高中數(shù)學(xué)競賽B卷試題與答案

2009年湖南省高中數(shù)學(xué)競賽B卷試題與答案

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題7分，共56分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。）

1、

已知集合Al==eZ},Q==3〃+1,”eZ},P={xk=3〃-l,〃eZ},

eM,be2，ceP,d-a-b+c,貝（j（）

AJeM,BdeP,CdeQ,D以上都不對。

2、有一個長方體的箱子，它的十二條棱長之和是140,并且從箱子的一角到最遠(yuǎn)的一角的

距離是21,那么這個箱子的總表面積是（）

A776,B784,C798,D800。

3、

一個三角形的三邊恰為W+m+l,2m+1,m2-1,則這個三角形的最大角為（）

4、若實數(shù)x,y滿足(x+2)2+(y-5)2=9,,則(x-iy+Q-lf的最大值為()

A2,B4,C8,D64?

5、

將函數(shù)），=/（x）cos弟勺圖象向右平移7個單位后，再作關(guān)于X軸的對稱變換,

得函數(shù)y=cos2#圖象，貝,（X）可以是（）

4sin%,Bcosx,C2sinx,D2cosx

6、某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的K的值為（

A3,B4,C5,D6o

7、

73

已知f（x）=a-七是R上奇函數(shù)，則方程f（x）二］的根為（）

315

A2,BCD-

523

8、

已知向量麗（）向量反（）輸出K

=2,0,=2,2,S=S+Ss

向量b=（7^0050,夜5布々），則向量

GX與向量麗的夾角的范圍是（）

K=K+1|結(jié)束

715乃

A0,-,B—，--，

.4.412J

5萬7tn5萬

C,D

12，-17

二、填空題（本大題共6個小題，每小題7分，共42分，請將正確的答案填在橫線上。）

9、設(shè)數(shù)列｛?,｝的通項為a“=2n-7（〃eN）,則同+同+…+1/1=-

10、

已知方程國="+1有一個負(fù)根而沒有正根，則實數(shù)加勺取值范圍是O

11、考慮十進制中的四位數(shù)，其數(shù)碼是互不相同的正整數(shù)，且數(shù)碼之和是12,則這樣的四

位數(shù)中的四個數(shù)碼只可能是。

12、先后拋擲兩粒均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標(biāo)有點數(shù)1,2.3,4,5,6）,骰子朝

上的面的點數(shù)分別為x,y,則log2xy=1的概率為o

13、正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長為2和4的矩形，則它的體積是。

14、

對任意整數(shù)x,函數(shù)”x）滿足/~（x+l）=廣2?,且/⑴=2,貝獷（2009）=，

三、解答題（本大題共5個小題，共52分，要求解答有必要的過程。）

15、（本題滿分10分）

已知所（cosX,sinx），層（-cosx,cosx）,c=（-l,0）,

（1）若*=工，求向量￡與的夾角。

6

⑵當(dāng)XGC時，求函數(shù)f（x）=2￡?B+l的最大值。

16、（本題滿分10分）

已知函數(shù)/'（司=卜-4送"）="（。67?）?）判斷函數(shù)/"（力的對稱性和奇偶性。

（2）當(dāng)a=2時，求使g2（x）/（x）=4x成立的x所構(gòu)成的集合。

（3）若a>0,記/（x）=g（x）-"力，且F（x）在（0,+oo）上有最大值，求a的取值范圍。

17、（本題滿分10分）已知O為兩同心圓的圓心，且大圓半徑為5,小圓半徑為2,如圖所

示，過小圓上任意一點P作弦PA與過P點的大圓之弦BC垂直，求證：AB2+BC2+AC2

為定值，并求出這個定值。

18、(本題滿分10分)已知圓0的方程為f+y2=5,其中o為坐標(biāo)原點。(1)設(shè)點p(a,b)

是圓O內(nèi)一點，點Q是直線=l上一動點，試求|而|的取值范圍。

(2)設(shè)￡=(1,2),直線/與圓O相交于兩點A、B,若圓O上存在一點C,使得

雙=礪+而=4￡(4>0),試求直線/的方程。

19、(本題滿分12分)

已知二次函數(shù)/'(x)=G?+^x+c.(a聲0),(1)若玉€R,X1<且/'(玉)H/(尤2)，

求證：關(guān)于弟勺方程/?(力=；［/&)+/(*2)］有兩個不相等的實數(shù)根，且必有

一個根屬于(石,々)，⑵若關(guān)于用J方程A(x)=j［/(內(nèi))+/(%2)］在(內(nèi)，工2)的根為

加,且滿足%|+工2=2根-1,設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為尤=%,求證：x0<m~.

答案：一、1、C,2、B,3、B,4、D,5、C,6、B,7、A,8、D。

14月.|、8G

二、9、153,10、a>\,11、1、2、3、6或1、2、4、5。12、—13、1^或

1299

54

6

(2)f(x)=2Q?B+1=-2cos2x+2sinxcosx+1=sin2x-cos2x

=V2sinf2x--xe—\e—,2^

I4；[28」l4八4」

nsin[2旺[e[一1,1]=>/(x),nax=①

16、

解：(1)/3關(guān)于直線X=4對稱，當(dāng)〃=?〃x)為偶函數(shù)，當(dāng)它0時,/(x)為非奇非偶函數(shù)。

⑵當(dāng)〃=2時,g2(%)/(%)=4x2|x-2|=4x,⑴當(dāng)%=0時，適合題意

r21=。=戶員的x<2,x。0

=>x=l,

⑵x92-2x+1=0

二.綜合知xe{(),l,&+l}

ax+ax>a

(3)：F(x)=辦一卜一。|二,a〉0,

1(。+1)x-ax<a

“力在(0,+8)上有最大值,a-l<0,又〃>0,aG(0,1].

17、

如圖，作OEL3c于E,OD_LAP于D,

設(shè)|。同=尤,|。M=y,nAB2+BC2+AC2=2AP2+BP2+CP2+4BE2

=+(BE-)曠+(BE+y了+43爐=8/+63爐+2)2

=8x2+6(25-x2)+2/=150+2(x2+y2)=158.

18、

解：（1"+/<5腕N1>見.

11777^5

（2）近=礪+而=1,2）,/1>O,C點在圓0上，且（一1,2）在圓O上,

.?.4=1,C（—1,2）,設(shè)人（苞,乂）,8（%2，乂），=>玉+々=一1，

又玩=礪+而網(wǎng)=碉=AB_LOC,囁=--—

k°c2

設(shè)1的方程為y二,x+力代入圓的方程得5x2+4hx+4〃-20=o

2

，%+x,=——=—1,=>b=-1的方程為y=LJV+3.

5424

19、

解:⑴設(shè)g(x)=/(x)-;m)+/(x2)],=g(xj=g[/(xj-)(x2)],

112

g(%)=5[/(%)-/(%)]，=>g㈤?8(*2)=-^[/(斗)-/(*2)]<。，

又「ga)也是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的圖象特征知，g(x)在(冷々)上必有

一個根，且g(x)=o有兩個不相等的實數(shù)根。

.?.〃同=苴/(%)+“％)]有兩個不相等的實數(shù)根,且在(玉,々)上必有一個根.

（）???（（）機［（）（）］

2/=_,/m=42+/?m+c=^/x1+/x2=^（X；+X；）+5/2（玉+%）+C

22

=>am=+x2）-2x}x2+^-/?（2m-l）b2rl