2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第九章-第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì)-課時(shí)作業(yè)【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第九章-第三節(jié)拋物線及其性質(zhì)-課時(shí)作業(yè)（原卷版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.拋物線y＝14x2的準(zhǔn)線方程是（A.y＝－1B.y＝－2C.x＝－1D.x＝－22.若拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），則a＝（）A.1B.1C.2D.13.（2024·黑龍江哈爾濱）若點(diǎn)P到點(diǎn)2，0的距離比它到直線x＋3＝0的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡方程是（A.y2＝8xB.y2＝－8xC.x2＝8yD.x2＝－8y4.若拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則a＝（）A.2B.4C.±2D.±45.過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則｜PQ｜等于（）A.9B.8C.7D.66.位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.2512mB.25C.95mD.187.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝42x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若｜PF｜＝42，則△POF的面積為（）A.2B.22C.23D.48.（多選）已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，以下四個(gè)結(jié)論中正確的為（）A.x1x2＝－4B.｜AB｜＝y(tǒng)1＋y2＋1C.∠A1FB1＝πD.AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離的最小值為29.（2024·天津）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)（m，9）到其焦點(diǎn)的距離為10，則拋物線C的方程為；準(zhǔn)線方程為.10.已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)N（4，0），且截y軸所得弦長(zhǎng)為8，設(shè)圓心M的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為.11.拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線的方程為.12.已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為.[B組能力提升練]13.（多選）（2024·江蘇連云港）已知拋物線C的焦點(diǎn)在直線x－2y＋3＝0上，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.y2＝12xB.y2＝－12xC.x2＝－6yD.x2＝6y14.（2024·安徽合肥）設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，A是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).若拋物線C上的點(diǎn)M滿足｜MA｜＝2｜MF｜，則｜MF｜＝（）A.2B.2C.22D.415.（2024·陜西榆林）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，若M到直線x＝－3的距離為7，則MF＝（）A.4B.5C.6D.716.已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（5，3），M為拋物線上一點(diǎn)，且M不在直線AF上，則△MAF周長(zhǎng)的最小值為（）A.10B.11C.12D.1317.已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，斜率為22的直線l過(guò)點(diǎn)F與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，M為線段AB的中點(diǎn)，則△CDM是（A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形18.（多選）（2024·湖南郴州）已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則（）A.C的準(zhǔn)線方程為x＝－4B.點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，4）C.｜FN｜＝12D.△ONF的面積為162（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）19.已知拋物線y2＝4x，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則AC＋BD的最小值為.20.已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M，N分別在拋物線C上，且MF＋3NF＝0，直線MN交l于點(diǎn)P，NN'⊥l，垂足為N'.若△MN'P的面積為243，則F到l的距離為.2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第九章-第三節(jié)拋物線及其性質(zhì)-課時(shí)作業(yè)（解析版）[A組基礎(chǔ)保分練]1.拋物線y＝14x2的準(zhǔn)線方程是（A.y＝－1B.y＝－2C.x＝－1D.x＝－2答案：A解析：∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－2.若拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），則a＝（）A.1B.1C.2D.1答案：D解析：因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝1ay，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，14a，則有14a＝13.（2024·黑龍江哈爾濱）若點(diǎn)P到點(diǎn)2，0的距離比它到直線x＋3＝0的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡方程是（A.y2＝8xB.y2＝－8xC.x2＝8yD.x2＝－8y答案：A解析：由于點(diǎn)P到點(diǎn)2，0的距離比它到直線x＋3＝0的距離小1，故點(diǎn)P到點(diǎn)2，0的距離比它到直線x＋故點(diǎn)P是在以2，0為焦點(diǎn)，以x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線上，故軌跡方程為y2＝84.若拋物線x2＝ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則a＝（）A.2B.4C.±2D.±4答案：C解析：∵x2＝ay，∴p＝a2＝1，∴a＝±5.過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則｜PQ｜等于（）A.9B.8C.7D.6答案：B解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，｜PQ｜＝｜PF｜＋｜QF｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.6.位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋有“仙境之橋”之稱，它的橋形可近似地看成拋物線，該橋的高度為5m，跨徑為12m，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.2512mB.25C.95mD.18答案：D解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)拋物線的解析式為x2＝－2py，p＞0，因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)（6，－5），所以36＝10p，解得p＝185，所以橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為187.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝42x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若｜PF｜＝42，則△POF的面積為（）A.2B.22C.23D.4答案：C解析：設(shè)P（x0，y0），則｜PF｜＝x0＋2＝42，所以x0＝32，所以y02＝42x0＝42×32＝所以｜y0｜＝26.