高中數(shù)學(xué)公式大全導(dǎo)數(shù)應(yīng)用八個(gè)

高中理科數(shù)學(xué)公式匯總

§01.集合與簡(jiǎn)易邏輯

1.元素與集合的關(guān)系

Aox任GA,xwQA<=>龍史A.

2.德摩根公式

Q(AB)=CUACLB,CU(AB)=CLJACLJB.

3.包含關(guān)系

AB=AoAB=B<=>AcB<=>CVBcCyA

<=>ACb,B=OCyAB=R

4.容斥原理

card{AB)=cardA+cardB-card(AB).

5.集合{《,％,,4}的子集個(gè)數(shù)共有2“個(gè)；真子集有2〃-1個(gè)；非空子集有2〃-1

個(gè)；非空的真子集有2〃-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

(D一般式/(X)=依2+6x+c(Q=0)；

(2)頂點(diǎn)式/(x)=a(x—力下+依。。。)；

(3)零點(diǎn)式/(X)=a(x-x,)(x-x2)(a*0).

7.解連不等式N</(%)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

N<f(x)<M<=>[/(x)-M][/(x)-^]<0

M+N,M-N

O"(x)———1<^—O

11

o-------->------.

f(x)-NM-N

8.方程/(x)=0在(匕)上有且只有一個(gè)實(shí)根,與)<。不等價(jià),前者是后

者的一個(gè)必要而不是充分條件特別地，方程qf+bx+c=0(aw0)有且只有一個(gè)實(shí)根在

卜k+k

(占次2)內(nèi)，等價(jià)于/6)/(&)<°，或/g)=0且匕<一9<1,或“42)二。且

2a2

k+b

---］------<------<kf,.

2la2

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/'(x)=af+必+c(aw0)在閉區(qū)間［p,g］上的最值只能在x=-2處及區(qū)

2a

間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下：

⑴當(dāng)a>0時(shí)，若x=-丁e［p,司，則/(x)min=/(--),/(x)max=max{/(p),/(q)}；

2a2a

X=一(任［PM］，/(X)?x=2{/(，)，/(4)}，/(X)疝nFn{/(〃)，/(")}?

⑵當(dāng)a<0時(shí)，若》=一五式〃,司，則/(x).=min{/(p)J⑷},

%=一(紀(jì)［P，。］，則/(x)1rax=max{/(p),/G7)}，/(x)^=min{/(p),/(<7)}.

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/(/〃)/(〃)<0,則方程/(x)=O在區(qū)間(加,〃)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)/(X)=%2+px+q,貝！I

p~~4q>0

(1)方程/(x)=O在區(qū)間(也+s)內(nèi)有根的充要條件為/(㈤=0或”

/(⑼>0

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(加,〃)內(nèi)有根的充要條件為/(m)/(〃)<0或/(rt)>0或

'p2-4^>0

m<--<n

I2

7(w)=of/(?)=o

\或V；

/(n)>0\f(m)>0

p2-4q>0

(3)方程/(x)=0在區(qū)間(一明〃)內(nèi)有根的充要條件為/(加)<0或〃

---<m

I2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

(1)在給定區(qū)間(—8,+8)的子區(qū)間L(形如［%例，(―8,河，［。,+8)不同)上含參

數(shù)的二次不等式/(x,r)>0(r為參數(shù))恒成立的充要條件是>0(xeL).

(2)在給定區(qū)間(-8,+8)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,r)>0(t為參數(shù))恒成

立的充要條件是f(x,t),mr,<0(x生L).

a>0r八

(3)/(幻=4/+/7幺+。>0恒成立的充要條件是1/720或，

八b2-4ac<0

c>0I

12.真值表

Pq非PP或qp且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)至多有(〃一1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有(〃+1)個(gè)

對(duì)所有X,成立存在某X,不成立P或q「P且F

對(duì)任何X,不成立存在某X,成立p且q-1P或F

14.四種命題的相互關(guān)系

原命題：與逆命題互逆，與否命題互否，與逆否命題互為逆否;

逆命題：與原命題互逆，與逆否命題互否，與否命題互為逆否;

否命題：與原命題互否，與逆命題互為逆否，與逆否命題互逆;

逆否命題：與逆命題互否，與否命題互逆，與原命題互為逆否;

15.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則P是4充分條件.

