高中必修5經(jīng)典數(shù)列經(jīng)典例題

數(shù)列經(jīng)典綜合題

等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題

例1等比數(shù)列｛an｝的前n項和為，已知5,,S3,52成等差數(shù)列

(1)求｛4｝的公比q：

(2)求4—4=3,求s“

解：(I)依題意有

Q]+(〃]+。")=2(。[+。闖+。[”)

由于卬w0,故Zq?+g=0

又qW0,從而q=-g

(H)由已知可得為-《(—g)2=3故4=4

4(l-(--)n)

2?(l_(__L)n)

從而5

n32

例2在正項數(shù)列｛a,,｝中,令5?=工〒.

i=l4q+y/Oi+l

(I)若｛%｝是首項為25,公差為2的等差數(shù)列，求Soo；

(II)若5“=/叩I(〃為正常數(shù))對正整數(shù)〃恒成立，求證｛6,｝為等差數(shù)列;

《。201_5

(I)解：由題意得,,所以S1

20c2

1

(II)證:令〃=1,,則p=1

8+M瓜+弧

所以s.二g廠1l廠〃”「⑴，

i=l+"i+1\a\+冊+1

S=y—!—=5+Dp(2)

2吟瓦+向ME-’

5+1)n1

(2)一⑴，得

V^i"+飛。"+2A/^I-+Ja.+iA/“"+I+J。"+2

化簡得(〃+l)a?+1-nan+2=ax{n>1)(3)

(〃+2)a“+2—(”+l)a“+3=q(〃21)(4),(4)—(3)得a,,+]+an+3=2an+2(n>1)

在⑶中令〃=1,得q+%=24,從而{叫為等差數(shù)列

例3已知1｛%｝是公比為q的等比數(shù)列,且,%,+2，%用成等差數(shù)列?

(1)求q的值；

(2)設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項和為5〃，試判斷S爐，〃+2，S〃用是否成等差數(shù)列？說明理由.

解：(1)依題意,得2am+2=am+i+am

m+1mm1

.-.2a1q=a1q+a1q-

在等位數(shù)列｛aj中，a[#。，q#0,

2q2=q+1,解得q=1或-;.

(2)若q=l,Sm+Sm+i=mai+(m+1)ai=(2m+l)apSin+2=(m+2)ai

.?.2Sm+2#Sm+Sm+l

?,2Sm+2=Sm+Sm+1

故當(dāng)q=1時，Sm,Sm+2,Sm+1不成等差數(shù)列;

當(dāng)q=-g時，Sm,Sm+2,sm+1成等差數(shù)列.

2

例4己知數(shù)列｛a0｝的首項(“是常數(shù))，an^2an_t+n-4/1+2(〃eN,〃N2).(I)｛4｝是否可能

是等差數(shù)列.若可能，求出｛?！埃耐椆剑蝗舨豢赡?，說明理由；

2

(II)設(shè)［=6,bn=an+n(n^N,n>2),S“為數(shù)列｛bJ的前n項和,且

｛S“｝是等比數(shù)列，求實數(shù)小b滿足的條件.

解：(I)Vax=。,依々〃=2a“_]+〃2—4〃+2(〃=2,3,?一)

?*a2=2?+4—8+2=2^-2%=24+9—12+2=4。—5

4=2%+2=8i—8a2一q=2a-2-a=a-2,a3-a2=2a-3,a4-ay=4rz-3

若｛〃〃｝是等差數(shù)列，則牝一。1=。3-。2,得。=1但由。3一。2=。4一。3，得a=0,矛盾.

