高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 01 集合與簡易邏輯教學(xué)案 文

俞亞豚的前

一.考場傳真

1.[2013年全國新課標(biāo)1】已知集合4={*|/—2x>0},B={x\-45<x<45},貝k

)

A.AAfi=0B.AUB=RC.BeAD.AGB

【答案】B

【解析】A=(-00,0)u(2,400),5=R,故選B.

2.【2013年安徽】已知A={x|x+l>0},6={—2,—1,0」}，貝U(CRA)C3=()

A.{-2,-1}B.{-2}C.{-1,0,1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】對兌：x>-l,CxA=(x\x<-T),。嘉4)口3={-1,一2)，所以答選A.,

3.【2013年福建】若集合A={1,2,3},3={1,3,4},則AflB的子集個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.16

【答案】C

【解析】本題考查的是集合的交集和子集.因?yàn)楣IB={I,3},有2個(gè)元素，所以子集個(gè)

數(shù)為2?=4個(gè).4

【2013年陜西】設(shè)全集為R,函數(shù)/(x)=71=的定義域?yàn)镸,則2時(shí)為()

A.[―1,1]B.(―1,1)

C.(—00,—1]U[1,+oo)D.(—00,—1)(1,+oo)

【答案】D

【解析】1一/20,.^=[-1.1],q膨=(-8,-i)u(VKO),故選D.

0.

【2013年四川】設(shè)%￡Z,集合A是奇數(shù)集，集合5是偶數(shù)集.若命題夕：也￡421￡6,

貝IJ()

A.—ip:3xGA,2x5B.—ip:\/x^A,2x^B

C.—\p:3xA,2xeBD.—ip:3xeA,2xeB

【答案】D

【解析】本題考查全稱命題的否定，將V改為小將2xeB改為2x￡8,故選D.

6.【2013年陜西】設(shè)J,6為向量，則“區(qū).后=|11|,”是〃r'的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】a*b=\a\-|i|cos^t

若|a?3|=|a卜cos9=±l,則向量a與上的夾角為0或不，即a"》為真；

相反，若［詫，則向量3與1的夾角為0或開，即|獲3|=|打向，

所以“|）?g|=|小向"是6/不”的充分必要條件.

三.高考研究

【考綱解讀】

1.了解集合的含義，元素與集合的屬于關(guān)系，能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法、

描述法）描述不同的具體問題.了解“若p則q”形式的逆命題，否命題和逆否命題，會分析

四種命題的相互關(guān)系.了解邏輯聯(lián)接詞“或”、“且”、“非”的含義.

2.理解集合之間的包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，在具體情境中，了解全集與

空集的含義.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會求兩個(gè)簡單集合的并集與交集.理解在給

定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.能使用韋恩（Venn）圖表達(dá)集合的

關(guān)系與運(yùn)算.理解命題的概念.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.理解全稱兩次和

存在量詞的意義.

3.體會數(shù)學(xué)語言的簡潔性與明確性，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言交流問題的能力.能正確地對含有一個(gè)

量詞的命題進(jìn)行否定.體會分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想等數(shù)學(xué)思想在解題中

的運(yùn)用.

【命題規(guī)律】

從近幾年高考題來看，集合的運(yùn)算考查比較頻繁，新課標(biāo)用韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系與運(yùn)

算，高考試卷中的相應(yīng)內(nèi)容頁明顯增加，應(yīng)引起足夠的重視.有時(shí)也會出現(xiàn)一塊創(chuàng)新的“試

驗(yàn)田”.全稱命題與特稱命題，是新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容，是考查的重點(diǎn).

高考題型是選擇題或填空題.有時(shí)在大題的條件或結(jié)論中出現(xiàn).

一.基礎(chǔ)知識整合

（一）集合的概念及表示

1.集合：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱集）.

2.集合中元素的3個(gè)性質(zhì)：互異性、確定性、無序性.

3.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、圖像法.

4.集合的分類：無限集、有限集。

5.集合的表示方法：列舉法、特征性質(zhì)描述法.集合的表示方法是可以相互轉(zhuǎn)化的.

