高中數(shù)學數(shù)列知識點

數(shù)列

一、數(shù)列定義：

根據(jù)肯定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)

列的項。

數(shù)列的每一個數(shù)都對應一個序號；反過來，每一個序號也都對應數(shù)列中的一

個數(shù)，所以

數(shù)列的一般形式可以寫成，???〃〃，?一

簡記為｛aj

留意：｛，八｝與〃〃是不同的概念，｛"〃｝表示數(shù)列%，〃2，…，

而表示的是數(shù)列的第〃項；

數(shù)列的特性：(1)有序性；(2)可重復性

二、數(shù)列的分類：

項數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”，項數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”

從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；

(4+1)如：1,2,3,4,5,6,7；

從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；

("〃+1N)如：8,7,6,5,4,3,2,1；

從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫

做搖擺數(shù)列;

各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)列(“〃+1~an).如：2,2,2,2,2,

2,2

三、數(shù)列是特別的函數(shù)

數(shù)列是定義在正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,???,〃｝

)上的函

數(shù)了(〃)，當自變量從1起先由小到大依次取正整數(shù)時，相對應的一列函

數(shù)值為/⑴"⑵,…；通常用〃〃代替了(〃)，于是數(shù)列的一

般形式常記為，“2，或簡記為｛〃〃｝.

四、數(shù)列的通項公式

數(shù)列的第n項4與項的序數(shù)n之間的關系可以用一個公式a.=f(n)來表

示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.如：

an~JI)+1(注：①數(shù)列的通項公式不唯一

②可以由通項公式求出數(shù)列中的隨意一項)

相關練習：P153

遞推公式：假如數(shù)列｛a,J的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個

式子來表示，則這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式，如

%=1,an=2an_1+l,(n>1)

(1)Sn=%+“2+...+an-l+an

[S](〃=l)

<2)一場和3〃之間的關系:"〃=[s〃一S〃i(〃22)

練：已知數(shù)列｛aj的前n項和S?=n2-48n,

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求出的最大或最小值.

二、等差數(shù)列、等比數(shù)列：

等差數(shù)列等比數(shù)列

假如一個數(shù)列從第2項起，每一假如一個數(shù)列從第2項起，每一項

定義項與它的前一項的差等于同一個與它的前一項的比等于同一個常

常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列

wN*,〃22)

式子表示au—an_x=聞(〃eN*,〃22)

an-Q]+(〃-l)d

通項公式

。〃=+(〃-m)dan-amlqn~m

S，1-4?夕_可(1-1")

SR-("1+?！?

An1-

求和公式\-qq

n(n-l)

S?=na+a&WO,q羊1)

n1]2

等差（比）若a,b,c三個數(shù)成等差數(shù)列,若a,G.b成等比數(shù)列,則G叫做a,b

中項則b叫a,c的等差中項，a,b,的等比中項（

c滿意b-a=c-b￡_2

a~G,即G?=岫，

a,b,c成等差數(shù)列的充分必要

ab>0)

條件是b=(a+c)/2.

等差數(shù)列等比數(shù)列

若m+n=p+q,若m+n=p+q

aa

則Q機+Qq；則M氏=Pq;

在等差數(shù)列中，每隔相同的項抽在等比數(shù)列中，每隔相同的項抽出

出來的項根據(jù)原來依次排列，構來的項根據(jù)原來的依次排列，構成

成的新數(shù)列仍舊是等差數(shù)列的新數(shù)列仍舊是等比數(shù)列

⑴若數(shù)列｛%｝與僅｝均

等差(比)

數(shù)列的性為等差數(shù)列，則⑴若數(shù)列｛%｝與仍“｝均為等比

質數(shù)列，則｛加％仇｝仍為等比數(shù)列

｛man+kbn｝仍為等差數(shù)

