考點(diǎn)02 二次根式、整式與因式分解-2022年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(浙江專版)(解析版)

考點(diǎn)02二次根式、整式與因式分解

【命題趨勢】

浙江中考中，對(duì)二次根式的考察主要集中在對(duì)其化簡計(jì)算的應(yīng)用，多以筒答題17題形式

考察，分值在3~9分，常和銳角三角函數(shù)、實(shí)數(shù)概念結(jié)合出題，屬于中考必考題；偶爾也會(huì)

以選擇題或者填空題出現(xiàn)，考察二次根式有意義的條件，但幾率較小。整式這個(gè)考點(diǎn)一般會(huì)

考學(xué)生對(duì)整式化簡計(jì)算的應(yīng)用，偶爾考察整式的基本概念，對(duì)整式的復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是要理解并

掌握整式的加減法則、乘除法則及基的運(yùn)算，難度一般不大。因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)

算，在浙江中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以填空題第一題的形式出現(xiàn)，偶爾會(huì)

出在選擇題前5題內(nèi)，而且一般只考察因式分解的前兩步，拓展延伸部分基本不考，中考

占分在3~4分

【中考考查重點(diǎn)】

一、二次根式的相關(guān)概念及性質(zhì)；

二、二次根式的運(yùn)算；

三、整式的加減；

四、幕的運(yùn)算

五、整式的乘除

六、因式分解

考向一：二次根式的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.平方根與立方根

a(a>0)a(a=0)a(a<0)等于其本身的數(shù)

平方根±y[a0/0

算術(shù)平方根4a0/0、1

立方根yfa=0y[a0、1、-1

【易錯(cuò)警示】

正數(shù)和0有平方根、算數(shù)平方根、立方根；負(fù)數(shù)只有立方根

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?長清區(qū)期中）實(shí)數(shù)16的平方根是（）

A.8B.±8C.4D.±4

【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，計(jì)算.

【解答】解：16的平方根是±4；

故選：D.

2.（2021秋?吳江區(qū)月考）已知一個(gè)數(shù)的平方根是±3,這個(gè)數(shù)是（）

A.-9B.9C.81D.±73

【分析】根據(jù)平方根的定義解決此題.

【解答】解：；（±3）2=%

這個(gè)數(shù)是9.

故選：B.

3.（2021秋?奉化區(qū)期中）病的算術(shù)平方根是（）

A.3B.-3C.-9D.9

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵.

【解答】解：：病=9，

.??病的算術(shù)平方根是3.

故選：A.

4.（2021秋?鄲州區(qū)期中）下列各式中正確的是（）

A.-|-2|=2B.亞=±2C.3^=3D.(-5)2=25

【分析】選項(xiàng)A根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷即可；

選項(xiàng)B根據(jù)算術(shù)平方根的定義判斷即可；

選項(xiàng)C根據(jù)立方根的定義判斷即可；

選項(xiàng)D根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義判斷即可.

【解答】解：A.-|-2|=-2,故本選項(xiàng)不合題意；

B.y=2,故本選項(xiàng)不合題意；

C.炯聲3,故本選項(xiàng)不合題意；

D.（-5）2=25,故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

5.(2021?青神縣模擬)若＜a+b+5+l2a-匕+“=0,則2021=()

A.-1B.1C.52021D.-52021

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性，由盛正，0,\2a-b+\\^0,得

4+8+5=0,2〃-0+1=0,那么。=-2,b=-3,從而解決此題.

【解答】解：??Wa+b+52|24-。+1|30,

：?當(dāng)Va+b+5+l2〃-。+1|=0,則，a+b+5=。，12〃-/?+11=0.

??.4+。+5=0,24-0+1=0.

.?.〃=-2,b--3.

???(h-a)2021=「3+2)2021=(_])2021=7.

故選：A.

2.二次根式與最簡二次根式

概念有意義的條

件

二次根式非負(fù)數(shù)a的算式平方根叫做二次根式，記作&（a》0）被開方數(shù)。2

0

滿足以下兩個(gè)條件的二次根式：

最簡①被開方數(shù)中不含分?jǐn)?shù)，所含因式是整式；/

二次根式②被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；叫做最簡二次根

式

【易錯(cuò)警示】

二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果,

所以像〃、-、月都是二次根式。

【同步練習(xí)】

1.（2021春?上虞區(qū)期末）當(dāng)x=0時(shí)，二次根式A/4+2X的值等于（）

A.4B.2D.0

【分析】把x=0代入二次根式后萬，再求出即可.

