專題1.5 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【八大題型】-2025年高考數(shù)學一輪復習【舉一反三】專練（新高考專用）含解析

專題1.5二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【八大題型】-2025年高考數(shù)學一輪復習【舉一反三】專練（新高考專用）專題1.5二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不含參一元二次不等式的解法】 3【題型2含參一元二次不等式的解法】 3【題型3由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 4【題型4其他不等式的解法】 4【題型5一元二次不等式根的分布問題】 5【題型6二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題】 6【題型7一元二次不等式恒成立問題】 6【題型8一元二次不等式有解問題】 71、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)會從實際情景中抽象出一元二次不等式

(2)掌握三個“二次”的關系，會解一元二次不等式

(3)了解分式、高次、絕對值不等式的解法2020年I卷：第1題，5分2023年新高考I卷：第1題，5分一元二次不等式是高考數(shù)學的重要內(nèi)容.從近幾年高考情況來看，三個“二次”

的關系是必考內(nèi)容，單獨考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點的題目中；此外，“含參不等式恒成立與能成立問題”也是?？嫉臒狳c內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識有機地結合起來，其以覆蓋知識點多、綜合性強、解法靈活等特點備受高考命題者的青睞.【知識點1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；②計算對應方程的判別式；③求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；②若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論．2．分式、高次、絕對值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標準化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對值不等式的一般步驟：對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性問題不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【方法技巧與總結】1．已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；2．已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；3．已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；4．已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【題型1不含參一元二次不等式的解法】【例1】（2023·廣東珠海·模擬預測）不等式x2+x?6<0的解集是（

）A．?6,1 B．?1,6 C．?2,3 D．?3,2【變式1-1】（2024·天津·一模）設x∈R，則“x<0”是“x2?x>0”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023·湖南岳陽·模擬預測）不等式x2?1<3x+1A．x∣x<4 B．x∣?4<x<1C．x∣?1<x<4 D．x∣x<?1或x>4【變式1-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知命題p：集合A=xx2+x?2>0，命題q：集合B=xx2A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【題型2含參一元二次不等式的解法】【例2】（23-24高一上·海南?？凇て谥校┤?<m<1，則不等式x?mx?1mA．x1m<x<m B．xx>1m【變式2-1】（23-24高一上·山東·階段練習）不等式ax2?A．x1a≤x≤1C．xx≤1a或x≥1 D．【變式2-2】（23-24高一上·河南開封·期中）關于x的不等式ax2?A．? B．xx>1 C．x1<x<1【變式2-3】（23-24高一上·浙江臺州·期中）不等式ax2+bx+c>0的解集為xA．a(chǎn)+b+c<0B．9a+3b+c>0C．不等式cx2D．