2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市汽開(kāi)三中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市汽開(kāi)三中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=i(1?i)，則|z|=(

)A.2 B.2 C.5 D.2.命題“?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞增”的否定為(

)A.?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞減

B.?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增

C.?a≤1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞減

D.3.已知|a|=2，b=(2,1)，且A.22 B.23 C.4.水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國(guó)60%以上人口的主糧．以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國(guó)的“第五大發(fā)明”.育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國(guó)人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問(wèn)題作出了巨大貢獻(xiàn)．某農(nóng)場(chǎng)種植的甲、乙兩種水稻在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量(單位：kg)如表：品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說(shuō)法正確的是(

)A.甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大

B.甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小

C.甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等

D.甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定5.已知△ABC的周長(zhǎng)是16，A(?3,0)，B(3,0)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是(

)A.x225+y216=1 B.6.若函數(shù)f(x)=sinx+3|sinx|在x∈[0,2π]與直線y=2a有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為(

)A.(2,4) B.(1,3) C.(1,2) D.(2,3)7.已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為1，下底面邊長(zhǎng)為2，體積為7，則正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正切值為(

)A.322 B.2 C.8.已知函數(shù)f(x)=x2?cosx，則f(ln2A.f(?ln55)<f(?ln33)<f(ln22)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法中正確的有(

)A.已知a，b∈R，則“a>b”的必要不充分條件是“a>b+1”

B.函數(shù)f(x)=x2+5x2+4的最小值為2

C.集合A，B是實(shí)數(shù)集R的子集，若A?B，則A∩?RB=?

10.下列說(shuō)法中，正確的是(

)A.若隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，且P(X>6)=0.4，則P(?2<x<2)=0.1

B.一組數(shù)據(jù)6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位數(shù)為15

C.在一元線性回歸模型分析中，決定系數(shù)R2用來(lái)刻畫模型的擬合效果，若R2值越小，則模型的擬合效果越好

D.設(shè)隨機(jī)事件A，B，已知A事件發(fā)生的概率為0.3，在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為0.4，在事件A不發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率為11.已知f(x)，g(x)分別是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)+g(x)=ex，設(shè)函數(shù)G(x)=g(x)f(x)，則A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù) C.在R上單調(diào)遞減 D.在R上單調(diào)遞增三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若(1?x)6=a013.有4人到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為_(kāi)_____.(用數(shù)字作答)14.函數(shù)f(x)=2x?1(x≤1)x2?x(x>1)，f(a)=2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，記角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知3a=3ccosB+csinB．

(1)求角C；

(2)已知點(diǎn)D在AC邊上，且AD=2DC，BC=6，16.(本小題15分)

如圖(1)，等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，AD=22，E、F分別是CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若把等腰梯形沿虛線AF、BE折起，使得點(diǎn)C和點(diǎn)D重合，記為點(diǎn)P如圖(2)．

(Ⅰ)求證：平面PEF⊥平面ABEF；

(Ⅱ)求平面PAE與平面PAB所成銳二面角的余弦值．

17.(本小題15分)

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且3an?2Sn=1，

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

18.(本小題17分)

某素質(zhì)訓(xùn)練營(yíng)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個(gè)人，且每人只派一次：如果一個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無(wú)需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為p1、p2、p3，假定p1、p2、p3互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立．

(1)計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若p1=34，p2=23，p3=119.(本小題17分)

已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為33．

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l與E的右支及漸近線的交點(diǎn)自上而下依次為C、A、B、D，證明：|AC|=|BD|；

(3)求二元二次方程x2?3y2=1的正整數(shù)解Qn(xn,yn)(xn,yn,n∈N?)，可先找到初始解(答案解析1.B

【解析】解：∵z=i(1?i)=1+i，

∴|z|=12+12.B

【解析】解：因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，

所以命題“?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞增”的否定為“?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增”．

3.C

【解析】解：因?yàn)閎=(2,1),a⊥b，則b2=3,a?b4.D

【解析】解：選項(xiàng)A：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：900+920+900+850+910+9206=900，

乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：890+960+950+850+860+8906=900，

即甲乙種的水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故A錯(cuò)誤，

選項(xiàng)B：甲種的水稻產(chǎn)量分別為：850，900，900，910，920，920，中位數(shù)為900+9102=905，

乙種的水稻產(chǎn)量分別為：850，860，890，890，950，960，中位數(shù)為890，而890<905，故B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C：甲種的水稻產(chǎn)量的極差為920?850=70，乙種的水稻產(chǎn)量的極差為960?850=110，而110>70，故C錯(cuò)誤，

選項(xiàng)D：結(jié)合甲乙兩組數(shù)據(jù)可以看出，乙組波動(dòng)性較大，甲組穩(wěn)定性較強(qiáng)，故甲種的水稻產(chǎn)量穩(wěn)定，故5.B

