高中數(shù)學(xué) 第03講 函數(shù)性質(zhì)選擇填空壓軸題

第三講函數(shù)的性質(zhì)選擇填空壓軸題專練

A組

一、選擇題

1.(2016年山東卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=/—1；當(dāng)-14%41

時(shí)，/(-X)=-/(%)；當(dāng)X〉g時(shí)，〃X+；)=/(X-g)，則/(6)=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【解析】當(dāng)TWxWl時(shí)，/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>g時(shí)，/(%+1)=/(%),

所以)(6)=/(5xl+l)=/(I).而/(I)=-/(-I)=_[(-1)3_1]=2,所以/(6)=2,

故選D.

2.已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間10,+oo)單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足

/(log2a)+/(log?a)<2/(1),則a的取值范圍是

2

(A)[1,2](B)(0』,(C)「±2](D)(0,2]

I2」12」

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且log〕a=-log2〃,

2

所以/(log2a)+/(logIa)=/(log,a)+/(-log2a)=2/(log2a)<2/(1),即

2

/(log2<?)</(1),

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[0,+oo)單調(diào)遞增，所以/(|bg24)4/(l),即Mg2《41,

所以—14log,“41,解得彳4442,

即a的取值范圍是口？],選C.

_2_

3.(2017年山東卷理)已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)丁=(皿一的圖象與的

圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)所的取值范圍是()

A(0,l]U[動(dòng)，問B.(°』U區(qū)同

C(。詞U[2在詞口(O,0]U[3,同

【答案】B

【解析】當(dāng)0<〃zWl時(shí)，—>1，y-(mx-1)2單調(diào)遞減，且

y-(mx-1)2e[(/?-1)2,1],y=4+/〃單調(diào)遞增，Ji=yfx+m&[m,1+m],此

1,1

時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)加〉1時(shí)，0〈一<1,丁=(加無一1)2在[一,1]上單調(diào)遞增，

mm

所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需(/〃-1尸N1+，〃=>/〃23選B.

4.已知函數(shù)/(x)=x+sinx(xeR),且/(：/—2y+3)+/(f—4x+l)<0,則當(dāng)

yNl時(shí)，上的取值范圍是()

￡3

454

C.[1,372-3]一,4-00

3

【答案】A

【解析】

由于/(一力=-/(%),所以函數(shù)為奇函數(shù),f(x)=l—cosx20為增函數(shù).由

/(y2-2y+3)+/(x2-4%+l)<0

/(y2-2y+3)<-/(x2-4x+1)=/(-x2+4x-1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有

y2-2y+3<-x2+4x-l,BP(x-2)2+(y-l)2<1,由于yNl故點(diǎn)(x,y)表示的是

圓心為(2,1)半徑為1的圓的上半部分，包括圓內(nèi).七的幾何意義是(x,y),(T,0)兩

點(diǎn)連線的斜率的取值范圍，畫出圖像如下圖所示，由圖可知，斜率的最小值為&。=；,

斜率的最大值為心「由于3B=；，NC/5=2N84X,利用二倍角的正切值得

試卷第2頁，總24頁

5.已知/(x)滿足對(duì)WxwR,/(-x)+/(x)=O,且x20時(shí)，,f(x)=e*+〃2(m

為常數(shù))，則/(一ln5)的值為()

A.4B.-4C.6D.-6

【答案】B

【解析】

由題意“X)滿足對(duì)VxeR,”—x)+〃x)=O,即函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)

的性質(zhì)可得〃0)=/+加=0,；.川=—1則當(dāng)xNO時(shí),=?.?ln5>0故

/(-ln5)=-/(ln5)=-(eln5-l)=-4,選B

6.已知函數(shù)/(x)=5x+sinx(xwR)，且/(第2—4x)+/(y2+3)40,則當(dāng)y>0時(shí),

上+土的取值范圍是()

【答案】C

【解析】

由函數(shù)/(x)=5x+sinx(XG/?)則

/(-x)=-5x+sin(-x)=-[5x+sinx]=-f(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以不等式可

轉(zhuǎn)化為/(%2-4*〈一/卜2+3)=/[-(/+3)]；又因?yàn)?/p>

/'(x)=5+cosx>0,所以函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以可得/一4%<一。2+3)

nx2+y2—4x+3<0,又y>0,所以表示圓心在(2,0),半徑為1的上半圓.設(shè)f=2,

X

則可得

r=^e［0,—J,則y=?+土=/+1在區(qū)間立］上為單調(diào)遞減函數(shù)，則當(dāng)

x3xy3

r=時(shí)，y=迪，所以2+土的取值范圍是迪,+8］，故選C.

