九年級數(shù)學(xué)上冊 第二十六章　解直角三角形 單元測試卷（冀教版 2024年秋）

九年級數(shù)學(xué)上冊第二十六章解直角三角形單元測試卷（冀教版2024年秋）一、選擇題(每題3分，共36分)1．(母題：教材P107做一做)cos45°的值為()A．eq\f(1,2) B．1 C．eq\f(\r(2),2) D．eq\r(2)2．[2023·攀枝花]△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,4) C．eq\f(4,5) D．eq\f(4,3)3．[2024·石家莊市第四十中學(xué)期中]如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值為()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,4) C．eq\f(\r(10),5) D．14．[2022·錦州]如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于eq\f(1,2)AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則AE的長為()A．eq\f(7,4) B．eq\f(9,4) C．eq\f(15,4) D．eq\f(25,4)5．[2024·石家莊第十七中學(xué)期中]如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為()(參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm6．如圖，沿AE折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．已知AB＝4，BC＝5，則cos∠EFC的值為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(4,3) C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝60cm，∠AOD＝90°，設(shè)∠DAO＝α，若AO＝100cm，則點(diǎn)O到BC的距離OE是()A．(60＋100sinα)cmB．(60＋100cosα)cmC．(60＋100tanα)cmD．以上選項都不對8．(母題：教材P118例2)如圖，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，壩頂寬10m，壩高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，則壩底AD的長度為()A．26m B．28m C．30m D．46m9．如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，則CD的長為()A．eq\f(8\r(6),3) B．4eq\r(3) C．eq\f(8\r(2),3) D．4eq\r(2)10．[2024·石家莊第四十一中學(xué)期中]如圖①是一個小區(qū)入口的雙翼閘機(jī)，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為8cm(如圖②)，邊緣AC＝BD＝60cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°.當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為()A．(60eq\r(3)＋8)cm B．(60eq\r(2)＋8)cmC．64cmD．68cm11．如圖，菱形ABCD的周長為20cm，DE⊥AB，垂足為E，sinA＝eq\f(3,5)，則下列結(jié)論中正確的有()①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面積為15cm2；④BD＝2eq\r(10)cm.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．[2022·荊州]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OCBC＝12，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長線于P.若P(1，1)，則tan∠OAP的值是()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(2),2) C．eq\f(1,3) D．3二、填空題(每題3分，共12分)13．[2024·石家莊第九中學(xué)期中]sin30°＋eq\r(2)cos45°＝________.14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，CO＝6.5，BC＝5，則tanB的值為________．15．如圖，在△ABC中，sinB＝eq\f(1,3)，tanC＝eq\f(\r(2),2)，AB＝3，則AC的長為________，△ABC的面積為________．16．[2023·衢州]下面是勾股定理的一種證明方法：圖①所示紙片中，∠ACB＝90°(AC<BC)，四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點(diǎn)C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖②.(1)若cos∠ABC＝eq\f(3,4)，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為________；(2)若eq\f(PQ,BQ)＝eq\f(19,15)，則eq\f(BK,AK)＝________.三、解答題(第17～22題每題10分，第23題12分，共72分)17．計算：(1)tan30°cos60°＋tan45°cos30°；(2)[2023·鹽城]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＋4cos60°－(5－π)0.18．在△ABC中，∠C＝90°.(1)已知c＝2eq\r(3)，∠A＝30°，求∠B，a，b；(2)已知a＝5eq\r(6)，∠A＝45°，求∠B，b，c.19．如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延長線與AD的延長線交于點(diǎn)E.