故答案為：（只要使得即可）.8.若曲線和直線的某一條平行線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______．【答案】1【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)橹本€的斜率為，所以，解得：，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：1.故答案為：19.已知二次函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由二次函數(shù)的值域?yàn)椋治銮蟪鰠?shù)，然后代入中求出值域即可【詳解】由二次函數(shù)的值域?yàn)榈茫航獾茫夯颍ㄉ崛ィ┧砸驗(yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)椋汗蚀鸢笧椋?10.已知、是圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由已知，依據(jù)題意，寫(xiě)出圓的參數(shù)方程，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)表示成參數(shù)方程形式，并依據(jù)的關(guān)系，找到兩個(gè)點(diǎn)參數(shù)形式的角度關(guān)系，然后帶入求解的式子，利用三角函數(shù)化簡(jiǎn)即可求解最大值.【詳解】由已知，圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），因?yàn)?、是圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，可令（），（），且，所以、，由可得：，又因?yàn)?，所以，所以所以，?dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.11.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，且，則的值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)值域滿意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知時(shí)滿意題意，得解.【詳解】，令，,,，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，以為中心，當(dāng)變大時(shí)，若，函數(shù)最大值，最小值，不滿意，若時(shí)，函數(shù)最大值，所以只須要確定函數(shù)最小值，因?yàn)椋韬瘮?shù)最小值為，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)值域?yàn)椋瑵M意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值，此時(shí)不滿意，綜上.故答案為：.12.已知平面對(duì)量、、和實(shí)數(shù)滿意，，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)，可得，利用平面直角坐標(biāo)系取則，設(shè)，結(jié)合已知條件可得，，利用平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，故可得的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則，所以，于是有，因?yàn)?，所以則如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，則，設(shè)，因，所以，則，即，因?yàn)椋詣t，即，解得，則因?yàn)樗栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以故的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，同學(xué)們應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.下列不等式中，解集為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)于ABD，舉反例解除即可；對(duì)于C，利用分式不等式的解法求解即可.【詳解】對(duì)于A，令，則，滿意，所以其解集不為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，滿意，所以其解集不為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，滿意，所以其解集不為，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，即，解得，故其解集為，故C正確.故選：C.14.“”是“的二項(xiàng)綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】計(jì)算二項(xiàng)綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)的等價(jià)條件，依據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行推斷即可．【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，的二項(xiàng)綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)為正偶數(shù)，為正偶數(shù)，n為正偶數(shù)推不出∴是的二項(xiàng)綻開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)的充分不必要條件．故選：A15.已知函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，現(xiàn)有下述兩個(gè)命題：①“為奇函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的充分非必要條件；②“為嚴(yán)格增函數(shù)”是“為嚴(yán)格增函數(shù)”的必要非充分條件．則說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）A.命題①和②均為真命題 B.命題①為真命題，命題②為假命題C.命題①為假命題，命題②為真命題 D.命題①和②均為假命題【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)依據(jù)函數(shù)的充分性和必要性進(jìn)行推斷即可.【詳解】解：由題意得：命題①：奇函數(shù)為奇函數(shù)對(duì)兩邊求導(dǎo)可得：，即又導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)镽，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所以函數(shù)的定義域?yàn)镽上的偶函數(shù)所以“為奇函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的充分條件；，其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且其原函數(shù)（C為常數(shù)），若是非奇非偶函數(shù)故“為奇函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的非必要條件；所以命題①為真命題；命題②：令函數(shù)，其定義域?yàn)镽，在定義域上是嚴(yán)格的增函數(shù)而其導(dǎo)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，定義域R上不是嚴(yán)格的增函數(shù)所以“為嚴(yán)格增函數(shù)”是“為嚴(yán)格增函數(shù)”的非充分條件；令函數(shù)，其定義域?yàn)镽，在定義域上是嚴(yán)格的增函數(shù)而其原函數(shù)為二次函數(shù)在定義域R上不是嚴(yán)格的增函數(shù)所以“為嚴(yán)格增函數(shù)”是“為嚴(yán)格增函數(shù)”的非必要條件所以“為嚴(yán)格增函數(shù)”是“為嚴(yán)格增函數(shù)”的即非充分又非必要條件；所以命題②為假命題；故選:B16.