由y2＝42x，知焦點(diǎn)F（2，0），所以S△POF＝12｜OF｜·｜y0｜＝12×2×26＝28.（多選）已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，以下四個(gè)結(jié)論中正確的為（）A.x1x2＝－4B.｜AB｜＝y(tǒng)1＋y2＋1C.∠A1FB1＝πD.AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離的最小值為2答案：ACD解析：拋物線x2＝4y焦點(diǎn)為F（0，1），易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1.由y＝kx+1，x2=4y，得x2－4則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.A正確；｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝y(tǒng)1＋1＋y2＋1＝y(tǒng)1＋y2＋2，B不正確；FA1＝（x1，－2），F(xiàn)B1＝（x2，所以FA1·FB1＝x1x2＋所以FA1⊥FB1，∠A1FB1＝AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離d＝12（｜AA1｜＋｜BB1｜＝12（y1＋y2＋2＝12（kx1＋1＋kx2＋1＋2＝12（4k2＋4）≥當(dāng)k＝0時(shí)取得最小值2，D正確.9.（2024·天津）已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）上一點(diǎn)（m，9）到其焦點(diǎn)的距離為10，則拋物線C的方程為；準(zhǔn)線方程為.答案：x2＝4yy＝－1解析：∵拋物線方程為x2＝2py，∴拋物線焦點(diǎn)為F0，p2，準(zhǔn)線方程為y又∵點(diǎn)（m，9）到其焦點(diǎn)的距離為10，∴根據(jù)拋物線的定義，得9＋p2＝10∴p＝2，拋物線C：x2＝4y，∴準(zhǔn)線方程為y＝－1.10.已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)N（4，0），且截y軸所得弦長(zhǎng)為8，設(shè)圓心M的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為.答案：y2＝8x解析：設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y），則（x－4化簡(jiǎn)整理得y2＝8x，故曲線C的方程為y2＝8x.11.拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O，F(xiàn)的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則拋物線的方程為.答案：y2＝16x解析：設(shè)滿足題意的圓的圓心為M.根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上.又∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6，則｜MF｜＝xM＋p2＝6則xM＝6－p2又由題意可知xM＝p4，∴p4＝6－p2，解得p＝8，∴拋物線方程為y2＝12.已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為.答案：32－1解析：由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0）.點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1＝｜PF｜－1，所以d1＋d2＝d2＋｜PF｜－1.易知d2＋｜PF｜的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d2＋｜PF｜的最小值為｜1+5｜12＋(?1）2＝32，所以d1[B組能力提升練]13.（多選）（2024·江蘇連云港）已知拋物線C的焦點(diǎn)在直線x－2y＋3＝0上，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.y2＝12xB.y2＝－12xC.x2＝－6yD.x2＝6y答案：BD解析：易知直線x－2y＋3＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為－3，0當(dāng)焦點(diǎn)為－3，0時(shí)，可知拋物線方程為y2＝－當(dāng)焦點(diǎn)為0，32時(shí)，可知拋物線方程為x2＝14.（2024·安徽合肥）設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，A是拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).若拋物線C上的點(diǎn)M滿足｜MA｜＝2｜MF｜，則｜MF｜＝（）A.2B.2C.22D.4答案：B解析：由已知得拋物線C的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程是x＝－1，A（－1，0）.設(shè)M（x，y），則由｜MA｜＝2｜MF｜得（x+1）2＋y2＝2（x＋1）.又y2＝4x，所以（x＋1）2＋4x＝2（x＋1）2，解得x＝1，｜MF15.（2024·陜西榆林）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，若M到直線x＝－3的距離為7，則MF＝（）A.4B.5C.6D.7答案：B解析：由拋物線C：y2＝4x得焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝－1，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)M在C上，且M到直線x＝－3的距離為7，可得M到直線x＝－1的距離為7－2＝5，即點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為5，根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，所以MF＝5.16.已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（5，3），M為拋物線上一點(diǎn)，且M不在直線AF上，則△MAF周長(zhǎng)的最小值為（）A.10B.11C.12D.13答案：B解析：由題意知，當(dāng)｜MA｜＋｜MF｜的值最小時(shí)，△MAF的周長(zhǎng)最小.設(shè)點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為D，根據(jù)拋物線的定義，可知｜MD｜＝｜MF｜，因此｜MA｜＋｜MF｜的最小值即｜MA｜＋｜MD｜的最小值.根據(jù)平面幾何的知識(shí)可得，當(dāng)D，M，A三點(diǎn)共線時(shí)，｜MA｜＋｜MD｜最小，最小值為xA－（－1）＝5＋1＝6.又｜FA｜＝（5－1）2＋（3－0）17.已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，斜率為22的直線l過(guò)點(diǎn)F與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，M為線段AB的中點(diǎn)，則△CDM是（A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形答案：C解析：四邊形ABDC為直角梯形，取CD的中點(diǎn)為N，連接MN，則MN為梯形ABDC的中位線，所以｜MN｜＝12（｜AC｜＋｜BD｜），且MN⊥CD.由拋物線的定義得｜AC｜＋｜BD｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AB｜，所以｜MN｜＝12｜AB｜.設(shè)直線AB的傾斜角為α，則tanα＝22，所以sinα＝33，所以｜CD｜＝｜AB｜sinα＝33｜AB｜，則｜CN｜＝｜DN｜＝36｜AB｜，所以｜MC｜＝｜MD｜＝｜MN｜2＋｜CN｜2＝33｜AB｜，所以｜18.（多選）（2024·湖南郴州）已知F是拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則（）A.C的準(zhǔn)線方程為x＝－4B.點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，4）C.｜FN｜＝12D.△ONF的面積為162（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）答案：ACD解析：如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)F'，作MB⊥l于點(diǎn)B，NA⊥l于點(diǎn)A.由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為x＝－4，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），則｜AN｜＝4，｜FF'｜＝8.在直角梯形