6.常用數(shù)集符號

數(shù)集正整數(shù)集自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集

符號NZQRC

(-).集合間的基本關(guān)系

1.集合與元素的關(guān)系：如果。是集合A中的元素可表示為awA；如果。不是集合A中的元

素可表示為a右4.

2.集合與集合的關(guān)系

如果集合A是集合3的真子集，可表示為A基3.

如果集合A是集合8的子集，可表示為3.

3.集合相等

如果兩個(gè)集合A、3中的元素完全相同，則這兩個(gè)集合相等。表示為A=B.

集合A與集合B滿足A=3且A衛(wèi)則A=8.

4.空集的性質(zhì)：用0表示.空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的子集.

5.有限集合A,則：A的子集個(gè)數(shù)是2"；A的真子集個(gè)數(shù)是2"—1；

A的非空子集個(gè)數(shù)是2"—1；A的非空真子集個(gè)數(shù)是2"—2.

三.集合的基本運(yùn)算及性質(zhì)

1.運(yùn)算關(guān)系

集合幺與集合B的交集可表示為工門3.

集合工與集合B的并集可表示為工uB.

若［為全集，集合工的補(bǔ)集可表示為

AB^A,AB匚B,ABui,AA=A,A0=0.

2.邏輯關(guān)系《ABoA,AB^B,A1=1,AA=A,A0=A.

翔(")=A甯U=0，t/0=U，A^A=0,AilA=U.

3.集合運(yùn)算中的常用結(jié)論

交換律：AB=BA,AB=BA；

結(jié)合律：A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C；

分配律：A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)；

吸收律：A(AB)=A,A(AB)=A；

反演律(德摩根律)：瘠(AB)=6fA楸，u(AB)=瘠A.

4.A5=AoAB=BQAqB.

5.對兩個(gè)有限集A、B有:card(AUB)=card(A)+card(3)—card(AnB).

四.命題

1.命題：可以判斷真假的語句.

簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的語句.

復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題.

三種形式：p或q,p且a,非2

真假判斷：p或q,同假為假，否則為真."且q,同真為真.非p,真假與原命題相反.

原命題：若p則q,逆命題若q則“，否命題若"則F，逆否命題若r則".

四種命題的關(guān)系可以用下圖表示：

互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的.原命題為真，它的逆命題不一定為真.

原命題為真，它的否命題不一定為真.原命題為真，它的逆否命題一定為真.

在命題若P則q中，否命題若r?則r，命題的否定為若p則r(僅否定結(jié)論).

p、q形式的復(fù)合命題的真值表

qP且gP或0

真真真真

真假假真

假真假真

假假假假

反證法的步驟：假設(shè)命題結(jié)論不成立=>推出矛盾=>假設(shè)不成立n原命題成立.

常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論否定形式原結(jié)論否定形式

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有二個(gè)

大于不大于至少有?個(gè)至多有非-1個(gè)

小于不小于至多有％個(gè)至少有加+1個(gè)

P或0—ip且—對所有「成立存在某X。不成立

P且4-1P或-10對任何而不成立存在某XQ成立

五.充分條件、必要條件

p是q的充分條件，即pnq,相當(dāng)于分別滿足條件p和q的兩個(gè)集合P與。之間有包

含關(guān)系：P三Q,即尸呈?；騊=Q,必要條件正好相反.而充要條件p=q就相當(dāng)于尸=Q.

以下四種說法表達(dá)的意義是相同的：①命題“若"，則q"為真；②pnq；③p是q的

充分條件；④q是p的必要條件.

充分條件、必要條件常用判斷法：

1、定義法：判斷3是A的什么條件，實(shí)際上就是判斷3nA或An3是否成立，只

要把題目中所給條件按照邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖，再利用定義即可判斷.

①若尹ng,則p是e的充分條件.

②若gnp，則p是q的必要條件.

③若p=q,q/p，則p是1的充分不必要條件.

④若gRp,且pUq,則p是g的必要不充分條件.

⑤若p=q，則p是q的充要條件.

⑥若p盧g且則尹是g的既不充分也不必要條件.