不等式cx2+bx+a>0的解集為【題型3由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例3】（23-24高一下·云南·階段練習）若關于x的不等式x2?m+1x+m<0的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)A．?3,?2∪4,5 B．?2,?1∪4,5 C．【變式3-1】（2024·廣東·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，則“ax2+bx+c>0的解集為xx≠1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知關于x的不等式x2?ax+b≤0的解集為x2≤x≤3，則關于x的不等式xA．x2<x<3 B．C．x2<x<5 D．【變式3-3】（23-24高一上·黑龍江大慶·期末）關于x的不等式x2?ax?6a<0的解集是{x|m<x<n}，且n?m≤5，則實數(shù)a的取值范圍（

A．?25,?24 B．0C．?25,?24∪0，【題型4其他不等式的解法】【例4】（23-24高一上·湖南長沙·期末）解下列不等式：(1)2xx?1(2)2x?3+【變式4-1】（23-24高一上·江蘇揚州·期中）求下列不等式的解集(1)3x?1x+1(2)2x?3(3)x+2【變式4-2】（22-23高一上·上海徐匯·階段練習）解下列不等式：(1)5?xx(2)(x?1)(x+2)【變式4-3】（2023高一·上?！ｎ}練習）解下列關于x的不等式．(1)x+4x+5(2)x2【題型5一元二次不等式根的分布問題】【例5】（2024高三·全國·專題練習）關于x的方程ax2+a+2x+9a=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,A．?27<a<C．a(chǎn)<?27 【變式5-1】（23-24高三上·四川·階段練習）若關于x的方程x2?2ax+a+2=0在區(qū)間?2,1上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（A．?65,?1C．?∞,?6【變式5-2】（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實數(shù)a<b，關于x的不等式x2?a+bx+ab+1<0的解集為x1,x2，則實數(shù)a、A．a(chǎn)<x1<C．a(chǎn)<x1<b<【變式5-3】（23-24高三·全國·階段練習）方程x2+(m?2)x+5?m=0的一根在區(qū)間(2,3)內(nèi)，另一根在區(qū)間(3,4)內(nèi)，則m的取值范圍是（A．(?5,?4) B．?133,?2 C．?【題型6二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題】【例6】（23-24高一上·江蘇南京·期末）若函數(shù)fx=x2?mx+3在區(qū)間?A．?∞,2 B．2,+∞ C．?【變式6-1】（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知函數(shù)f(x)=2x2?kx?8A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4【變式6-2】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）若函數(shù)y=x2?2x?3的定義域為[?1,t]，值域為[?4,0]則實數(shù)tA．1≤t≤3 B．1<t<3C．?1<t<3 D．?1<t≤3【變式6-3】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，若關于x的不等式fA．9 B．8 C．6 D．4【題型7一元二次不等式恒成立問題】【例7】（2023·福建廈門·二模）不等式ax2?2x+1>0A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>1 D．0<a<【變式7-1】（2023·江西九江·模擬預測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．【變式7-2】（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【變式7-3】（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當x∈?1,1時，不等式2kx2?kx?3A．?3,0 B．?3,0 C．?3,18 【題型8一元二次不等式有解問題】【例8】（2023·福建寧德·模擬預測）命題“?x∈[1,2],x2≤aA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥4C．a(chǎn)≥?2 D．a(chǎn)≤4【變式8-1】（2023高三·全國·專題練習）若關于x的不等式x2+mx?4>0在區(qū)間2,4上有解，則實數(shù)m的取值范圍為（A．?3,+∞ B．0,+∞ C．?∞【變式8-2】（2023·河南·模擬預測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．