???｛〃〃｝不可能是等差數(shù)列

2222

(II=an+〃2/>j+(=+(n+])=2??+(?+1)-4(n+1)+2+(?+1)=2a?+2n=2b?(n>2)

/.b2=a2+4=2a+2

當(dāng)a^-l時，b?*0｛Z??｝從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列

S?=b,+的+2)塔:J.1)=b+(2a+2)(2"-'-1)

2—1

n時,S“_3+1)2"+b-2a-2=?______b_2a_2_____

n-,

Sn-1-(a+l)2+b-2a-2~-(a+l)2”“+2a-2

：.｛S｝是等比數(shù)列，JS”(n22)是常數(shù)??,aW-l時，Ab-2a-2=0當(dāng)a=-l時，

S.T

b2=0,由a=2bn_y(n^3)，得.=0(n22)Sn=b｝+b2+....+bn=b

是等比數(shù)列???bwo

綜上，｛S〃｝是等比數(shù)列，實數(shù)4、b所滿足的條件為T或卜=T

\b=2a^2[b^O

例5設(shè)數(shù)列｛aj的前n項和為Sn，且滿足Sn=2-an，n=l,2,3,….

(I)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(II)若數(shù)列｛%｝滿足b】=l,fibn+1=bn+an,求數(shù)列｛瓦｝的通項公式;

(III)設(shè)cn=n(3-bn),求數(shù)列｛cj的前n項和Tn.

解：(I)Vn=l時，ai+S|=ai+ai=2

==

?Sn2-anKpan+Sn2,?an+i+Sn+i=2

兩式相減：an+l-an+Sn+l-Sn=O

即an+i-an+an+i=O故有2an+i=an

a.1

nLx

Van#O???H=—(n￡N*)

42

所以，數(shù)列｛a“｝為首項ai=l,公比為;的等比數(shù)列.an=(；)"T(nGN*)

(II)Vbn+i=bn+an(n=l,2,3,...)

n1

?-bn+i-bn=(—)

2

得b2-bi=1

b3-b2=一

b4-b3=(—)2

2

1n9

bn-bn-i=(-)(n=2,3,???)

2

將這n-1個等式相加，得

2

又：b|=l,.,.b?=3-2(-)n-l(n=l,2,3,…)

2

(m)：Cn=n(3-bn)=2nJ)n"

2

???Tn=2[(-)°+2(l)+3(-)2+-+(n-l)(-)n-2+n(')叫①

22222

231

而7"Tn=2[()+2()+3()+"*+(n-l)(―)"+?(—)"]②

222222

①-②得：=2[(；)。+(-^)2H------1"(3尸]一2〃(；)"

2

=8-(8+4n)^-(n=l,2,3,...)

例6已知數(shù)列｛%｝中，%=2,%=3,%=6,且對〃三3時

有alt=5+4)a〃_|一4〃J_2+(4〃-8)/_3?

(I)設(shè)數(shù)列｛4｝滿足2=4-也〃」〃￡汗，證明數(shù)列屹”+「22｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列的』的通項公式;

(II)記鹿x(〃-l)xx2x1=n!,求數(shù)列｛〃□"｝的前〃項和S

(I)證明:由條件,a?-nanA=-(M-l)a?,2]-4[a?-2-(n-2)a?,3],

則%-(〃+1)4,=4K-St1—一%一("-1)4_2】?

即%=4〃,-4勿_|.又么=1,4=0,所以b?+l-2bn=2(6,-%),瓦-2*=-240.

所以他“M-紋,｝是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列.

b2-2bt=-2,所以bn+l-2b?=2'-'(b2-2bt)=-2".

兩邊同除以2"“，可得A出■—A%=—1L

2"+l2"2

于是｛*｝為以;首項，一;為公差的等差數(shù)列.

所以*=,一；(〃一1),得b〃=2"(1-5).

(n)an-2"=-〃2"T=n(an_t-2"~'),令q=a,-2",則cn=g1T.

ffi]q=1,cn=n(n-1)??2-1?c,=n(n-1)--21.

a“=〃(〃一l)--2-1+2".

nan="?”?(”-1)?-21+n2"=(n+1)!-n\+n-2",

：.S?=(2!-l!)+(3!-2!)++(n+l)!-n!+(lx2+2x22++nx2").

7；,=1X2+2X22++nx2",①

則23=1x22+2x23++(〃-1)X2"+〃X2"+’.(2)

①一②，得一0=2+22++2"_〃x2"i,北=(〃-1)2"+'+2.