2、轉(zhuǎn)換法：當(dāng)所給命題的充要條件不易判斷時(shí)，可對命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，例如改用其逆

否命題進(jìn)行判斷.

3、集合法：在命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系判斷有困難時(shí)，有時(shí)可以從集合的角度來考慮,

記條件?、q所對應(yīng)的集合分別為A、B,貝

①若A=3,則p是q的充分條件.

②若Am3,則。是q的充分不必要條件.

③若A33,則p是q的必要條件.

④若B妥A,則夕是q的必要不充分條件.

◎若A=B,則p是q的充要條件.

◎若AHB,且A則p是q的既不充分也不必要條件.

六.全稱量詞與存在量詞

全稱量詞:短語“對所有的”、“對任意一個(gè)”、“對一切”、“對每一個(gè)”、“任給”在邏輯中

通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.

全稱命題：含有全稱量詞的命題.

存在量詞:短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“對某個(gè)”、“有些”、“有的”在邏輯中通常

叫做存在量詞，并用符號“三”表示.

特稱命題：含有存在量詞的命題.

全稱量詞與存在量詞表述：

命

全稱命題"VxeA,p(x)n特稱命題"玉oeA,p(x)”

題0

所有xe成立存在而e工,使p(x0)成立

對■一切x&A,p(x)成立至少有一個(gè)X。e4使F(x(j)成立

表

對每一個(gè)xeAp(x)成立對有些X。eA使p(x(j)成立

述

方

任選一個(gè)xeA使p5)成立對某個(gè)x°eA,使pC%)成立

法

凡xe工，都有0(x)成立有一個(gè)兩eA使pg)成立

七.含有一個(gè)量詞的否定

一般地，對于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定有如下結(jié)論：

全稱命題p:,它的否定是「pH/eM,p(x0).

全稱命題的否定是特稱命題.

一般地，對于含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定有如下結(jié)論：

特稱命題可H%0eM,p(x0),它的否定是p:.

特稱命題的否定是全稱命題.

八.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論否定形式原結(jié)論否定形式

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有二個(gè)

大于不大于至少有n個(gè)至多有總T個(gè)

小于不小于至多有力個(gè)至少有附+1個(gè)

P或0rP且F對所有而成立存在某X。不成立

。且4-p或一q對任何X。不成立存在某彳0成立

二.高頻考點(diǎn)突破

題型一：集合個(gè)數(shù)的判斷

3

【例1】【安徽省示范高中2014屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】集合A={xeN|一?1},

x

B={%e^|log3(x+l)<l],SBw0,則集合S的個(gè)數(shù)為()

A.0B.2C.4D.8

【精彩解析】法一：從0開始逐一驗(yàn)證自然數(shù)可知工=；1,2,3；,5=(0,1),要使

SqASns。。，S中必含有元素1,可以有元素2,3,所以S只有

{1},{1,2；,[1,3；,[1,2,3).

法二：

33r-3

^=(x€N|->l)=(xeN|l--<0)=(x€N|—<0)=(X€N|0<X<3)=(1,2,3)

XXX

B={xeAT|log2ix+11<1)=fxe27|0<x+1?2[=(xe2V|-1<A;,1]=；0,1},

-：ScA,SC|6w0,所以集合S中必含元素1,可以是；』,{1,2}《1,3},[1,2,3),共4

個(gè).故選C.

【題后反思】本題是一道不等式和集合相結(jié)合的小型綜合問題，試題難度中等.涉及到分式

不等式、對數(shù)不等式的解法、集合之間的關(guān)系等知識點(diǎn)，解題的基本思路有兩個(gè)，一是利用

集合的元素為自然數(shù)這一顯著特征，采用驗(yàn)證的方法進(jìn)行分析處理，迅速快捷；二是利用常

規(guī)方法，通過解分式不等式和對數(shù)不等式化簡集合，然后利用SCI3#0明確集合S必含

有元素1進(jìn)行分析判斷.通過本題，體會一下方法應(yīng)用過程中的靈活性，顯然解法一迅速快

捷.

【規(guī)律方法】L判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是化藺集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間

的關(guān)系；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.2.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)

時(shí)，關(guān)漫是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這

類問題常常運(yùn)用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.