【解答】解：當(dāng)x=o時(shí)，式a7元=日=2.

故選：B.

2.（2021秋?蓮湖區(qū)期中）要使）二有意義，x的取值范圍是)

A.xN3B.xW3C.x>3D.x<3

【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件即可得出答案.

【解答】解：-Q0,3-/0,

；.xV3,

故選：D.

3.（2021春?長沙月考）要使式子岳行有意義，字母x的取值范圍必須滿足（）

A.X）-3B.x~>-3C.x#-3D.-3

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0,可求x的范圍.

【解答】解：依題意，得2%+6》0,

解得：x--3,

故選：A.

4.（2021秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.V9B.V?C.丘D.yll

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A、,:炳=3,被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故

本選項(xiàng)不符合題意；

B、書是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

C.J踵被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、涓的被開方數(shù)中的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

5.（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）當(dāng)相=時(shí)，二次根式行工取到最小值.

【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性即可解答.

【解答】解：工力0，

...當(dāng)m-2=0,即6=2時(shí)，在工有最小值0.

故答案為：2.

3.二次根式的性質(zhì)

>在根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時(shí)，G前無&化簡出來就不可能是一個(gè)負(fù)數(shù)。

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?長春期中）!（一9）2等于（）

A.9B.-9C.±9D.81

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得答案.

【解答】解：Q（_g）2=^/^y=9.

故選：A.

2.（2021秋?拱墅區(qū)期中）下列計(jì)算正確的是（）

A.VO7O9=±O.3B.舊=哈C.3y^7=_3D.-4|-25|=5

【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：4、原式=0.3,故A不符合題意.

故8不符合題意.

C、原式=-3,故C符合題意.

D、原式=-5,故。不符合題意.

故選：C.

3.（2021?休寧縣模擬）觀察下列各式：

①房=2卷②扇=3信知舍德;④宿=5標(biāo)

根據(jù)上面式子所呈現(xiàn)的規(guī)律，完成下列各題：

（1）寫出第⑤個(gè)式子：；

（2）寫出第"個(gè)式子（〃21,且“為整數(shù)），并給出證明.

【分析】（I）從兩個(gè)角度去思考：一是序號(hào)與右邊根式前面的整數(shù)的關(guān)系；二是這個(gè)整

數(shù)與分?jǐn)?shù)分母之間的關(guān)系，從這兩個(gè)角度可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律；

（2）利用特殊與一般的關(guān)系推廣即可.

【解答】解：（D???右邊根是前面的整數(shù)等于序號(hào)加1,分?jǐn)?shù)的分母等于這個(gè)整數(shù)的平方

減1,

證明如下：

1

11+J(n+l)2=(〃+])1_(〃,1,且“

V(n+l)2-lV(n+l)2-lV(n+1)2-1V(n+1)2-1

為整數(shù)).

考向二：二次根式的運(yùn)算

二次根式（1）把各二次根式化成最簡二次根式；

加減法（2）根據(jù)合并同類項(xiàng)法則合并；

(cz>0,Z?>0)

二次根式

乘除法⑵日學(xué)叱。…)

艮療法技巧.

初中數(shù)學(xué)三個(gè)非負(fù)性概念：同、/、指

常見應(yīng)用：以上三個(gè)概念，任意兩個(gè)相加、或者三個(gè)相加=0,則各部分分

別=0

字母表達(dá)式為：若同+〃+<?2=0,貝!ja=0,Z?=0,c=0

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算J女-我的結(jié)果是（）

A.B.372C.2近D.-272

【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的減法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【解答】解：原式=3遂-加

=2近.

故選：C.

2.（2021春?官渡區(qū)期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.3）2=-3B.72X75=77C.M+D.（&）2=2

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【解答】解：示=3,故此選項(xiàng)不合題意；

?V2xV5=V10>故此選項(xiàng)不合題意；

C，V9-V3=V3.故此選項(xiàng)不合題意；

O.（如）2=2,故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：

【分析】先化簡二次根式，然后合并同類二次根式.

【解答】解：原式=2加-返

4

=773

4

故答案為：LH.

4

4.（2021?路南區(qū)二模）已知FX?=4,則〃=

【分析】根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：V8Xn=>/T6-

?*-8M=16,

??〃=2,

故答案為；2.

