2025屆新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)06函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教師版

重難點(diǎn)06函數(shù)與導(dǎo)數(shù)從新高考的考查狀況來看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)始終是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)．一般以基本初等函數(shù)為載體，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)等問題，同時(shí)與解不等式關(guān)系最為親密，還可能與三角函數(shù)、數(shù)列等學(xué)問綜合考查。一般出現(xiàn)在選擇題和填空題的后兩題以及解答題中，難度較大，復(fù)習(xí)備考的過程中應(yīng)引起重視。通過導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查考生的分類探討思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).1、探討含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類探討．(1)探討分以下四個(gè)方面①二次項(xiàng)系數(shù)探討；②根的有無探討；③根的大小探討；④根在不在定義域內(nèi)探討．(2)探討時(shí)要依據(jù)上面四種狀況，找準(zhǔn)參數(shù)探討的分類．(3)探討完畢須寫綜述．2、探討函數(shù)零點(diǎn)或方程根的方法(1)通過最值(極值)推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法:借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性推斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍．(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn):對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍．(3)構(gòu)造函數(shù)法探討函數(shù)零點(diǎn):①依據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)找尋函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解．②解決此類問題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．3、求與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍的方法：方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（1）參數(shù)分別法，構(gòu)造新的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)單調(diào)性與最值.（2）分類探討法.4、不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象視察，或參變分別，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理．恒成立問題的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min．存在性（有解）問題的重要思路：(1)存在m≥f(x)?m≥f(x)min(2)存在m≤f(x)?m≤f(x)max．5、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)與g(x)的最值易求出，可干脆轉(zhuǎn)化為證明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后依據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值，證明h(x)＞0.無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)，達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，擅長(zhǎng)從不同角度分析問題，是解題的法寶.6、函數(shù)性質(zhì)綜合問題函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略：（1）函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合．留意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．（2）周期性與奇偶性的綜合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．（3）單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．（4）應(yīng)用奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．利用單調(diào)性比較大小、解不等式、探討函數(shù)的最值、函數(shù)單調(diào)性的探討（含參）、零點(diǎn)問題和不等式恒成立的相關(guān)問題（包含不等式證明和由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍）是出題頻率最高的；同時(shí)也要留意極值點(diǎn)偏移、雙變量等熱點(diǎn)問題。A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·江蘇連云港·高三期中）已知某電子產(chǎn)品電池充溢時(shí)的電量為3000毫安時(shí)，且在待機(jī)狀態(tài)下有兩種不同的耗電模式可供選擇.模式A：電量呈線性衰減，每小時(shí)耗電300毫安時(shí)；模式B：電量呈指數(shù)衰減，即：從當(dāng)前時(shí)刻算起，t小時(shí)后的電量為當(dāng)前電量的倍.現(xiàn)使該電子產(chǎn)品處于滿電量待機(jī)狀態(tài)時(shí)開啟A模式，并在m小時(shí)后切換為B模式，若使其在待機(jī)10小時(shí)后有超過5%的電量，則m的取值范圍是（）A．（5，6） B．（6，7） C．（7，8） D．（8，9）【答案】D【分析】依據(jù)題意得模式A：，模式B：，其中p為初始電量，再依據(jù)題意列不等式求解即可.【詳解】解：模式A：，模式B：，其中p為初始電量.A模式用了m小時(shí)，電量為，m小時(shí)后B模式用了小時(shí)，∴;，令，∴，∴，因?yàn)?，，∴，∴故選：D2．（2024·江蘇·無錫市教化科學(xué)探討院高三期中）已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A的值為（）A．4 B．2 C．-2 D．-4【答案】C【分析】先證的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合條件列方程求實(shí)數(shù)A的值.【詳解】∵∴，又，則，∴函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)的零點(diǎn)為2，∴，即，∴,∴.故選：C.3．（2024·江蘇常州·高三期中）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為，可得切線為，所以，設(shè)，則與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，探討時(shí)由單調(diào)性可知不符合題意，當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)推斷的單調(diào)性以及最值，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，,由可得，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，所以，若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則有兩解，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，至多一解，所以不符合題意，當(dāng)時(shí)，由可得；由可得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；所以若與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得即，所以若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則，故選：C.4．