【舉一反三】【浙江省溫州市十校聯(lián)合體2014屆高三10月測試數(shù)學(xué)試題(文科)】已知集合

M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},p=M^N,則p的子集共有()

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【答案】B

【解析】VP=Afn27=(l,3),所以p的子集共有2n=4個(gè).選B.

題型二：集合的運(yùn)算

【例2】【內(nèi)蒙古赤峰市全市優(yōu)質(zhì)高中2014屆高三摸底考試】已知集合知=口|%>爐},

4X

N=[yly=—,xeM}f則MN=()

A.{x10<x<-^-}B.{x[g<x<l}

C.{x|0<x<1}

D.{x\l<x<2}

【精彩解析】因?yàn)锳f={x[x>?P)=[x\O<x<1),

4”1

^=(J,l>,=y^€(O,l))=0|-<2).

所以舷n"={xj<x<D.

【題后反思】本題考查了三個(gè)知識點(diǎn)：集合的交集運(yùn)算、一元二次不等式的解法和函數(shù)的值

域.試題流程自然，難度不大，但絲絲相扣，別具用心.首先通過解二次不等式化簡集合財(cái)，

然后需注意到集合方中的函數(shù)的定義域?yàn)镸,借助指數(shù)函數(shù)為噌函數(shù)容易得到函數(shù)的值

域，進(jìn)而達(dá)到化簡集合N的目的，最后利用集合的交集運(yùn)算求得結(jié)果.本題的特別之處為明

確函數(shù)的定義域?yàn)榧?/p>

【規(guī)律方法】集合的基本運(yùn)算包括集合間的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算，解決此類運(yùn)算問題一般應(yīng)注

意以下幾點(diǎn)：一是看元素組成.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解

決運(yùn)菖問題的前提.二是對集合化簡.有些集合是可以化簡的，如果先化簡再研究其關(guān)系

并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題變得簡單明了，易于解決.三是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.集合運(yùn)

售常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.

【舉一反三】【2013年北京】已知集合A{—1,0,1},B={-1<%<1},則人口5=()

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】B

【解析】依題意，.405=(-1,0),選B.

II

題型三：文氏圖的運(yùn)用

【例3】【廣東省廣州市執(zhí)信、廣雅、六中2014屆高三10月三校聯(lián)考】已知全集。=R,集

合4=卜|忖41/€2},3=卜|爐—2尤=0},則圖中的陰影部分表示的集合為()

A.{-1}B.{2}C.{1,2}D.{0,2}

【精彩解析】在集合A中，?.?xeZ,且卜上1,;Y={—1,0,1).集合B中，由一一2才=0

得x=0或2.所以B={0,2}?圖中陰隨部分表示在集合B中但不在集合A中的元素的集合，

所以是(2).

【題后反思】本題涉及到集合的基本運(yùn)算、帶絕對值不等式的解法和一元二次方程的解法這

三個(gè)知識點(diǎn)，同時(shí)考查了韋恩圖的識別能力,便形成了本題的亮點(diǎn).難度不大，卻別致新穎.

要求準(zhǔn)確讀出陰影部分的含義是解題的關(guān)鍵，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的作用.

【規(guī)律方法】集合運(yùn)算，需充分利用數(shù)形結(jié)合思想.認(rèn)清集合的特征，準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)

系，借助圖形能夠使問題得到直觀具體的解決，因此要重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.一般有以

下兩種方式：(1)利用軟軸解決實(shí)數(shù)集合間的運(yùn)算問題；(2)利用韋恩圖，既利用封閉曲線|

的內(nèi)部表示集合與集合之間的關(guān)系.

【舉一反三】【四川省綿陽南山中學(xué)高2014級零診考試】全集。=R,A={X\X2-2<0],

B={y\y=cosx,x^R},則下圖中陰影部分表示的集合為()

A.{x|x<-l或x>2}B.{x|-1<%<2}C.{%|%<1}

D.{%|0<%<1}

【答案】D

【解析】陰置部分表示的集合是小1￡.依題意知，』={x|0VxV2)

5=

5=(x10<x<1).故選D.