5.（2021秋?余杭區(qū)期中）如圖是單位長度為1的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,

則點(diǎn)C到AB所在直線的距離為（)

A.2/S.B.C.D.

8V10V1O4

【分析】根據(jù)△ABC的面積=邊長為3的正方形面積一直角邊為2的等腰三角形的面積

-2個(gè)直角邊分別為1和3的三角形面積，△A8C的面枳=工8c?〃，列等式求出h.

2

【解答】解：,.,5AABC=32-/X2X2-/X]X3X2

=4,

設(shè)點(diǎn)C到AB所在直線的距離為h.

：48=J1+32=VTo1

ScABC=/XABXh'

*X傷?仁%

解得〃=T=.

V10

故選：B.

6.（2021秋?朝陽區(qū)期中）一個(gè)長方體紙盒的體積為4小豆加3,若這個(gè)紙盒的長為2料而I,

寬為瓜1m,則它的高為（）

A.\dmB.1-^dmC.D.48dm

【分析】設(shè)它的高為xd，〃，根據(jù)長方體的體積公式列出方程求解即可.

【解答】解：設(shè)它的高為xd"?,

根據(jù)題意得：2aX近Xx=4?,

解得：x=l.

故選：A.

7.（2021秋?龍華區(qū)校級(jí)期中）設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且產(chǎn)6+也主^^,則|-x+y|的值是（）

A.1B.2C.4D.5

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式，求出x,代入求出A

把x、y的值代入|-x+y|計(jì)算.

【解答】解：“4-x?0,

1x-4》0

.（x《4

Ix>4

，x=4.

.?y=6,

，Ir+yl=|-4+6|=2；

故選：B.

8.（2021秋?大邑縣期中）計(jì)算：

⑴V8W12-V27.

⑵V182,

【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可;

（2）根據(jù)二次根式的乘法法則和完全平分公式計(jì)算.

【解答】解：（1）原式=2圾+2?-3T

=2&-?：

（2）原式=J18X"1+1-2“+3

=2標(biāo)4-273

=4.

考向三：整式的加減

1.整式的概念及注意事項(xiàng):

名稱識(shí)別次數(shù)系數(shù)與項(xiàng)

單項(xiàng)式①數(shù)與字母或字母與字母相乘所有字母系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因

整組成的代數(shù)式；②單獨(dú)的一個(gè)的指數(shù)的數(shù)

式數(shù)或一個(gè)字母和

多項(xiàng)式幾個(gè)單項(xiàng)式的和次數(shù)最高項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)

項(xiàng)的次數(shù)式

【易錯(cuò)警示】

>由定義可知，單項(xiàng)式中只含有乘法運(yùn)算；分?jǐn)?shù)是一個(gè)完整的數(shù)，不拆開來算;

>單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也叫單項(xiàng)式；單獨(dú)的字母的系數(shù)為1,次數(shù)也

是1

>由定義可知，多項(xiàng)式中可以含有乘法——加法——減法運(yùn)算；

>多項(xiàng)式有統(tǒng)一的次數(shù)，但是沒有統(tǒng)一的系數(shù)，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)有自己的系數(shù)；

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中）下列各式-LOT,8,1,/+2x+6,空工，1,-“中，整

2a5y

式有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【分析】根據(jù)整式的定義，結(jié)合題意即可得出答案.

【解答】解：工和工的分母含有字母，是分式，不是整式；

ay

整式有8,?+2x+6,空工，-a,共有5個(gè)，

25

故選:B.

2.（2021秋?福清市期中）單項(xiàng)式-4s2的系數(shù)是（）

A.-4B.-4nC.4nD.4

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的定義來求解.單項(xiàng)式中數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).

【解答】解：根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的定義，單項(xiàng)式-4心y的系數(shù)是-4TT.

故選：B.

3.（2021秋?鐵西區(qū)期中）對(duì)于多項(xiàng)式-4x+5/y-7,下列說法正確的是（）

A.一次項(xiàng)系數(shù)是4B.最高次項(xiàng)是57y

C.常數(shù)項(xiàng)是7D,是四次三項(xiàng)式

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)的定義進(jìn)行判斷.