｛叫

列1

b,仍為等比數(shù)列

(2)設等差數(shù)列｛〃"｝的前項的

(2)設等比數(shù)列｛〃"｝的前項的和

和為

S,meN*,則

S〃,meN*,則n

CCC…為Sm，^2m-m，^3m-2m，

“根，02m-m903m-2m，

仍是等比數(shù)列

仍是等差數(shù)列

(1)等差數(shù)列的判定方法：

①定義法：“〃+i=d或。〃一〃〃T=d｛n22)(d為常數(shù))

O｛。〃｝是等差數(shù)列

②中項公式法：2a〃+i=+a*?<=>｛"〃｝是等差數(shù)列

③通項公式法：an=P"4（P，4為常數(shù)）O｛"“｝是等差數(shù)列

④前n項和公式法：S“=A〃2+3〃（A,8為常數(shù)）=｛〃〃｝是

等差數(shù)列

（2）等比數(shù)列的判定方法：

%+L=q_d（n>2）a

①定義法：a或〃<J4是不為零的常數(shù)）

=｛〃〃｝是等比數(shù)列

②中項公式法：

為+1=a〃，冊+2（。/+4+2W0）O｛凡｝是等比

數(shù)列

③通項公式法：an=cq〃（C,4是不為零常數(shù)）=｛，〃｝是等比

數(shù)列

④前〃項和公式法：S"—kq—k（”=消■是常數(shù)）

o｛〃〃｝是等比數(shù)列

練習:

i.設為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若S3=3,S6=24,則

lim(l+1+11)=

…3323〃

%_5Sg_

3.設S〃是等差數(shù)列｛為｝的前n項和，若〃39，則S$().0

A.2B.2C.-1D.1

5、在數(shù)列｛?！ǎ校眎=3,且對隨意大于i的正整數(shù)〃，點

(向，苑；)在直線北一,一,3二°上，則

lim冊二

s(n+1)-3

6、已知數(shù)列｛“〃｝是首項"1>1,公比9的等比數(shù)列，設

2=log2氏(〃￡N*)

且4+2+a=64/3/5=。

⑴求數(shù)列｛“〃｝的通項公式；

(2)設｛2｝的前n項和為，當；+：+…+7；最大時，求n的

值.

詳解：

(1)據(jù)題設q=a-',又a=log?。”=log?。?"'=log?4+("-1)唾2<7

\也｝為等差數(shù)列，b、=log,a,>0(4>1)

由4+4+々=6?3b36?b,2由〃鬟2=0?b50\a=4

置=4版…|，=16?卜=:』6等一'2-

黑=2妙4+2隰髓〃=一1.產(chǎn)；航

(2)b“=log2an=logz2""=5-n

S=〃(?+")="(4+5-〃)="(9-〃)則\=9-_n

"222-'~n2-

〃落生士

記7"+邑+哈匕1+3+量二>2：=」“2+乙

”I2n222244

17

若4最大，當且僅當"=-端1=8.5"矍"\"=8,或9

2冷

7、在數(shù)歹I」｛〃〃｝中,

a｝=3,an=2Q“_I+n-2(〃>2,且〃￡N*)

(1)求2'3的值；

(2)證明：數(shù)列｛"〃+”｝是等比數(shù)列，并求｛"〃｝的通.項公式;

(3)求數(shù)列｛%｝的刖〃項和S”。

四.(1)解：,?,〃]=3,〃〃=2%_[+〃-2(〃之2,且〃￡M)

/.a2—2q+2—2=6.a3=2a2+3—2=13.

(2)證明:

an+n(2Q〃T+〃-2)+〃2anI+2/1-2

%+(〃-1)+〃一1

，數(shù)列｛%+〃｝是首項為4+1=4,公比為2的等比數(shù)歹U。

a?+n=4-2"-'=2"+',即勺=27-〃，:.｛a?｝的通項公式為

a?=2向—〃(〃eN*)

(3)解：?.?｛〃“｝的通項公式為a“=-eN")

S?=(22+23+24+---2,,+1)-(1+2+3+---+/7)

22x(1-2")nx(n+l),/?2+??+8

=-----------------=2+2--------.

1-222F

真題演練:

(2013)4、設S〃是等差數(shù)列的前〃項和，

S=3(%+私)，則失"

5的值為(

四、成等