S?=(M+l)!+(n-l)2,,+l+l.

,、，、=2a”+3”,

例7設(shè)數(shù)列也,｝,｛勿｝滿足4=14=0且\n=1,2,3,

=%+2〃，

(I)求4的值，使得數(shù)列｛4+勸,｝為等比數(shù)列；

(II)求數(shù)列｛an｝和也｝的通項公式;

s

(in)令數(shù)列｛q｝和｛包｝的前〃項和分別為s“和s：,求極限！四u的值.

"fSn

(I)令c.=a,,+獨,，其中X為常數(shù)，若｛%｝為等比數(shù)列，則存在夕中0使得

c,用=",用+獨田=4(4+勸“)?

又%+血+i=2a?+3b〃+2(%+22)=(2+2)??+(3+2團2.

所以q（an+肪“）=（2+㈤/+（3+22）勿.

由此得（2+幾一<7）?！?（3+24—也）2=0,〃=1,2,3,

由q=l,b,=0及已知遞推式可求得4=2,2=1，把它們代入上式后得方程組

2+A—q=0,

消去q解得4=±6.

3+2X-/lq=0

下面驗證當(dāng)/I=6時，數(shù)歹U｛4+6仇｝為等比數(shù)列.

4+1+屜,m=(2+6)%+(3+26)%=(2+6)3.+百勿)(〃=1,2,3,,

=1。0,從而卜“+Ga｝是公比為2+6的等比數(shù)列.

同理可知｛。“一6〃｝是公比為2—g的等比數(shù)列，于是4=±6為所求.

nl

(II)由(I)的結(jié)果得4+62=(2+6產(chǎn),an-y/3bn=(2-j3)-,解得

32+省廣+(2—可斗b.=玄［(2+6廣-(2-<1

(III)令數(shù)列｛4｝的通項公式為4=(2+百)"T,它是公比為p=2+6的等比數(shù)列，令其前〃項和為月;

令數(shù)列｛e.｝的通項公式為％=(2—6)"T,它是公比為p'=2—6的等比數(shù)列，令其前〃項和為片.

1百

由第(H)問得S〃=3?+E：),S]啖(P,T),

ZO

1+C

s；7PT"i上

1

由于數(shù)列｛e.｝的公比0<2—G<1,則lim尸

1-（2-拘

（1）"_（1）?-'

］J_ppP由于工?=—7==2-V3>則lim'-=0,

p「］_p“一（lr-lP2+,3msP”

p

PSL

于是limd=0,所以lim」=J5

A->8P]〃->8S'

例8數(shù)列｛a,｝的各項均為正數(shù)，S“為其前”項和，對于任意〃eN*,總有4,S“M：成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛。,,｝的通項公式；

(H)設(shè)數(shù)列出｝的前“項和為7；,且a=也三，求證:對任意實數(shù)xe(l,e](e是常數(shù)，e=2.71828--)和任

意正整數(shù)〃，總有7；<2；

(III)正數(shù)數(shù)列｛%｝中，=(%)"\(ceN*).求數(shù)列｛%｝中的最大項.

(I)解：由己知：對于“eN*,總有2S“=q,+a,,2①成立

2

：.2Sn—i.=an—i,+a〃一],(n22)②

①一②得2?！?an+an-a.1一a,1

；?4+=(%+

：a“,a“T均為正數(shù)，a“一=1(n>2)

，數(shù)列｛%｝是公差為1的等差數(shù)列

又n=1時，2s[=4+a],解得q=1

/.an=〃.(幾￡N*)

(H)證明：；對任意實數(shù)xe(l,e]和任意正整數(shù)n,總有a=電?忘-!廣

——+…H---<1d-----1-----F…+

n21-22-3(n-l)n

1+1——+----+…+--------=2——<2

223n-\nn

2

(III)解：由已知a2=c]=2=>c[=V2,

a3==3c2=V3,4=034=4=>Q=V4=V2,

。5=。4=5=A/5

易得q<c2,c2>c3>c4>...