33xyL3,

______/_a2\

7.設(shè)函數(shù)/(x)=V+ln(J?W+x)且/泊3則實(shí)數(shù)a的

取值范圍為()

A.(3,+<x>)B.(6,+oo)

C.出,3)D.(0,啊U(3,+8)

【答案】C

【解析】

由函數(shù)f(x)=x3+in^\Jx2+\+xj,令x=-l,則

(_O2\

3

/(-1)=(-1)+ln(V2-1)=ln(V2-1)-1,所以/"丁"-ln(V2-1)<-1,即

\a-3J

,/j^^|y^<ln(V2-l)-l,即]</(-1)，又函數(shù)

/(力=丁+片(&71+?為單調(diào)遞增函數(shù)，所以、;工；<—1,解得g<a<3,

故選C.

-X2+X,X<1

7

8.已知函數(shù)/(x)=嚏尸，x〉l若對(duì)任意的xwR,不等式〃x)W2根2—丁及恒

.3

成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

A.(-°o,--]B.(-00,--]0[1,+00)

OO

C.[l,+oo)D.,1]

o

【答案】B

【解析】

-X2+再xK1111

對(duì)于函數(shù)/(%)=<log,x,x〉l，當(dāng)XW1時(shí)，/8=《-7+/"當(dāng)》>1時(shí)，

3

試卷第4頁，總24頁

17

/(x)=log1x<0,則函數(shù)/(x)的最大值為一，則要使不等式/一」機(jī)恒

344

711

成立，則2>——m>—,解得“ze(-oo,--]U[l,4-oo),故選B.

448

9.已知函數(shù)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意的都有

/(x+y)=/(x)+/(y),若動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)滿足等式

/(x2+2x+2)+/(2y2+8y+3)=0,則x+y的最大值為()

A.V6+3B.一3C.V6-3D.3

【答案】C

【解析】

因?yàn)閷?duì)任意的x,yeR都有/(x+y)=/(x)+/(>'),令x=y=0,

???/(o)=/(o)+/(o),???/(0)=0.令y=T,Ay(O)=/(x)+/(-x)=O,

:./(-%)=—f(x),該函數(shù)為奇函數(shù).***f(x2+2x+2)+/(2y2+8y+3)=0.:.

/(x2+2x+2)=—/(29+8j+3)=/(-2y2-8j-3).丁是定義在R上的單調(diào)函

數(shù).x2+2x+2=-2y2-8y-3,即x2+2x+2+2j+8y+3=0.整理,得

(x+1)2(y+2)2r-

---=1.令x=2cos0-l,y=V2sin0-2,/.

4-------2

x+y=2cos0-1+0sin6-2

—y/6sin(0+夕)-3,(x+Am、=V6-3,故選C.

x2-2Y>0

10.已知函數(shù)/(x)=\'的圖象上恰有三對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，

-3\x+a|+a,x<0

則。的取值范圍是()

1717

A.(--,-2)B?(一胃，-2]

oo

,17、八17、

c.r1,—D.1,—

1616

【答案】D

【解析】

x2—2,x>0…一一’.,一.

當(dāng)。=-2時(shí)，函數(shù)/(x)=<，結(jié)合圖象可知不存在三對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)

—31x—2|—2,x<0

_2V*〉0

成中心對(duì)稱，所以答案B不正確.當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)/(x)=4一'，結(jié)合圖

-3|x+l|+l,x<0

象可知不存在三對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,所以答案C也不正確.當(dāng)a=-2—時(shí)，函數(shù)

16

x2-2,x>0

/(%)=\11，結(jié)合圖象可知不存在三對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,

-3|x-2—1-2—,x<0

I1616

所以答案A也不正確.故應(yīng)選D.