（2024·山東臨沂·高三期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)函數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”.已知實(shí)數(shù)m為常數(shù)，，若對(duì)滿意的任何一個(gè)實(shí)數(shù)m，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，則的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】由題設(shè)知對(duì)隨意，在上有恒成立，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)在上恒成立求x的范圍，進(jìn)而確定的最大值.【詳解】由題設(shè)，，則，∴對(duì)隨意，在上有恒成立，令在上恒成立，∴，可得，∴，故的最大值為4.故選：A5．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)料）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先構(gòu)造新函數(shù)，通過求導(dǎo)，再結(jié)合已知條件可推斷出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最終分狀況解不等式可得答案.【詳解】令，，當(dāng)時(shí)，，，原函數(shù)單調(diào)遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，求，分兩種狀況求解，當(dāng)時(shí)，，只需，解得，當(dāng)時(shí)，，只需，解得所以的范圍是,故選：A6．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)，若滿意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵，且，∴函數(shù)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)．于是，可以變?yōu)?，即，∴，而，可知?shí)數(shù)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C.7．（2024·江蘇海安·高三期中）已知設(shè)其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將原不等式移項(xiàng)合并，利用放縮法推斷的大小關(guān)系；構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)法求出最大值，確定最大值與的大小關(guān)系即可推斷.【詳解】,,令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；時(shí)取，，，，，又,而，，.綜上所述：故選：B8．（2024·陜西·長(zhǎng)安一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的值為（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【分析】利用換元法轉(zhuǎn)換，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來求得正確答案.【詳解】，，有三個(gè)不同的零點(diǎn).令，在遞增，在上遞減，.時(shí)，.令，必有兩個(gè)根，，且，有一解，有兩解，且，故;.故選：C二、多選題9．（2024·江蘇南京·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，，則（）A．B．對(duì)隨意的正實(shí)數(shù)，都有C．為偶函數(shù)D．不等式的解集為【答案】BC【分析】由對(duì)稱性可推斷A，由單調(diào)性結(jié)合基本不等式可推斷B，由函數(shù)平移與奇偶性的對(duì)稱性可推斷C，由單調(diào)性可推斷D【詳解】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以對(duì)隨意的正實(shí)數(shù)恒成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，可得關(guān)于直線對(duì)稱，即為偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增且關(guān)于直線對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以由解得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.10．（2024·山東省膠州市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．只有一個(gè)極值點(diǎn) B．設(shè)，則與的單調(diào)性相同C．在上單調(diào)遞增 D．有且只有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】利用的二次求導(dǎo)，得到，，從而存在，使得，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義即可推斷選項(xiàng)，求出的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性即可推斷選項(xiàng)，利用函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論即可推斷選項(xiàng)．利用函數(shù)的極值點(diǎn)即可推斷選項(xiàng).【詳解】解：由題知，，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，故的一個(gè)極值點(diǎn)為0，所以與的單調(diào)性不相同，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c在上都是單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)極值點(diǎn)，，且，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：ACD．11．（2024·遼寧大連·高三期中）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上不單調(diào)C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)【答案】AD【分析】，然后可推斷其奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)可推斷在上的單調(diào)性，由、的符號(hào)及零點(diǎn)存在定理可推斷CD.【詳解】因?yàn)椋涠x域?yàn)?；所以，即是偶函?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；因?yàn)?，；所以由零點(diǎn)存在定理可得，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，在內(nèi)無零點(diǎn)；故選：AD12．（2024·廣東化州·高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是B．函數(shù)的值域是C．函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．對(duì)隨意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，，若，則【答案】BCD【分析】分與利用導(dǎo)數(shù)法探討函數(shù)的單調(diào)性可推斷A；由分段函數(shù)的值域求法求出的值域可推斷B；分與利用導(dǎo)數(shù)法探討函數(shù)的零點(diǎn)，從而得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可推斷C；由函數(shù)的單調(diào)性先推斷，令（），利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性可得，再結(jié)合單調(diào)性即可推斷D【詳解】函數(shù)，時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，.