【變式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一個x<0，使得關于x的不等式3?3x?a>x2+2xA．?374,3 B．?3,134 一、單選題1．（2023·山東泰安·模擬預測）“c∈?23,23”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）不等式x?1x?2023≥0的解集為（A．{x∣x≥2023或x≥1} B．{x∣x≤1或x≥2023}C．x∣1≤x≤2023 D．{x∣x<1或x>2023}3．（2024·浙江·模擬預測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<24．（2024·甘肅張掖·模擬預測）不等式x2?3x<2?2xA．?1,12 B．?12,15．（2023·山東·模擬預測）若不等式2x2+bx+c<0的解集是(0,4)，函數(shù)f(x)=2A．x=2 B．x=4 C．x=52 6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式ax2+bx+c>0的解為x?2<x<3，那么A．xx>3或x<?2C．x?2<x<3 D．7．（2023·遼寧鞍山·二模）已知當x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞8．（2023·河南·模擬預測）某同學解關于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)時，因弄錯了常數(shù)c的符號，解得其解集為(?∞,?3)∪(?2,+A．?1,?15 C．15,1 二、多選題9．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，則D．若關于x的不等式2x2+px?3<0的解集是q,1，則10．（2023·江蘇連云港·模擬預測）若對于任意實數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．111．（23-24高二上·山東威?！て谀┮阎P于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為?A．a(chǎn)<0B．不等式bx+c>0的解集是x|x<?6C．a(chǎn)+b+c>0D．不等式cx2三、填空題12．（2023·江西鷹潭·模擬預測）若命題p：“?x∈R，k2?1x2+413．（2023·河南·模擬預測）已知函數(shù)y=kx?k與曲線y=x2?1x14．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習）若關于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2a>0的解集為x?1≤x≤3四、解答題15．（23-24高一下·四川成都·開學考試）已知函數(shù)fx(1)若關于x的不等式fx≥0的解集為R，求實數(shù)(2)解關于x的不等式fx16．（2024·山東·二模）已知fx是二次函數(shù)，且f(1)求fx(2)若x∈?1,5，求函數(shù)f17．（23-24高二上·江蘇南通·期中）設m∈R，關于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集為（1）求m的取值范圍；（2）求關于x的不等式mx18．（2024·全國·模擬預測）設函數(shù)fx(1)求fx(2)若fx+4x?219．（23-24高一上·江蘇·階段練習）設函數(shù)f(x)=ax（1）若關于x的不等式fx≥?2有實數(shù)解，求實數(shù)（2）若不等式fx≥?2對于實數(shù)a∈?1,1（3）解關于x的不等式：f(x)<a?1,(a∈R).專題1.5二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不含參一元二次不等式的解法】 3【題型2含參一元二次不等式的解法】 4【題型3由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 6【題型4其他不等式的解法】 7【題型5一元二次不等式根的分布問題】 10【題型6二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題】 11【題型7一元二次不等式恒成立問題】 13【題型8一元二次不等式有解問題】 151、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)會從實際情景中抽象出一元二次不等式

(2)掌握三個“二次”的關系，會解一元二次不等式

(3)了解分式、高次、絕對值不等式的解法2020年I卷：第1題，5分2023年新高考I卷：第1題，5分一元二次不等式是高考數(shù)學的重要內(nèi)容.從近幾年高考情況來看，三個“二次”