(2)必要條件：若p,則p是4必要條件.

⑶充要條件：若pnq,且qnp,則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

§02.函數(shù)

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)為?%e［a,。］%wx2那么

(%-/(4>/(}><=>一石)二(%)>o=/(幻在［a,"上是增函數(shù)；

(x-xjf(x)-@如上￡^<00/(x)在［a,同上是減函數(shù).

??玉

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果

f'(x)<0,則/(x)為減函數(shù).

17.如果函數(shù)/(X)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減

函數(shù)；如果函數(shù)y=/(“)和“=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

y=/Tg(x)］是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)

函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，貝!|/(x+a)=/(-x—a)；若函數(shù)y=/(x+a)是偶

函數(shù)，則f(x+a)=f(-x+a).

20.對(duì)于函數(shù)y=f(x)(xeR),f(x+a)=f(b-x)恒成立，則函數(shù)/(無(wú))的對(duì)稱(chēng)軸

是函數(shù)x=巴吆；

2

兩個(gè)函數(shù)y=/(x+a)與y=/(>-x)的圖象關(guān)于直線x=巴薩對(duì)稱(chēng).

21.若/(x)=-/(-x+a),則函數(shù)y=/(幻的圖象關(guān)于點(diǎn)(|,0)對(duì)稱(chēng)；

若/(x)=~f(x+a)，則函數(shù)y=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).

22.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=a,x"+4iX"T++4的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)oP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)oP(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(%)的圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)o/(a+力=艮a-

=/(2a-x)=/(.

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線》=等對(duì)稱(chēng)=/(a+機(jī)］=fb-7

<=>/(a+b-ni)x=(fr.

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖象關(guān)于直線戈=()(即y軸)對(duì)稱(chēng).

(2)函數(shù)y=f(nix-a)與函數(shù)y=f(b-rwc)的圖象關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng).

2m

(3)函數(shù)y=/(x)和y=(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移4、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+Zj的圖

象；若將曲線f(x,y)=O的圖象右移。、上移6個(gè)單位，得到曲線,f(x—a,y—初=0的

圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)=bo『(b)=a.

27.若函數(shù)y=/(日+b)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y='"T(x)-切，并不是

k

y="T(H+6),而函數(shù)y=[/-'(丘+》)是)，=-[f(x)-b]的反函數(shù).

k

28.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)/(x)=ex,/(x+y)=/(x)+/(^),/(1)=c.

(2)指數(shù)函數(shù)f(x)=f(x+y)=/(x)/(y),/(l)=ah0.

⑶對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log?x,/(肛)=/(x)+/(y),/(a)=l(a>0,aw1).

(4)幕函數(shù)/(x)=/,f(xy)=/(x)/(y),/(l)=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,f(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(_y),

/(0)=l,lim^^=l.

X

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=/(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=0,

或/(x+a)=—J—(/(x)k0),或/(x+a)=-(/(x)*0),

fix)/(x)

或g+Jf(x)—/(》)=/(%+?),(/(x)e[0,1]),則/(x)的周期T=2a

(3)/(x)=1-、(/(x)+0),則/(x)的周期T=3a；

f(Jx+a)

(4)/(%1+々)=佇+、華且/(?)=1(/(為)"(方)。1,0<1%—91<2。)，貝U

1-/(與)/(*2)

/(%)的周期T=4a；

(5)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a)=f(x)f(x+a)f(x+2a)/(x+3?)/(x+4?),

則/(x)的周期T=5a；

(6)/(%+?)=/(x)-f{x+a),則/(x)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

"1

(1)a"=.—(a>0,m,neTV*,且〃〉1).