已知數(shù)列滿意，，假如，那么（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，再由題意結(jié)合基本不等式與數(shù)列得單調(diào)性求出的范圍，即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，由即可歸納得，所以，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，又，則，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必需在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟．17.在等差數(shù)列中，，，、、成等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）169.【解析】【分析】（1）由已知可知，公差.依據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得，解得，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）經(jīng)化簡(jiǎn)可求出，即可得到最大值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，所?則由、、成等比數(shù)列可得，即，整理可得，又，所以，又，所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，為169.18.如圖，已知圓柱的底面半徑為1，正△ABC內(nèi)接于圓柱的下底面圓O，點(diǎn)是圓柱的上底面的圓心，線段是圓柱的母線．（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）在劣弧上是否存在一點(diǎn)D，滿意平面？若存在，求出∠BOD的大??；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）先作出點(diǎn)C到平面的距離，再解三角形去求的長(zhǎng)即可解決；（2）利用面面平行性質(zhì)定理去作出點(diǎn)D，再利用等邊三角形的性質(zhì)去求∠BOD的大小【小問(wèn)1詳解】連接CO并延長(zhǎng)交AB于M，又正△ABC內(nèi)接于圓柱下底面圓O，則，又平面ABC，平面ABC則，又，,平面,平面則平面，則點(diǎn)C到平面的距離為由圓柱的底面半徑為1，可得，則則【小問(wèn)2詳解】連接，平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作交劣弧于D，連接由，平面，平面，可得平面由，平面，平面，可得平面又，平面，平面則平面平面，又平面，則平面，連接OB，則19.2024年，其次十二屆世界杯足球賽在卡塔爾實(shí)行，某國(guó)家隊(duì)26名球員的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）該國(guó)家隊(duì)25歲的球員共有幾位？求該國(guó)家隊(duì)球員年齡的第75百分位數(shù)；（2）從這26名球員中隨機(jī)選取11名球員參與某項(xiàng)活動(dòng)，求這11名球員中至少有一位年齡不小于30歲的概率．【答案】（1）3位；第75百分位數(shù)是30（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)莖葉圖和百分位數(shù)公式，即可計(jì)算結(jié)果；（2）依據(jù)對(duì)立事務(wù)和組合數(shù)公式求概率.【小問(wèn)1詳解】由莖葉圖可知，25歲的球員共有3位球員；因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)是第20位，由莖葉圖可知，年齡從小到大排列，第20位球員的年齡是30；【小問(wèn)2詳解】11名球員沒(méi)有年齡不小于30的概率,所以這11名球員中至少有一位年齡不小于30歲的概率.20.如圖，點(diǎn)A、B、C分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)P是上在第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與直線BC相交于點(diǎn)Q，直線CP與x軸相交于點(diǎn)M．（1）求直線BC的方程；（2）求證：；（3）已知直線的方程為，線段QM的中點(diǎn)為T，是否存在垂直于y軸的直線，使得點(diǎn)T到和的距離之積為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，.【解析】【分析】(1)由題意可得，由截距式寫(xiě)出直線的方程，再化成一般式即可；(2)設(shè),可得直線的方程，從而可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再依據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值即可得證；(3)由題意可得T的坐標(biāo)，設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)T到和的距離分別為，，利用點(diǎn)到線的距離公式表示出，，進(jìn)而可得的代數(shù)式，再推斷當(dāng)為定值時(shí)是否有解，即可推斷.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，所以直線的方程的截距式為，即為；【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè),因?yàn)椋灾本€的方程為：；聯(lián)立，得，即；直線的方程為：，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以==，又因?yàn)?，所以，所?==.得證；【小問(wèn)3詳解】解：不存在，理由如下：由題(2)可知，不妨令，則，則，所以點(diǎn)T到的距離，設(shè)的方程為：，則點(diǎn)T到的距離，所以當(dāng)時(shí)，，所以存在滿意條件的.21.定義：假如函數(shù)和的圖像上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有C關(guān)系．（1）推斷函數(shù)和否具有C關(guān)系；（2）若函數(shù)和不具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)和在區(qū)間上具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）是（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)C關(guān)系的理解，令，解得，從而得以推斷；（2）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到在上恒成立，分類探討與，利用基本不等式即可求得a的取值范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上存在零點(diǎn)，分類探討與，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系證得時(shí)，在上有零點(diǎn)，從而得解.【小問(wèn)1詳解】與是具有C關(guān)系，理由如下：依據(jù)定義，若與具有C關(guān)系，則在與的定義域的交集上存在，使得，因?yàn)?，，，所以，令，即，解得，所以與具有C關(guān)系.【小問(wèn)2詳解】令，因?yàn)?，，所以，令，則，故，因?yàn)榕c不具有C關(guān)系，所以在上恒為負(fù)或恒為正，又因?yàn)殚_(kāi)口向下，所以在上恒為負(fù)，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，明顯成立；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，