2025版新教材高中數(shù)學(xué)第二章三角恒等變換2.2二倍角的三角函數(shù)第2課時二倍角的三角函數(shù)2導(dǎo)學(xué)案湘教版必修第二冊

第2課時二倍角的三角函數(shù)(2)教材要點要點倍角公式的變換(1)因式分解變換：cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．(2)配方變換：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________．(3)升冪縮角變換：1＋cos2α＝________，1－cos2α＝________．(4)降冪擴角變換：cos2α＝12(1＋cos2α)，sin2α狀元隨筆(1)以上變形可作為公式用，三角函數(shù)的化簡、求值、證明中均離不開這些公式．(2)留意角的倍數(shù)和三角函數(shù)的冪次可以相互轉(zhuǎn)化，這在三角恒等變換中是特別重要的思想．基礎(chǔ)自測1.2sin215°－1的值是()A．12B．－C．32D．－2．函數(shù)y＝sin22x的最小正周期是()A．π2C．2πD．4π3．若α∈-π2，A．sinα＋cosαB．－sinα－cosαC．sinα－cosαD．cosα－sinα4．已知cosπ6-α＝1題型1利用倍角公式求值角度1給角求值例1求值：3tan方法歸納(1)留意視察式子的結(jié)構(gòu)特點及角之間是否存在特別的倍數(shù)關(guān)系，敏捷正用或逆用二倍角公式．(2)結(jié)合誘導(dǎo)公式恰當改變函數(shù)名稱，敏捷處理系數(shù)，構(gòu)造二倍角公式的形式．角度2給值求值例2已知sinθ-π12＝－1A．－29B．－79C．2方法歸納(1)一是對題設(shè)條件變形，將題設(shè)條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏；另一種是對結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論．(2)留意幾種公式的敏捷應(yīng)用，如：①sin2x＝cosπ2-2x＝cos2π4-x②cos2x＝sinπ2-2x＝sin2π4跟蹤訓(xùn)練1(1)化簡32tan20A．14B．12C．(2)已知sinπ4-x＝513，0＜x＜題型2利用倍角公式化簡三角函數(shù)式例3化簡：2cos方法歸納(1)化簡三角函數(shù)式與求三角函數(shù)式的值，解題思路上沒有大的區(qū)分，只是化簡到最終的答案不肯定是詳細的數(shù)字．(2)本題方法一是將分母都化為同一個角π4－α的三角函數(shù)，再利用倍角公式進行轉(zhuǎn)化，而方法二則是干脆利用公式將分母化為角α跟蹤訓(xùn)練2化簡：sin2x2題型3二倍角公式的綜合應(yīng)用角度1與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用例4已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinxcosx－12，x∈R(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若f(α)＝26，α∈-π8方法歸納此類問題的一般思路是先利用二倍角公式與和差公式，將函數(shù)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再探討函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．角度2倍角公式的實際應(yīng)用例5點P在直徑AB＝1的半圓上移動，過P作圓的切線PT且PT＝1，∠PAB＝α，問α為何值時，四邊形ABTP面積最大？方法歸納解答此類問題，關(guān)鍵是合理引入?yún)f(xié)助角α，將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)學(xué)問求解，在求解過程中，要留意角的范圍．跟蹤訓(xùn)練3(1)函數(shù)y＝sin2x＋23sinx·cosx＋3cos2x的最大值是________．(2)如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為π3的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP＝α，求當α取何值時，矩形ABCD易錯辨析忽視角的范圍致誤例6化簡：2+2+2cosα(2π＜解析：∵2π＜α＜3π，∴π＜α2＜3π2，π∴2+2+2cosα＝2+4cos2α易錯警示易錯緣由糾錯心得去根號時，只是機械地套用公式，忽視角的范圍，導(dǎo)致錯誤．利用二倍角化簡1+cosα＝2cosα2，1-cos課堂特別鐘1．函數(shù)f(x)＝cos22x－sin22x的最小正周期是()A．π22．計算：4cos10°－cos10A．－2B．2C．－3D．33．已知α∈3π2，A．sinα2B．cosα2C．－sinα4．已知sinα-π6＝25．已知tan(π4－α(1)求tan2(2)求1-第2課時二倍角的三角函數(shù)(2)新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(2)(sinα±cosα)2(3)2cos2α2sin2α(4)12(1－cos2α[基礎(chǔ)自測]1．解析：2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cos30°＝－32答案：D2．解析：∵f(x)＝sin22x＝12-1即ω＝4，∴T＝2πω＝2π答案：A3．解析：由α∈-π2，0，可得cos又由1-sin2α＝1-2sin答案：D4．解析：依題意cos2α-π3＝cos2α-π6答案：－7題型探究·課堂解透例1解析：3tan12＝3sin12＝2＝2＝-＝－43.例2解析：由2θ－2π3＝2θ－π6-π又cos2θ-π6＝1－2sin2∴sin2θ-2答案：B跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)32tan20°＝3cos20＝3＝3cos20°-3(2)因為x∈0，π4，所以π4－又因為sinπ4-x＝513，所以cos所以cos2x＝sinπ2-2x＝2sin＝2×513×12答案：(1)B(2)120例3解析：方法一原式＝2＝2cos2α方法二原式＝cos＝cos＝cos＝cos2跟蹤訓(xùn)練2解析：sin2x＝sin＝2sinx＝sinx·cosx2cos例4解析：(1)因為f(x)＝sin2x＋sinxcosx－1＝1-cos2x2+12sin2x－1＝22sin2x故f(x)的最小正周期為T＝2πω＝由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，k解得：kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：kπ-π8，(2)因為f(α)＝26，則22sin2α即sin2α-π因為α∈-π8，3π8，所以2則cos2α-π4＝1-所以sin2α＝sin2α-π4+π4＝sin2α-π4例5解析：如圖所示，∵AB為直徑，∴∠APB＝π2，又AB∴PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切圓于P點，∠TPB＝∠PAB＝α，∴S四邊形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝12PA·PB＋12PT·PB＝12sinαcosα＋12sin2α＝14sin2α＋1＝14(sin2α－cos2α)＋14＝24∵0<α<π2，∴－π4<2α－π4∴當2α－π4＝π即α＝38π時，S四邊形ABTP跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)函數(shù)y＝sin2x＋23sinx·cosx＋3cos2x＝3sin2x＋2cos2x＋1＝3sin2x＋cos2x＋2＝2sin2x+π當2x＋π6＝2kπ＋π2，即x＝kπ＋π6(k∈Z)時，(2)由題意可得在三角形OCB中，OC＝1，∠COP＝α，所以BC＝sinα，OB＝cosα在三角形OAD中，∠AOD＝π3，AD＝BC＝sin所以O(shè)A＝33sinα所以AB＝OB－OA＝cosα－33則，矩形ABCD的面積為S，則S＝BC·AB＝sinα·cosα-33sinα＝sinα·cosα＝12sin2α＋36cos2α－36＝所以矩形ABCD面積的最大值為36此時2α＋π6＝π2，∴α＝答案：(1)4(2)見解析[課堂特別鐘]1．解析：依題意f(x)＝cos4x，所以f(x)的最小正周期為T＝2π4＝答案：A2．解析：原式＝4