《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)　圓的方程-教師復(fù)習(xí)驗收卷

《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)圓的方程-教師復(fù)習(xí)驗收卷《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)圓的方程-教師復(fù)習(xí)驗收卷/《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)圓的方程-教師復(fù)習(xí)驗收卷第3節(jié)圓的方程知識梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a,b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞充要條件：D2＋E2－4F＞圓心坐標：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2),－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0,y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外,即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外;(2)|MC|＝r?M在圓上,即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上;(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi),即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi)．1．圓心在坐標原點,半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2．以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.診斷自測1．判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打"√”或"×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0,B＝0,D2＋E2－4AF>0.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)當(dāng)a＝0時,x2＋y2＝a2表示點(0,0);當(dāng)a＜0時,表示半徑為|a|的圓．(3)當(dāng)(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0,即m＜eq\f(1,4)或m＞1時表示圓．2．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標和半徑分別是()A．(2,3),3B．(－2,3),eq\r(3)C．(－2,－3),13D．(2,－3),eq\r(13)答案D解析圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13,所以圓心坐標是(2,－3),半徑r＝eq\r(13).3．過點A(1,－1),B(－1,1),且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案C解析設(shè)圓心C的坐標為(a,b),半徑為r.因為圓心C在直線x＋y－2＝0上,所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2,所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2,所以a＝1,b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.4．(2020·北京卷)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(3,4),則其圓心到原點的距離的最小值為()A．4B．5C．6D．7答案A解析由平面幾何知識知,當(dāng)且僅當(dāng)原點、圓心、點(3,4)共線時,圓心到原點的距離最小且最小值為dmin＝eq\r((3－0)2＋(4－0)2)－1＝4.故選A.5．(多選題)(2021·濟南調(diào)研)已知圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0,則下列說法正確的是()A．圓M的圓心為(4,－3)B．圓M被x軸截得的弦長為10C．圓M的半徑為5D．圓M被y軸截得的弦長為6答案ACD解析由圓M的一般方程為x2＋y2－8x＋6y＝0,則圓M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52,故圓心為(4,－3),半徑為5,則AC正確;令x＝0,得y＝0或y＝－6,弦長為6,故D正確;令y＝0,得x＝0或x＝8,弦長為8,故B錯誤．6．(2020·全國Ⅱ卷)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切,則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(4\r(5),5)答案B解析設(shè)圓心為P(x0,y0),半徑為r,∵圓與x軸,y軸都相切,∴|x0|＝|y0|＝r,又圓經(jīng)過點(2,1),∴x0＝y(tǒng)0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2,∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2,解得r＝1或r＝5.當(dāng)r＝1時,圓心坐標為(1,1),此時圓心到直線2x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2×1－1－3|,\r(22＋(－1)2))＝eq\f(2\r(5),5);當(dāng)r＝5時,圓心坐標為(5,5),此時圓心到直線2x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2×5－5－3|,\r(22＋(－1)2))＝eq\f(2\r(5),5).綜上,圓心到直線2x－y－3＝0的距離為eq\f(2\r(5),5).考點一圓的方程1．在平面直角坐標系中,經(jīng)過三點(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為________________．答案x2＋y2－2x＝0解析法一設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0,,1＋1＋D＋E＋F＝0,,4＋2D＋F＝0,))解得D＝－2,E＝0,F＝0,故圓的方程為x2＋y2－2x＝0.法二設(shè)O(0,0),A(1,1),B(2,0),則kOA＝1,kAB＝－1,所以kOA·kAB＝－1,即OA⊥AB,所以△OAB是以角A為直角的直角三角形,則線段BO是所求圓的直徑,則圓心為C(1,0),半徑r＝eq\f(1,2)|OB|＝1,圓的方程為(x－1)2＋y2＝1,即x2＋y2－2x＝0.2．已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上,圓C與直線x－y＝0相切,且截直線x－y－3＝0所得的弦長為eq\r(6),則圓C的方程為________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析法一∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上,∴可設(shè)所求圓的圓心為(a,－a)．∵所求圓與直線x－y＝0相切,∴半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圓截直線x－y－3＝0所得的弦長為eq\r(6),圓心(a,－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2)),∴d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝r2,即eq\f((2a－3)2,2)＋eq\f(3,2)＝2a2,解得a＝1,∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0),則圓心(a,b)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|a－b－3|,\r(2)),∴r2＝eq\f((a－b－3)2,2)＋eq\f(3,2),即2r2＝(a－b－3)2＋3.