(1)若∠A＝60°，求BC的長；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求AD的長．20．[2024·石家莊市第四十一中學(xué)期中]圖①是某款籃球架，圖②是其示意圖，立柱OA垂直地面OB，支架CD與OA交于點(diǎn)A，支架CG⊥CD交OA于點(diǎn)G，支架DE平行地面OB，籃筺EF與支架DE在同一直線上，OA＝2.5m，AD＝0.8m，∠AGC＝32°.(1)求∠GAC的度數(shù)．(2)某運(yùn)動員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3m處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請通過計算說明理由．(參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)21．如圖，湖邊A，B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連．為了計算A，B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80m，求A，B兩點(diǎn)之間的距離．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)22．如圖是由6個形狀、大小完全相同的小矩形組成的，小矩形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知小矩形較短的邊長為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．(1)用無刻度的直尺作圖：找出格點(diǎn)D，連接CD，使∠ACD＝90°；(2)在(1)的條件下，連接AD，求tan∠BAD的值．23．【初建模型】(1)如圖①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE.求證：BD＝CE.分析：要證明BD＝CE，我們可以通過________(只填序號)的方法證明△ADB和△AEC全等即可．①SSS ②ASA ③AAS ④SAS【類比探究】(2)如圖②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，連接BD，CE.請你寫出BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展提升】(3)如圖③，在圖②的基礎(chǔ)上，延長BD，交AC于點(diǎn)F，交CE的延長線于點(diǎn)G，求sinG的值．

答案一、1．C2．C3．B4．D【點(diǎn)撥】設(shè)MN與AC的交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝6，AD＝BC＝8.∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(82＋62)＝10.∴cos∠CAD＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).又由作圖知MN為AC的垂直平分線，∴∠MOA＝90°，AO＝eq\f(1,2)AC＝5.∴在Rt△AOE中，cos∠EAO＝eq\f(AO,AE).∵cos∠CAD＝cos∠EAO,∴eq\f(5,AE)＝eq\f(4,5).∴AE＝eq\f(25,4).5．B6．D【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得AB＝4，AF＝AD＝BC＝5，∠AFE＝∠D＝∠B＝90°，∴∠BAF＋∠AFB＝∠EFC＋∠AFB．∴∠BAF＝∠EFC．∴cos∠EFC＝cos∠BAF＝eq\f(AB,AF)＝eq\f(4,5).故選D．7．A8．D【點(diǎn)撥】過點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為E.∵壩高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，∴AE＝1.5BE＝18m.∴易得AD＝2AE＋BC＝2×18＋10＝46(m).9．A【點(diǎn)撥】如圖，分別作AE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)F，則有sinB＝sin45°＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(\r(2),2)，易知DF＝AE，∴DF＝eq\f(\r(2),2)AB＝4eq\r(2).∵∠DCF＝180°－∠BCD＝60°，∴sin∠DCF＝sin60°＝eq\f(DF,DC)＝eq\f(\r(3),2).∴CD＝eq\f(DF,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(2),\f(\r(3),2))＝eq\f(8\r(6),3)，故選A．10．D【點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥QD于點(diǎn)F，如圖．∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)AC＝30cm.同理可得BF＝30cm，∴通過閘機(jī)的物體的最大寬度為30＋8＋30＝68(cm)．故選D．11．C【點(diǎn)撥】∵菱形ABCD的周長為20cm，∴菱形的邊長AB＝AD＝20÷4＝5(cm)．∵DE⊥AB，sinA＝eq\f(3,5)，∴DE＝5×eq\f(3,5)＝3(cm)，故①正確；∵AE＝eq\r(AD2－DE2)＝eq\r(52－32)＝4(cm)，∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)，故②正確；菱形的面積＝AB·DE＝5×3＝15(cm2)，故③正確；在Rt△BDE中，BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)(cm)，故④錯誤．綜上所述，正確的有①②③，共3個．12．C【點(diǎn)撥】∵點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，1)，∴OP與x軸正方向的夾角為45°.又∵OP∥AB，∴∠BAO＝45°.又∵∠AOB＝90°，∴OA＝OB．