滬教版暑假新九年級數學考點講與練第14講二次函數中的平移問題(考點講與練)(原卷版+解析)

第14講二次函數中的平移問題（核心考點講與練）【基礎知識】一．二次函數圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．二．坐標與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標變化①向右平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y+b）①向下平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．）三、二次函數中的平移問題主要是點的平移和圖形的平移：針對頂點式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號內），上加下減”，同時保持a不變。【考點剖析】1．(2023普陀二模）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線經過、兩點．（1）求拋物線的表達式及頂點P的坐標；（2）將拋物線向左平移個單位，設平移后的拋物線頂點為點．①求的度數；②將線段繞點B按逆時針方向旋轉150°，點落在點M處，點N是平移后的拋物線上的一點，當△MNB的面積為1時，求點N的坐標．2.(2023寶山二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=13x2+bx﹣1與x軸交于點A和點B（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點（1）求頂點P和點B的坐標；（2）將拋物線向右平移2個單位，得到的新拋物線與y軸交于點M，求點M的坐標和△APM的面積；（3）如果點N在原拋物線的對稱軸上，當△PMN與△ABC相似時，求點N的坐標．【過關檢測】1．(2023普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點C，聯結AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達式；（2）點D在拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸上，當∠ACD＝90°時，求點D的坐標；（3）將△AOC平移，平移后點A仍在拋物線上，記作點P，此時點C恰好落在直線AB上，求點P的坐標．yx2bxc（0和（4Px軸相Q.BCBQ=CP3(2023閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標系中，直線與牰交于點，與軸交于點．點C為拋物線的頂點．（1）用含的代數式表示頂點的坐標：（2）當頂點在△AOB內部，且S△AOC（3）如果將拋物線向右平移一個單位，再向下平移個單位后，平移后的拋物線的頂點仍在△AOB內，求的取值范圍．4(2023奉賢一模24）（本題滿分12分,第(1)小題滿分4分,第(2)小題每小題滿分4分)如圖11,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A(?1,0)和點B(3,0),與y(1)求該拋物線的表達式的頂點D的坐標;(2)將拋物線沿y軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點為M,點C的對應點為E.①如果點M落在線段BC上,求∠DBE的度數②設直線ME與x軸正半軸交于點P,與線段BC交于點Q,當PE=2PQ時,圖圖115．(2023?松江區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經過點A．將點B向右平移5個單位長度，得到點C．（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的對稱軸；（3）若拋物線的頂點在△OBC的內部，求a的取值范圍．6.【2023年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（5，0）（如圖），經過點A的拋物線與y軸相交于點B，頂點為點C．求此拋物線表達式與頂點C的坐標；求∠ABC的正弦值；將此拋物線向上平移，所得新拋物線頂點為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達式．（第2（第24題圖）AOxy7.【2023年長寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經過點A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點C（1）求拋物線的表達式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個單位長度，聯結AC、BC，當拋物線與△ABC的三邊有且只有一個公共點時，求m的值；（3）如果點P是拋物線上一動點，且在點B的右側，聯結PC，直線PA交y軸于點E，當∠PCE＝∠PEC時，求點P的坐標．