①∵所求圓與直線x－y＝0相切,∴eq\f(|a－b|,\r(12＋(－1)2))＝r.②又∵圓心在直線x＋y＝0上,∴a＋b＝0.③聯(lián)立①②③,解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,,b＝－1,,r＝\r(2),))故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.3．(2020·鄭州二模)圓(x＋2)2＋(y－12)2＝4關(guān)于直線x－y＋8＝0對稱的圓的方程為()A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4答案C解析設(shè)對稱圓的圓心為(m,n),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－12,m＋2)＝－1,,\f(m－2,2)－\f(n＋12,2)＋8＝0,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4,,n＝6,))所以所求圓的圓心為(4,6),故所求圓的方程為(x－4)2＋(y－6)2＝4,故選C.4．(多選題)(2021·濟南質(zhì)檢)已知圓C被x軸分成兩部分的弧長之比為1∶2,且被y軸截得的弦長為4,當(dāng)圓心C到直線x＋eq\r(5)y＝0的距離最小時,圓C的方程為()A．(x＋4)2＋(y－eq\r(5))2＝20B．(x－4)2＋(y＋eq\r(5))2＝20C．(x＋4)2＋(y＋eq\r(5))2＝20D．(x－4)2＋(y－eq\r(5))2＝20答案AB解析設(shè)圓心為C(a,b),半徑為r,圓C被x軸分成兩部分的弧長之比為1∶2,則其中劣弧所對圓心角為120°,由圓的性質(zhì)可得r＝2|b|,又圓被y軸截得的弦長為4,∴a2＋4＝r2,∴a2＋4＝4b2,變形為b2－eq\f(a2,4)＝1,即C(a,b)在雙曲線y2－eq\f(x2,4)＝1上,易知雙曲線y2－eq\f(x2,4)＝1上與直線x＋eq\r(5)y＝0平行的切線的切點為(a,b),此點到直線x＋eq\r(5)y＝0的距離最?。O(shè)切線方程為x＋eq\r(5)y＝m,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\r(5)y＝m,,y2－\f(x2,4)＝1,))消法y得x2＋8mx－(4m2－20)＝∴Δ＝64m2＋4(4m2－20)＝0,解得m＝1時,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4,,y＝\r(5),))m＝－1時,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,,y＝－\r(5),))即切點為(－4,eq\r(5))或(4,－eq\r(5)),半徑為r＝2eq\r(5),∴圓的方程為(x＋4)2＋(y－eq\r(5))2＝20或(x－4)2＋(y＋eq\r(5))2＝20.感悟升華求圓的方程時,應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說,求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法,通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量．確定圓的方程時,常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心三點共線;(2)代數(shù)法,即設(shè)出圓的方程,用待定系數(shù)法求解．考點二與圓有關(guān)的最值問題角度1利用幾何意義求最值【例1】已知點(x,y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值;(2)求x＋y的最大值和最小值;(3)求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．解(1)eq\f(y,x)可視為點(x,y)與原點連線的斜率,eq\f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值,即直線與圓相切時的斜率．設(shè)過原點的直線的方程為y＝kx,由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑,即eq\f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1,解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3),∴eq\f(y,x)的最大值為－2＋eq\f(2\r(3),3),最小值為－2－eq\f(2\r(3),3).(2)設(shè)t＝x＋y,則y＝－x＋t,t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距,∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值,即直線與圓相切時在y軸上的截距．由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑,即eq\f(|2＋(－3)－t|,\r(2))＝1,解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值為eq\r(2)－1,最小值為－eq\r(2)－1.(3)eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r((x＋1)2＋(y－2)2),求它的最值可視為求點(x,y)到定點(－1,2)的距離的最值,可轉(zhuǎn)化為求圓心(2,－3)到定點(－1,2)的距離與半徑的和或差．又圓心到定點(－1,2)的距離為eq\r(34),∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值為eq\r(34)＋1,最小值eq\r(34)－1.感悟升華把有關(guān)式子進行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題,充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見：(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題;(2)形如m＝ax＋by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題;(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題．角度2利用對稱性求最值【例2】(2020·衡水聯(lián)考)已知A(0,2),點P在直線x＋y＋2＝0上,點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上,則|PA|＋|PQ|的最小值是________．答案2eq\r(5)解析因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0,所以圓C是以C(2,1)為圓心,半徑r＝eq\r(5)的圓．設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A′(m,n),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0,,\f(n－2,m－0)＝1,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4,,n＝－2,))故A′(－4,－2)．連接A′C交圓C于Q(圖略),此時,|PA|＋|PQ|取得最小值,由對稱性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|＝|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).感悟升華求解形如|PM|＋|PN|(其中M,N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)"動化定”,把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離;(2)"曲化直”,即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過對稱性解決．