題型四：與集合有關(guān)的創(chuàng)新試題

【例4】【湖北穩(wěn)派教育2014屆高三10月聯(lián)合調(diào)研考試數(shù)學(xué)理科試題】在整數(shù)集Z中，被5

整除所得余數(shù)為左的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[幻={5〃+左|〃eZ},k=0,1,2,3,4,給

出如下三個(gè)結(jié)論：

①2014c[4]；

②-2e⑵;

③Z=[0]U口]U[2]U[3]U[4]；、

④“整數(shù)。、匕屬于同一“類”的充要條件是“a—be[O]”.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【精彩解答】因?yàn)?014=402x5+4,所以2014H4],則①正確；

—2=—1x5+3?所以-2e[3],所以②不正確；

因?yàn)檎麛?shù)集中的數(shù)被5除可以且只可以分成五類，所以③正確.

對于④.??整數(shù)a，小屬于同一“類”，二整數(shù)a，小被5除的余數(shù)相同，從而a-3

被5除的余數(shù)為0,反之也成立，故“整數(shù)a,5屬于同一“類”的充要條件是

aa-b&[0],\故④正確.所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有3個(gè).故選D.

【題后反思崩自被5整除的數(shù)的特征是個(gè)位上的數(shù)字是0或5.解決問題的創(chuàng)新題常分三步：

①信息提取，確定劃歸方向；②對所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法；③將涉及到的知

識進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有效地輸出，其中信息的提取與劃歸是解題的關(guān)腱，也是解題的難點(diǎn).本題中

x<y<z,y<z<x,z<x這三個(gè)條件恰有一個(gè)成立，用特殊值法求解簡單.

【規(guī)律方法】①遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì).②

按新定義的要求，“照章辦事"，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.③對于選擇題，

可以結(jié)合選項(xiàng)通過驗(yàn)證，用排除、對比、特值等方法求解.

【舉一反三】定義集合運(yùn)算4*3=匕|2=刊,％64,63},設(shè)4={1,2},B={0,2},則

集合A*3的所有元素之和為（）

A.0B.2C.3D.6

【答案】

【解析】z=?,xe工，yeB,且工={1,2},3={0,2},z的取值有1x0=0,

1x2=2,

2x0=0,2x2=4,故<*§={0,2,4},:集合幺*8的所有元素之和為0+2+4=6,

選選D.

題型五：四種命題的關(guān)系及真假判斷

【例5】【寧夏銀川一中2014屆高三年級第一次月考理科】命題“若

a2+b2=0,貝Ua=0且5=0”的逆否命題是（）

A.若a2+/w0,則awO且A/0B.若°2+//0,則若awO或bwO

C.若a=0且b=0,則a?+沙2Ho若D.若awO或Z?wO則a?+Z?2Ho

【精彩解答】先求其逆命題為“若a=0且3=0,則M+*=o，，,再將逆命題否定“若�

或SwO,則42+/。。,,，選口.

【題后反思】邏輯中的“或”、"且”、“非”與生活中的“或”、“且“、“非”的意義不盡相同；

求解這類問題要注意用題，分清命題的條件和結(jié)論，理解四種命題間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.準(zhǔn)

確運(yùn)用概念.命題“若A,則B”的逆否命題是“若則「上"，兩個(gè)互為逆否的命題同真

假.對于“p或g”、“p且q”形式的復(fù)合命題，根據(jù)真值表判斷.

【規(guī)律方法】解題規(guī)律小結(jié)：四種命題的定義和區(qū)別，主要在于命題的結(jié)論和條件的變化上；

由于互為逆否命題的兩個(gè)命題是等價(jià)的，所以我們在證明一個(gè)命題的真假時(shí)，可以通過其逆

否命題的證明來達(dá)到目的.適合這種處理方法的題型有：①原命題含有否定詞“不”、“不能”、

“不是”等；②原命題含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等；③原命題分類復(fù)

雜，而逆否命題分類簡單；④原命題化簡復(fù)雜，而逆否命題化簡簡單.