時(shí)，在上單減，，故函數(shù)在，上單減，故A錯(cuò).時(shí)，，時(shí)，，故函數(shù)的值域是，故B對(duì).令函數(shù)，時(shí)，，，在單調(diào)遞減，，，故時(shí)存在唯一的，，時(shí)，，，在單調(diào)遞減，且僅有，故時(shí)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)，故，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故C對(duì).對(duì)隨意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，，，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增設(shè)，則，令函數(shù)（），，，則函數(shù)在單調(diào)遞減，，，即，故，因?yàn)?，故，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，且，，所以，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．（2024·江蘇南通·高三期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則_________.【答案】【分析】依據(jù)題意，結(jié)合奇、偶函數(shù)的性質(zhì)，列方程組求出和，即可求解.【詳解】依據(jù)題意，由為奇函數(shù)，得關(guān)于對(duì)稱，故，即，∵，∴，又∵，∴，即，由，解得，，∵，∴.故答案為：.14．（2024·重慶市試驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且，，，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】依據(jù)題意轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上單調(diào)遞減，即可求解.【詳解】由恒成立，可得恒成立，令函數(shù)，即在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，可得最小值為，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．（2024·江蘇·灌云縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)的極大值為__________，若在（，為自然對(duì)數(shù)的底）的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可求得函數(shù)在區(qū)間上的極大值；分、兩種狀況探討，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，或作出函數(shù)在上的圖象，可得出，再結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，，解得，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：，，，因?yàn)?，，所以，，可得（舍?綜上所述，.故答案為：；.16．（2024·江蘇·沛縣老師發(fā)展中心高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】令，h（x）＝ax，求出后畫出、的圖象，數(shù)形結(jié)合建立不等式組，即可得解.【詳解】存在唯一整數(shù)，使得，即存在唯一整數(shù)，使得令，，則，∴當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；而；當(dāng)時(shí)，，所以且當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)x0使得．當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又直線過原點(diǎn)，所以此時(shí)由切點(diǎn)再切線上，可得，解得所以所以當(dāng)直線與相切時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，所以，則，此時(shí)不滿意條件.所以結(jié)合圖形知：當(dāng)時(shí)，有多數(shù)多個(gè)整數(shù)x0使得，故不滿意題意.又，由圖可知當(dāng)直線在與之間時(shí)，滿意條件的整數(shù)x0只有，所以滿意條件的的范圍是：故答案為：四、解答題17．（2024·遼寧·大連市第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的導(dǎo)函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）3個(gè)（2）【分析】（1）結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)存在性定理來求得導(dǎo)函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為，恒成立，對(duì)進(jìn)行分類探討，結(jié)合分別常數(shù)法、導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.（1），∴，所以是的一個(gè)零點(diǎn).令，則時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.又且，所以在上存在唯一零點(diǎn)，則在上亦存在唯一零點(diǎn).因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以在上也存在唯一零點(diǎn).綜上在上有3個(gè)零點(diǎn).（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立.令，則等價(jià)于不等式……（*）恒成立，①若，即時(shí)，不等式（*）明顯成立，此時(shí)②若時(shí)，不等式（*）等價(jià)于設(shè)，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，令，則，∵，，且，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，即在上恒成立所以在上單調(diào)遞減，則，明顯為偶函數(shù)，故在上的最大值為1，因此綜上所述，滿意題意得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】當(dāng)一次求導(dǎo)無法求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，可考慮利用二次求導(dǎo)來進(jìn)行求解.18．（2024·江蘇·南京市中華中學(xué)高三期中）函數(shù).（1）求函數(shù)在的值域；（2）設(shè)，已知，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可計(jì)算作答.(2)利用(1)中信息求出并探討其單調(diào)性，借助單調(diào)性構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)即可推理作答.（1）依題意，，求導(dǎo)得，令，則，由得或，而，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在，上都是單調(diào)遞增的，在上單調(diào)遞減，，，于是得，成立，即，因此，在上單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在的值域是.（2）由(1)知，，求導(dǎo)得，令，則明顯在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，于是得在R上單調(diào)遞增，令，求導(dǎo)得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即有在R上單調(diào)遞增，而，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是得，由得，于是得，所以當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再探討函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.19．