第22講 相似三角形的性質(zhì)與判定（原卷版）-初中數(shù)學暑假自學課講義（9年級北師大版）

第22講相似三角形的性質(zhì)與判定1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運用性質(zhì)進行有關計算；2、通過典型實例認識現(xiàn)實生活中物體的相似，能運用圖形相似的知識解決一些簡單的實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學問題）.一、相似三角形的性質(zhì)1．相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.3.相似三角形周長的比等于相似比.∽，則由比例性質(zhì)可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方.∽，則分別作出與的高和，則要點：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.二、相似三角形的應用1.測量高度測量不能到達頂部的物體的高度，通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.要點：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法影子測量法手臂測量法標桿測量法2.測量距離測量不能直接到達的兩點間的距離，常構造如下兩種相似三角形求解。1．如甲圖所示，通常可先測量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算AB的長.要點：1．比例尺：表示圖上距離比實地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實際距離;2．太陽離我們非常遙遠，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時刻，兩物體影子之比等于其對應高的比;3．視點：觀察事物的著眼點（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角．考點1：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求三角形的相關參數(shù)例1．如果兩個相似三角形的對應高之比是，那么它們的周長比是（

）A． B．C． D．例2．相似三角形對應高的比為4:3，那么它們的對應中線的比為______．例3．若兩個相似多邊形的對應邊之比為5:2，則它們的周長比是______，面積比是______．例4．一個三角形三邊長度之比為2：5：6，另一個與它相似的三角形最長邊為24，則三角形的最短邊為_________．例5．與的相似比為1：4，則與的周長比為（

）．A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16考點2：相似三角形的應用（利用相似三角形測高）例6．如圖，身高為的小明想測量一下操場邊大樹的高度，他沿著樹影由B到A走去，當走到C點時，他的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得，，于是得出樹的高度為（

）A． B． C． D．例7．如圖，放映幻燈片時，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上．若光源到幻燈片的距離為光源，到屏幕的距離為，且幻燈片中圖形的高度為，則屏幕上圖形的高度為（

）A． B． C． D．例8．中國教育家孔子周游列國年，其中年居衛(wèi)衛(wèi)國即現(xiàn)在的濮陽，龍湖論語廣場有一尊孔子雕像，數(shù)學興趣小組的同學為了測量雕像的高度頂端到水平地面的距離，在雕像旁邊的水平地面上處放了一面鏡子平面鏡的厚度忽略不計，組長小麗沿直線后退到點處，這時恰好在鏡子里看到雕像的頂端，此時測得米，米，小麗的眼睛距地面的高度米，則雕像的高度______米．考點3：利用相似三角形的性質(zhì)求解平行問題例9．如圖，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：EC的值為（

）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2例10．如圖，已知E、F分別是△ABC中AB、AC邊上的點，，且AE：AB＝3：5，那么為（）A．3：5 B．3：25 C．9：25 D．9：16例11．如圖，在中，E是線段上一點，，過點C作，交BE的延長線于點D．若的面積等于16，則的面積等于______．例12．如圖，在中，中線，相交于點O，連接，下列結論：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點4：網(wǎng)格問題例13．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分的面積是_____．考點5：分類討論問題例14．如圖，，，．點在上移動，當以為頂點的三角形與相似時，則的長為___________．考點6：最值問題例15．如圖，在矩形中，，，若點是邊上的一個動點．過點作且分別交對角線，直線于點O、F，則在點移動的過程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．18考點7：相似三角形的性質(zhì)與判定綜合問題例16．的邊上有三點，各點位置如圖所示，若，，，，，，則四邊形與的面積比為（

）

A． B． C． D．例17．如圖，為等邊三角形，在邊上分別任取一點，使得，連接相交于點，現(xiàn)有如下兩個結論：①；②若，則；下列判斷正確的是（）

A．①對，②對 B．①對，②錯 C．①錯，②對 D．①錯，②錯例18．如圖，已知正方形，為的中點，是邊上的一個動點，連接將沿折疊得，延長交于點，現(xiàn)在有如下五個結論：①一定是直角三角形；②；③當與重合時，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個考點8：相似三角形的性質(zhì)與判定解答證明題例19．如圖，在梯形中，點F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：(2)若，求證：例20．如圖，在中，，D是的中點，延長至E，連接．