【舉一反三】【山東省臨沂市某重點(diǎn)中學(xué)2014屆高三9月月考】命題“若函數(shù)

/(%)=loa%90內(nèi)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga2<0.”的逆否命題是()

A.若log.220,則函數(shù)/(x)=logaX(a>0,awl)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

B.若log/vO,則函數(shù)/(x)=logaMa>Qawl)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

C.若log“220,則函數(shù)/(的=108尸(。>0,。01)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

D.若loga2<0,則函數(shù)/(x)=logaX(a>0,aHl)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

t答案】A

【解析】先對命題取逆，然后取否可得“若loga2之0，則函數(shù)/(x)=log&x(a>0,aw1)

在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)”，選A.

題型六：充分條件與必要條件的判斷

【例6】【寧夏銀川一中2014屆高三年級第一次月考理科】已知“命題p-.(x-m)2>3(x—m)”

是“命題q:V+3尤-4<0”成立的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

【精彩解析】將兩個(gè)命題化簡得，命題p：為>附+3或；1<m,命題g:-4Vx<1.因?yàn)閜是

g成立的必要不充分條件，所以冽+3=-4,加=-7或痛21,故我的取值范圍是

【題后反思】本題考查了一元二次不等式的解法和必要不充分條件的判定，以及參數(shù)的范圍

問題.通過解二次不等式化簡兩個(gè)命題，然后利用條件的關(guān)系確定集合的包含關(guān)系，進(jìn)而

探求參數(shù)的范圍.本題的閃高之處在于第一個(gè)不等式如何進(jìn)行化藺求解，可對穴-洞進(jìn)行分

類討論求取不等式的解集.本題中要特別注意端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)易出現(xiàn)漏解或增解現(xiàn)

象.

【規(guī)律方法】考查充分條件與必要條件的問題一般有兩種方式，一是直接給定。與/間/

是g的什么條件，這是最常見的考查方式，明確哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論是關(guān)鍵；二是給g

加上一個(gè)使其成立的充分或必要條件，來求參數(shù)的值或范圍.解決此類問題一般是把充分

條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參

數(shù)的不等式求解.涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏

的問題化歸為簡單、熟悉的問題來解決.一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系?

問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵.

【舉一反三】【2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）】“0=%”是“曲線

丁=5也（2%+9）過坐標(biāo)原點(diǎn)的“（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)尹=開時(shí)，y=sin（2x+（p）=sin（2X+TT）=sin2X.圖冢過原點(diǎn)，當(dāng)尹=2不也

滿足題意，

故答案為充分不必要條件.選A.

題型七：全稱命題與特稱命題的命題真假判斷

[例71【江西省2014屆高三新課程適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)】

2,r

已知p:“對任意的xe[2,4],log2x-?>0q:"存在xeR,x+2ax+2-a=0,

若均為命題，而且“夕且是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【精彩解析】由p：”對任意的xe[2,4]>log2x-a>O,a<log2<(log2x)min=1",

可知p:a<1.由q:“存在xeR.x2+2ax+2-a=0”,

△=4/一4(2-&)20,二。21或。式一2.因“尹且q”是真命題，故取交集可知。三-2或

4=1.

【題后反思】本題是一道小型綜合題，是對老題的一個(gè)改編題，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不

等式恒成立問題、二次方程的根和命題的關(guān)系，試題難度中等，均為基本的方法和基礎(chǔ)知識

的應(yīng)用，在計(jì)算保證的前提下，解答起來應(yīng)該比較舒暢，但是需體會等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，

一是對p的化而利用不等式恒成立的轉(zhuǎn)化，二是“p且0”是其命題轉(zhuǎn)化為取交集.另外本

題還要注意不能丟掉4=1.

【規(guī)律方法】對含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題中參數(shù)討論問題，應(yīng)先求出簡單命題成立的參數(shù)范

圍，再根據(jù)復(fù)合命題構(gòu)成形式求出復(fù)合命題成立的條件.解決這類問題時(shí)一般分三步走：

(1)先根據(jù)條件推出每一個(gè)命題的真假(有時(shí)不一定只有一種情況如p或g為真).

(2)求出每個(gè)命題為真命題時(shí)參數(shù)的取值范圍.