猜想n22時，｛c,J是遞減數(shù)列.

—?x—\nx

1-lnx

令/(6=吐，則/'(6=3

X

???當(dāng)x23H寸,lnx>1,貝!jl一In%v0,艮曠(x)<。.

???在[3,+8)內(nèi)/(x)為單調(diào)遞減函數(shù).

An^2時，｛in%｝是遞減數(shù)列.即｛c,｝是遞減數(shù)列.

又《＜02,，數(shù)列｛C〃｝中的最大項為。2=石.

例9設(shè)｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，S”為其前〃項和，滿足生2+/2=42+%2,57=7。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式及前n項和S,:

（2）試求所有的正整數(shù)相，使得旦為數(shù)列｛q｝中的項。

4n+2

解：（1）設(shè)公差為d,則a；-a；=a；—用，由性質(zhì)得一3d（%+。3）="（。4+%），因為dw。，所以

7x6一

。4+%=0，即24+5d=0,又由邑=7得7。]+?d=7,解得％=—5,

d=2,所以的通項公式為勾=2八一7,前月項和凡=/一6冏.

⑵絲3=（2m―7）（2m-5）,設(shè)2一_3=r,

（方法-）J2*3

則理巴=1｛二也=Zl=f+§-6,所以1為8的約數(shù)

冊+2tt

因為才是奇數(shù)，所以方可取的值為±1,

當(dāng)￡=1,加=2時，^+--6=3.2x5-7=3,是數(shù)列｛4｝中的項；

t

當(dāng)看=一1,0=1時，1+；—6=75，數(shù)列｛4｝中的最小項是一5,不符合.

所以滿足條件的正整數(shù)/=2.

（方法二）因為&必曰=（4+2-4）4+2-2）=a,,”—6+〃一為數(shù)列｛4｝中的項,

a,"+24"+2a,"+2

0

故——為整數(shù)，又由（1）知：a,,+2為奇數(shù)，所以4+2=2加一3=±1,即加=1,2

^m+2

經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有“7=2。

例10已知｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，｛"｝是公比為夕的等比數(shù)列。

（1）若a“=3〃+l,是否存在加、kGN”,有a,”+a,"+]=aj?說明理由；

（2）找出所有數(shù)列｛4｝和1他,｝,使對一切〃eN*,空=打，并說明理由；

（3）若4=5,d=4,4=4=3,試確定所有的p,使數(shù)列｛4｝中存在某個連續(xù)p項的和是數(shù)列也｝中的一項,

請證明。

解：（1）由a,”+a,,+i=%，得6m+5=3上+1,

4

整理后，可得2-2機二一，m、ZwN*,.,.攵一2根為整數(shù)，

3

???不存在m、kwN”,使等式成立。

(2)若—=也即％+以=麗”7,(*)

a"4+5-l)d1

(i)若d=0,貝iJl=bq"T="。

當(dāng)｛%｝為非零常數(shù)列，｛%｝為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。

(ii)若"NO,(*)式等號左邊取極限得lim=1,(*)式等號右邊的極限只有當(dāng)q=l時，才能等

mgq4-(n-l)J

于1。此時等號左邊是常數(shù)，.?.d=0,矛盾。

綜上所述，只有當(dāng)｛%｝為非零常數(shù)列，｛4｝為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。

(3)=4幾+1,2=3〃,〃￡N*

設(shè)%用+。,計2+……+a,,”=bk=3'p、k&N*,m&N.

4(m+1)+1+4(m+p)+1_^k

Fp~，

3k

/.47/1+2/7+3=—,v〃、keN*,：.p=N,sGN.

P

取左=3s+2,4m=32'V+2-2X3V-3=(4-1)2V+2-2X(4-1)V-3>0,

由二項展開式可得正整數(shù)MLMz,使得(4-1)2st2=4M.+l,

2x(4-l)v=8M+(7)、2,

S

4m=4(M,-2M2)-((-1)+1)2,/.存在整數(shù)TZ滿足要求

故當(dāng)且僅當(dāng)P=3)seN時，命題成立.

