第19講 三角函數(shù)的應(yīng)用（學(xué)生版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第19講三角函數(shù)的應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題，2.體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型【基礎(chǔ)知識】一、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義1.簡諧運(yùn)動的振幅就是A.2.簡諧運(yùn)動的周期T＝eq\f(2π,ω).3.簡諧運(yùn)動的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π).4.ωx＋φ稱為相位．5.x＝0時的相位φ稱為初相．二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用1.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測其未來等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實(shí)際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．2.建立函數(shù)模型的一般步驟3.解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟4.運(yùn)用三角函數(shù)模型解決問題的幾種類型(1)由圖象求解析式：首先由圖象確定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根據(jù)圖象特征確定解析式中的字母參數(shù)，在求解過程中還要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)．(2)由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)：通過觀察分析函數(shù)圖象，能得出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性．(3)利用三角函數(shù)研究實(shí)際問題：首先分析、歸納實(shí)際問題，抽象概括出數(shù)學(xué)模型，再利用圖象及性質(zhì)解答數(shù)學(xué)問題，最后解決實(shí)際問題．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義例1．簡諧運(yùn)動的相位與初相是(

)A．， B．，4C．，－ D．，考點(diǎn)二：由圖象研究函數(shù)的性質(zhì)例2．福州新港江陰港區(qū)地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進(jìn)出港不受航道及潮水的限制，是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區(qū)某個泊位一天中6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(

)A．5 B．6 C．8 D．10考點(diǎn)三：三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用例3．(2022學(xué)年山東省濰坊市安丘、高密、諸城高一下學(xué)期5月期中)將塑料瓶底部扎一個小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運(yùn)動的圖像．它表示了漏斗對平衡位置的位移s(縱坐標(biāo))隨時間t(橫坐標(biāo))變化的情況．如圖所示，已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計線的長度應(yīng)當(dāng)是(精確到0.1cm)(

)A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm考點(diǎn)四：三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用例4．(多選)(2022學(xué)年安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟高一下學(xué)期春季聯(lián)賽)阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置．如圖，我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”．由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移(cm)和時間t()的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次位移為的時間分別為，，，且，，則下列是的單調(diào)區(qū)間的是(

)A． B．C． D．考點(diǎn)五：數(shù)據(jù)擬合問題例5.某“帆板”集訓(xùn)隊在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度(米)隨著時間(，單位：小時)而周期性變化．每天各時刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：(時)(米)(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從，，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(3)如果確定在一天內(nèi)的時至?xí)r之間，當(dāng)浪高不低于米時才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間．【真題演練】1．(2022學(xué)年重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考)心臟每跳動一次，就完成一次收縮和舒張.心臟跳動時，血壓在增大或縮小，并呈周期性變化，血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.某人的血壓滿足函數(shù)，其中為血壓(單位：)，t為時間(單位：)，則相鄰的收縮壓和舒張壓的時間間隔是(

)A． B． C． D．2.(2022學(xué)年山東省臨沂市莒南縣高一下學(xué)期期中)筒車是一種以水流作動力，取水灌田的工具，是中國古代人民偉大的發(fā)明之一.如圖，已知某個半徑為6m的筒車按逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)2圈，筒車軸心O距水面3m，設(shè)筒車上某個盛水筒P，以P剛浮出水面時開始計算時間，則盛水筒P出水后第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時間(單位：s)為(

)A．7 B．8 C．9 D．103.(2022學(xué)年湖北省問津聯(lián)合體高一下學(xué)期3月質(zhì)量檢測)設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，則有.根據(jù)地理知識，武漢地區(qū)的緯度值約為北緯，今年月日正午太陽剛好直射赤道(緯度為度)，如果在武漢某學(xué)校有高度為的旗桿，月日正午時旗桿影子長是旗桿高的(

)倍？A．倍 B．倍 C．倍 D．倍4.(多選)(2022學(xué)年福建省武平縣第一中學(xué)高一10月月考)如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列結(jié)論正確的是(

)A．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5C．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時運(yùn)動速度為零D．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.8s5.(多選)(2022學(xué)年江西省高一下學(xué)期期中調(diào)研)如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點(diǎn)記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是(

)A．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)為B．點(diǎn)Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為C．經(jīng)過10分鐘點(diǎn)Q距離地面35米D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動一圈，點(diǎn)Q距離水平地面的高度不超過85米的時間為20分鐘6.(2022學(xué)年北京市中國人民大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期中)為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)秒針針尖的位置為，若初始位置為，當(dāng)秒針針尖從(注：此時)正常開始走時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時間的函數(shù)關(guān)系式為__________.7.(2022學(xué)年廣東省順德區(qū)德勝學(xué)校高一下學(xué)期期中)如圖為一個公路隧道，隧道口截面為正弦曲線，已知隧道跨徑為8.4m，最高點(diǎn)離地面4.5m．(1)若設(shè)正弦曲線的左端為原點(diǎn)，試求出該正弦曲線的函數(shù)解析式；(2)如果路面寬度為4.2m，試求出公路邊緣距隧道頂端的高度．8.(2022學(xué)年北京市中關(guān)村中學(xué)高一下學(xué)期期中)2022年4月25日，北京市的溫度(單位：)隨時間(單位：小時)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：，，其中，，.從氣象臺得知：北京市2022年4月25日當(dāng)天最高氣溫出現(xiàn)在下午14時，最高氣溫為29攝氏度，最低氣溫出現(xiàn)在凌晨2時，最低氣溫為17攝氏度.(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)北京市海淀區(qū)一羅森便利店為了節(jié)省開支，規(guī)定在環(huán)境溫度大于等于26時，開啟中央空調(diào)降溫，否則關(guān)閉中央空調(diào)，問2022年4月25日當(dāng)天中央空調(diào)應(yīng)在何時開啟？何時關(guān)閉？【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年浙江省浙南名校聯(lián)盟高一下學(xué)期返?？?小明給學(xué)校設(shè)計數(shù)學(xué)文化長廊，計劃將長廊的頂部遮雨棚設(shè)計成如圖所示橫截面為正弦曲線的形狀(雨棚的厚度忽略不計)，已知入口高度AB和出口處高度CD均為H，為使參觀者行走方便，要求雨棚的最低點(diǎn)到地面的距離不小于雨棚的最高點(diǎn)到地面距離的，則雨棚橫截面正弦曲線振幅的最大值為(