Na",

-巴1

(2)a"=—(a>0,m,〃eN*,且">1).

a"

31.根式的性質(zhì)

(1)而)"=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，叱=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，.

一a,。<0

32.有理指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-as=ar+s(a>0,r,seQ).

(2)(ar)s=61rs(a>0,r,sGQ).

(3)(ab)r=arbr(a>O,/?>O,re0.

注：若a>0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)幕的運(yùn)算性

質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)募都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

log”N=b<=>ab=N(a>0,a1,N>0).

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

log4N=——-—(?！?)，且〃。1,m>0,且m。1,N>0).

log,,,a

n

推論logb"=—log“b(a>0,且。>1,且/〃Hl,n^\,N>0).

"m

35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWLM>0,N>0,則

(1)log”(MN)=log.M+logaN;

M

⑵l°g"N=bg"MT°g"M

(3)log((M"=用og“M(〃GR).

36.設(shè)函數(shù)/(x)=log,”(分2+hx+c)(a*0),記△=/一4tzc.若/(x)的定義域?yàn)?/p>

R,則。>0,且△<();若/(x)的值域?yàn)镽,則。>0,且AN0.對(duì)于。=0的情形，需要

的汕蛤蛤

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若”>0">0,x〉0,工。,，則函數(shù)〉=108〃1.(衣)

a

(1)當(dāng)a>匕時(shí)，在(0」)和(L+oo)上y=log“rSx)為增函數(shù).

aa

.(2)當(dāng)a<b時(shí),在(0」)和(士+oo)上y=log”,(")為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃〉“?〉1,p>0>a>0>且貝11

⑴log“”5+P)<log,"〃?

⑵log“〃Hog“〃<log"

§03.數(shù)列

38.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值了，有

y=N(l+，「

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

fy,n=\

(數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)的和為s“=4+a,++a“).

區(qū)一4-|，〃22

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=q+(n—1)J=dn+ay—d(nGN*)；

其前n項(xiàng)和公式為

n(a,+a.)n(n-l),

S“=~=叫+2~^d

“2/1八

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

—■q'\neTV")；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

l-q

na},q=1

,q，T

或"q

叫,q=1

42.等比差數(shù)列{4}:a,l+l=qan+d,4=b(q*0)的通項(xiàng)公式為

b+(n-l)d,q=\

hq"+(d-h)qn-'-d

,4*1

q-i

其前n項(xiàng)和公式為

nb+n{n—l)d,(q=1)

i—g"

(b-工)+—〃,("1)

\-qq-\\-q

43.分期付款(按揭貸款)

每次還款x=-元(貸款。元,〃次還清，每期利率為b).

(1+/2)-1

§04.三角函數(shù)

44.常見(jiàn)三角不等式

(1)若了￡(0,—),則sinxvxvtanx.

2

(2)若xw(0,g),則1vsinx+cosx〈收.

(3)|sinx|+|cosx|>l.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

qjn0

sin28+cos26=1,tan8=----,tan0-cotO=1.

cos0

46,正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號(hào)看象限)

n

(-1)2sina,(n為偶數(shù))

sin(-----\-a)-?

2H-l

：（T產(chǎn)c°sa,（n為奇數(shù)）

n

p九(-Ikoa,(n為偶數(shù))

cos(—+aA〈

2〃+l

IFson(n為奇數(shù))

47.和角與差角公式

sin(a±/?)=sinacos0±cosasin尸；

cos(a土尸)=cosacos[3sinasin/7；

,c、tana±tan￡

tanz(a±J3)=----------------.