二、點列綜合題

例11設(shè)曲線c:y=/。>0)上的點為4(%,%),過P。作曲線c的切線與x軸交于Qi,過Qi作平行于y軸的直

線與曲線c交于然后再過R作曲線C的切線交X軸于Q2,過Q2作平行于y軸的直線與曲線c交于

P2(x2,y2),依此類推，作出以下各點:Po,Qi，P”Q2,P2,Q3.-Pn,Qn+i…,已知t=2,設(shè)月eN)

(1)求出過點Po的切線方程；

(2)設(shè)=/(〃),求/(〃)的表達式；

(3)設(shè)S“=/+玉+…+，求

解：(1)?.?%=2%=4；.過點Po的切線段為y—4=4(x—2)即4x-y-4=0

(2)?.,kn=2xn二過點Pn的切線方程為y-x：=2x”(x-x”)

將(/”,0)的坐標代入方程得：-寸=2x?(x?+,-xn)

.r=X“=1=1

，，+12X,,2

故數(shù)列｛%｝是首項為％=2,公比為，的等比數(shù)列

2

.-.X?=/(?)=2.(l)"BP/(n)=(1)"-1

(3)2(1-.I)

?2=—卜=5“=火1-而)

1-2

limS,=lim4(1---5—)=4

"_>8"一'2

君，且已知|

例12已知點城4,滿足：幺9>當(dāng)4?

(1)求過點《，々的直線/的方程；

(2)判斷點月,(〃22)與直線/的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(3)求點P?的極限位置。

12

解：(1)由4=々，4\=大得：

2

,號3131

1]_Q41344

顯然直線I的方程為沖尸1

13

(2)由q=—,h=—,得：

44

3

點員曰，猜想點出〃22)在直線/上，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)n=2時，點5/

假設(shè)當(dāng)7左“^>時，點女即RT?=]

當(dāng)時，

=(i+，M+i

=1

.,.點笈a

綜上，點4存

(3)由石A■石f得:

,數(shù)列上是以工=3為首項，公差為1的等差數(shù)列

[。/冊

即點匕的極限位置為點P(0,1)

例13如圖,[(4乂),/^々,為)，，匕(工，匕)，(°<%<%<<%)是曲線

C:9=3x(y20)上的〃個點，點4(q,0)(i=1,2,3,,〃)在x軸的正半軸上，AA-iaE是正三角形(4是坐標

原點).(I)寫出4,4,q5

(II)求出點A,(凡,0)(〃€N*)的橫坐標您關(guān)于n的表達式；

(IH)設(shè)d=」-+」一+」一++—,若對任意正整數(shù)〃，當(dāng)時，不等式/―2〃〃+，>"恒

an+\an+2an+3。2〃6

成立，求實數(shù)r的取值范圍.

.解：（I）a1=2,卬=6,q=12.

（II）依題意43〃,。）,A*%,。），則

+??_,2=2(a?+??_1)(〃N2,〃GN*)，①

同理可得4,+：—24+e“+見2=2(《用+4,)(〃GN*).②

①-②并變形得

(a?+1-a,i)(q+i+a?_,-2an-2)=0(n>2,neN*)

>加，

?41+%-〃-2=0，

aaa2

(?+i-?)-(n-?n-i)=(?>2,neN*).

數(shù)列｛a,用一4｝是以出一4=4為首項，公差為2的等差數(shù)列.

/.%-an=2(〃+1),(〃wN*),....................................................7分

??.a〃=4+(出—q)+(4-%)+(/-/)++(4—〃,I)，

=2(1+2+3++〃)="+拉.

/.an=n(n+1)(〃￡N*).

(HI)解法1：?.?/?,=-5-+-^-+,++—(HGTV*),

aa

n+\a“+24+32n

71111,3、

:.bn+[=-------1--------1--------1-d--------(nGN*).