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知函數(shù)，.（1）若在處的切線也是的切線，求的值；（2）若，恒成立，求的最小整數(shù)值.【答案】（1）（2）7【分析】（1）先用導(dǎo)數(shù)法求得在處的切線，再依據(jù)在處的切線也是的切線，將切線方程與聯(lián)立，利用判別式法求解；（2）令，將，恒成立，轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)法求解.（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，則，所以在處的切線方程為，由，得，因?yàn)樵谔幍那芯€也是的切線，所以，解得；（2）令，因?yàn)?，恒成立，所以，?duì)恒成立，令，則，令，則，所以在上遞減，又，所以存在，有，即，因?yàn)樵谶f增，在上遞減，所以，又，所以，令，由，得，所以，所以故的最小整數(shù)值是7.20．（2024·廣東江門·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是（2）證明見解析【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)推斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；（2）因是函數(shù)零點(diǎn)，得，分別得，令，構(gòu)造，代換成關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，通過求出最值，進(jìn)而得證.（1）當(dāng)時(shí)，,令得，令得，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得.，令，則，得，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，.，則在上單調(diào)遞增，，即，.21．（2024·江蘇鹽城·高三期中）設(shè)函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，在上總成立；（2）求證：不論m為何值，函數(shù)總存在零點(diǎn).【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，二次求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)狀況推斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而證得結(jié)論；（2）由題知，，只需證明無論m為何值，函數(shù)總能取到正值，由零點(diǎn)存在定理即可證得結(jié)論.（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，即單增，又，則恒成立，即單增，又，則.（2）由題知，，當(dāng)時(shí)，恒成立，由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)總存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，易知單增，且，則在上單增，依據(jù)的解析式，存在，使，單增，依據(jù)的解析式，存在，使，由零點(diǎn)存在定理知，函數(shù)總存在零點(diǎn)；22．（2024·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)探討的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)覺這正好是，然后依據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）,設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，關(guān)鍵是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分別參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·浙江·高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性可解除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性可推斷C，即可得解.【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，解除A；對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，解除B；對(duì)于C，，則，當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，解除C.故選：D.2．（2024·河南·高三階段練習(xí)）函數(shù)的減區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得，依據(jù)減函數(shù)有求減區(qū)間即可.【詳解】由題意，，令，得，則，故的減區(qū)間是.故選：C3．（2024·四川攀枝花·高三階段練習(xí)）方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”.假如函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)定義，將問題轉(zhuǎn)化為求且零點(diǎn)所在區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推斷“新駐點(diǎn)”的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，，則的根為的“新駐點(diǎn)”，若且，即的零點(diǎn)為的“新駐點(diǎn)”，∴，即單調(diào)遞增，，，依據(jù)零點(diǎn)存在性定理知：的零點(diǎn)在內(nèi)，∴的“新駐點(diǎn)”范圍是，即的取值范圍為.故選：B4．（2024·江蘇·高三期中）設(shè)k>0，若不等式≤0在x>0時(shí)恒成立，則k的最大值為（）A．e B．eln3 C．log3e D．3【答案】B【分析】據(jù)題意，將不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而通過反函數(shù)的定義發(fā)覺互為反函數(shù)，而它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則必需滿意對(duì)恒成立，然后分別參數(shù)求出答案即可.【詳解】由題意，對(duì)恒成立.簡(jiǎn)單推斷，函數(shù)互為反函數(shù)，且均在上單調(diào)遞增.因?yàn)榕c的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以問題等價(jià)于對(duì)恒成立，即.記，，則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以.于是，，即k的最大值為.故選：B.5．（2024·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是，，對(duì)隨意，，則不等式的解集為（）A．B．C．或D．或【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉(zhuǎn)換為，依據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以為上的增函?shù)．又因?yàn)?，所以原不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.6．（2024·河北邢臺(tái)·高三階段練習(xí)）已知方程在區(qū)間上恰有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得過的切線的斜率，結(jié)合圖形可求得的取值范圍.【詳解】，直線過點(diǎn)，設(shè)，所以在點(diǎn)處的的切線方程為，即，將代入得，.，即在函數(shù)的圖象上，.要使方程在區(qū)間上恰有3個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則，即的取值范圍是.