的關系是必考內(nèi)容，單獨考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點的題目中；此外，“含參不等式恒成立與能成立問題”也是常考的熱點內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識有機地結合起來，其以覆蓋知識點多、綜合性強、解法靈活等特點備受高考命題者的青睞.【知識點1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；②計算對應方程的判別式；③求出相應的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進行討論；②若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應對兩根的大小進行討論．2．分式、高次、絕對值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標準化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對值不等式的一般步驟：對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性問題不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【方法技巧與總結】1．已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；2．已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；3．已知關于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；4．已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【題型1不含參一元二次不等式的解法】【例1】（2023·廣東珠?！つM預測）不等式x2+x?6<0的解集是（A．?6,1 B．?1,6 C．?2,3 D．?3,2【解題思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答過程】由x2+x?6<0得x?2x+3故原不等式的解集為?3,2.故選：D.【變式1-1】（2024·天津·一模）設x∈R，則“x<0”是“x2?x>0”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】解出不等式x2【解答過程】由x2?x>0，解得x>1或故“x<0”是“x2故選：A.【變式1-2】（2023·湖南岳陽·模擬預測）不等式x2?1<3x+1A．x∣x<4 B．x∣?4<x<1C．x∣?1<x<4 D．x∣x<?1或x>4【解題思路】將不等式化簡成一元二次不等式的標準形式，即可求得結果.【解答過程】由不等式x2?1<3x+1即x?4x+1<0，可得因此不等式x2?1<3x+1故選：C.【變式1-3】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知命題p：集合A=xx2+x?2>0，命題q：集合B=xx2A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【解題思路】解出集合A、B，利用集合的包含關系判斷可得出結論.【解答過程】∵A=xx2+x?2>0=xx+2∴B是A的真子集，因此，p是q的必要不充分條件.故選：B.【題型2含參一元二次不等式的解法】【例2】（23-24高一上·海南?？凇て谥校┤?<m<1，則不等式x?mx?1mA．x1m<x<m B．xx>1m【解題思路】根據(jù)0<m<1得到1m>m，從而寫出【解答過程】因為0<m<1，所以1m所以x?mx?1m故選：D.【變式2-1】（23-24高一上·山東·階段練習）不等式ax2?A．x1a≤x≤1C．xx≤1a或x≥1 D．【解題思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答過程】原不等式可化為ax?1x?1≥0即a(x?1a)(x?1)≥0y=ax2?(a+1)x+1故選：A.【變式2-2】（23-24高一上·河南開封·期中）關于x的不等式ax2?A．? B．xx>1 C．x1<x<1【解題思路】將原不等式化為ax?1x?1<0，再分類討論【解答過程】由題意，原不等式可化為ax?1當a=0時，原不等式為?x+1<0，解得x>1，原不等式的解集為xx當a>1時，0<1a<1當0<a<1時，1a>1，原不等式的解集為當a=1時，1a=1，原不等式的解集為當a<0時，1a<1，原不等式的解集為x|x<1綜上，當a=0時，原不等式的解集為xx當a>1時，原不等式的解集為x|1當0<a<1時，原不等式的解集為x|1<x<1當a=1時，原不等式的解集為?；當a<0時，原不等式的解集為x|x<1a或故不可能的解集為x|x<1或x>1故選：D.【變式2-3】（23-24高一上·浙江臺州·期中）不等式ax2+bx+c>0的解集為xA．a(chǎn)+b+c<0B．9a+3b+c>0C．不等式cx2D．不等式cx2+bx+a>0的解集為【解題思路】賦值法可解AB，消去參數(shù)可解CD.【解答過程】記fx=a所以f1因為3?