【解答】解：多項(xiàng)式-4x+5,y-7,

4、一次項(xiàng)系數(shù)是-4,原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、最高次項(xiàng)是5fy,原說法正確，故此選項(xiàng)符合題意；

C、常數(shù)項(xiàng)是-7,原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、是三次三項(xiàng)式，原說法錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

4.（2021秋?蕭山區(qū)期中）已知x-3y=5,那么代數(shù)式8-3x+9y的值是（）

A.3B.7C.23D.-7

［分析］先由x-3y=5得出-3x+9y的值，即可確定8-3x+9y的值.

【解答】解：：x-3y=5,

-3x+9y=-3X5=-15,

二8-3x+9y=-15+8=-7,

故選：D.

2.整式的加減

同類項(xiàng)所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同

整式合并同類項(xiàng)把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為結(jié)果的系數(shù)，

的加減字母及字母的指數(shù)不變

添（去）括號(hào)法則括號(hào)外是添（去）括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)外是“一”，

添（去）括號(hào)都變號(hào)

【易錯(cuò)警示】

>所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng);

>“同類項(xiàng)口訣”一一兩同兩無關(guān)，識(shí)別同類項(xiàng)；一相加二不變，合并同類項(xiàng)

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?福清市期中）長方形的長為3x-2y,寬為y,則這個(gè)長方形的周長為（）

A.6x-yB.3x-yC.6x-2yD.3x-2y

【分析】由長方形周長=2（長+寬），表示出周長即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：2[（3x-2y）+y]

=2（3x-2y+y）

—2（3x-y）

=6x-2y.

故選：C.

2.（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）

A.3a+a=3cPB.5x-3y=2xy

C.4x2y+xy2=5x2yD.-Cab3-1）=-a/>3+1

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義、合并同類項(xiàng)的法則、去括號(hào)法則逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：A、3a+a—4a,故A不正確，不符合題意；

B、5x-3y沒有同類項(xiàng)，不能合并，故8不正確，不符合題意；

C、4fy+xy2沒有同類項(xiàng)，不能合并，故。不正確，不符合題意；

D、~=-ah3+1,故。正確，符合題意；

故選：D.

3.（2021秋?東西湖區(qū)期中）如圖，兩個(gè)三角形的面積分別是9和7,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積

分別是，”和〃，則相-”等于（）

A.1B.2C.3D.不能確定

【分析】根據(jù)圖形，可以寫出兩個(gè)三角形的面積，然后作差即可得到，〃-〃的值.

【解答】解：設(shè)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為S,

則9=m+S,7=n+S,

.".9-7=m-

?-〃=2,

故選：B.

4.（2021秋?深陽市期中）當(dāng)x=2,y=-l時(shí)，代數(shù)式x+2y-（3x-4y）的值是（）

A.-9B.9C.-10D.10

【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后將x與y的值代入即可求出答案.

【解答】解：原式=x+2y-3x+4y

=-2x+6y,

當(dāng)x=2,y=-1時(shí)，

工原式=-4-6=-10,

故選：C.

5.（2021秋?玉屏縣期中）已知：M=3f+2x-l,N=-x2-2+3x,求M+2N.

【分析】直接去括號(hào)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)進(jìn)而得出答案.

【解答】解：M+2N=（3x-+2x-1）+2（-x2-2+3x）

=37+2x-1-27-4+6x

=7+8X-5.

考向四：寨的運(yùn)算

幕（見〃都是正整數(shù)）

的a'n『=產(chǎn)都是正整數(shù)）

運(yùn)（"）"=//（〃為正整數(shù)）

算a'"-ra"=a""~"（a工0,"?,〃都是正整數(shù)且機(jī)＞〃）

-----【同步練習(xí)】]

1.（2021秋?荔灣區(qū)贏非富Sx3的基果嬴^塢"且"次正整數(shù)）

A.x6B.?C.x4D.x3

【分析】直接利用同底數(shù)基的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【解答】解：x2,x3=x2+3=^5.

故選：B.

2.（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）若2m=5,2"=3,則2"計(jì)"的值是（）

A.8B.9C.12D.15

【分析】根據(jù)同底數(shù)球的乘法法則計(jì)算即可.

【解答】解：?.?2"=5,2"=3,

.?.2"，+"=2'"?2"=5X3=15.

故選：D.

3.(2021春?新化縣期末)下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()

A.105+103-108B.

C.-“?/=“4D.-”?(-“)2=/

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的運(yùn)算法則即可求出答案.

【解答】解：A、原式=100XK)3+I03=IOIXIO3=IQix1()5,故-不符合題意.

B、原式=/,故B符合題意.

C、原式=-/,故c不符合題意.