【解析】解：由于△ABC的周長(zhǎng)是16，A(?3,0)，B(3,0)，

則BC+AC=10>AB，

故頂點(diǎn)A的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，除去與x軸的交點(diǎn)．

∴2a=10，c=3，∴b=4，

故頂點(diǎn)C的軌跡方程為x225+y2166.C

【解析】解：函數(shù)f(x)=sinx+3|sinx|

當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，f(x)=4sinx．

當(dāng)x∈[π,2π]時(shí)，f(x)=?2sinx．

可得f(x)的圖象為：

從圖象可知f(x)與直線y=2a有兩個(gè)交點(diǎn)．

則2a>2，且2a<4，

得a的取值范圍為(1,2)．

故選C．

7.D

【解析】解：如圖所示，作A1M⊥AC于點(diǎn)M，

則S=13(12+22+12×22)×A1M=7，即A1M=3，

AM=AC?A8.C

【解析】解：∵f(x)=x2?cosx，

∴f(?x)=(?x)2?cos(?x)=x2?cosx=f(x)，

∴f(x)是偶函數(shù)，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，

∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

令g(x)=lnxx,0<x<1，

求導(dǎo)得g′(x)=1?lnxx2>0，

即函數(shù)g(x)在(0,1)9.CD

【解析】解：對(duì)于A，a>b+1，

則a>b，充分性成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，f(x)=x2+5x2+4=?x2+4+1x2+4≥2+12=52，當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，A?B，則A∩?RB=?10.AD

【解析】解：因?yàn)閄～N(2,σ2)且P(X>6)=0.4，所以P(?2<X<2)=0.1，故A正確；

數(shù)據(jù)共有9個(gè)數(shù)，

9×0.7=6.3，

第70百分位數(shù)是第7個(gè)數(shù)16，故B錯(cuò)誤；

在一元線性回歸分析中可以用決定系數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果，

若R2的值越小，則模型的擬合效果越差，故C錯(cuò)誤；

P(A)=0.3，P(B|A)=0.4，

所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.12，

又因?yàn)镻(A?)=1?0.3=0.7，

則P(A?B)=P(A11.AD

【解析】解：因?yàn)閒(x)+g(x)=ex①，所以f(?x)+g(?x)=e?x，

即f(x)?g(x)=e?x②，聯(lián)立①②，解得f(x)=ex+e?x2,g(x)=ex?e?x2，

所以G(x)=ex?e?xex+e12.?1

【解析】解：(1?x)6=a0+a1x+a2x2+???+a6x6，

令x=113.60

【解析】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①四人中有3人被錄取，有C43A33=24種不同的錄用情況；

②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有C42×A14.2

【解析】解：當(dāng)a>1時(shí)，則有a2?a=2，解得a=2(?1舍)；

當(dāng)a≤1時(shí)，則有2a?1=2，解得a=log23(舍)，

綜上，15.解：(1)∵3a=3ccosB+csinB，∴3sin(B+C)=3sinCcosB+sinCsinB，

∴3sinBcosC+3cosBsinC=3sinCcosB+sinCsinB，∵sinB≠0，∴tanC=3，∴∠C=π3；

(2)設(shè)DC=x，cosπ3=12=【解析】(1)代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；(2)先確定DC長(zhǎng)度，再確定AC，即可判斷三角形形狀，確定面積．

16.(Ⅰ)證明：∵等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，AD=22，

E，F(xiàn)是CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，

∴ABEF是正方形，

∴BE⊥EF，

∵BE⊥PE，且PE∩EF=E，PE，EF?平面PEF，

∴BF⊥面PEF，

又BF?平面ABEF，

∴平面PEF⊥平面ABEF．

(Ⅱ)解：過(guò)P作PO⊥EF于O，過(guò)O作BE的平行線交AB于G，

則PO⊥面ABEF，

以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OP為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,?1,0)，B(2,1,0)，E(0,1,0)，P(0,0,3)，

∴AE=(?2,2,0)，EP=(0,?1,3)，

AB=(0,2,0)，PA=(2,?1,?3)，

設(shè)平面PAE的法向量n=(x,y,z)，

則n?AE=?2x+2y=0n?EP=?y+3z=0,

取z=1，得n=(3,3,1)，

設(shè)平面PAB的法向量m=(x,y,z)，

【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出BE⊥EF，BE⊥PE，從而B(niǎo)F⊥面PEF，由此能證明平面PEF⊥平面ABEF．

(Ⅱ)過(guò)P作PO⊥EF于O，過(guò)O作BE的平行線交AB于G，則PO⊥面ABEF，以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OP為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AE與平面PAB所成銳二面角的余弦值．17.解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，3a1?2S1=3a1?2a1=1，即a1=1；

當(dāng)n≥2時(shí)，由3an?2Sn=1得3an?1?2Sn?1=1，

則兩式相減得3an?3an?1?2(Sn?Sn?1)=0，

即an=3an?1,anan?1=3，

綜上可知，{【解析】(1)根據(jù)條件求得首項(xiàng)，由3an?2Sn=1得3a18.解：(1)設(shè)事件A表示“該小組比賽勝利”，

則P(A)=34+14×23+14×13×12=2324；

(2)由題意可知，X的所有可能取值為1，2，3，

則P(X=1)=p1，P(X=2)=(1?p1)p2，P(X=3)=(1?p1)(1?p2)，

所以X的分布為：123p1(1?p1)p2(1?p【解析】(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；

(2)由題意可知，X的所有可能取值為1，2，3，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到X的分布，再結(jié)合期望公式求解；

(3)分別計(jì)算出依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)和依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，所派出人員數(shù)目的期望，再利用作差法比較大小即可．

19.解：(1)由題意aba2+b2=332a=2c2=a2+b2，解得a2=1b2=12，

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2?y212=1；

(2)證明：由題意直線l的斜率不為0，設(shè)直線l：x=my+t，如圖，

因?yàn)橹本€l