數(shù)學011月新“九省聯(lián)考”考后提升卷解析

2024年1月“九省聯(lián)考”考后提升卷高三數(shù)學（考試時間：150分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．某籃球興趣小組7名學生參加投籃比賽，每人投10個，投中的個數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（

）A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7【答案】D【解析】數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7．故選：D．2．設橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，設橢圓的長軸為，半焦距為，則，則，，于是，.故選：C.3．若數(shù)列滿足，其前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為數(shù)列滿足，則數(shù)列為等差數(shù)列，設數(shù)列的公差為，則，可得，所以，，所以，，故選B.4．已知、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列命題中不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】D【解析】對于A選項，因為，過直線作平面，使得，因為，，，則，因為，，則，故，A對；對于B選項，若，，則，又因為，故，B對；對于C選項，若，，則，C對；對于D選項，若，，，則、平行或相交，D錯.故選D.5．在黨的二十大報告中，習近平總書記提出要發(fā)展“高質量教育”，促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導教育教學工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個地區(qū)指導教育教學工作的安排方法共有：種；每個地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；由古典概型的計算公式，每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為：.故選：B.6．設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則（

）A．9 B．6 C．4 D．3【答案】D【解析】設，，，，，，拋物線焦點坐標，準線方程：，，點是重心，則，.而，，，故選：D．7．已知，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由題，得，則或，因為，所以，.故選：A8．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，不妨設點P為與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線的交點.由已知結合雙曲線的定義可得，所以，，，，且為銳角.又，，所以，.又，在中，由余弦定理可得，整理可得，，所以，.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（

）A．的最小正周期為B．是奇函數(shù)C．的圖象關于直線對稱D．在上單調遞增【答案】ACD【解析】由題意，可得，則的最小正周期為，且不是奇函數(shù)，所以A正確，B不正確；當時，可得，所以的圖象關于直線對稱，所以C正確；由，得，所以在上單調遞增，所以D正確．故選：ACD.10．已知復數(shù)，（，）（為虛數(shù)單位），為的共軛復數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．的虛部為B．C．D．若，則在復平面內對應的點形成的圖形的面積為【答案】CD【解析】由題意可得，所以的虛部為，A錯誤，，故，B錯誤，，C正確，表示點到的距離不大于1的點構成的圖形，故為以為圓心，以1為半徑的圓以及內部，故面積為，D正確，故選：CD11．已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，，則下列說法正確的有（

）A． B．為奇函數(shù) C．的周期為6 D．【答案】ACD【解析】對于A，，故A正確；，，，令，則①，②，①+②可得，，，，因此，故C正確；令，，令，，，則，故，，故為偶函數(shù)，所以B不正確；因為，故關于對稱，且，，令，，則，令，，，則，，，一個周期的和為0，則，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合且，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】集合且，則.13．傳說古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn).在一個“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為.【答案】【解析】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長為，則球的體積為，所以，所以圓柱表面積為.14．對于任意兩個正實數(shù)a，b，定義，其中常數(shù)．若，且與都是集合的元素，則．【答案】/【解析】由與都是集合的元素，不妨設，因為，所以，由已知，所以，則，又，所以，即，所以，所以，，則，即，因為，所以，則，即.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直．(1)求；【解】（1），則，由題意可得，解得；（2）由，故，則，，故當時，，當時，，當時，，故的單調遞增區(qū)間為、，的單調遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.16．（15分）某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.(1)求一學生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；(2)求每位學生分得月餅數(shù)的概率分布和數(shù)學期望.【解】（1）記“一學生既分得月餅又要表演節(jié)目”為事件A，可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，所以.（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：，，可得的分布列為0123所以.17．（15分）如圖，在四棱柱中，底面和側面都是矩形，，.(1)求證：；(2)若點的在線段上，且二面角的大小為，求的值.【解】（1）在四棱柱中，底面和側面都是矩形，則側面都是矩形，有，，，平面，所以平面，又因為平面，所以.（2），.取分別為的中點，連接，，因為，平面，所以平面，因為，所以,所以以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，則.則，設，即，可得，，，設平面的一個法向量，則有，令，則，得，又平面的一個法向量，因為二面角的大小為，則有，整理得，，解得，或（舍），所以，則，有的值為2.18．（17分）在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為的準線交軸于點，過的直線與拋物線相切于點，且交軸正半軸于點.已知上的動點到點的距離與到直線的距離之和的最小值為3.(1)求拋物線的方程；(2)過點的直線交于兩點，過且平行于軸的直線與線段交于點，點滿足.證明：直線過定點.【解】（1）設，由題意知準線，由拋物線的定義可知點到點的距離等于點到準線的距離，所以點到點的距離與到直線的距離之和為，由題意知當時，距離之和最小，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，設，聯(lián)立方程，得，由得，解得，又與軸交于正半軸，所以由解得，所以點，所以直線，所以直線，所以，因為斜率存在且不為零，所以設，聯(lián)立，消去，得，則，所以且.，又直線，令，得，所以，因為，所以，所以，所以直線的方程為，所以，因為，所以直線為，所以恒過定點.19．（17分）今有一個“數(shù)列過濾器”，它會將進入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以余數(shù)為的項，將這樣的操作記為操作.設數(shù)列是無窮非減正整數(shù)數(shù)列.（1）若，進行操作后得到，設前項和為①求．②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由．（2）若，對進行與操作