在關(guān)聯(lián)與思辨中感悟運(yùn)算的一致性

【摘

要】基于學(xué)習(xí)路徑對(duì)“分?jǐn)?shù)加減法”進(jìn)行單元整體教學(xué)分析，然后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直觀模型，通過將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，可以實(shí)現(xiàn)相同分?jǐn)?shù)單位的加減運(yùn)算。這樣的學(xué)習(xí)過程有助于學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)和整數(shù)、小數(shù)在數(shù)的意義和運(yùn)算上的一致性?！娟P(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)加減法；算理理解；運(yùn)算的一致性基于學(xué)習(xí)路徑對(duì)“分?jǐn)?shù)加減法”進(jìn)行單元整體教學(xué)分析，可知本單元的核心目標(biāo)是“理解分?jǐn)?shù)加減法的算理，掌握算法，發(fā)展運(yùn)算能力”。對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)的分析表明，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握同分母分?jǐn)?shù)加減法，且大部分學(xué)生已能將異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行計(jì)算。然而，學(xué)生僅意識(shí)到可以利用通分使計(jì)算更加簡便，或通過模仿進(jìn)行簡便計(jì)算，而不能解釋“為什么分母不同就不能直接相加減”的算理。因此，在教學(xué)過程中，教師需重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，即通過轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，實(shí)現(xiàn)相同分?jǐn)?shù)單位相加減。同時(shí)，使學(xué)生明確同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)為“求相同分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的加減”，進(jìn)而認(rèn)識(shí)同分母分?jǐn)?shù)加減與異分母分?jǐn)?shù)加減的一致性，并通過與整數(shù)、小數(shù)加減法進(jìn)行比較，揭示其運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。一、回顧舊知，深入探究同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理學(xué)生在三年級(jí)時(shí)已學(xué)習(xí)過同分母分?jǐn)?shù)加減法，但主要通過圖形直觀表征來理解算理，尚未真正認(rèn)識(shí)同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)，即相同分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的加減。通過數(shù)形結(jié)合和對(duì)比辨析，喚醒學(xué)生對(duì)同分母分?jǐn)?shù)加減法算理的記憶，并深入探究其本質(zhì)，能夠?yàn)樗麄兒罄m(xù)學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。（一）直觀闡釋，明確同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理對(duì)學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)概念往往比整數(shù)概念更為抽象。因此，需借助直觀模型（數(shù)線、面積模型、集合等）來幫助學(xué)生深化理解，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，并將學(xué)生的思維可視化，使他們能夠從多個(gè)角度深入理解同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理。在前測(cè)中，教師要求學(xué)生用自己的方式表征同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，以喚醒他們已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并了解他們對(duì)同分母分?jǐn)?shù)加減法算理的理解程度。【教學(xué)片段1】教師出示前測(cè)材料（如圖1）。師：這四名同學(xué)的方法都解釋清楚了為什么“[38+18]”會(huì)得到“[48]”。那么，數(shù)形結(jié)合的三種方法（圓形、長方形、線段圖）之間有什么共同點(diǎn)呢？生：它們都是先表示出3份，再加上1份，就變成了4份。生：它們都是在3個(gè)[18]的基礎(chǔ)上加上1個(gè)[18]，變成4個(gè)[18]，也就是[48]。（經(jīng)過交流，學(xué)生達(dá)成共識(shí)：這些方法都是把東西平均分成8份，取這樣的3份，與1份進(jìn)行合并。由于平均分的份數(shù)始終沒有變，所以分母保持不變，即分?jǐn)?shù)單位相同。）在這一教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生能借助直觀模型表征運(yùn)算，但對(duì)于運(yùn)算前后的邏輯和原理，部分學(xué)生并未形成清晰的認(rèn)知，一旦脫離直觀模型，就難以清晰闡述算理。