D、原式=-7,故。不符合題意.

故選：B.

4.(2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中)下列運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤的是()

A.a2,a3=a5B.(a2)3=a6C.a4-i-a4=aD.(ab)3=a3/>3

【分析】利用同底數(shù)基的乘法法則對(duì)A進(jìn)行判斷；利用黑的乘方對(duì)8進(jìn)行判斷；利用同

底數(shù)'幕的除法法則對(duì)C進(jìn)行判斷；利用積的乘方對(duì)D進(jìn)行判斷.

【解答】解：人原式="2+3=“5,所以入選項(xiàng)不符合題意；

B.原式=。2乂3="6,所以8選項(xiàng)不符合題意；

C.原式="4-4=],所以C選項(xiàng)符合題意；

D.原式=//,所以D選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

5.(2021秋?奉賢區(qū)期中)如果2"+2"+2"+2"=28,那么〃的值是.

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的乘法法則解答即可.

【解答】解：；2"+2"+2"+2”=28,

.,.4X2n=28,

：.22X2"=2S,

,-.22+?=28,

**?2+)=8,

解得n—6.

故答案為：6.

6.(2021秋?普陀區(qū)期中)用幕的形式表示結(jié)果：(-3)2X(-3)3X(-3)4=.

【分析】根據(jù)同底數(shù)暴的乘法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

【解答】解：(-3)2義(-3)3X(-3)4

=(-3)2+3+4

=（-3）9

=-39.

故答案為：-3*

考向五：整式的乘除

1.平方根與立方根

單項(xiàng)式乘（除以）單項(xiàng)式，把它們的系數(shù)、同底數(shù)塞分別相乘（除）；

單項(xiàng)式乘（除以）對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母（只在被除式里含有的字母），

單項(xiàng)式則連同它的指數(shù)不變，作為積（商）的因式

單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式m(a+b+c)=ma+mb+mc

多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式(am+b)4-m=a+b/m

乘法公式平方差公式（“+6）（“一/，）=/-〃

完全平方公式（a±b）2=/±2"+〃

【方法提示】

>乘法公式里的字母可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式；

>兩個(gè)乘法公式可以從左到右應(yīng)用，也可以從右到左應(yīng)用；

【同步練習(xí)】

1.（2021秋?黃埔區(qū)校級(jí)期中）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a3+a3=iz6B.（a3）2=a6

C.（ab）2=ab2D.2a5*3a5=5a5

【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，塞的乘方與積的乘方的法則，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則

對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

【解答】解：A、a3+a3^2a\故4不符合題意；

B、（a3）2—a（',故8符合題意；

C、（ab）2—a2b2,故C不符合題意;

。、2a5,3a5=6al0>故。不符合題意；

故選:B.

12

2.（2021?榆陽區(qū)模擬）計(jì)算（總血/）./的結(jié)果是（）

A.4nJ2,，B.--m2n4C.—m2n4D.--m5n4

444

【分析】直接利用整式的除法運(yùn)算法則以及積的乘方運(yùn)算法則分別化簡得出答案.

【解答】解：原式

4

=L"2〃4.

4

故選：c.

3.(2021秋?青浦區(qū)月考)若(x-a)(x-Z?)=x1+kx+ab,則攵的值為()

A.a+bB.-a-bC.a-bD.b-a

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，從而判斷含x的項(xiàng)的系數(shù).

【解答】解：原式=/-法-奴+出？

=:+(-a-h)+ab,

又,:(x-iz)(x-h)=)?-1t-kx+ab,

:.k=-a-b,

故選：B.

4.(2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期中)如圖，在長為3〃+2,寬為2人-1的長方形鐵片上，挖去長

為2a+4,寬為〃的小長方形鐵片，則剩余部分面積是()

3K2

A.-3〃+4bB.4ab-3a-2

C.6ab-3a+8A-2D.4ab-3a+8Z?-2

【分析】根據(jù)長方形的面積分別表示大長方形和小長方形的面積，再進(jìn)行相減即可.

【解答】解：剩余部分面積：

(3。+2)(2b-1)-h(2?+4)

—6ab-3。+46-2-2ab-4b

=4ab-3a-2；

故選：B.