所以f3由題知?3和2是方程ax所以?ba=?3+2=?1，解得b=a,c=?6a故cx2+ax+b=?acx2+bx+a=?a故選：D.【題型3由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例3】（23-24高一下·云南·階段練習）若關于x的不等式x2?m+1x+m<0的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)A．?3,?2∪4,5 B．?2,?1∪4,5 C．【解題思路】分類討論x2【解答過程】原不等式可化為(x?1)(x?m)<0，當m>1時，得1<x<m，此時解集中的整數(shù)為2，3，4，則4<m≤5；當m<1時，得m<x<1，此時解集中的整數(shù)為?2，?1，0，則?3≤m<?2，綜上所述，m的取值范圍是[?3,?2)∪(4,5].故選：A.【變式3-1】（2024·廣東·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，則“ax2+bx+c>0的解集為xx≠1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解及充分條件、必要條件求解.【解答過程】由題意，二次不等式ax2+bx+c>0則等價于a>0?b2a=1Δ當a+b+c=0時，不能推出a=c>0,b=?2a，所以“ax2+bx+c>0的解集為x故選：A.【變式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知關于x的不等式x2?ax+b≤0的解集為x2≤x≤3，則關于x的不等式xA．x2<x<3 B．C．x2<x<5 D．【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解集與對應一元二次方程的根之間的關系求出a、b的值，再解不等式.【解答過程】根據(jù)題意，方程x2則a=2+3=5,b=2×3=6，則x2?bx+a<0為x2故選：D.【變式3-3】（23-24高一上·黑龍江大慶·期末）關于x的不等式x2?ax?6a<0的解集是{x|m<x<n}，且n?m≤5，則實數(shù)a的取值范圍（

A．?25,?24 B．0C．?25,?24∪0，【解題思路】先求出m=a?a2+24a2【解答過程】關于x的不等式x2?ax?6a<0的解集是∴m,n是方程x2∴Δ=a2∴a<?24或a>0，∴m=a?a2∵n?m≤5，∴a+a即a2即(a?1)(a+25)≤0，解得?25≤a≤1，綜上所述?25≤a<?24，或0<a≤1，故選：D.【題型4其他不等式的解法】【例4】（23-24高一上·湖南長沙·期末）解下列不等式：(1)2xx?1(2)2x?3+【解題思路】（1）將分式不等式化為2x?2x?1≤0（2）將絕對值不等式化為分段函數(shù)，零點分段法求解絕對值不等式.【解答過程】（1）不等式2xx?1≥4，移項得2xx?1可轉(zhuǎn)化為2x?2x?1≤0解得1<x≤2，不等式解集為x1<x≤2（2）令y=當x≥2時，3x?5≤3，解得x≤83，即當32<x<2時，x?1≤3，解得x≤4，即當x≤32時，?3x+5≤3，解得x≥2綜上所述：不等式解集為x2【變式4-1】（23-24高一上·江蘇揚州·期中）求下列不等式的解集(1)3x?1x+1(2)2x?3(3)x+2【解題思路】（1）將原不等式3x?1x+1>4等價轉(zhuǎn)換為（2）將原不等式2x?3x+1<1等價轉(zhuǎn)換為（3）將原不等式x+2<1等價轉(zhuǎn)換為x+1【解答過程】（1）由題意3x?1x+1解不等式得x<?53或從而不等式3x?1x+1>4的解集為（2）由題意2x?3x+1解不等式得?1<x<4，從而不等式2x?3x+1<1的解集為（3）由題意x+2<1?解不等式得?3<x<?1，從而不等式x+2<1的解集為?3,?1【變式4-2】（22-23高一上·上海徐匯·階段練習）解下列不等式：(1)5?xx(2)(x?1)(x+2)【解題思路】對不等式因式分解，由數(shù)軸標根法或分類討論求解即可.【解答過程】（1）5?xx2?2x?3（2）(x?1)(x+2)2≥0?易得解集為{?2}∪[1,+∞【變式4-3】（2023高一·上?！ｎ}練習）解下列關于x的不等式．(1)x+4x+5(2)x2【解題思路】（1）由題意不等式等價于x≠?5x+4（2）由題意不等式等價于(2x?1)(x?1)(3x?1)(x?2)>0，由零點標根法畫圖即可求解.【解答過程】（1）原不等式等價于x+4x+5所以x≠?5x+4如圖所示：解得x<?4或x>2且x≠?5，所以原不等式解集為x|x<?5或?5<x<?4或x>2.（2）由x2?4x+13∴原不等式等價于2x?1x?13x?1x?2如圖所示：解得x<13或12所以原不等式的解集為{x|x<13或12【題型5一元二次不等式根的分布問題】【例5】（2024高三·全國·專題練習）關于x的方程ax2+a+2x+9a=0有兩個不相等的實數(shù)根x1,A．?27<a<C．a(chǎn)<?27 【解題思路】說明a=0時，不合題意，從而將ax2+a+2x+9a=0化為x【解答過程】當a=0時，ax2+故a≠0，ax2+令y=x由于關于x的方程ax2+a+2x+9a=0則y=ax2+故x=1時，y<0，即1+1+2a×1+9<0，解得故選：D.