%+2“〃+30”+4%〃+2

111

%"+1°2"+2%+1

111

=-----------------------------------1--------------------------------------------------------------------

(2〃+1)(2〃+2)(2〃+2)(2〃+3)(/?+1)(/2+2)

-2(2川+2〃-1)

一(2〃+1)(2〃+2)(2〃+3)(〃+2)?

當(dāng)〃wN*時，上式恒為負值，

...當(dāng)〃eN*時，bn+i<bn,

，數(shù)列圾｝是遞減數(shù)列.

???瓦的最大值為4=」-=’.

%6

若對任意正整數(shù)〃，當(dāng)相4—D]時，不等式t2-2mt+4>以恒成立，則不等式t2-2mt+2〉」在加e[―1,1]

666

時恒成立，即不等式r-2加>0在加e[—1,1]時恒成立.

設(shè)/(m)=產(chǎn)一2mt,則/(I)>0且/(-1)>0,

.]?一2f〉0

"V2+2/>0

解之，得『<一2或f>2,

即/的取值范圍是（f,—2）。（2,+8）.

——12

例14ZXABC中，|AB|=|AC|=L-y40=^,P］為AB邊上的一點，從P1向BC作垂線，垂

足是Q1；從QI向CA作垂線，垂足是Ri；從Ri向AB作垂線，垂足是P2,再由P2開始重復(fù)上述作法，依次得

Q2,R2,P3；Q3,R3,1>4??…

（1）令BPn為xn,尋求BPn與BP,t+｛（即面導(dǎo)用）之間的關(guān)系。

（2）點列衣—為>-Z是否一定趨向于某一個定點P。？說明理由；

（3）若|/庠=1,?印V，則是否存在正整數(shù)m，使點P。與Pm之間的距離小于0.001?若存在，求m的

最小值。

解：（1）由|AB|=|AC|=1,

從而AABC為邊長為1的正三角形

則多西尹于是與以零

21

（2）由（1）可得：￥4—<?V；

一rcS

連的等比數(shù)列

2

當(dāng)々

.??點Pn趨向點Po,其中Po在AB上，且BPo

當(dāng)寸-A

3

/.〃之4,"的最小值為4

例15已知曲線。,,：￡一2公+;/=0（〃=1,2,）.從點P（—1,0）向曲線?！耙甭蕿樽?（&,>0）的切線/“，切點

為月（玉，/）?

（1）求數(shù)列｛%｝與｛%｝的通項公式;

<V2sin—.

（2）證明：X,?x3?x5??x2/J_1<

%

解：（1）設(shè)直線小y=￡,（x+l）,聯(lián)立》2—2“x+y2=o得（i+左：）x2+（2左2"）x+左：=0,則

2

A=（2片-2n）-4（1+片）片=0,kn=------（-/------舍去）

J2〃+1J2〃+1

d_〃2nnn局2〃+1

1+%（〃+1）2

2〃+1

.?X]?%3

由于土貝Ijf(x)=l一應(yīng)cosx,令f(x)=O,得

COSA=—,給定區(qū)間(0,生)，則有f(x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，.?./(x)</(0)=0,即

244

x<J^sinx在(0,工)恒成立，又0<

4

例16數(shù)軸上有一列點修，P2,心，…，P”，…，已知當(dāng)〃上2時，點P“是把線段尸"一?P“+i作〃等分的分點中最靠

近P〃+］的點，設(shè)線段尸1尸2,P2P3，…，P”尸〃+1的長度分別為〃|，。2，的，…，%,其中勿=1.

(1)寫出〃2，“3和斯(n>2,nwN')的表達式；

(2)證明〃1+。2+的+…+%V3(〃￡“')；

L

(3)設(shè)點端(n>2,nsN*),在這些點中是否存在兩個點同時在函數(shù)y=--------(左>0)的圖像上，如

(x-1)

果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由.

.解：(1)由已知霜",

令77=2,PiP2=P2P3,所以〃2=1，

令〃=3,尸2P3=2P3P4，所以%=g，

(2)因為------=--------------------<-----

(n-1)!Ix2x3x4xX(H-1)22222"~2

所以q+1+%++",=?+7+岳++廠1M41+1+；+至+1

?1?4?Ir￡JJ?乙乙

=14-=3-<3(n>2).