11.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足下列三個(gè)條件

①對(duì)任意的xeH都有/(x+4)=/(力；

②對(duì)任意的04%<%42,都有"%)</(x2)；

③y=/(x+2)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則”4.5)J(6.5)J(7)的大小關(guān)系為()

A./(7)</(4.5)</(6.5)B./(4.5)</(6.5)</(7)

C./(6.5)</(7)</(4.5)D./(4.5)</(7)</(6.5)

【答案】D

【解析】

由題意可知函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且關(guān)于直線x=2對(duì)稱，因?yàn)?/p>

/(4.5)=/(0.5),/(7)=/(3)=/(1),/(6.5)=/(2.5)=/(1.5),且在區(qū)間上單調(diào)遞

增,所以44.5)</(7)</(6.5),應(yīng)選D.

12.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且對(duì)任意xwR都有“x+3)=-/(x),若當(dāng)

x噌，|)時(shí),，㈤叫),則f(2017)」()

A.--B.-C,-4D.4

44

【答案】A

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)〃x)對(duì)任意xeR都有/(x+3)=-/(x),所以/(x+6)=_/(x+3)=〃x),

函數(shù)/(x)是周期為6的函數(shù)，/(2017)=/(336x6+l)=/(l),由/(x+3)=-〃x)可

得/(-2+3)=-〃-2)=〃1),因?yàn)楹瘮?shù)“X)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)“X)是

偶函數(shù)，/(-2)=/(2)=^'=i,所以〃2017)=〃1)=一〃-2)=-(,故選A.

13.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)

1X為有理數(shù)

/(幻=<',J'稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)/(X)有以下四個(gè)命題：

0,x為無理數(shù)

試卷第6頁，總24頁

①/(/(x))=l；

②函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；

③任意一個(gè)非零有理數(shù)T,f(x+T)=f(x)對(duì)任意xGR恒成立；

④存在三個(gè)點(diǎn)8(々,/(/))，C(x3,/U3)),使得AABC為等邊三角

形.

其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.4B.3C.2I).1

【答案】A

【解析】

由/⑶是有理數(shù)n/(/(x))=l,故命題①正確；易得/(—x)=/(x)n/(x)是偶

函數(shù)，故②正確；易得/(x+T)=/(x)是偶函數(shù)，故③正確；取

A(l—日,O),5(1,1),C(1+*,O),可得A4BC為等邊三角形，故④正確，綜上真命

題的個(gè)數(shù)有4個(gè).

二、填空題

14.(2018北京高考)能說明“若/(x)>/(0)對(duì)任意的xG(0,2］都成立,則/(x)

在［0,2］上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是.

【答案】y=sinx(答案不唯一)

【解析】令)(“=匕Ke］，貝廳(x)>f(o)對(duì).任意的xe(0,2］都成立，

4—x,xG(0,2］

但“X)在［0,2］上不是增函數(shù).

又如，令/(x)=sinx,則“0)=0,f(x)>“0)對(duì)任意的x?0,2］都成立,

但/(x)在［0,2］上不是增函數(shù).

%

15.函數(shù)“X)=%3-12x+3,g(x)=3-m,若對(duì)3x2G［0,2］,

/(x,)>g(x2),則實(shí)數(shù)加的最小值是.

【答案】41

【解析】

/(X)=X2_12X+3=(X—6)2—33,對(duì)稱軸x=6,在區(qū)間［-1,5］遞減，

/a)min=/(5)=-32,/(x)max=/(-1)=16,g(x)=3'-根是增函數(shù),

g(Mmax=l-加，g(x)min=9-M,，只需/(x)min>g(x)min即可,解得：機(jī)>41,

故答案為：41.

16.已知函數(shù)/(x)=2+癡X,則

/H)+/(-3)+/(-2)+/(-l)+/(O)+/(l)+/(2)+/(3)+/(4)的值

是.

【答案】9

【解析】

22ex

因/(x)=x+sinx+-------,/(-%)=-sinx+-------,故

ex+11+e'

22ex

/(x)+/(-x)=^-+-—-=2,所以

e+11+e

/(-4)+/(-3)+/(-2)+/(-l)+/(0)+/(l)+/(2)+/(3)+/(4)

=2x4+l=9,應(yīng)填9.