【變式5-1】（23-24高三上·四川·階段練習）若關于x的方程x2?2ax+a+2=0在區(qū)間?2,1上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（A．?65,?1C．?∞,?6【解題思路】令gx=x【解答過程】令gx=x2?2ax+a+2所以Δ>0?2<a<1g?2>0所以a的取值范圍是?6故選：A．【變式5-2】（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實數(shù)a<b，關于x的不等式x2?a+bx+ab+1<0的解集為x1,x2，則實數(shù)a、A．a(chǎn)<x1<C．a(chǎn)<x1<b<【解題思路】由題可知x1+x2=a+b，再利用中間量m，根據(jù)x1+x2與x【解答過程】由題可得：x1+x2=a+b，x1x2=ab+1.由a<b，x1<x2，設x1=a+m，則x2=b?m.所以x1x故選：A.【變式5-3】（23-24高三·全國·階段練習）方程x2+(m?2)x+5?m=0的一根在區(qū)間(2,3)內(nèi)，另一根在區(qū)間(3,4)內(nèi)，則m的取值范圍是（A．(?5,?4) B．?133,?2 C．?【解題思路】令f(x)=x2+(m?2)x+5?m，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)有f(2)>0，f(3)<0)，f(4)>0【解答過程】令f(x)=x2+(m?2)x+5?m另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，只需f(2)>0f(3)<0f(4)>0，即解不等式組可得?133<m<?4，即m故選：C.【題型6二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題】【例6】（23-24高一上·江蘇南京·期末）若函數(shù)fx=x2?mx+3在區(qū)間?A．?∞,2 B．2,+∞ C．?【解題思路】利用二次函數(shù)的對稱軸及函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解.【解答過程】因為函數(shù)fx=x所以m2≥2，解得故選：D.【變式6-1】（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知函數(shù)f(x)=2x2?kx?8A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸之間的關系，建立條件求解即可.【解答過程】函數(shù)f(x)=2x2?kx?8要使f(x)在區(qū)間[-2，1]上具有單調(diào)性，則k4≤?2或k4≥1綜上所述k的范圍是：k≤-8或k≥4.故選：C.【變式6-2】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）若函數(shù)y=x2?2x?3的定義域為[?1,t]，值域為[?4,0]則實數(shù)tA．1≤t≤3 B．1<t<3C．?1<t<3 D．?1<t≤3【解題思路】利用分類討論?1<t≤1與t>1，求解t范圍.【解答過程】由y=x2?2x?3對稱軸為x=1,y=當?1<t≤1時，y=x2?2x?3在?1，t而函數(shù)的值域為?4,0，則t2?2t?3=?4，解得t=1，故當t>1時，y=x2?2x?3在?1則ymin=1y=t2?2t+3，故?4≤故1<t≤3，綜上所述，t的取值范圍為1≤t≤3，故選：A.【變式6-3】（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，若關于x的不等式fA．9 B．8 C．6 D．4【解題思路】先由fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，得到Δ=0，再由【解答過程】因為fx=x∴Δ則f(x)=x∵f(x)<c的解集為(m,m+4)，所以m,m+4是f(x)?c=0的兩個不等實根，即m,m+4是x2所以m+m+4=?a，則m=?a?4∴c=f(m)=m+故選：D.【題型7一元二次不等式恒成立問題】【例7】（2023·福建廈門·二模）不等式ax2?2x+1>0A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>1 D．0<a<【解題思路】分a=0和a≠0兩種情況討論求出a的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【解答過程】當a=0時，?2x+1>0，得x<1當a≠0時，則a>0Δ=4?4a<0，解得綜上所述，a>1，所以不等式ax2?2x+1>0故選：A.【變式7-1】（2023·江西九江·模擬預測）無論x取何值時，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．【解題思路】由題知4k【解答過程】解：因為無論x取何值時，不等式x2所以，4k2?16<0所以，k的取值范圍是?2,2故選：D.