而〃二1時，易知成立，所以4+出+。3++a“<3(幾eN”)

*k

(3)假設(shè)有兩個點A(p,%),B(q,%)(pwq,p、qeN,且p>2,4>2),都在函數(shù)y=------

(x-l)z

k

消冷所以胃='

=E'%(夕一1)!

消去卜得町

,①

以下考查數(shù)列｛勿｝,2=土的增減情況,

n\

222

b._b.-_n___(n-1)—〃一(〃一1尸n-3n+l,

""L"!(n-1)!-(77-1)!-(〃-l)!

2

當(dāng)”>2時，n-3n+1>0,所以對于函數(shù)｛ba｝有歷>①>九>…>bn>???

所以①式不能成立，

所以，不可能有兩個點同時在函數(shù)y=」于圖像上.

(x-1)2

例17在直角坐標系中，有一點列P|(a”bj,P2(a2?b2),—,Pn(an,b”)，…對每一個正整數(shù)n,點Pn在給定

的函數(shù)y=log3(2x)的圖像上,而在遞增數(shù)列｛a“｝中，a1,與a/i是關(guān)于x的方程4x2-8nx+4n1=0(nWN*)

的兩個根.

(I)求點P”的縱坐標bn的表達式;

(II)記品=3“>,nWN*.證明―+旨」---卜卦<3；

解：(I)解方程4x?-8nx+4nJ1=0,得Xi=n—x2=n—1,

■{an}是遞增數(shù)列，，an=n—，an+i=n—即a0=n—n6N*),

又因為bj在函數(shù)y=log3(2x)的圖像上,所以又=log3(2n—1).

(II)因為品=3%,nGN*,所以Cn=2n—1

設(shè)D=^+|1H----即D=1+^H---------卜-，

nn?

1

所以：Dn=3+最H---r'7n,②

由①一②得TDn=T+異T2^----卜責(zé)貝!I

,L(獷2n-l

所以Dn=l+l+；+'+…六-

+j-2n

1-2

12n-l

3-2n-2——2"-<3，

例18已知點列B“l(fā),y)、B2(2,y，、…、B”(n,y.)(nCN)順次為一次函數(shù)y=5x+七圖像上的點，點列兒3,0)、

A2(X2,0)、…、A?(x?,0)(nGN)順次為x軸正半軸上的點,其中Xi=a(0<a<l),對于任意nGN,點A”、B?,An+i

構(gòu)成一個頂角的頂點為B“的等腰三角形。

⑴求數(shù)列｛y“｝的通項公式，并證明｛y,.｝是等差數(shù)列；

⑵證明x“2-x”為常數(shù)，并求出數(shù)列｛x0｝的通項公式；

⑶在上述等腰三角形A“B.AE中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由。

解：⑴y。=軸+盍（nwN）,?.、1%=+，.?.{%}為等差數(shù)列

（2）因為紇4+1與紇“A.為等腰三角形?

尤”+Z+i_0

-11

2

所以4，兩式相減得X“+2=2。

注：判斷x“+2—七,=2得2分，證明得1分

/.XI,X3,X5,…，X2n1及X2,X4,X6，…,X2n都是公差為2的等差數(shù)列，

.?._[n+a-l（當(dāng)n為奇數(shù)）

n-a（當(dāng)n為偶數(shù)）

（3）要使ABA.為直角三形，則|A?A?.,I=2=2（￡+=）=x““-x”=2（￡+吉）

當(dāng)n為奇數(shù)時，xn+i=n+l-a,xn=n+a-l,Axn.-Xn=2（l-a）.

n2（1-a）=2（￡+吉）na二秒一g（n為奇數(shù)，0VaV1）（*）

取n=l,得取n=3,得a=看，若n25,貝lj（*）無解；

當(dāng)偶數(shù)時，xn+i=n+a,xn=n-a,Axn+i-Xn=2a.