5.(2021秋?襄汾縣月考)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的

三角形揭示了(〃+〃)〃(〃為非負(fù)整數(shù))展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，根據(jù)“楊

輝三角”請(qǐng)計(jì)算(〃+h)6的展開式中從左起第四項(xiàng)的系數(shù)為()

Ca+h)°=1

Ca+h)x=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2h+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+t>4

【分析】根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出(。+m6的展開式中從左起第四項(xiàng)的系數(shù).

【解答】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)(a+b)4的第四項(xiàng)系數(shù)為4=3+1；

(。+。)5的第四項(xiàng)系數(shù)為10=6+4；

(a+b)6的第四項(xiàng)系數(shù)為20=10+10.

故選：C.

6.(2021秋?鐵西區(qū)期中)己知(a-b)2=6,(a+b)2=4,則/+序的值為.

【分析】根據(jù)完全平方公式解答即可.

【解答】解：：Ca-h)2=6,(a+b)2=4,

.,.a2-2ah+b2=6?,a2+2ab+b1=4@,

①+②，得2“2+2/=10,

.'.<Z2+Z?2=5.

故答案為：5.

7.(2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中)計(jì)算：

(1)a<-3a2)+27a%5.3/；

(2)(-2?)2-37(x4-/).

【分析】(1)利用單項(xiàng)式乘(除)單項(xiàng)式法則，先算乘除，再加減；

(2)先算乘方，再利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則算乘法，最后加減.

【解答】解：([)原式=-31+9/

=643；

(2)原式=4乎-3乎+3/)2

=*6+3打2.

8.(2021秋?龍鳳區(qū)期中)計(jì)算：

(1)a*a2*ai+(-2?3)2-心+/；

(2)20212-2020X2022；

(3)先化簡，再求值：[(x+3y)(x-3y)-(x-y)2]-r(-2y),其中|x+l|+y2-4y=

-4.

(4)已知--5x-4=0,求代數(shù)式(x+2)(x-2)-(2x-1)(x-2)的值.

【分析】(1)先根據(jù)積的乘方進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)整式的乘除法則進(jìn)行計(jì)算，最后合并同

類項(xiàng)即可；

(2)先變形，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再求出答案即可：

（3）先根據(jù)平方差公式和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，根據(jù)整式的除法進(jìn)行

計(jì)算，求出x、y的值，再代入求出答案即可；

（4）先根據(jù)平方差公式和多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，求出f-5x=4,

最后代入求出即可.

【解答】解：（1）原式=/+4心-46

=4a6；

(2)原式=20212-(2021-1)X(2021+1)

=20212-(202K-1)

=20212.20212+1

=1;

(3)原式=(x2-9>,2-^+2xy->,2)4-(-2y)

=(-10>,2+2jcy)4-(-2y)

=5y-x,

由|x+l|+y2-4y=-4,

|x+1|+/-4y+4=0,

|x+l|+(y-2)2=0,

所以A+1=0,y-2=0,

解得：x=-1,y—2,

所以原式=5X2-(-1)=11；

(4)(x+2)(x-2)-(2x-1)(x-2)

=7-4-2/+4x+x-2

=-X2+5X-6,

V?-5x-4=0,

-5x=4,

當(dāng)x2-5x=4時(shí),原式=-4-6=-10.

考向六：因式分解

1.平方根與立方根

公因式多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式

基因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做把這

本

個(gè)多項(xiàng)式因式分解

概

念

“?提”

am+brn+cm=m(a+b+c)

【即：提取公因

般

式】

步“二套”平方差公式<。+力(。-加=。2-加

【即：套用乘法

驟完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2

公式】

“三分組”基本不考，如果考，多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)一般在四個(gè)及以上

【即：分組分解

因式】

“二次三項(xiàng)想十x2+(〃+g)x+p.q=(x+p)(x+g)

字”【即：十字相

乘法】

【方法提示】

>由定義可知，因式分解與整式乘法互為逆運(yùn)算；

>公因式是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次基的積；單獨(dú)的公因數(shù)也是公因

式；

>將多項(xiàng)式除以它的公因式從而得到多項(xiàng)式的另一個(gè)因式；

>乘法公式里的字母，可以是單獨(dú)的數(shù)字，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或者多項(xiàng)式；

>分解因式必須分解徹底，即分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止；

【同步練習(xí)】

1.(2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中)下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.2a2-2a+\—2a(a-1)+1B.(x+y)(x-y)—x2-y2

2

C.7-4x.y+4y2=(x-2y)D./+l=x(x+A)

x

【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：人從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；

D.等式的右邊是分式與整式的積，即從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合

題意；

故選：C

2.(2021春?靖邊縣期末)用提公因式法分解因式6◎+3/)，-4/^3時(shí)，提取的公因式是

()

A.xyB.2xzC.I2xyD.3yz

【分析】直接根據(jù)當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式

的次數(shù)取最低的，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：用提公因式法分解因式6xy+3，y-4，yz3時(shí)，提取的公因式是盯.