【變式7-2】（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【解題思路】變形給定不等式，分離參數(shù)，利用均值不等式求出最小值作答.【解答過程】?x∈(0,+∞),x2?mx+1>0?m<x+1x，而當x>0則m<2，所以m的取值范圍是(?∞故選：C.【變式7-3】（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當x∈?1,1時，不等式2kx2?kx?3A．?3,0 B．?3,0 C．?3,18 【解題思路】對二項式系數(shù)進行分類，結合二次函數(shù)定義的性質(zhì)，列出關系式求解.【解答過程】當x∈?1,1時，不等式2k當k=0時，滿足不等式恒成立；當k≠0時，令fx=2kx2?kx?函數(shù)fx的圖像拋物線對稱軸為x=k>0時，fx在?1,14則有f?1=2k+k?3k<0時，fx在?1,14則有f14=綜上可知，k的取值范圍是?3,1故選：D.【題型8一元二次不等式有解問題】【例8】（2023·福建寧德·模擬預測）命題“?x∈[1,2],x2≤aA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥4C．a(chǎn)≥?2 D．a(chǎn)≤4【解題思路】根據(jù)能成立問題求a的取值范圍，結合充分不必要條件理解判斷.【解答過程】∵?x∈[1,2],x2≤a，則x∴a的取值范圍1,+由題意可得：選項中的取值范圍對應的集合應為1,+∞結合選項可知B對應的集合為4,+∞為1,+∴符合的只有B，故選：B.【變式8-1】（2023高三·全國·專題練習）若關于x的不等式x2+mx?4>0在區(qū)間2,4上有解，則實數(shù)m的取值范圍為（A．?3,+∞ B．0,+∞ C．?∞【解題思路】利用二次函數(shù)的圖象及根的分布計算即可.【解答過程】易知Δ=m2+16>0恒成立，即又x1x2所以要滿足不等式x2+mx?4>0在區(qū)間所以只需42解得m>?3，所以實數(shù)m的取值范圍是?3,+∞故選A．【變式8-2】（2023·河南·模擬預測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．【解題思路】由題知x0∈?1,1【解答過程】解：因為命題“?x0∈所以，命題“?x0∈所以，x0∈?1,1因為，y=x所以，當x∈?1,1時，ymin=?2所以，x0∈?1,1時，a>x故選：C.【變式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一個x<0，使得關于x的不等式3?3x?a>x2+2xA．?374,3 B．?3,134 【解題思路】化簡不等式3?3x?a>x【解答過程】依題意，至少存在一個x<0，使得關于x的不等式3?3x?a即至少存在一個x<0，使得關于x的不等式?x畫出y=?x2?2x+3x<0以及當y=3x?a與y=?x由y=3x?ay=?x2?2x+3消去Δ=25+4a+12=0,a=?當y=?3x+a與y=?x由y=?3x+ay=?x2?2x+3消去由Δ=1?4a+12=0解得a=134解得x=1當y=?3x+a過0,3時，a=3.結合圖象可知a的取值范圍是?37故選：A.一、單選題1．（2023·山東泰安·模擬預測）“c∈?23,23”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】化簡“?x∈R【解答過程】由?x∈R,x化簡可得?23所以“?x∈R,x“c∈?23,2“?x∈R,x所以“c∈?23,2故選：A.2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）不等式x?1x?2023≥0的解集為（A．{x∣x≥2023或x≥1} B．{x∣x≤1或x≥2023}C．x∣1≤x≤2023 D．{x∣x<1或x>2023}【解題思路】解一元二次不等式即可得解.【解答過程】因為x?1x?2023≥0，所以x≥2023或故不等式x?1x?2023≥0的解集為{x∣x≤1或故選：B.3．（2024·浙江·模擬預測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<2【解題思路】分類討論k=0與k≠0兩種情況，結合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.【解答過程】當k=0時，不等式kx2+當k≠0時，因為kx所以k>0Δ=k?6綜上：2<k<18.故選：C.4．（2024·甘肅張掖·模擬預測）不等式x2?3x<2?2xA．?1,12 B．?12,1【解題思路】按照x2【解答過程】當x2?3x≥0，即x≥3或不等式x2?3x<2?2x等價于x解得?1<x<2，所以?1<x≤0；當x2?3x<0，即0<x<3時，不等式x2?3x<2?2x解得x>5+172或x<綜上，不等式x2?3x<2?2x故選：C.5．（2023·山東·模擬預測）若不等式2x2+bx+c<0的解集是(0,4)，函數(shù)f(x)=2A．x=2 B．x=4 C．