17.定義在(T,l)上的函數(shù)/(x)滿足:f(x)-f(y)=f(AzZ),當(dāng)xe(-l,O)時(shí)，有

\-xy

f(x)>0,且=1.設(shè)m=/&)+/(4)+…+~~-)〃22,〃eN*，

2511n+n-l

則實(shí)數(shù)m與一1的大小關(guān)系是.

【答案】m>-\

【解析】

V函數(shù)f(x)滿足f(x)-f(y)=/(±2),令x=y=O得〃0)=0;令尤=0得

1-X),

-f(y)=/(-、)?

/(x)在(-1,1)為奇函數(shù)，單調(diào)減函數(shù)且在(-1,0)時(shí)，.f(x)>o，則在(0,1)時(shí)

/W<o.又宿)=-1，

11

/(—==/(“?〃+/)=/(3-/「)，

〃+〃一1n(n+1)-1n〃+1

nn+\

，"=沖+得)+…+八^^4［嗎)…=/g)7(W)=T-/(W)>T

18.已知函數(shù)/(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)—IWxWO時(shí)，f(x)=x2+x,則

/(等)

【答案】-

4

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)是周期為2的奇函數(shù)所以

試卷第8頁，總24頁

八警)=/(504x2+g)=嗎)7(一+一,步+(一手〉；，即應(yīng)填

三、解答題

19.已知函數(shù)/(x)=x2-2x-8,g(x)=2x~-4x-16

(1)求不等式g(x)v()的解集；

(2)若對(duì)一切x〉2,均有/(%)之(加+2)尢一根—15成立，求實(shí)數(shù)田的取值范圍.

【解析】

(1)g(x)=2x?—4x-16<0,

???(2x+4)(x-4)<0,A-2<x<4,

???不等式g(x)<0的解集為{x|-2<x<4}.

(2)Vf(x)=X2-2X-8.當(dāng)x>2時(shí)，f(x)2(m+2)x—m—15恒成立，

x2—2x—82(m+2)x—m—15,即x*—4x+72m(x—1).

x~—4x+7

對(duì)一切x>2,均有不等式^~成立.

x—1

r2-4r+74/,、4

而^―竺二＞=（x—1）+「一一2》2,（x—l）x---------2=2（當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立）.

x-1x-1Vx-1

實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-8,2],

B組

一、選擇題

1.（2017年天津卷理）已知函數(shù)若關(guān)于x的不等式

/（x）斗'+可

2在R上恒成立，則a的取值范圍是

意給C.42召,2]＞[一溫急

【答案】A

f（x）＞RaY

-f(x)<-+a<f(x)

【解析】不等式2為2(*),

xx3

一爐x—34—卜aWX2-x+3一三4---3Wa<f—x+3

當(dāng)xWl時(shí)，(*)式即為2,22

x=—

4時(shí)取等號(hào)）,

2八+3=（凸+7」

X

241616（4時(shí)取等號(hào)）,

47/39

----W。W—

所以1616,

2,1,23

—X——<—+6F<%+———X——<6?<—+—

當(dāng)X>1時(shí)，(*)式為X2x,2x2x,

32,3°62百

——x——=-(—x+—)<-2\/3x=----

又2x2x(當(dāng)3時(shí)取等號(hào))，

x2、c[x_2_

—I—>2./—X—=2

2xN2x(當(dāng)*=2時(shí)取等號(hào))，

所以-2百KaK2,

~—<a<2

綜上16.故選A.

2.(2016全國(guó)卷H)已知函數(shù)/(x)(xwR)滿足/(-x)=2-〃x),若函數(shù)y=四與

X

y=/(x)圖像的交點(diǎn)為(西，y),(x2,y2),■■■,(x,?,y,?),則Z(x,.+%)=()

/=1

A.0B.tnC.2mD.

【答案】B

【解析】由/(-x)=2-/(x)得/(—x)+/(x)=2,可知”x)關(guān)于(0,1)對(duì)稱，

X+11

而丁=——=1+—也關(guān)于(0,1)對(duì)稱，?

xx

對(duì)于每一組對(duì)稱點(diǎn)七+x：=0%+y.=2,

nimm

；?2(%+)',)=2斗+2丫=0+2--=m,故選B.