1tanatan0

sin(6f4-/3)sin(<z-J3)=sin2a-sin2/3(平方正弦公式);

cos(a+0)cos(a-/3)=cos2a-sin2(3.

as\na+hcosa=1a1+b?sin(a+夕)(輔助角(p所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

二b、

定,tan0=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos%=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

2tana

tan2a-

1-tan2a

49.三倍角公式

sin36=3sine-4sin*=4sin6sinq-e)sinq+e).

cos36=4cos3^-3cos6=4cos^cos(--9)cos(—+6)

cc3tantan3八/萬(wàn)八、.n八、

tan36=-------------；-----=tan0tan(-----0)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(Gx+°),x￡R及函數(shù)y=cos(+x+°),x￡R(A,w,.為常數(shù),且A#0,

萬(wàn)

3>0)的周期7='2；

co

jr

函數(shù)y=tan(69x+0),xw匕T+萬(wàn)次￡Z(A,3,夕為常數(shù)，且AHO,3>0)的周期

T=~.

CO

51.正弦定理

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=h2+C2-2Z?ccosA；

b2=c2+a2-2CQCOS3;

c2=a2+b2-labcosC.

53.面積定理

(1)S=gah“=gb%,=gch,(h”、瓦、例分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S=—absinC=—/jcsin/I=—easinB.

222

(3)SA3gj(|OA||O例了—(OA.OB)2.

54.三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有A+3+C=7roC=萬(wàn)一(A+8)

0一^=2C=2?—2(A+8).

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinx=a<=>x=攵乃+(—1)“arcsina(keZ,\a\<\).

cosx=aox=2k7i±arccosa{kGZ,|(2|<1).

tanx=a=x=k7r+arctana*￡Z,a￡R).

特別地，有

sina=sin/?0二=左才+(—1)"/?(左￡2).

cosa=cos[30a=2k?！朗?攵￡Z).

tana=tan/=>a=+f3(keZ).

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinx>a(|a區(qū)1)。x￡(2攵%+arcsina,Zk/c+4一arcsind),keZ.

sinx<Q(|a區(qū)1)oxc(2左乃一兀一arcsina,2Z?+arcsind),keZ.

cosx>a(\々區(qū)1)ox￡Qk兀-arccosa.Zkrc+arccosa),keZ.

cosx<?(|?|<1)<=>xG(2Z?+arccosa,2k兀+24一arccosa),keZ,

71

tanx>a(aG7?)=>xG(k九4-arctana.kn+—),ZrGZ.

冗

tanx<a(ae/?)=>xG(左萬(wàn)一5,々乃+arctana),keZ.

§05.平面向量

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、口為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：A(ua)=(Au)a;

(2)第一分配律：(X+y)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(2a)?b=A.(a?b)=4a?b=a?(2b)：

(3)(a+b)?c=a,c+b,c.

59.平面向量基本定理

如果&、ez是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且

只有一對(duì)實(shí)數(shù)人卜入2,使得a=入網(wǎng)+入2ez.

不共線的向量做、e?叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(X],y),b=(X2，%)，且bHO,則ab(bH0)O>%一%乂=。.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a'b=\a\|b|cos6.

61.a?b的幾何意義

數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos6的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a=(X]，x),b=(X2，%)，則a+b=(x,+x2,yt+y2).

⑵設(shè)a=(X,x),b=(々，%)，則a-b=(百一々,一見(jiàn))?

(3)設(shè)A。，％),B(x2,y2),則=08-。4=(赴一玉,必一乂)?

(4)設(shè)a=(x,y),2eR,則4a=(%x,2y).

⑸設(shè)a=(x,y),b=(%,%)，則a,b=(%,x2+y%)?

63.兩向量的夾角公式

cos0=,^X-^y^2==(a=(%,%),b=(%,為))?

4匯+厲7芯+%

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAB=\AB\=^ABAB

=正2-%)2+(%-乂)2(A(X],y),B(%,%))?

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(X]，x),b=(X2，%)，且b，0，貝！I

A||bob=、a。/%一/凹=0.

a_Lb(a。。)Oa?b=O=X]%+?%=0.

66.線段的定比分公式

設(shè)片(％,y),鳥(niǎo)(%,斗)，Rx，y)是線段[鳥(niǎo)的分點(diǎn)，尤是實(shí)數(shù)，且片P=X松，則

「1+幾?！?"+如鳥(niǎo)

,_%+2%1+4

7-1+/L

oQP=3+(l-r)0￡(r=-^-).