8.【2023年奉賢二?！咳鐖D，在平面直角坐標系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經過點A、C．（1）求這條拋物線的表達式；（2）將拋物線先向右平移m個單位，再向上平移1個單位，此時點C恰好落在直線AB上的點C′處，求m的值；（3）設點B關于原拋物線對稱軸的對稱點為B′，聯結AC，如果點F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點F的坐標．9.【2023年浦東新區(qū)二模24】（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx經過點A（2，0）．直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C．（1）求這條拋物線的表達式和頂點的坐標；（2）將拋物線y＝x2+bx向右平移，使平移后的拋物線經過點B，求平移后拋物線的表達式；（3）將拋物線y＝x2+bx向下平移，使平移后的拋物線交y軸于點D，交線段BC于點P、Q，（點P在點Q右側），平移后拋物線的頂點為M，如果DP∥x軸，求∠MCP的正弦值．第14講二次函數中的平移問題（核心考點講與練）【基礎知識】一．二次函數圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．二．坐標與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標變化①向右平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個單位，坐標P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y+b）①向下平移b個單位，坐標P（x，y）?P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．）三、二次函數中的平移問題主要是點的平移和圖形的平移：針對頂點式拋物線的平移規(guī)律是：“左加右減（括號內），上加下減”，同時保持a不變?！究键c剖析】1．(2023普陀二模）在平面直角坐標系xOy中（如圖），已知拋物線經過、兩點．（1）求拋物線的表達式及頂點P的坐標；（2）將拋物線向左平移個單位，設平移后的拋物線頂點為點．①求的度數；②將線段繞點B按逆時針方向旋轉150°，點落在點M處，點N是平移后的拋物線上的一點，當△MNB的面積為1時，求點N的坐標．答案:（1），（2）①；②或分析：（1）根據題意待定系數法求解析式即可，然后化為頂點式即可求得頂點P的坐標；（2）①連接，則軸，設交點為C，則，根據平移求得點的坐標，進而即可求得的度數，②根據題意畫出圖形，過點M作軸于點D，過點N作軸于點E，根據△MNB的面積為1建立方程，即可求得點N的坐標．【小問1詳解】解：∵拋物線經過、解得∴∴【小問2詳解】∵拋物線向左平移個單位，設平移后的拋物線頂點為點∴連接，則軸，設交點為C，則∵∴，在中，∴②過點M作軸于點D，過點N作軸于點E，∵在中，，，∴，，則∵將線段繞點B按逆時針方向旋轉150°，點落在點M處，∴∴在與△BMD中∴∴，∵∴∵將拋物線向左平移個單位，平移后的拋物線頂點∴平移后的拋物線解析式為設，則∴，∵∴∴∵∴解得或∴N的坐標為或【點評】本題考查了二次函數綜合運用，待定系數法求解析式，面積問題，平移問題，勾股定理解直角三角形，旋轉的性質，根據題意作出圖形是解題的關鍵．2.(2023寶山二模）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=13x2+bx﹣1與x軸交于點A和點B（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點（1）求頂點P和點B的坐標；（2）將拋物線向右平移2個單位，得到的新拋物線與y軸交于點M，求點M的坐標和△APM的面積；（3）如果點N在原拋物線的對稱軸上，當△PMN與△ABC相似時，求點N的坐標．分析：（1）根據題意可畫出函數圖象，由tan∠CAB=13可得OCOA=13，令x＝0可得y＝﹣1，進而可得C（0，﹣1），即OC＝1，由此可得A（3，0），將點A的坐標代入拋物線解析式可求出b的值，化作頂點式可求出點P的坐標；令（2）根據拋物線的平移可求出新拋物線，令x＝0，可得出點M的坐標，利用三角形的面積公式可求出△APM的面積；（3）過點M作MQ垂直于原拋物線的對稱軸，可得出MQ和PQ的長，進而可得出tan∠MPQ＝tan∠CAB=13，由△PMN與△ABC相似可得，PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，由此可得出點【解答】解：（1）根據題意可畫出函數圖象，令x＝0可得y＝﹣1，∴C（0，﹣1），即OC＝1．