/=1z=li=l2

3.若不等式/+2尤+42-y2—2y對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

()

A.a>0B.a>lC.a>2D.a>3

【答案】C

【解析】

因?yàn)?+2%+42-丁—2y所以，(X+1)2+()，+1『22—a,要對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都

成立，

只需2—aWO,即。22,故選C.

4.已知函數(shù)/(x)=2016'+log2oi6(Z?W+x)—20167+2,則關(guān)于x的不等式

試卷第10頁，總24頁

/（3x+l）+.f（x）＞4的解集為（）

B.C.(0,

D.(-oo,0)

【答案】A

【解析】

/(3x+l)-2+/(x)-2>0,設(shè)

x2

F(x)=/(x)-2=2016'-2016-+log2016(Vx+l+xj,F(-x)=-F(x),所以

F(x)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，要尸(3x+l)+E(x)>0,只需

3x+l+x>0,—.

4

5.已知函數(shù)/(x)=2x+sinx+ln(/?W+x),若不等式/伊一9')+-3卜。

對(duì)任意xeR均成立，則加的取值范圍為()

A.(-oo,273-l)B.(-OO-2V3+1)

C.(-273+1,273-1)D.(-2V3+1.+OO)

【答案】A

【解析】

因?yàn)?(x)+〃-x)=0,(2x+sinx)r=2+cosx>0,ln(^?+1+,所

以函數(shù)/(尤)為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，從而/(3,一叫+/(〃，3-3)<°

of(3x-9x)<y(-/n-3'+3)o3*-9、<一、3*+3om<3*-1+1

y-\+—>2y---i^2y/3-1y=—

又3'V3'，當(dāng)且僅當(dāng)3、時(shí)取等號(hào)，所以，”的取值范

圍為(-8,26-1),選A.

6已知

+Jj+La"(殍｝6=嶗,c=_/(2—〃)，下

列結(jié)論正確的是()

A.h>a>cB.c>a>h

C.a>h>cD.c>b>a

【答案】B

【解析】

因函數(shù)y（-x）=-y（x），故函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，且在（o,+8）單調(diào)遞增，由于

萬—2>1,1>--->，所以c>a>Z?,故應(yīng)選B.

35

7.已知/(X)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y=/(x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，若

對(duì)任意的等式/(y-3)+/(54%一/—3)=()恒成立,則上的取值范圍是

X

()

A.[2-|V3,2+|V3]

B.[1,2+|V3]

C.[2-173,3]

D.[1,3]

【答案】C

【解析】

由于“函數(shù)y=/(x—1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱"，故/(力圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇

函數(shù)，不妨設(shè)/(x)=x.根據(jù)/(y-3)+/(V4X-X2-3)=0,得

y—3+"x—3=0,y=3-14x—3,作圖象如下圖所示，故上最大值為3.

X

f(x)=，%eR,aW0)的定義域與值域都是[m,n](n>m)，則區(qū)間[祖,n\

a~x

取最大長(zhǎng)度時(shí)實(shí)數(shù)a的值為()

A.B.-3C.1I).3

3

【答案】D

【解析】

設(shè)[〃?,〃]是已知函數(shù)定義域的子集.XH0,卜”,〃]三(-8,0)或卜72,〃k(0,+8),故函

試卷第12頁，總24頁

=m

數(shù)/'(x)=3—-L在［rn,n］上單調(diào)遞增，則，J\/，故m,n是方程

aax[/(〃)=〃

———二=x的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根，即a2x2-(a2+。卜+1=0的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根,

aax

1

mn=w同號(hào)，只需△=/(。+3)(4-])>0,/.a>\或。<一3,

n-m取最大值為2叵.此時(shí)。=3,

3

故選：D.