1+4

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X],%)、B(x2)y2),Clx?,y?),則△ABC的重心的坐

標(biāo)是G(X|+；+X3,X+g+%).

68.點(diǎn)的平移公式

x=x+hx=x-h

?,=<OOP=OP+PP.

j=y+&y=y-k

注：圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形F'上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'(x,y),且PP的

坐標(biāo)為(〃,女).

69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(%,k)平移后得到點(diǎn)P\x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(〃,Z)平移后得到圖象C',則C的函數(shù)解析式

為y=f(x-h)+k.

(3)圖象C按向量a=(〃,k)平移后得到圖象C,若C的解析式y(tǒng)=/(x),則C'的函數(shù)

解析式為y=/(x+〃)-h

⑷曲線C:7(x,y)=O按向量a=(〃,Z)平移后得到圖象C',則C'的方程為

f(x-h,y-k)=O.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(〃,A)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A4BC所在平面上一點(diǎn)，角A,3,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,。,c,則

222

(1)。為"的外心=OB~=OC.

(2)。為A4BC的重心=04+Q8+OC=O.

(3)。為"BC的垂心o0A0B=0B0C=0C04.

(4)。為的內(nèi)心oa04+Z?0B+c0C=0.

(5)。為AABC的NA的旁心oaQ4=Z?OB+cOC.

§06.不等式

71.常用不等式：

(1)a,b^R=>a2+b222"(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).

(2)。,。€/?+=>竺22而(當(dāng)且僅當(dāng)@=13時(shí)取“=”號(hào)).

2

(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,Z?>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,deR.

(5)|tz|-1/?|<|a+Z?|<|a|+|b|.

72.極值定理

已知，都是正數(shù)，則有

(1)若積刈是定值P，則當(dāng)冗=y時(shí)和x+y有最小值2折；

1

(2)若和%+>是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積p有最大值一$29.

4

推廣已知?jiǎng)t有(x+y)2=(x-y)2+2孫

(1)若積犯是定值，則當(dāng)I尤-y|最大時(shí)，|x+y|最大;

當(dāng)|x-y|最小時(shí)，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，則當(dāng)|x-y|最大時(shí)，|孫|最?。?/p>

當(dāng)|x-yl最小時(shí)，|町|最大.

73.一元二次不等式ax2+/?x+c>0(或<0)(a，0,A=Z?2—4ac>0),如果a與

a?+版+。同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與雙2+法+。異號(hào)，則其解集在兩

根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

X1O(X-X1)(X-W)<0(王<x2)；

WO(X—%)(x—工2)>0(%<x2).

74.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

2

<0X<相o-a<x<a.

>a<^>x2>。20尤>?；颍?lt;—a.

75.無(wú)理不等式

/U)>0

"(X)>Jg(x)OJg(x)>0

(1)

f(x)>g(x)

/U)>0

/(x)>0

(2)"(x)>g(x)og(x)N0或<

g(x)<0

J(x)>[g(x)]2

7u)>o

"(x)<g(x)6g(x)>0.

J(x)<[g(x)/

76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

（1）當(dāng)。>1時(shí)，

afM>as（x）o/（x）>g（x）；

/U)>0

log”/(%)>log?g(x)o-g(x)>0

f(x)>g(x)

(2)當(dāng)()<a<l時(shí)，

af(x)>as(x)<=>/(x)<g(x);

7(x)>0

logu/(x)>log?g(x)o，g(x)〉0

f(x)<g(x)

§07.直線和圓的方程

77.斜率公式

左=江耳（片（芭，Y）、月6,%））-

々一西

78.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=Z（x—M）（直線/過(guò)點(diǎn)片（看,弘），且斜率為2）.

（2）斜截式y(tǒng)=6+6（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點(diǎn)式。~~"可（yH%）（耳（與，、1）、8（電,為）（玉。%））.

