新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.1空間中的點直線與空間向量分層作業(yè)新人教B版選擇性必修第一冊

第一章1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.1空間中的點、直線與空間向量A級必備學(xué)問基礎(chǔ)練1.[探究點一(角度1)]已知l1的方向向量為v1=(1,2,3),l2的方向向量為v2=(λ,4,6),若l1∥l2,則λ等于()A.1 B.2 C.3 D.42.[探究點二]空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是()A.[0,π] B.(0,π) C.0,π23.[探究點一·2024陜西寶雞高二期末]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,PQ與直線A1D和AC都垂直,則直線PQ與BD1的關(guān)系是()A.異面但不垂直 B.平行C.異面垂直 D.垂直且相交4.[探究點一·2024湖北丹江口高二階段練習(xí)](多選題)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1上不與C1,C重合的隨意一點,則能作為直線AA1的方向向量的是()A.AA1 B.C1E C.5.[探究點二]如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=3,求異面直線A1B與O1A所成角的余弦值.B級關(guān)鍵實力提升練6.(多選題)已知空間中四點A(1,1,0),B(0,1,2),C(0,3,2),D(-1,3,4).下列說法中,正確的有()A.AB⊥BC B.ABC.A,B,C三點共線 D.A,B,C,D四點共面7.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.32 B.0 C.55 D8.已知a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則直線a,b所成的角是.

9.如圖是正四面體的平面綻開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,在這個正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個結(jié)論中,正確結(jié)論的序號是.

10.如圖,在四面體ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,設(shè)P為AC的中點,Q在AB上且AB=3AQ,證明:PQ⊥OA.C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練11.如圖,已知?ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B,D間的距離.

1.2.1空間中的點、直線與空間向量1.B由l1∥l2,得v1∥v2,得1λ=24=2.C依據(jù)異面直線所成角定義,空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是0,3.B設(shè)正方體的棱長為1.以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則DA1=(1,0,1),AC=(-1,1,0).設(shè)PQ=(a,b,c取PQ=(1,1,-1).∵BD1=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-∴PQ∥BD1,∴PQ故選B.4.ABD因為C1E∥AA1∥故選ABD.5.解以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA,OB所在直線分別為x軸、y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(3,0,0),B(0,2,0),A1(3,1,3),O1(0,1,3),所以A1B=(-3,1,-3),O1A=(3,-1,設(shè)所求的角為α,則cosα=|A即異面直線A1B與O1A所成角的余弦值為176.ABD易知AB=(-1,0,2),BC=(0,2,0),AD=(-2,2,4),CD=(-1,0,2),AC=(-1,2,2).因為AB·BC=0,所以因為AB=CD≠AC,所以因為AB≠λAC,所以A,B,C三點不共線,故選項C錯誤;易知當(dāng)AC=λAB+μAD時,A,B,C,D共面,即(-1,2,2)=λ(-1,0,2)+μ(-2,2,4),所以(-1,2,2)=(-λ-2μ,2μ,2λ+4μ),所以-解得λ所以AC=-AB+AD,所以A,B,C,D故選ABD.7.B∵直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=60°,AB=2,BC=1,∴在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos60°=4+1-2×2×1×12=∴AC=3,∴BC2+AC2=AB2,∴BC⊥AC.以C為原點,CB為x軸,CA為y軸,CC1為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,3,0),B(1,0,0),B1(1,0,1),C1(0,0,1),∴AB1=(1,-3,1),BC1∴cos<AB1,B∴異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為0.故選B.8.π3∵AB·CD=(AC+CD+DB)·∴cos<AB,CD>=AB·CD|AB||9.②③④還原成正四面體知GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成60°角,DE與MN為垂直.10.證明如圖,連接OP,OQ,PQ,取O為坐標(biāo)原點,過點O作OD⊥OA,以O(shè)A,OD,OC所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖所示).則A(1,0,0),C(0,0,1),B(-12,∵P為AC中點,∴P(12,0,12∴AB=(-32,32,0),又由已知,可得AQ=13AB=(-1∴PQ=OQ-OP=(0,36∵PQ·OA=0,∴PQ⊥OA,即11.解因為∠ACD=90°,所以AC·CD=0,同理AC·因為AB與CD的夾角為60°,所以BA與CD因為BD=所以|BD|2=|BA|2+|AC|2+|CD|2+2BA·AC+2B