9.已知函數(shù)/(x)(xeR)滿足/(—x)=2—/(x),若函數(shù)y=出■與y=/(x)圖像

X

的交點(diǎn)為(內(nèi),M),(々，當(dāng))，…，a,”，y,”)，則Z(七+%)=

1=1

(A)0(B)m(C)2m(D)4m

【答案】B

【解析】

r_l_11

由于“T)+/(X)=2,不妨設(shè)/(X)=X+1,其圖像與函數(shù)丁=干=1+；的圖像

的交點(diǎn)為(1,2),(—1,0),故玉+々+弘+%=2，故選B.

10.定義：如果函數(shù)/(%)在［a,。］上存在%,x2(4＜辦＜々＜b)滿足

/，&)=/(")―/("),/⑻J?-"。),則稱函數(shù)/(x)是［a,句上的“雙

中值函數(shù)”，已知函數(shù)/卜)=2爐一？+=是［Oja］上“雙中值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是(

【答案】B

【解析】

當(dāng)事二空產(chǎn)二小2。，…)=6一］，由題意方程

f\x)=6x2-2x=8a2-2a即g(x)=3/一》—4/+a=0在[0,2a]上有兩個(gè)不等

實(shí)根.

△=1-12(-4/+a)>0

0<-<2tz

所以46解得故選B.

84

g(0)=-4a2+a>0

g(2a)=8/-a>o

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：y=/(x—l)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且當(dāng)

31

x>0時(shí)恒有/(%--)=/(%+-),當(dāng)xe(0,2)時(shí),/(x)="—1,則

/(2016)+/(-2015)=()

A.1—eB.e—1C.-1—eD.e+1

【答案】A

【解析】

y=/(x—1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，則/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(0)=0.當(dāng)xNO時(shí)

31

恒有y(x-1)=/(x+l),則函數(shù)周期為2.所以

/(2016)+/(-2015)=/(0)-/(l)=0-e+l=l-e.

12.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

由f(x+2)=-f(x)可知函數(shù)具有周期性，周期7=4.-./(6)=/(2)=-/(0)=0

二、填空題

13.己知定義在R上的偶函數(shù)滿足：/(x+4)=/(x)+/(2),且當(dāng)xe［0,2］時(shí)，

y=/(x)單調(diào)遞減，給出以下四個(gè)命題:

①八2)=0；

②x=T為函數(shù)y=/(x)圖象的一條對(duì)稱軸；

③y=/(x)在［8/0］單調(diào)遞增；

④若方程/(幻=加在［-6,—2］上的兩根為再、％,貝|」為+々=一8.

以上命題中所有正確命題的序號(hào)為.

【答案】①②④

【解析】

①依題意，)(x+4)=/(x)+/(2),令x=—2,則

/(2)=/(-2)+/(2)=/(2)+/(2),/.42)=0；②〃x+4)=/(x),.??函數(shù)周

試卷第14頁，總24頁

期為4,偶函數(shù)的對(duì)稱軸是x=0,??”=^是/(力的對(duì)稱軸;③在［0,2］上遞減,

又函數(shù)周期為4,...函數(shù)在［8,10］上遞減；④/(可在［0,2］上遞增，且為偶函數(shù)，，

/(力在［—2,0］上遞減，，/(x)在［-6,T］上遞減，圖象關(guān)于x=T對(duì)稱，兩個(gè)根

的和為占+々=—8,故正確的有①②④.

14.函數(shù)/(x)對(duì)任意內(nèi),工2e［m,川都有|工(%)-/；(刈4歸一耳，則稱/(%)為在區(qū)

間［加，網(wǎng)上的可控函數(shù)，區(qū)間［加,〃］稱為函數(shù)/(x)的“可控”區(qū)間，寫出函數(shù)

/(x)=2d+x+1的一個(gè)“可控”區(qū)間是.

【答案】的子集都可以

2

【解析】

因?yàn)?-f(x2)=［2(x,+x2)+l］(x,-x2),由可控函數(shù)的定義可得

|2(再+/)+1區(qū)1,即

-1<X,+0<0,所以區(qū)間［九〃］應(yīng)為［一；，01的一個(gè)子區(qū)間.