在Rt△AOC中，tan∠CAB=1∴OCOA∴OA＝3，∴A（3，0）．將點A的坐標代入拋物線解析式可得，13×32+3b﹣1＝0，解得b∴拋物線的解析式為：y=13x2?23x﹣1∴頂點P（1，?4令y＝0，即13（x﹣1）2?∴x＝3或x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．（2）將（1）中拋物線向右平移2個單位，得到的新拋物線y=13（x﹣3）2令x＝0，則y=5∴M（0，53連接AP并延長交y軸于點D，∴直線AP的解析式為：y=23∴D（0，﹣2），∴S△APM=12（xA﹣xP）?MD=12×（3）在△ABC中，A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣1），tan∠CAB=1∴AB＝4，AC=10如圖，過點M作MQ垂直于原拋物線的對稱軸，∴MQ＝1，PQ53∴tan∠MPQ=MQPQ=1∴∠MPQ＝∠CAB，若△PMN與△ABC相似，則PM：PN＝AB：AC或PM：PN＝AC：AB，設N（1，t），則PN＝t+4∴10：（t+43）＝4：10或10：（t+4解得t=76或t∴N（1，76）或（1，8【點評】本題屬于二次函數與幾何綜合題，涉及待定系數法求函數解析式，三角函數值，相似三角形的性質與判定，分類討論思想等知識．第（3）問得出∠MPQ＝∠CAB是解題關鍵．【過關檢測】1．(2023普陀區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝﹣x+1交于點A（m，0），B（﹣3，n），與y軸交于點C，聯結AC．（1）求m、n的值和拋物線的表達式；（2）點D在拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸上，當∠ACD＝90°時，求點D的坐標；（3）將△AOC平移，平移后點A仍在拋物線上，記作點P，此時點C恰好落在直線AB上，求點P的坐標．分析：（1）利用待定系數法求出A，B兩點坐標即可解決問題．（2）過點D作DH⊥y軸于點H，由直角三角形的性質得出tan∠ACO＝tan∠CDH，則，可列出方程求出CH的長，則可得出答案；（3）設P（t，），得出N（t﹣3，），由點N在直線AB上可得出t的值，則可得出答案．【解答】解：（1）將A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），將B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．（2）如圖1，過點D作DH⊥y軸于點H，∵拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．∴拋物線的對稱軸為x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如圖2，若平移后的三角形為△PMN，則MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，設P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵點N在直線y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【點評】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，一次函數的性質，直角三角形的性質，銳角三角函數的定義，平移的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用轉化的思想思考問題，學會利用參數構建方程確定點的坐標．yx2bxc（0和（4Px軸相Q.BCBQ=CP解：（1）根據題意………（2分）解得：，。∴拋物線的表達式是…………………（2分）（2），∴頂點P的坐標是（2，5）.對稱軸是直線x=2，點Q的坐標為（2，0）.…………（1分）∴，，；……………………（1分）∴，∴∠COM=90°，…………………（2分）（3）根據題意，BC∥PQ.如果點C在點B的上方,PC∥BQ時，四邊形BCPQ是平行四邊形，∴BQ=CP，BC=PQ=5，即拋物線向上平移5個單位，平移后的拋物線解析式是.…………（2分）如果點C在點B的下方，四邊形BCQP是等腰梯形時BQ=CP，作BE⊥PQ，CF⊥PQ，垂足分別為E、F.根據題意可得，PE=QF=1，PQ=5，BC=EF=3，即拋物線向下平移3個單位，平移后的拋物線解析式是……………（2分）.綜上所述，平移后的拋物線解析式是或.3(2023閔行一模24）.