x=52 【解題思路】由一元二次不等式的解法與二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答過程】解：∵不等式2x2+bx+c<0∴x=0和x=4是方程2x∴?b2=0+4∴函數(shù)f(x)=2x2+bx+c故選：A．6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式ax2+bx+c>0的解為x?2<x<3，那么A．xx>3或x<?2C．x?2<x<3 D．【解題思路】根據(jù)題意得出a、b、c的關系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答過程】一元二次不等式ax2+bx+c>0所以ax2+bx+c=0的解為x由韋達定理得x1ax故選：D.7．（2023·遼寧鞍山·二模）已知當x>0時，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞【解題思路】先由x2?mx+16>0得m<x+16x，由基本不等式得【解答過程】當x>0時，由x2?mx+16>0得因x>0，故x+16x≥2x×16因當x>0時，m<x+16x恒成立，得故選：C.8．（2023·河南·模擬預測）某同學解關于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)時，因弄錯了常數(shù)c的符號，解得其解集為(?∞,?3)∪(?2,+A．?1,?15 C．15,1 【解題思路】利用根與系數(shù)關系、一元二次不等式的解求得a,b,c的關系式，進而求得不等式bx【解答過程】由題意可知a<0，且?3+(?2)=?ba所以bx2+cx+a>0化為55x?1x?1<0，解得故選：C.二、多選題9．（2024·廣東深圳·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，則D．若關于x的不等式2x2+px?3<0的解集是q,1，則【解題思路】對于AB，直接解一元二次不等式即可判斷；對于C，對a分類討論即可判斷；對于D，由一元二次不等式的解集與一元二次方程的根的關系，先求得p,q，然后即可判斷.【解答過程】對于A，4x2?5x+1>0?對于B，2x若不等式ax當a=0時，21<0是不可能成立的，所以只能a<0Δ對于D，由題意得q,1是一元二次方程2x從而q×1=?322+p?3=0而當p=1,q=?32時，一元二次不等式所以p+q的值為?1故選：CD.10．（2023·江蘇連云港·模擬預測）若對于任意實數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．1【解題思路】首先當a=1，不等式為?4<0恒成立，故滿足題意；其次a≠1，問題變?yōu)榱艘辉尾坏仁胶愠闪栴}，則當且僅當【解答過程】當a=1時，不等式為?4<當a≠1時，要滿足a?1<0Δ而Δ=4所以解得?3<a<1；綜上，實數(shù)a的取值范圍是?3,1；所以對比選項得，實數(shù)a可能是?2，0，1.故選：ABD.11．（23-24高二上·山東威海·期末）已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為?A．a(chǎn)<0B．不等式bx+c>0的解集是x|x<?6C．a(chǎn)+b+c>0D．不等式cx2【解題思路】根據(jù)給定的解集，用a表示出b,c，再逐項判斷作答.【解答過程】不等式ax2+bx+c>0的解集為?∞,?2∪3,+則?ba=1,不等式bx+c>0化為?ax?6a>0，解得x<?6，即不等式bx+c>0的解集是x|x<?6，B正確；a+b+c=?6a<0，C錯誤；不等式cx2?bx+a<0化為?6ax2+ax+a<0，即所以不等式cx2?bx+a<0故選：BD.三、填空題12．（2023·江西鷹潭·模擬預測）若命題p：“?x∈R，k2?1x2+41?kx+3≤0【解題思路】本題首先可根據(jù)題意得出命題“?x∈R,k【解答過程】因為命題p：“?x∈R，k2所以命題“?x∈R若k2?1=0，即k=1或當k=1時，不等式為3>0，恒成立，滿足題意；當k=?1時，不等式為8x+3>0，不恒成立，不滿足題意；當k2?1≠0時，則需要滿足即(k?1)(k+1)>0(k?1)(k?7)<0，解得1<k<7綜上所述，k的取值范圍是[1,7).故答案為：[1,7).13．（2023·河南·模擬預測）已知函數(shù)y=kx?k與曲線y=x2?1x有三個交點，則k【解題思路】將兩曲線表達式聯(lián)立，得出一元二次方程，利用判別式即可求出k的取值范圍.【解答過程】由題意，函數(shù)y=kx?k與曲線y=xy=kx?ky=x2若直線y=kx?k與曲線y=x只需滿足方程x2因為該方程的兩個解之積x1x2所以k<?1或k>3，即k的取值范圍是?∞故答案為：?∞14．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習）若關于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2a>0的解集為x?1≤x≤3，則3a+b+2c【解題思路】先根據(jù)一元二