15.給出下列命題：

(1)設(shè)/(%)與g(x)是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，若|/(4)+/(々)|>|g(^)+g(W)|恒

成立，且/(x)為奇函數(shù)，則g(x)也是奇函數(shù)；

⑵若V/weR,都有|/a)-/(w)|>|ga)-g(w)|成立，且函數(shù)/(X)在R上

遞增,則/(x)+g(x)在R上也遞增；

(3)已知。>0,。工1,函數(shù)=,,若函數(shù)/(x)在［0,2］上的最大值比

a-x.x>\

最小值多則實(shí)數(shù)4的取值集合為｛J｝；

(4)存在不同的實(shí)數(shù)3使得關(guān)于X的方程卜2一1+左=0的根的個(gè)數(shù)為2

個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、8個(gè).

則所有正確命題的序號(hào)為.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

(1)為真，令％2=一再=%即可；(2)為真，不妨設(shè)%>%2，則

/（x1）-/（x2）＞l（g（x］）-^（x2）l即/（蒞）-/（&）＜ga）-g（%2）＜/（為）-/（%）叩

/（x1）+＜g（xi）＞/（x2）+（g（x2）.（3）為假，作圖后如果定勢(shì)思維很容易漏掉3,加大

P7］

可得正確答案（萬，5,（4）為真，方程與函數(shù)圖象結(jié)合，關(guān)于/的方程若一正一負(fù)，正

大于1,此時(shí)有2根；若一零一1,此時(shí)有5根；若判別式=0,此時(shí)有4根；若兩個(gè)均

為正，則有8個(gè)根.

三、解答題

1—V

16.已知函數(shù)/（x）=-x+log---.

21+X

（1）求/（空3）+/?（—型笆）的值；

20152015

（2）當(dāng)a,a］（其中ae（0,l）,且a是常數(shù)）時(shí)，若加一4/（x）恒成立，求

D1的取值范圍.

【解析】

1—V*

⑴由17r。得一＜x＜L”（x）的定義域?yàn)門1）.

又+io宏=-(-x+io三)=r⑴'

f(-x)=xg2g2

/（X）為奇函數(shù).

人煞“煞尸。

/C、、rt-tYriI1-X,L1-2(X,-X.)

(2)ig-l<x.<x2<1,則-----------=——q-----U—

1+X[1+x2(1+Xj)(1+x2)

*/-1<Xj<x<—Xj>0,(1+x)(l+x)>0,

2x212

1+Xj1+x21+X11+x2

.,.函數(shù)丁=log,Lm在(-1,1)上是減函數(shù)，

1+x

從而得/"(x)=-X+log,上三在(-1,1)上也是減函數(shù).

1+X

加一e-4/(x)恒成立,即加4/(x)+e-x恒成立

令〃(x)=f(x)+e-x,則〃(尤)=/(x)+er在定義域上是減函數(shù),

1—CI

則m<〃(x)min=人(〃)=-a+log2----+e~a

1+Q

試卷第16頁，總24頁

17.已知函數(shù)^=》+,有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t>o,那么該函數(shù)在(o,J7)上是減函

X

數(shù)，在[J7,+=。)上是增函數(shù).

4r2-12x-3

(1)已知/(x)=」------,xero,l],利用上述性質(zhì)，求函數(shù)/(幻的單調(diào)區(qū)間和

2x+l

值域；

(2)對(duì)于(1)中的函數(shù)/(x)和函數(shù)g(x)=—x—若對(duì)任意[0,1],總存在“2

e[0,1],使得g(>2)=/(X1)成立，求實(shí)數(shù)。的值.

【解析】

4X2-12X-34

(1)y=/(x)=—2x+1+-8

2x+l2x+l

設(shè)〃=2X+1,X￡[0,1],則1<"<3

4

則y=---8,uG[1,3].

u

由已知性質(zhì)得，當(dāng)即時(shí)，/(x)單調(diào)遞減;

所以減區(qū)間為[0,g]；

當(dāng)2W〃W3,即寸，/(x)單調(diào)遞增；

所以增區(qū)間為[工,1]；

2

由/(0)=-3,/(1)=-4,/(l)=-y,

得了(x)的值域?yàn)閇一4,一3].

g(x)=-九一2。為減函數(shù)，

故g(x)￡[-1-2a.2a],xe[0,1].