設(shè)OC＝x，則BC＝2OC＝2x，∴OA＝OB＝3x，∴tan∠OAP＝eq\f(OC,OA)＝eq\f(x,3x)＝eq\f(1,3).二、13．eq\f(3,2)【點(diǎn)撥】原式＝eq\f(1,2)＋eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).14．eq\f(12,5)15．eq\r(3)；eq\f(3\r(2),2)【點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC．在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(1,3)，AB＝3，∴AD＝AB·sinB＝1.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2).在Rt△ACD中，tanC＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(AD,DC)＝eq\f(\r(2),2).又∵AD＝1，∴CD＝eq\r(2).∴BC＝BD＋CD＝3eq\r(2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(3\r(2),2).16．(1)9(2)eq\f(25,9)【點(diǎn)撥】(1)設(shè)剪裁線的交點(diǎn)為T，過C作CM⊥AB于M，如圖．∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT.∵cos∠ABC＝eq\f(3,4)，∴cos∠BCT＝eq\f(3,4)，即eq\f(CT,BC)＝eq\f(3,4).∴CT＝eq\f(3,4)BC．∵∠ACM＝90°－∠BCM＝∠ABC，∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝eq\f(3,4)，即eq\f(CM,AC)＝eq\f(3,4).∴CM＝eq\f(3,4)AC．∴CT·CM＝eq\f(3,4)BC·eq\f(3,4)AC＝eq\f(9,16)BC·AC．∵△ABC的面積為16，∴eq\f(1,2)BC·AC＝16.∴BC·AC＝32.∴CT·CM＝18.易知BT＝CM，∴紙片Ⅲ的面積為eq\f(1,2)CT·BT＝eq\f(1,2)CT·CM＝9.(2)如圖，設(shè)CT的延長線交BF于點(diǎn)W，BT的延長線交GF于點(diǎn)N.∵eq\f(PQ,BQ)＝eq\f(19,15)，∴eq\f(NT,BT)＝eq\f(19,15).設(shè)NT＝19t，則BT＝15t，∴BN＝34t.∵∠FBN＝90°－∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW(ASA)．∴CW＝BN＝34t.∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT.∴eq\f(BT,WT)＝eq\f(CT,BT).∴CT·WT＝BT2.∴CT·(34t－CT)＝(15t)2，解得CT＝9t或CT＝25t.當(dāng)CT＝9t時，WT＝25t，這情況不符合題意，舍去；當(dāng)CT＝25t時，WT＝9t，∵BK＝CT，AK＝WT，∴eq\f(BK,AK)＝eq\f(25,9).三、17．【解】(1)原式＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),3).(2)原式＝2＋4×eq\f(1,2)－1＝3.18．【解】(1)∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.∵sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)，∴a＝c·sinA＝2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，b＝c·sinB＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3.(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°.∴b＝a＝5eq\r(6).∴c＝eq\r(a2＋b2)＝10eq\r(3).19．【解】(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝eq\f(BE,AB)，∴∠E＝30°，BE＝AB·tanA＝6×tan60°＝6eq\r(3).在Rt△CDE中，∵CD＝4，sinE＝eq\f(CD,CE)，∠E＝30°，∴CE＝eq\f(CD,sinE)＝eq\f(4,\f(1,2))＝8.∴BC＝BE－CE＝6eq\r(3)－8.(2)∵在Rt△ABE中，sinA＝eq\f(4,5)＝eq\f(BE,AE)，∴可設(shè)BE＝4x(x＞0)，則AE＝5x.由勾股定理可得AB＝3x，又∵AB＝6，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tanE＝eq\f(AB,BE)＝eq\f(6,8)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(4,DE).∴DE＝eq\f(16,3).∴AD＝AE－DE＝10－eq\f(16,3)＝eq\f(14,3).20．【解】(1)∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°.又∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°－32°＝58°.(2)該運(yùn)動員能掛上籃網(wǎng)，理由如下：如圖，延長OA，ED交于點(diǎn)M，∵OA⊥OB，DE∥OB，∴∠DMA＝90°.又∵∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝32°.在Rt△ADM中，AM＝AD·sin32°≈0.8×0.53＝0.424(m)，∴OM＝OA＋AM≈2.5＋0.424＝2.924(m)<3m.∴該運(yùn)動員能掛上籃網(wǎng)．21．【解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝37°，AC＝80m，sin∠DAC＝eq\f(CD,AC)，cos∠DAC＝eq\f(AD,AC)，∴CD＝AC·sin37°≈80×0.60＝48(m)，AD＝AC·co