故選：A7．（2024·全國·高考真題）設(shè)，，．則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時(shí),,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.8．（2024·黑龍江·模擬預(yù)料）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，在處的切線為軸C．當(dāng)時(shí)，在存在唯一微小值點(diǎn)，且D．對(duì)隨意，在肯定存在零點(diǎn)【答案】C【分析】干脆法，逐一驗(yàn)證選項(xiàng).選項(xiàng)A，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)進(jìn)行推斷即可；選項(xiàng)B，通過切點(diǎn)求切線，再通過點(diǎn)斜式寫出切線方程；選項(xiàng)C通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值并推斷極值范圍；選項(xiàng)D，通過構(gòu)造函數(shù)，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化推斷函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，恒成立，所以在單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，，故切點(diǎn)為，，所以切線斜率，故直線方程為：，即切線方程為：，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，，，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，故存在唯一極值點(diǎn)，不妨設(shè)，則，即，且，所以微小值，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)于，，令，即，當(dāng)，且，明顯沒有零點(diǎn)，故，且，所以則令，，令，解得，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，有微小值，于是知時(shí)得，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，對(duì)于條件中隨意的均有零點(diǎn)沖突，故選項(xiàng)D不正確；故選：C【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)探討含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．留意分類探討與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．二、多選題9．（2024·山東臨沂·高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上有最大值，則a的取值可能為（）A．－6 B．－5 C．－3 D．－2【答案】AB【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極大值點(diǎn)，依據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】，則，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.在處取極大值為.函數(shù)在上有最大值，故，且，即，解得.故選：AB.10．（2024·重慶九龍坡·高三期中）已知函數(shù)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)B．，，使C．是的極大值點(diǎn)D．的取值范圍是【答案】BC【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可推斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，且恒成立，畫出函數(shù)圖象如下：對(duì)A，由函數(shù)圖象可得0是函數(shù)的零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由圖可得，故，，使，故B正確；對(duì)C，由圖可得是的極大值點(diǎn)，故C正確；對(duì)D，方程等價(jià)于或，由圖可得有1個(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有1個(gè)非零實(shí)根，則由圖可得或，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（2024·湖北·高三期中）已知函數(shù)，下列結(jié)論成立的是（）A．函數(shù)在定義域內(nèi)無極值B．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為C．函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D．函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，，且【答案】ABD【分析】求出定義域與導(dǎo)函數(shù)可推斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可推斷B；利用函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可推斷C；依據(jù)選項(xiàng)C可推斷D.【詳解】A，函數(shù)定義域?yàn)椋?，在和上單調(diào)遞增，則函數(shù)在定義域內(nèi)無極值，故A正確；B，由，則，又，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為即，故B正確；C，在上單調(diào)遞增，又，，所以函數(shù)在存在，使，又，即，且，即為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),故C錯(cuò)誤.D，由選項(xiàng)C可得，所以，故D正確.故選：ABD12．（2024·福建省福州外國語學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=，函數(shù)g(x)=xf(x)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．點(diǎn)（0，0）是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)B．∈（1，3），使f（）>f（）C．函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇D．若關(guān)于x的方程[g（x）]2－2ag（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（∪（）【答案】BC【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)推斷A，利用函數(shù)的單調(diào)性及最值推斷選項(xiàng)BC；利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的極值推斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，0是函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，．綜上可得，選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，，選項(xiàng)C正確．結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖像可得：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0，則也有且只有一個(gè)零點(diǎn)0；所以對(duì)于選項(xiàng)D，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?關(guān)于的方程有一個(gè)非零的實(shí)數(shù)根?函數(shù)的圖象與直線有一個(gè)交點(diǎn)，且，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)改變時(shí)，，的改變狀況如下：0+00+增極大值減微小值增極大值，微小值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)改變時(shí)，，的改變狀況如下：120+e減微小值增微小值．