如圖，在平面直角坐標系中，直線與牰交于點，與軸交于點．點C為拋物線的頂點．（1）用含的代數式表示頂點的坐標：（2）當頂點在△AOB內部，且S△AOC（3）如果將拋物線向右平移一個單位，再向下平移個單位后，平移后的拋物線的頂點仍在△AOB內，求的取值范圍．【小問1詳解】解：拋物線，∴頂點C的坐標為；【小問2詳解】解：對于，當x=0時，y=5，當y=0時，x=5，∴A（5，0），B（0，5），∵頂點C在△AOB內部，且S∴，∴a=2，∴拋物線的表達式為；【小問3詳解】解：由題意，平移后的拋物線的頂點P的坐標為，∵平移后的拋物線的頂點仍在△AOB內，∴，解得：1＜a＜3，即的取值范圍為1＜a＜3．4(2023奉賢一模24）（本題滿分12分,第(1)小題滿分4分,第(2)小題每小題滿分4分)如圖11,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A(?1,0)和點B(3,0),與y(1)求該拋物線的表達式的頂點D的坐標;(2)將拋物線沿y軸上下平移,平移后所得新拋物線頂點為M,點C的對應點為E.①如果點M落在線段BC上,求∠DBE的度數②設直線ME與x軸正半軸交于點P,與線段BC交于點Q,當PE=2PQ時,圖圖11【解答】解：（1）將點A（﹣1，0）和點B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D（1，4）；（2）①設直線x＝1交x軸于G，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，∴將拋物線y＝﹣x2+2x+3沿y軸向下平移2個單位時，點M落在BC上，此時E（0，1），∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；②當點P在x軸正半軸時，則點M在x軸下方，如圖，作QH⊥x軸于H，由C（0，3），D（1，4）可知，直線CD與x軸夾角為45°，∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，∴4BH＝3，∴BH＝∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），∴平移后拋物線為y＝﹣（x﹣1）2﹣．5．(2023?松江區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y＝ax2+bx﹣5a經過點A．將點B向右平移5個單位長度，得到點C．（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的對稱軸；（3）若拋物線的頂點在△OBC的內部，求a的取值范圍．分析：（1）由y＝3x+3與x、y軸分別交于點A、B，可求出A、B坐標，B向右移動5個單位即得C坐標；（2）將A坐標代入y＝ax2+bx﹣5a可得b＝﹣4a，根據對稱軸公式可得答案；（3）對稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，拋物線的頂點在△OBC的內部，則頂點在D和E之間，用a表示頂點縱坐標列不等式可得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵點B向右平移5個單位長度，得到點C．∴C（5，3）；（2）∵A（﹣1，0），拋物線y＝ax2+bx﹣5a經過點A，∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，∴拋物線y＝ax2+bx﹣5a對稱軸為x＝＝﹣＝2；（3）對稱軸x＝2與BC交于D，與OC交于E，如圖：設OC解析式為y＝kx，∵（5，3），∴3＝5k，∴k＝，∴OC解析式為y＝x，令x＝2得y＝，即E（2，），由（1）知b＝﹣4a，∴拋物線為y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴頂點坐標為（2，﹣9a），拋物線的頂點在△OBC的內部，則頂點在D和E之間，而D（2，3），∴＜﹣9a＜3，∴﹣＜a＜﹣．【點評】本題考查點的平移、二次函數圖象等知識，表示頂點坐標列不等式是解題的關鍵．6.【2023年靜安區(qū)二模24】（本題滿分12分，其中第（1）小題4分，第（2）小題5分，第（2）小題3分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（5，0）（如圖），經過點A的拋物線與y軸相交于點B，頂點為點C．求此拋物線表達式與頂點C的坐標；求∠ABC的正弦值；將此拋物線向上平移，所得新拋物線頂點為D，且△DCA與△ABC相似，求平移后的新拋物線的表達式．（第2（第24題圖）AOxy解：（1）∵拋物線經過點A（5，0），∴． （1分）∴． （1分）∴拋物線表達式為，頂點C的坐標為（）． （2分）（2）設拋物線的對稱軸與x軸、AB分別相交于點E、F，點E（3，0）．