故選：A.

3.(2021春?白云區(qū)校級(jí)月考)計(jì)算結(jié)果為f-5x+6的是()

A.(%-1)(x+6)B.(x+1)(x-6)C.(x-2)(%-3)D.(x+2)(x+3)

【分析】因?yàn)?-2)X(-3)=6,(-2)+(-3)=-5,所以利用十字相乘法分解

因式即可.

【解答】解：x2-5x+6=(x-2)(x-3).

故選：C.

4.(2021秋?和平區(qū)校級(jí)期中)已知△ABC的三邊長a,b,c滿足(a-b)(3-a2-貸)=

0,則△ABC的形狀是()

A.等腰三角形或直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等腰三角形

D.直角三角形

【分析】根據(jù)(a-b)(c2-a1-b2)=0得a-b=0,或c?-/-序=o,求出。、b、c

之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷.

【解答】解:?:Ca-b)(c2-a2-b2)=0,

.,.a-b—0或c2-cr-廬=0,

或aL+b1—c1,

...△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形，

故選：A.

5.(2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考)分解因式：12=.

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.

【解答】解：1-川=(1—m)(1+m),

故答案為:(1—m)(1+m).

6.(2021?泰興市二模)分解因式：3a2-12的結(jié)果為.

【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解.

【解答】解：原式=3(a2-4)—3(a+2)(a-2),

故答案為：3(a+2)(a-2).

7.(2021春?碑林區(qū)校級(jí)月考)分解因式：序-序+a序-?b=.

【分析】先分組，然后直接利用平方差公式和提取公因式法分解因式得出答案；

【解答】解：“2-b~+ab~-crb

—(a2-b2)+(ab1-a2b)

—(a+6)(a-b)-ab(a-/?)

=(a-b)(a+h-ah).

故答案為(a-b)Ca+b-ab).

8.（2021春?渠縣校級(jí)期末）分解因式（2x+l）2一/=.

【分析】先利用平方差公式，再利用完全平方公式即可求解.

【解答】解：（2X+1）2-/=（2X+1-*）（2x+l+?）=（2x+l-/）（x+l）2=_（A-_1

-,\/2）（x-1+V^）（x+l）2,

故答案為：-（x-1-圾）（x-1+圾）（x+D2.

限蹤訓(xùn)練,

1.（2012?寧波一模）當(dāng)x=-2時(shí)，二次根式“5-2x的值為（）

A.1B.±1C.3D.±3

【分析】把x=-2代入5-2x,求得5-2x的算術(shù)平方根即可.

【解答】解：當(dāng)x=-2時(shí)，Y5-2X=A/^=3.

故選：C.

2.（2021?金華模擬）代數(shù)式運(yùn)1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，x的取值范圍為（）

x

A.x>-\B.X2-1C.x》-1且x/0D.xr0

【分析】根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)并且分母不能為0可得問題的答案.

【解答】解：根據(jù)題意得x+l20,且x#0.

-I且x￥0.

故選：C.

3.（2021秋?蕭山區(qū)期中）下列各式中，錯(cuò)誤的是（）

A.-稔1卬Ga）3B-（。-匕）2=（b-a）2

C-Lal—D-（Va）2=a

【分析】A；化簡立方根分別求出結(jié)果；

B：互為相反的兩個(gè)數(shù)的平方結(jié)果是相等的；

C：的取值范圍無法確定，因此有兩種結(jié)果；

Q：根據(jù)二次根式的性質(zhì).

【解答】解：A：V-印聲=-a，，（_理3=-a,

-田聲=水荷1,??.不符合題意；

B：（a-b）2=（方-a）2,.?.不符合題意；

C：的取值范圍無法確定,

.*-1-a\--n或小工符合題意;

O：）2=a,不符合題意；

故選：C.

4.（2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中）下列多項(xiàng)式不能用公式法因式分解的是（）

A.?-8a+16B.a^+a+—C.-?-9D.J-4

4

【分析】A、B選項(xiàng)考慮利用完全平方公式分解，C、。選項(xiàng)考慮利用平方差公式分解.