綜上可得，或，解得的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題13．（2024·山東師范高校附中高三期中）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】或【分析】令，分析出函數(shù)為上的減函數(shù)且為奇函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】令，對(duì)隨意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，則，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，由于函數(shù)和在上均為減函數(shù)，故函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上也為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，則在上為減函數(shù)，由可得，即，所以，，即，解得或.故答案為：或.14．（2024·山東泰安·高三期中）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________.【答案】【分析】把函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同正根，利用分別參數(shù)法得到.令，，只需和有兩個(gè)交點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性與極值，即可求出m的取值范圍.【詳解】的定義域?yàn)椋?要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，在的兩側(cè)的單調(diào)性相反.由得，.令，，要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需和有兩個(gè)交點(diǎn).，令得：x>1；令得：0<x<1；所以在上單減，在上單增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；作出和的圖像如圖，所以-1<m<0即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)探討零點(diǎn)問題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的方法推斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，假如函數(shù)較為困難，可用導(dǎo)數(shù)學(xué)問確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是推斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變分別，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構(gòu)造函數(shù)g（x）的方法，把問題轉(zhuǎn)化為探討構(gòu)造的函數(shù)g（x）的零點(diǎn)問題；（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值探討；②利用數(shù)形結(jié)合思想探討；③構(gòu)造協(xié)助函數(shù)硏究，15．（2024·廣東·高三階段練習(xí)）若對(duì)隨意的，，且當(dāng)時(shí)，都有，則的最小值是________.【答案】2【分析】將變形為，令，利用在上是遞增函數(shù)求解.【詳解】由題意得：，所以，則等價(jià)于，即，令，則，又，所以在上是遞增函數(shù)，所以成立，解得所以，故的最小值是2，故答案為：216．（2024·天津·南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】依據(jù)當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，再依據(jù)當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)可由當(dāng)時(shí)的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)?倍即可，作出函數(shù)在時(shí)的函數(shù)圖像，分和兩種狀況探討，當(dāng)是，結(jié)合圖像依據(jù)臨界點(diǎn)即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)可由當(dāng)時(shí)的圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)?倍即可，作出函數(shù)在時(shí)的函數(shù)圖像，如圖所示，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，所以，當(dāng)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，，結(jié)合圖像，若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則或，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性及周期性，還考查了方程的根的問題，考查了數(shù)據(jù)分析實(shí)力和數(shù)形結(jié)合思想，有肯定的難度.四、解答題17．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）探討的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類探討導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡(jiǎn)得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必定是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點(diǎn)所做曲線的切線問題，留意單調(diào)性探討中對(duì)導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點(diǎn)的不同狀況進(jìn)行分類探討；再求切線與函數(shù)曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要留意除了已經(jīng)求出的切點(diǎn)，還可能有另外的公共點(diǎn)(交點(diǎn)),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時(shí)要留意其中有一個(gè)實(shí)數(shù)根是求出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣就簡(jiǎn)單通過分解因式求另一個(gè)根.三次方程時(shí)高考?jí)狠S題中的常見問題，不必恐驚，一般都能簡(jiǎn)單找到其中一個(gè)根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.18．（2024·廣東化州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）依據(jù)分類探討，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）化簡(jiǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出，分類探討，分別求出，令求解即可.（1），.當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得.時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是R；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2），，，∵，∴，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，，故.當(dāng)，即時(shí)，，，，即或，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，，∴.令函數(shù)，且，，