(3)最后根據(jù)每個(gè)命題的真假情況，求出參數(shù)的取值范圍.

【舉一反三】【寧夏銀川一中2014屆高三年級第一次月考文科】下列說法正確的是()

A.“a>l”是“/(x)=log“尤(a>O,awl)在(0,+s)上為增函數(shù)”的充要條件

B.命題“IceR使得丁+2%+3<0”的否定是：“+2尤+3>0”

C.“x=—1”是“％2+2%+3=0”的必要不充分條件

D.命題p：“\/xe火血％+<3x<V2",則->p是真命題

【答案】A

【解析】若a>1，/(x)=log/x(a>0,a=1)在(0,+8)上為增函數(shù)正確，若

/(x)=log&x(a>0,a。1)在上為噌函數(shù)，貝U點(diǎn)>1也正確，所以"a>1"是

“/(x)=loggx(a>0,a*1)在(0,m)上為噌函數(shù)”的充要條件正確，其他選項(xiàng)錯(cuò)，選

A.

題型八：全稱命題與特稱命題的命題的否定

【例8】【湖北省襄陽四中、龍泉中學(xué)、荊州中學(xué)2014屆高三10月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)】命題“對

任意xeR都有必21”的否定是()

A.對任意xwR,都有X2<1B.不存在xeR,使得x2<1

C.存在使得D.存在不eR,使得龍；<1

【精彩解答】由全稱命題的否定知，命題“對任意Xe&都有X?”的否定是“存在xoeR,

使得W<1”,故選D.

【題后反思】分析一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題的關(guān)段是命題中所含的量詞，當(dāng)不含域

詞時(shí)，則注意理解命題含義的實(shí)質(zhì).全稱命題與恃稱命題的否定與命題的否定有一定的區(qū)

別，否定全稱命題和特稱命題時(shí)，一是要改寫跳詞，全稱量詞改寫為存在篁詞，存在量詞

改寫為全稱量詞，二是要否定結(jié)論.而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.全稱命題

的否定是特稱命題.改變?詞，否定結(jié)論，寫出命題的否定，判斷命題的典假.

【規(guī)律總結(jié)】判斷命題是全稱命題還是特稱命題，主要方法是看命題中是否有全稱量詞和存

在量伺，另外有些全稱命題并不是含有全稱量詞，，這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及的意義取判

斷.要判斷一個(gè)全稱命題“VxeM,產(chǎn)（x）”是真命題，需要對集合”中的每個(gè)元素x,證

明尸（x）成立；如果在集合”中找到一個(gè)元素5,使得產(chǎn)（而）不成立，那么這個(gè)命題是假

命題.要判斷一個(gè)特稱命題“%e尸（瓦）”是真命題，只需要在集合M中找到一個(gè)元

素飛，使得尸（X。）成立；如果在窠合M中，使得尸（x）成立的元素x不存在，那么這個(gè)命

題就是假命題.全稱命題的否定是特稱命題特稱命題的否定是全稱命題

【舉一反三】【江蘇省南京市2014屆高三9月學(xué)情調(diào)研】命題“X/xeH,/—2X+2>0”的

否定是.

【答案】BxeR,x2-2x+2>0

【解析】由全稱命題的否定知，命題"Vxe氏--2x+2>0”的否定是

“玉e此--2尤+2>0”.

題型九：利用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假求參數(shù)的取值（或范圍）

[例91【河北省唐山市2013-2014學(xué)年度高三年級摸底考試】設(shè)。=尺，已知集合

A^{x\x>1],B={x\x>a},且（gA）B=R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-<?,1)B.(-<?,1]C.(1,+oo)D.[1,+oo)

【精彩解析】因?yàn)楣?{x|x>D，所以％N={x|xWD，要使（弓2）118=及，畫出數(shù)軸

分析可知，只需a￡l.故選D.