%一乂為2一%

（4）截距式2+N=l（a、b分別為直線的橫、縱截距，。、人工（））

ab

（5）一般式Av+5y+C=0（其中A、B不同時(shí)為0）.

79.兩條直線的平行和垂直

⑴若4:y=,l2:y=&x+4

①411404=&，4w/

②k-LI2<=>4e=-1.

（2）若4：4x+gy+G=0,4：4%+52y+G=°，且Ai、Az、Bl、B2都不為零,

①4II/2OA=，G；

124B2c2

②4u044+4坊=。；

80.夾角公式

(1)tana=|&—―|.

1+七勺

(/(:y^k}x+b],Z2:y=七》+為"

(2)tana=—---.

44+4員

(4:Alx+Bly+Ci=0,/2:Ax+B2y+C2=0,44+4坊/())?

n

直線4_L/,時(shí)，直線/1與/2的夾角是上.

-2

81.4到/2的角公式

(1)tana=冬~.

1+k2kl

(l{-.y=kxx+bx,l2-.y=k2x+b2,kxk2^-\)

(2)tana=---.

4A2+4B2

(A-.A^x+B^y+Q^0,l2:A2x+B2y+C2=0,44+45H0).

直線4_L4時(shí)，直線h到12的角是T.

82.四種常用直線系方程

（1）定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)寫(xiě)（朝,為）的直線系方程為了一%=依%一%0）（除直線

x=x0），其中人是待定的系數(shù)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4（%,%）的直線系方程為

4（尤一天）+8（＞-%）=0，其中4臺(tái)是待定的系數(shù).

（2）共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線4：4x+gy+G=0,/2：4尤+82y+。2=。的交

點(diǎn)的直線系方程為（4%+用丁+。］）+〃4%+為卜+。2）=0（除/2），其中人是待定的系數(shù)?

（3）平行直線系方程：直線），=a+。中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線

系方程.與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是AX+B），+；1=0（/IH0）,人是

參變量.

（4）垂直直線系方程：與直線4t+8），+C=0（AWO,BW0）垂直的直線系方程是

Bx-Ay+A=0,A?是參變量.

83.點(diǎn)到直線的距離

d=的上吐Cl（點(diǎn)p（Xo,為），直線/：Ax+By+c=o）.

\IA2+B2

84.4+8），+。＞0或＜（）所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ar+8），+C=0,則—+5y+C＞0或＜0所表示的平面區(qū)域是：

若840,當(dāng)8與Ax+gy+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)8與Ac+8y+C

異號(hào)時(shí)，表示直線/的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在上，異號(hào)在下.

若8=0,當(dāng)A與Ax+B），+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ax+8y+C

異號(hào)時(shí)，表示直線/的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左.

85.（4兀+4^+。1）（41+與》+6）＞0或＜0所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線c：（Ax+4y+G）（4x+32y+G）=o（44432。。），貝（J

（4工+4、+0（4%+62丁+6）＞0或＜0所表示的平面區(qū)域是：

(Ax+gy+CJ(&x+與y+G)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(Ax++G)(4x+與y+G)<0所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-^)2=r.

(2)圓的一般方程x1+y2+Dx+Ey+F^0(D2+E2-4F>0).

—x=a+rcosO

(3)圓的參?數(shù)方程\.八.

y-b+rsm0

(4)圓的直徑式方程(x-玉)(x—X2)+(y—X)(y-必)=。(圓的直徑的端點(diǎn)是

A(%,y)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

(1)過(guò)點(diǎn)A(X],y),8(々,火)的圓系方程是

(x-Xi)(x—x2)+(y-M)(y-y2)+R(x-%)(yi-y2)-(y—yi)(Xi-々)1=0

<^>(x-xI)(x-x2)+(y-yl)(y-y2)+2(ax+^y+c)=0,其中ax+by+c=O是直線

AB的方程，入是待定的系數(shù).

⑵過(guò)直線/:Ax+By+C=O與圓。：％2+丫2+瓜+砂+尸=0的交點(diǎn)的圓系方程

是/+/+瓜+或+/+；1(/5+3)，+0=0,入是待定的系數(shù).