由題意，的值域是g(幻的值域的子集,

一1一2。4一4,3

—2。2—3.2

C組

一、選擇題

1.是定義在R上的奇函數(shù)，且"X—3)=.f(x+3),當(dāng)0<x<3時(shí)，

,/(x)=2-log2(x+2),則當(dāng)0<x<6時(shí)，不等式(x-3)/(x)>0的解集是()

A.(0,2)U(3,4)B.(O,2)U(4,5)C.(2,3)U(4,5)D.(2,3)U(3,4)

【答案】D

【解析】

當(dāng)0<x<3時(shí),不等式(x—3),f(x)>0即為/(x)=2—log2(x+2)<0,所以

log2(x+2)>2,/.2<x<3；當(dāng)-3<x<0時(shí)，()<-x<3,所以

/(--^)=-/W=2-log2(2-x),

/(x)=—2+log,(2—x),當(dāng)3<x<6時(shí)，一3<x—6<0,由=.f(x+3)

可得〃x)=/(x—6)=—2+log2(8—x)>(),不等式(x—3)/(x)>()可轉(zhuǎn)化為

/(x)>0BP—2+log2(8—x)〉()，所以3<x<4,綜上所述：不等式(x—3)/(x)〉0

的解集是(2,3)U(3,4),故選D.

Av-

2.已知函數(shù)f(x)=x2-x--(x<0),g(x)=x~+Z?x-2(x>0),beR,若/(x)

x-1

圖象上存在A,8兩個(gè)不同的點(diǎn)與g(x)圖象上A',8'兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則的取

值范圍為()

A.(―4-\/2—5,+co)B.(4>/2—5,+co)C.(―4\/2—5,1)D.(4\/2—5,1)

【答案】D.

【解析】

設(shè)g(x)函數(shù)圖象上任一點(diǎn)+區(qū)-2),其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-尤,/+bx-2),

由題意可知方程f+笈—2=/+》—^^LnS—i)x2+3+i)x—2=o在

-x-1

A=(/?+l)2+80-l)>O

(0,+8)上有兩個(gè)不等實(shí)根，.?Jb—lvO=4及—5<人<1,即實(shí)數(shù)

b的取值范圍是(40—5,1),故選D.

3.定義在R上的函數(shù)/(x)對(duì)任意(玉H/)都有紅止叢°<0,且函數(shù)

X]一工2

y=/(X-l)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對(duì)稱，若取滿足不等式

試卷第18頁，總24頁

t—2s

f(s2-2s)<-f(2t-t2),則當(dāng)1WSW4時(shí),的取值范圍是()

s+r

A.-3一B.-3--c.-5——D.-5--

2，2，2，2

【答案】D

【解析】

設(shè)玉<馬，則%一％2Vo.由,知/(%1)-/(%2)>0,即

玉-x2

/(x,)>/(x2),所以函數(shù)/(x)為減函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x—l)的圖象關(guān)于(1,0)成

中心對(duì)稱，所以y=/(x)為奇函數(shù)，所以/($2—2s)K—/(2f—產(chǎn))=/(產(chǎn)—2f),所以

s2-2s>t2-2t,即(5-/)"+?—2)20.因?yàn)?1一上-=1—--,而在條

s+fs+t1+￡

s

(s—1)(5+，-2)N0t1t1

件下，易求得[-一川，所以1+2￡[—,2],所以

1<5<4s2s2

—e［-,6］,所以1—--e［-5,--］,即上生e［-5,」］,故選D.

1+-21+￡2s+t2

SS

4.設(shè)/(x)和g(x)是定義在同一個(gè)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)，若函數(shù)y=/(x)—g(x)在

上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則稱/(x)和g(x)在［a,b］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間［。,同

稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”.若/(x)=f-3x+4與g(x)=2x+/n在［0司上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，

則力的取值范圍是()

9

A.(—,—2]B.[―1,0]C.(―co,—2]D.----,+oo

4

【答案】A

【解析】

由題意，方程/(乃一8(尤)=/一5》+4-根=0在［0,3］上有兩不等實(shí)根，設(shè)

A=25-4(4-tn)>0

h(0)=4-m>0

9

h(x)-x2-5x+4-m,貝卜h(3)=-2-m>0解得一一<m?-2.故選A.

4

0<-<3

2