(1)求證：；(2)在如圖1中，若，其它條件不變得到圖2，在圖2中過點D作于F，設H是的中點，過點H作交于G，交于M．求證：①；②．一、單選題1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若兩個相似三角形周長的比為，則這兩個三角形對應邊的比是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D、E分別為中點，連接相交于點F，點G在上，且，則四邊形的面積為（

）

A． B． C． D．3．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．4．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，點在正方形的對角線上，于點，連接并延長，交邊于點，交邊的延長線于點．若，，則（

）

A． B． C． D．5．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過點，點落在軸的點位置，點的坐標是（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，且，與相交于點，若的面積是，則的面積是______．

7．（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．三、解答題8．（2018·陜西·統(tǒng)考中考真題）周末，小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標桿DE，使得點E與點C、A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關測量信息，求河寬AB．9．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉得到的，的延長線相交于點．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點，如圖2．求證：．一、單選題1．在△ABC中，三條邊的長分別為2、3、4，△A′B′C′的兩邊長分別為1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長應該是(

)A．2 B． C．4 D．22．在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，則下列等式中錯誤的是（

）A．AC﹒BC=AB﹒CD B．AC﹒BD=BC﹒ADC．AC2=AB﹒AD D．CD2=AD﹒BD3．如圖，△ABC中，AE交BC于點D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，則DE的長等于

（）A． B． C． D．4．如圖，在中，，垂直平分，延長至點D，使，連接．若，則等于（

）A．6 B．8 C．10 D．125．如圖，已知在中，，，則下列比例式中正確的個數(shù)為（

）①

②

③

④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，、是的兩條高，、相交于，則下列結論不正確的是（

）．A．∽ B．∽C．∽ D．∽7．如圖，已知的面積是12，，點，分別在邊，上，在邊上依次作了個全等的小正方形，，，，，則每個小正方形的邊長為（

）A． B． C． D．8．如圖，矩形中，，，點P在對角線上，且，連接并延長，交的延長線于點Q，連接，則的長為（

）A． B． C． D．9．如圖，直角三角形中，，于，于，則下列說法中正確的有（

）個．①圖中有4個三角形與相似；②；③；④；⑤若，，則；⑥．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個10．“化積為方”是一個古老的幾何學問題，即給定一個長方形，作一個和它面積相等的正方形，這也是證明勾股定理的一種思想方法．如圖所示，在矩形中，以為邊做正方形，以為斜邊，作使得點在的延長線上，過點作交于，再過點作于，連結交于，記四邊形，四邊形的面積分別為，若，，則為（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知∽，它們的面積比為，則對應角的角平分線的比等于______．12．如果的三邊長分別是3、4、5，與其相似的的最長邊為15，那么的周長是______.13．如圖，為了測量一水塔的高度，小強用2米的竹竿做測量工具，移動竹竿，使竹竿、水塔的頂端的影子恰好落在地面的同一點，此時，竹竿與這一點相距8米，與水塔相距32米，則水塔的高度為______米．14．如圖，EF分別為矩形ABCD的邊AD，BC的中點，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，則AD＝_____．15．如圖，點E是平行四邊形的邊延長線上一點，與相交于點F，若，則_______．16．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD交于點O，已知，則_________．17．如圖，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，點P從A出發(fā)，以每秒1厘米的速度向B運動，點Q從C同時出發(fā)，以每秒2厘米的速度向A運動．其中一個動點到達端點時，另一個也相應停止運動．那么，當以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間是_____．18．如圖，邊長為的正方形中，點是上一點，點是上一點．點關于直線的對稱點恰好在延長線上，交于點．點為的中點，若，則=_____．三、解答題19．如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的邊BC上的高為6，面積為12，求△DEF的邊EF上的高和面積．20．如圖，在和中，G，H分別是邊和的中點，已知．（1）中線與的比是多少？（2）與的面積比是多少？21．如圖，與相似，AD，BE是的高，，是的高，求證．22．如圖，為了估計河的寬度，在河的對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S在一條直線上，且直線PS與河垂直，在過點S且與直線PS垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT，PT與過點Q且與PS垂直的直線b的交點為R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的長．23．如圖，在中，點D，E分別在邊和上，且．（1）若，則等于多少？（2）若，則，各等于多少？24．如圖，已知，．（1）求的長；（2）求的長；（3）求的度數(shù)．25．已知：如圖，是等邊三角形，點、分別在，上，且，、相交于點，求證：（1）；（2）．26．如圖，、、是全