)A． B． C． D．2.(2022學(xué)年廣西桂林市第十九中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知P是半徑為的圓形砂輪邊緣上的一個質(zhì)點(diǎn)，它從初始位置開始，按逆時針方向做圓周運(yùn)動，角速度為．如圖，以砂輪圓心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，若，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)關(guān)于時間(單位：)的函數(shù)關(guān)系式為(

)A． B．C． D．3.(2022學(xué)年遼寧省沈陽市同澤高級中學(xué)高一下學(xué)期4月月考)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.將筒車抽象為一個幾何圖形(圓)，筒車的半徑為2m，筒車的軸心O到水面的距離為1m，筒車每分鐘按逆時針轉(zhuǎn)動2圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)(即時的位置)時開始計算時間，設(shè)盛水筒M從運(yùn)動到點(diǎn)P時所用時間為t(單位：s)，且此時點(diǎn)P距離水面的高度為h(單位：m).若以筒車的軸心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2)，則h與t的函數(shù)關(guān)系式為(

)A．， B．，C．， D．，4．(多選)血壓(bloodpressure，BP)是指血液在血管內(nèi)流動時作用于單位面積血管壁的側(cè)壓力，它是推動血液在血管內(nèi)流動的動力，血壓的最大值?最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.未使用抗高血壓藥的前提下，18歲以上成人收縮壓或舒張壓，則說明這位成人有高血壓，設(shè)從未使用抗高血壓藥的李華今年40歲，從某天早晨6點(diǎn)開始計算(即早晨6點(diǎn)時，)，他的血壓()與經(jīng)過的時間()滿足關(guān)系式，則(

)A．函數(shù)的最小正周期為6 B．當(dāng)天早晨7點(diǎn)時李華的血壓為C．當(dāng)天李華有高血壓 D．當(dāng)天李華的收縮壓與舒張壓之差為5.(多選)聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波.我們聽到的每個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).音有四要素：音調(diào)?響度?音長和音色.它們都與函數(shù)及其參數(shù)有關(guān)，比如：響度與振幅有關(guān)，振幅越大響度越大，振幅越小響度越??；音調(diào)與頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖銳；我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.我們聽到的聲音對應(yīng)的函數(shù)是結(jié)合上述材料及所學(xué)知識，下列說法錯誤的是(

)A．函數(shù)不具有奇偶性B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若某聲音甲的對應(yīng)函數(shù)近似為，則聲音甲的響度一定比純音響度小D．若某聲音乙的對應(yīng)函數(shù)近似為，則聲音乙一定比純音更低沉6.(2022學(xué)年天津市南開中學(xué)高一上學(xué)期期末)天津之眼，全稱天津永樂橋摩天輪，是世界上唯一一個橋上瞰景的摩天輪．如圖，已知天津之眼的半徑是55m，最高點(diǎn)距離地面的高度為120m，開啟后按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，每30轉(zhuǎn)動一圈．喜歡拍照的南鳶同學(xué)想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距離地面最近的艙位進(jìn)艙．已知在距離地面超過92.5m的高度可以拍到最美的景色，則在天津之眼轉(zhuǎn)動一圈的過程中，南鳶同學(xué)可以拍到最美景色的時間是_________分鐘．7.已知南北回歸線的緯度為，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度，為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值，如果在北半球某地(緯度為)的一幢高為的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離應(yīng)不小于______(結(jié)果用含有和的式子表示).8．(2020-2021學(xué)年遼寧省大連市第二十四中學(xué)高一下學(xué)期期中)海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時刻與水深值(單位：)記錄表：時刻水深值經(jīng)過長期觀測，這個港口的水深與時間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時，函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙(船底與海底的距離)，問該船在一天內(nèi)()何時能進(jìn)入港口？9.(2022學(xué)年山東省濰坊市安丘、高密、諸城高一下學(xué)期5月期中)我國明朝科學(xué)家宋應(yīng)星所著《天工開物》中記載了水車，水車是古代中國勞動人民發(fā)明的灌溉工具，體現(xiàn)了中華民族的創(chuàng)造力．如圖是水車示意圖，其半徑為6m，中心O距水面3m，一水斗從水面處的點(diǎn)處出發(fā)，逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，80s轉(zhuǎn)動一周，經(jīng)t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P處，此時水斗距離水面高度為h．(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O且與水面垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，試將點(diǎn)P距離水面的高度h(單位：m)表示為時間t(單位：s)的函數(shù)；(2)此水斗經(jīng)過多長時間后再次到達(dá)水面？在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，水斗位于水下的