【題后反思】本題作為試卷的第一題，難度較低，但是乍一看，貌似復(fù)雜，其原因是探求參

數(shù)的范圍問題，實(shí)際上給出的兩個(gè)集合非常簡單，沒有涉及到不等式的解法問題，故難度降

低了很多.本題考查了集合之間的關(guān)系，這單一的知識點(diǎn)，可借助數(shù)軸這一工具迅速得到結(jié)

論.但是需注意區(qū)間端點(diǎn)值得取舍問題，本題極易出現(xiàn)選擇C,原因就是對端點(diǎn)值沒有引起足

夠的重視和特別驗(yàn)證.解決的方法是將參數(shù)賦予端點(diǎn)值，然后進(jìn)行還原代人判斷是否滿足題

設(shè)條件.

【規(guī)律方法】已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)

系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常運(yùn)用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.（1）在

解決兩個(gè)數(shù)集關(guān)系問題時(shí)，合理運(yùn)用數(shù)軸分析與求解可藤免出錯(cuò).在解含有參數(shù)的不等式

（或方程）時(shí)，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要遵循“不重不漏”的原則，然后對于每一

類情況都要給出問題的解答.（2）在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽

冢問題直觀化.一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用

數(shù)軸表示時(shí)注意端點(diǎn)值的取舍.|

【舉一反三】【山東省臨沂市某重點(diǎn)中學(xué)2014屆高三9月月考理科】已知命題？：方程

，+m％+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，命題q：方程41+4（機(jī)—2）尤+1=0無實(shí)根.若p或

q為真,p且q為假，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

A>0

【解析】若p真=<々+町=-m<0=冽>2；若鄉(xiāng)真=△<0=1<m<3.

再電=1>0

由題意，p-g中有且僅有一為真，一為假.

m<2,（m>2

當(dāng)p假鄉(xiāng)真，貝明,解得1〈溶工2；當(dāng)p真g假，則〈一.，解得

[1<w<3[根41或加23

m>3.

綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍（1,2]u[3,m）.

三.錯(cuò)混辨析

1.忽視空集

【例1】已知集合&={%|無2—5x+6=O},3={x|7m:—1=0},且AB=B，求實(shí)數(shù)冽所

構(gòu)成的集合并寫出M的所有子集.

t錯(cuò)解】由上口8=3,得6U上，依題意上={2,3},§={,},二工=2或上=3,即

mmm

溶=1或1,故M=d,3，二河的所有子集為0,{3，(-)-

23232323

【錯(cuò)源】由我才一1=0，得x=」，忽視了羽=0,即B=0的情形.

m

【正解】由題意，金={2,3},要anB=B,則Bq工，..8=0或§={2}或8={節(jié).

①當(dāng)5=0時(shí)，方程搐彳一1=0無解，..=0.

:②|當(dāng)3={2}時(shí)，即2為方程冽x-l=0的解，.?.川=

③當(dāng)8=(3)時(shí)，即3為方程冽工一1=0的解，.幽=(?

故河={0,gg},二般的所有子集為0,{0},,{§,(0,1),(0,1),

{總.畤］

2.混淆“命題p是q的充分不必要條件”與“命題p的充分不必要條件是q”

【例2】設(shè)根、〃是平面a內(nèi)的兩條不同的直線，/「，2是平面尸內(nèi)的兩條相交直線，則a〃尸

的一個(gè)充分而不必要條件是()

A.機(jī)///?且〃〃，2B.m〃/］且〃〃，2

C.機(jī)///?且〃〃/?D.m//2且/"/a

【錯(cuò)解】若根〃尸且也忽ua,冽//乃且%//戶，故選C.

【錯(cuò)源】探究使a〃尸的充分不必要條件，就是尋找四個(gè)選項(xiàng)中能使得a〃產(chǎn)的條件.注

意“命題衣是q的充分不必要條件”與“命題p的充分不必要條件是?”的區(qū)別.

【正解】\'m,nea,Zp」是平面廣內(nèi)的兩條相交直線，當(dāng)，i解一,4〃%時(shí)，根據(jù)然面

平行于面面平行的判定定理知a//尸；而當(dāng)a//產(chǎn)時(shí)，確不一定有演〃/1且%//%，還

可能有心/〃2且%〃11等，因此選民

3.未理解存在量詞、全稱量詞的含義

【例3】已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)%,