這表明他們尚未真正掌握同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)，即相同的分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行累加或相減。（二）對(duì)比辨析，揭示同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)為了使學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)同分母分?jǐn)?shù)加減法的算理，教師需引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的同分母分?jǐn)?shù)加減算式進(jìn)行對(duì)比辨析。學(xué)生通過不斷尋找證據(jù)與思辨，逐步修正自己的理解，并達(dá)成共識(shí)，即只有相同分?jǐn)?shù)單位的數(shù)才能直接相加或相減。這樣的對(duì)比辨析不僅為算法提供了理論依據(jù)，而且使算法本身更加具體，更具有操作性。由此，學(xué)生在這一過程中所獲得的算法，不再是枯燥的文字法則，而是基于深刻計(jì)算體驗(yàn)形成的智慧結(jié)晶，從而幫助他們更加牢固地掌握同分母分?jǐn)?shù)加減法的本質(zhì)?！窘虒W(xué)片段2】讓學(xué)生在“[38+18]=3個(gè)[18]+1個(gè)[18]=4個(gè)[18]=[48]”的基礎(chǔ)上繼續(xù)想象：除8以外，分母還可以是多少？表示什么意思？生：[39+19]=3個(gè)[19]+1個(gè)[19]=4個(gè)[19]=[49]，表示把一個(gè)正方形平均分成9份，先取這樣的3份即3個(gè)[19]，再取1份即1個(gè)[19]，合起來就是4個(gè)[19]，即[49]。生：[311+111]=3個(gè)[111]+1個(gè)[111]=4個(gè)[111]=[411]，表示把一條線段平均分成11份，先取這樣的3份即3個(gè)[111]，再取1份即1個(gè)[111]，合起來就是4個(gè)[111]，即[411]?！哼€可以用字母a（a不能為0）表示，[3a+1a]=3個(gè)[1a]+1個(gè)[1a]=4個(gè)[1a]=[4a]，表示把一個(gè)物體平均分成a份，先取這樣的3份即3個(gè)[1a]，再取1份即1個(gè)[1a]，合起來就是4個(gè)[1a]，即[4a]。（經(jīng)過交流思辨，學(xué)生達(dá)成共識(shí)：只要單位“1”被分成的份數(shù)相同，即分母相同，那么各自取的份數(shù)就可以直接相加或相減。這正是同分母分?jǐn)?shù)加減時(shí)，分母保持不變，而分子進(jìn)行加減的原理所在。）本教學(xué)環(huán)節(jié)通過多次舉例和思辨，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固“相同分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的加減”的算理，從而在新舊知識(shí)之間搭建起穩(wěn)固的橋梁。這不僅為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法奠定基礎(chǔ)，還為他們理解“為何異分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行加減需要轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，即統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位”提供依據(jù)。二、自主探索，明確異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理和算法在教學(xué)中，為了體現(xiàn)異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的必要性，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生自主提出問題、分析問題和解決問題，自主探究異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理與算法，從而深化對(duì)算理的理解，提高自主學(xué)習(xí)及解決問題的能力。（一）詮釋轉(zhuǎn)化，剖析異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理理解異分母分?jǐn)?shù)加減法算理的關(guān)鍵在于領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化思想，其要點(diǎn)是將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。為此，需引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用面積模型、線段圖等進(jìn)行多元表征，深入剖析運(yùn)算過程與結(jié)果，從而加深學(xué)生對(duì)異分母分?jǐn)?shù)加減法算理與算法的理解?！窘虒W(xué)片段3】1.引發(fā)提問，自主探究根據(jù)[3a+1a=4a]（a不能為0）可知，分?jǐn)?shù)單位相同時(shí)，分子的個(gè)數(shù)可以直接相加。由此引發(fā)學(xué)生思考：分?jǐn)?shù)單位不同的分?jǐn)?shù)相加該怎么計(jì)算呢？教師出示學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組交流。（1）在算式[3（