角度3建立函數(shù)關(guān)系求最值【例3】(2021·重慶模擬)設(shè)點P(x,y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點,定點A(2,0),B(－2,0),則·的最大值為________．答案12解析由題意,知＝(2－x,－y),＝(－2－x,－y),所以·＝x2＋y2－4,由于點P(x,y)是圓上的點,故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1,故x2＝－(y－3)2＋1,所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1,易知2≤y≤4,所以,當(dāng)y＝4時,·的值最大,最大值為6×4－12＝12.感悟升華根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)函數(shù)知識或基本不等式求最值．【訓(xùn)練1】(1)已知兩點A(－1,0),B(0,2),點P是圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點,則△PAB面積的最大值與最小值分別是()A．2,eq\f(1,2)(4－eq\r(5))B.eq\f(1,2)(4＋eq\r(5)),eq\f(1,2)(4－eq\r(5))C.eq\r(5),4－eq\r(5)D.eq\f(1,2)(eq\r(5)＋2),eq\f(1,2)(eq\r(5)－2)(2)(2020·長沙模擬)圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是________．答案(1)B(2)eq\r(2)＋1解析(1)如圖,圓心(1,0)到直線AB：2x－y＋2＝0的距離d＝eq\f(4,\r(5)),故圓上的點P到直線AB的距離的最大值是eq\f(4,\r(5))＋1,最小值是eq\f(4,\r(5))－1.又|AB|＝eq\r(5),故△PAB面積的最大值和最小值分別是2＋eq\f(\r(5),2),2－eq\f(\r(5),2).故選B.(2)將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1,圓心坐標為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x－y＝2的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2),故圓上的點到直線x－y＝2的距離的最大值為d＋1＝eq\r(2)＋1.考點三與圓有關(guān)的軌跡問題【例4】已知Rt△ABC的斜邊為AB,且A(－1,0),B(3,0),求：(1)直角頂點C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．解(1)法一設(shè)C(x,y),因為A,B,C三點不共線,所以y≠0.因為AC⊥BC,且BC,AC斜率均存在,所以kAC·kBC＝－1,又kAC＝eq\f(y,x＋1),kBC＝eq\f(y,x－3),所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1,化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此,直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二設(shè)AB的中點為D,由中點坐標公式得D(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知,動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共線,所以應(yīng)除去與x軸的交點)．所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設(shè)M(x,y),C(x0,y0),因為B(3,0),M是線段BC的中點,由中點坐標公式得x＝eq\f(x0＋3,2),y＝eq\f(y0＋0,2),所以x0＝2x－3,y0＝2y.由(1)知,點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0),將x0＝2x－3,y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4,即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．感悟升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時,根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法,直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;(2)定義法,根據(jù)圓、直線等定義列方程;(3)幾何法,利用圓的幾何性質(zhì)列方程;(4)代入法,找到要求點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式等．【訓(xùn)練2】設(shè)定點M(－3,4),動點N在圓x2＋y2＝4上運動,以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點P的軌跡方程．解如圖,設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2),\f(y,2))),線段MN的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2),\f(y0＋4,2))).因為平行四邊形的對角線互相平分,所以eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2),eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2),整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3,,y0＝y(tǒng)－4,))又點N(x0,y0)在圓x2＋y2＝4上,所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以點P的軌跡是以(－3,4)為圓心,2為半徑的圓,直線OM與軌跡相交于兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5),\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5),\f(28,5))),不符合題意,舍去,所以點P的軌跡為(x＋3)2＋(y－4)2＝4,除去兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5),\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5),\f(28,5))).A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因為圓心為(1,1)且過原點,所以該圓的半徑r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2),則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓,則m的取值范圍是()A．(－∞,－eq\r(2))B．(－∞,－2eq\r(2))∪(2eq\r(2),＋∞)C．(－∞,－eq\r(3))D．(－∞,－2eq\r(3))∪(2eq\r(3),＋∞)答案B解析將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標準方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))eq\s\up12(2)＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2.由其表示圓可得eq\f(m2,4)－2>0,解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).3．(2021·荊州模擬)若圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱,則k的值是()A．2B．－2C．1D．－1答案B解析由題意知直線y＝kx＋3過圓心(1,1),即1＝k＋3,解得k＝－2.4．