???2a=2（q+擊）="彳+=（n為偶數(shù)，0<a<l）W）,

取n=2,得a=吉，若n》4,則（*，）無解.

綜上可知，存在直角三形，此時a的值為I、卷、丸

三、數(shù)列與向量交匯的綜合題

例19已知S“為數(shù)歹如”的前〃項和,W=(S“,1),b=^1,2^,+2n+'),a±b

(1)求證：［梟｝為等差數(shù)列；

(2)若切=與羿_%，問是否存在〃°，對于任意％(keN*),不等式4W白幻成立.

—>—>

解⑴???a，人

n+

-S?+2an+2'=0

—S“M+2am+2-2=0

..?%=24一2向

-fl?+i-a?)

??2，m2"

為等差數(shù)列

[2"]

(2)=—2—(n—1)=—(n+1)

:.bn=(2Q11-?)2"

令心?b.

(2010-n)2n+1>(201l-n)2n

n<2009

b”的取大值為“]()=6200g

%=200域2010

例20在直角坐標平面中，已知點片(1,2),8(2,2?),6(3,23),…《(“,2”),其中〃是正整數(shù)，對平面上任一點4°，

記4為4關(guān)于點尸】的對稱點，A2為A關(guān)于點尸2的對稱點，……，4為A“-]關(guān)于點P”的對稱點.

(1)求向量4A2的坐標;

(2)對任意偶數(shù)”，用”表示向量aa的坐標.

(1)設(shè)4(5，”)，???4與Al關(guān)于點K5,2")對稱

Jx“+X"-i=2〃卜[=2-％=4-X]=2+x0

"[y,.+=2,,+1=jy=4-=8-%=4+為

故44=(々一/，必一X1)=(2,4)

x?+x?_,=2〃

(2).??{,..?.?x“+i=2("+1)一苞，=2+x,inx.M—x,i=2

〔七出+=2(“+1)

,,+1

同理可得：yn+l-y,,.x=2...A“_A+|=(x“+|--y“_|)=(2,2"+與

故A>A“=44+&A,+…+A,-A,

=(2,2?)+(2,2，)+…+(2,2")=2乂*2；1-；2)(^2^-4

21-4I3)

\/

例21已知數(shù)列｛七｝的首項q=1,4=3,前〃項和為S“，且S“M、S,、S1-(n22)分別是直線/上的點A、

B、C的橫坐標，4?=的山BC,設(shè)4=1,bll+l=log2(??+1)+/??.

an

(1)判斷數(shù)列｛a,+1｝是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

"+1-1

An+1〃

⑵設(shè)%=—,證明：yc,<1.

a,4+iA=I

解：⑴由題意得黑匚%=幺史=>an+l=2a”+1

S"-S"_1a?

??%+]+1=2(a.+1)(n>2),又,.,q=l,a,=3

數(shù)列｛%+l｝是以q+1=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列。

G

[則4+1=2"/.an=T-\(〃N*)|

⑵由a?=2"-1及%=log2(a?+1)+a得%=b?+n

—

?71愉一1)4〃+1X11

,?b=1+—------,n貝iiljc=---------=---------------------=----------------------

Hn+1,,+I

〃2“anan+i(2-l)(2-l)2"-12-1

"(2^1-22-1)+(22-1-23-1)+(23-1-24-1)+"+<2H-l-2n+1-1

四、數(shù)列與函數(shù)交匯的綜合題

(X+1)4+(X-I)4

例22已知函數(shù)/(x)=(xwO)。

(—I)，

(I)若/(x)=x且xwR,則稱x為/(幻的實不動點，求/W的實不動點;

(錯誤!未找到引用源。)在數(shù)列｛勺｝中，4=2,4川=/(《,)(HEN*),求數(shù)列｛凡｝的通項公式。

解：(I)由=尸+1及〃幻=一得

4x+4%

“+1=x=>3x4-2x2-l=0=>x2=l^cx2=--(舍去),

4x3+4x3

所以x=l或-1,即/(x)的實不動點為x=l或*=一1；