）+1（

）=]中填入不同的大于0的數(shù)（建議不要大于10）。（2）嘗試計(jì)算，并說說為什么這樣算（可以用畫圖等方法進(jìn)行說明）。2.對(duì)比辨析，感悟算理（1）交流兩類算式◆第一類：轉(zhuǎn)化為小數(shù)來計(jì)算，如[34+12]。生：0.75+0.5=1.25。生：我是利用畫圖來說明計(jì)算過程的。將[34]和[12]轉(zhuǎn)化為分母相同的分?jǐn)?shù)，就可以直接相加。因?yàn)?和4的最小公倍數(shù)是4，所以將[12]轉(zhuǎn)化為[24]來計(jì)算，即3個(gè)[14]+2個(gè)[14]=5個(gè)[14]=[54]（如圖2）。圖2師：觀察這兩種方法，它們有什么共同點(diǎn)嗎？生：我發(fā)現(xiàn)這兩種方法其實(shí)都是將不同的分?jǐn)?shù)單位轉(zhuǎn)化為相同的分?jǐn)?shù)單位后再相加。第一種方法大家都懂；第二種方法是將[12]轉(zhuǎn)化為[24]，這樣它就和[34]的分母相同了，而同分母分?jǐn)?shù)相加我們已經(jīng)會(huì)算了。◆第二類：分母不是倍數(shù)關(guān)系，至少有一個(gè)加數(shù)不能化為有限小數(shù)，如[34+16]。生：我最先想到的是24是4和6的積，但這樣畫圖太復(fù)雜。我就想到它們的最小公倍數(shù)是12，所以可以把[34]轉(zhuǎn)化為[912]，把[16]轉(zhuǎn)化為[212]來計(jì)算，這樣就可以得出：9個(gè)[112]+2個(gè)[112]=11個(gè)[112]=[1112]。生：我是取兩個(gè)分母的最小公倍數(shù)來作為公分母，先通分再計(jì)算，即[34+16=912+212=1112]。（2）方法異中求同師：觀察這幾種不同情況，你們有什么感想？生：它們都是通過把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)來計(jì)算的。生：我發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為小數(shù)的方法有時(shí)無法使用，但通分的方法卻總是可行的。師：通分時(shí)，為什么同為[34]，在[34+12]中不用轉(zhuǎn)化，在[34+13]中卻要轉(zhuǎn)化為[912]？生：是否需要轉(zhuǎn)化要看另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位的公倍數(shù)即可直接相加減。在學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)加法的算理與算法后，直接讓他們討論減法該怎么計(jì)算，并編制兩道減法算式讓同桌完成，要求說出其中一道的計(jì)算理由。最后在交流展示中，引導(dǎo)學(xué)生明晰算理，并強(qiáng)調(diào)將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位的最小公倍數(shù)來計(jì)算最為方便。（二）類比提煉，掌握異分母分?jǐn)?shù)加減法的算法在深入理解異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理后，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生通過類比遷移的方式提煉算法。首先，讓學(xué)生回顧同分母分?jǐn)?shù)加減法的運(yùn)算過程，使他們明確這種算法是在分?jǐn)?shù)單位相同的前提條件下進(jìn)行的。接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：異分母分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位不同，如何能夠直接進(jìn)行加減運(yùn)算呢？經(jīng)過思考，學(xué)生認(rèn)識(shí)到通分是解決這一問題的關(guān)鍵。通過通分，將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)，確保分?jǐn)?shù)單位一致，從而順利地進(jìn)行加減運(yùn)算。在這一過程中，學(xué)生不僅迅速掌握了異分母分?jǐn)?shù)加減法的算法，還在類比遷移中深化了對(duì)算法背后數(shù)學(xué)邏輯的理解。通過類比遷移的方式，學(xué)生不僅能夠鞏固已學(xué)知識(shí)，還能夠拓展新知，構(gòu)建完整的知識(shí)體系。同時(shí)，這種學(xué)習(xí)方式也培養(yǎng)了學(xué)生的類比推理能力和遷移應(yīng)用能力，為他們未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。三、縱向貫通，感悟整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算一致性在深入探究異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理與算法之后，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生縱向探尋整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算之間的一致性。通過精細(xì)的對(duì)比，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，都遵循共同的數(shù)學(xué)原理，即對(duì)相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行加減。這一數(shù)學(xué)原理的理解，不僅強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算的掌握，更完善與豐富了他們的數(shù)運(yùn)算知識(shí)體系?！窘虒W(xué)片段4】師：剛才在填寫算式[3（

）+1（

）=]時(shí)，大家舉出了[34+12]的例子，并發(fā)現(xiàn)計(jì)算時(shí)把它轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)[34+24]就可以直接相加。那么，大家思考一下，在算式3個(gè)（

）+1個(gè)（

）中還可以填什么？生：可以填3個(gè)（10）+1個(gè)（10）=30+10=40。生：3個(gè)（0.1）+1個(gè)（0.01）=0.3+0.0