點P(4,－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案A解析設(shè)圓上任意一點為(x1,y1),中點為(x,y),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋4,2),,y＝\f(y1－2,2),))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－4,,y1＝2y＋2,))代入x2＋y2＝4,得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4,化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5．(2020·成都診斷)若拋物線y＝x2－2x－3與坐標軸的交點在同一個圓上,則由交點確定的圓的方程為()A．x2＋(y－1)2＝4B．(x－1)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋y2＝4D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5答案D解析拋物線y＝x2－2x－3關(guān)于直線x＝1對稱,與坐標軸的交點為A(－1,0),B(3,0),C(0,－3),設(shè)圓心為M(1,b),半徑為r,則|MA|2＝|MC|2＝r2,即4＋b2＝1＋(b＋3)2＝r2,解得b＝－1,r＝eq\r(5),所以由交點確定的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.故選D.6．(2021·西安調(diào)研)已知圓C經(jīng)過P(－2,4),Q(3,－1)兩點,且在x軸上截得的弦長為6,則圓C的方程為()A．x2＋y2－2x－4y－8＝0B．x2＋y2＋2x－4y－8＝0C．x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0D．x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0答案C解析設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,D2＋E2－4F>0將P,Q兩點的坐標代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20,①,3D－E＋F＝－10,②))令y＝0,得x2＋Dx＋F＝0,③設(shè)x1,x2是方程③的兩根,由|x1－x2|＝6得D2－4F＝36由①②④得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2,,E＝－4,,F＝－8))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－6,,E＝－8,,F＝0,))故所求的圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.二、填空題7．已知a∈R,方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓,則圓心坐標是________,半徑是________答案(－2,－4)5解析由已知方程表示圓,則a2＝a＋2,解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時,方程不滿足表示圓的條件,故舍去．當(dāng)a＝－1時,原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0,化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25,表示以(－2,－4)為圓心,半徑為5的圓．8．若圓C：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2m)))eq\s\up12(2)＝n的圓心為橢圓M：x2＋my2＝1的一個焦點,且圓C經(jīng)過M的另一個焦點,則圓C的標準方程為________．答案x2＋(y＋1)2＝4解析∵圓C的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,－\f(1,2m))),∴eq\r(\f(1,m)－1)＝eq\f(1,2m),m＝eq\f(1,2).又圓C經(jīng)過M的另一個焦點,則圓C經(jīng)過點(0,1),從而n＝4.故圓C的標準方程為x2＋(y＋1)2＝4.9．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1,圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|＋|PN|的最小值為________．答案5eq\r(2)－4解析P是x軸上任意一點,則|PM|的最小值為|PC1|－1,同理|PN|的最小值為|PC2|－3,則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C1′(2,－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq\r(2),即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.三、解答題10．已知M(x,y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點,且點Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值;(3)求y－x的最大值和最小值．解(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0,可得(x－2)2＋(y－7)2＝8,∴圓心C的坐標為(2,7),半徑r＝2eq\r(2).又|QC|＝eq\r((2＋2)2＋(7－3)2)＝4eq\r(2),∴|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2),|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(y－3,x＋2)表示直線MQ的斜率k,設(shè)直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2),即kx－y＋2k＋3＝0.∵直線MQ與圓C有交點,∴eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2),可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3),∴eq\f(y－3,x＋2)的最大值為2＋eq\r(3),最小值為2－eq\r(3).(3)設(shè)y－x＝b,則x－y＋b＝0.當(dāng)直線y＝x＋b與圓C相切時,截距b取到最值,∴eq\f(|2－7＋b|,\r(12＋(－1)2))＝2eq\r(2),∴b＝9或b＝1.∴y－x的最大值為9,最小值為1.11．設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|＝8.(1)求l的方程;(2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程．解(1)由題意得F(1,0),l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k(x－1),,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0,故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8,解得k＝－1(舍去),k＝1.因此l的方程為y＝x－1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3),即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0,y0),則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5,,(x0＋1)2＝\f((y0－x0＋1)2,2)＋16.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3,,y0＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝11,,y0＝－6.))圓的半徑為x0＋eq\f(p,2)＝4或12,因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.B級能力提升12．(多選題)(2021·武漢質(zhì)檢)實數(shù)x,y滿足x2＋y2＋2x＝0,則下列說法正確的是()A.eq\r(x2＋y2－2x－2y＋2)的最大值為eq\r(5)＋1B.eq\r(x2＋y2－2x－2y＋2)的最小值為2C