∵點B（0，5），∴OA=OB=5,AB＝，∠OAB=45°，∴EF=AE=2，CF=6． （1分）∴． （2分）過點A作AH⊥BC，垂足為H，∵BC=，∴． （1分）∴．∴． （1分）（3）∵，∴Rt△AEC∽Rt△AHB，∴∠ACE=∠A∵△DCA與△ABC相似，∴或． （1分）∴或．∴CD=或CD=6． （1分）∵拋物線和y軸的交點向上平移的距離與頂點平移的距離相同，∴平移后的拋物線的表達式為或． （1分）7.【2023年長寧二模24】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2﹣163x+c經過點A（1，0）、B（3，0），且與y軸交于點C（1）求拋物線的表達式；（2）如果將拋物線向左平移m（m＞0）個單位長度，聯結AC、BC，當拋物線與△ABC的三邊有且只有一個公共點時，求m的值；（3）如果點P是拋物線上一動點，且在點B的右側，聯結PC，直線PA交y軸于點E，當∠PCE＝∠PEC時，求點P的坐標．答案:（1）；（2）m＝4；（3）分析：（1）由待定系數法即可求解；（2）當拋物線與△ABC的三邊有且只有一個公共點時，則拋物線過點C（0，4），即可求解；（3）求出直線PA的表達式，得到點E的坐標為（0，?t＋4），由∠PCE＝∠PEC，則點P在CE的中垂線上，進而求解．【詳解】解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：，解得故拋物線的表達式為；（2）令x=0，y=4∴C（0，4）當拋物線與△ABC的三邊有且只有一個公共點時，則拋物線過點C（0，4）由拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝2，則平移后拋物線再過點C時，m＝4；（3）設點P的坐標為（t，)，設直線PA的表達式為y＝kx+b，代入A、P坐標得，解得，∴直線PA的表達式為y＝（）x，令x=0，y=故點E的坐標為（0，﹣t+4），而點C（0，4），∵∠PCE＝∠PEC，則點P在CE的中垂線上，由中點公式得：yP＝（yC+yE），即＝（t+4），解得t＝1（舍去）或，故點P的坐標為．【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、中垂線的性質、圖形的平移等，有一定的綜合性，難度適中．8.【2023年奉賢二?！咳鐖D，在平面直角坐標系xOy中，已知B（0，2），C（1，﹣），點A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，拋物線y＝ax2＋bx（a≠0）經過點A、C．（1）求這條拋物線的表達式；（2）將拋物線先向右平移m個單位，再向上平移1個單位，此時點C恰好落在直線AB上的點C′處，求m的值；（3）設點B關于原拋物線對稱軸的對稱點為B′，聯結AC，如果點F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，求點F的坐標．答案:（1）y＝x2﹣2x；（2）4；（3）F坐標為（4，）或（4，﹣1.5）．分析：（1）求出A坐標，將A、C坐標代入y＝ax2＋bx即可得答案；（2）求出AB解析式，用m表示C′坐標代入即可得答案；（3）分F在A上方和下方兩種情況畫出圖形，構造相似三角形利用對應邊成比例可得答案．【詳解】解：（1）∵B（0，2），∴OB＝2，∵點A在x軸正半軸上，且OA＝2OB，∴A（4，0），∴將A（4，0），C（1，﹣）代入y＝ax2＋bx得：，解得，∴拋物線的表達式為y＝x2﹣2x；（2）設直線AB的解析式是y＝mx＋n，將A（4，0），B（0，2）代入得：，解得，∴直線AB的解析式是y＝﹣x＋2，∵拋物線y＝x2﹣2x向右平移m個單位，再向上平移1個單位，則其上的點C也向右平移m個單位，再向上平移1個單位，而C（1，﹣），∴C′（1＋m，﹣），∵C′（1＋m，﹣）在直線AB上，∴﹣＝﹣（1＋m）＋2，∴m＝4；（3）∵y＝x2﹣2x對稱軸為x＝2，B（0，2），點B關于原拋物線對稱軸的對稱點為B′，∴B′（4，2），∵A（4，0），∴直線AB′為x＝4，點F在直線AB′上，∠ACF＝∠BAO，分兩種情況：①F在A上方，如圖：過A作AG⊥CF于G，過G作GH//x軸交直線x＝4于H，過C作CM⊥x軸交直線GH于M，∵B（0，2），A（4，0），∴tan∠BAO＝，∵∠ACF＝∠BAO，AG⊥CF，∴tan∠ACF＝，即，而∠MCG＝90°﹣∠MGC＝∠AGH，∠M＝∠AHG，∴△MCG∽△HGA，∴，∴MC＝GH，MG＝2AH，設G（m，n），則MC＝n＋1.5，MG＝m﹣1，GH＝4﹣m．AH＝n，∴n＋1.5＝2（4﹣m），且m﹣1＝2n，解得m＝2.8，n＝0.9，∴G（28，0.9），又C，∴直線GC解析式為：y＝x﹣，令x＝4得y＝∴F（4，），②F在