【解答】解：:J-8a+16=（a-4）2,

ai+a+—=（a+A）2,*67

42

a2-4=（a+2）（a-2）,

選項(xiàng)A、B、。能用公式法因式分解.

-42-9是平方和的形式，不能運(yùn)用公式法因式分解.

故選：C.

5.（2021秋?上城區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式

I（a-b產(chǎn)+lb-病1-（a+?。Y(jié)果為，）

I_1l.lI?

-1a01b23

A.2aB.2bC.-2aD.2\[^）

【分析】先把二次根式的化簡寫成絕對(duì)值的形式，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡，去括

號(hào)計(jì)算.

2

【解答】解：,?V（a-b）+|b-V5|-（a+V5）

—\a-b\+\b-V5I__V5

=h-a+事f-b-a-旗

--2a；

故選：C.

6.（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）規(guī)定運(yùn)算△:若a2b,則。Agq-b+1；若a（b,則“A6

=『+/；,則（-2）A1的值為（）

A.-2B.3C.4D.5

【分析】直接利用運(yùn)算公式將原式變形，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

【解答】解：：若。三江則aAZ?=a-b+l；若a<b,則aAb=/+6,

A-2A1=4+15.

故選：D.

7.（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）設(shè)P是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，。是關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，下

列判斷正確的是（）

A.尸+Q是關(guān)于x的七次多項(xiàng)式

B.P-Q是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式

C.尸?。是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式

D.是關(guān)于x的七次多項(xiàng)式

【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則以及乘法運(yùn)算法則即可求出答案.

【解答】解：4、若P是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，。是關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，則P+。的次

數(shù)為四次，故A不符合題意.

8、若p是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，。是關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，則P-。的次數(shù)為四次，故

8不符合題意.

C、若P是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，。是關(guān)于x的三次多項(xiàng)式，則P?。的次數(shù)為七次，故

C不符合題意.

D、若P是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，Q是關(guān)于X的三次多項(xiàng)式，則P?。的次數(shù)為七次，故

。不符合題意.

故選：D.

8.（2021秋?拜泉縣期中）若2"+2"=2,則"=（）

A.-1B.-2C.0D.A

4

【分析】對(duì)所給的式子進(jìn)行運(yùn)算，即可得出結(jié)果.

【解答】解：???2"+2"=2,

2X2”=2,

整理得：2"1=2,

...“+1=1,

解得：n—0.

故選：C.

9.（2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算（-0.125）2021x26063=（）

A.1B.-1C.8D.-8

【分析】根據(jù)枳的乘方與'幕的乘方解決此題.

【解答】解:(-0,125)2021X26063

(」產(chǎn)21%(23)2021

/1\2。212021

(方)義O8

(^X8嚴(yán)1

O

(-1)2021

=-1.

故選：B.

10.(2021?于洪區(qū)二模)因式分解：6ab-a2-9h2=.

【分析】直接提取“-再利用完全平方公式分解因式得出答案.

【解答】解：原式=-(〃2-6加計(jì)9店)

=-(a-3b)2.

故答案為：-(a-2.

11.(2021春?溫州期末)若7-?x-6=(%-2)(x+3),則常數(shù)〃的值是.

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解.

【解答】解：a-2)a+3)

=X2+3X-2x-6

=/+工-6,

Vx2-nx-6=(x-2)(x+3),

.*./?=-1,

故答案為：-1.

12.(2021秋?下城區(qū)校級(jí)期中)單項(xiàng)式-2辿的系數(shù)是，多項(xiàng)式37T岫2+2”-次

5

數(shù)是.

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)和多項(xiàng)式的次數(shù)的定義得出即可.

【解答】解：單項(xiàng)式-2也的系數(shù)是-2,多項(xiàng)式3na/+2a-35次數(shù)是3,

55

故答案為：-2,3.

5

13.(2021春?拱墅區(qū)校級(jí)期中)若代數(shù)式加(5鼠/-36)-(ka-b)(3a&-4a2)的值與匕

的取值無關(guān)，則常數(shù)k的值.

【分析】先根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，再合并同類項(xiàng)，繼而根據(jù)

代數(shù)式的值與h的取值無關(guān)知對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)為0,據(jù)此求解即可.

［解答］解：原式=5履2%-3/-(3ka2h-4版3-3ab2+4a2b)

=5ka2h-3ab1-3