(3)過(guò)圓G:f+y2+￡>/+耳T+6二。與圓&：必+9+已工+4丁+月二。的交

22

點(diǎn)的圓系方程是x+y~+Dtx+Ety++/l(x+y~+D-,x+￡,y+/^)=0,人是待定的

系數(shù).

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)與圓(x—a/+(y—初2=/的位置關(guān)系有三種

若d={(a-Xof+3-%)2,貝！|

d>r=點(diǎn)P在圓外；d=ro點(diǎn)P在圓上；d<r=點(diǎn)P在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+8)，+C=0與圓(x—。產(chǎn)+(y—32=尸的位置關(guān)系有三種：

d>ro相離o△<0;

d—r<=>相切<=>A=0;

“<廣。相交oA>0.

IAa+Bb+C|

其中d=

y/A2+B2

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為0“。2,半徑分別為n,r2,\O}O2\=d

d>rt+r2o外離。4條公切線；

。=4+Go外切o3條公切線；

\rt-r2\<d<rt+r2o相交=2條公切線；

d=\r]—r2\o內(nèi)切ol條公切線；

0cd<卜-q|o內(nèi)含o無(wú)公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓X2+y2+Dx+Ey+F=0.

①若已知切點(diǎn)(毛,％)在圓上，則切線只有一條，其方程是

D（X+A:）￡（y+y）

/工+先丁+—30—+—0—+/=（）?

當(dāng)（x0,為）圓外時(shí)，x0x++。呼"）+"今+'）+/=。表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)

的切點(diǎn)弦方程.

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為^-加=-%-拓），再利用相切條件求k,這時(shí)必

有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為丁=奴+人，再利用相切條件求b,必有兩條切線.

（2）已知圓f+j?=r.

①過(guò)圓上的玲（拓,為）點(diǎn)的切線方程為x（）x+x）y=，；

②斜率為k的圓的切線方程為y=kx+n/1+T.

§08.圓錐曲線方程

22

92.橢圓，+[=1(。>?！?)的參數(shù)方程是?x=acosO

a~b~y=hsin0

22

93.橢圓5+與=1(。>。>0)焦半徑公式

a~h~

22

|P￡|=e(x+?),\PF2\=e(^--x).

94.橢圓的的內(nèi)外部

r22r2v2

（1）點(diǎn)P（xo，%）在橢圓—?+4v=l（a＞b〉0）的內(nèi)部0T?+普＜1.

abah

2222

（2）點(diǎn)在橢圓=+4=1（。＞。＞0）的外部=與+4＞1.

Q.b~a"b"

95.橢圓的切線方程

22

（1）橢圓二+二=1（。＞。＞0）上一點(diǎn)尸（%,%）處的切線方程是岑+誓=1.

abab

X2,y2

（2）過(guò)橢圓r+與=l（a＞b＞0）外一點(diǎn)%）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

警+誓=1.

a2b1

x22

(3)橢圓r+、v=l(a>%>0)與直線Ax+By+C=O相切的條件是

ab

A^a2+B2b2=c2.

22

96.雙曲線=一4=1(。>0,8>0)的焦半徑公式

a~b"

22

\PF\=\e{x^--)|,\PF2\=^e(---x)|.

cc

97.雙曲線的內(nèi)外部

2222

(1)點(diǎn)P(XO,%)在雙曲線—y—=1(Q>0,/?>0)的內(nèi)部<=>-y->1?

abab

(2)點(diǎn)P(x0,%)在雙曲線=Ka〉0,。＞0)的外部o之一與＜1.

ab~ab

98.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

(1)若雙曲線方程為二?一4=1=＞漸近線方程：「-與=0=y=±2x.

a-b2a2b2a

22

(2)若漸近線方程為?；=±2'0±±2=0=雙曲線可設(shè)為二—==九.

aahab~

2222

(3)若雙曲線與「一馬=1有公共漸近線，可設(shè)為三-q=