高中數(shù)學考試的知識點 (一)

高中三角函數(shù)常考知識點及練習題

1.任意角的三角函數(shù)：

(1)弧長公式：/=|a|HR為圓弧的半徑，。為圓心角弧度數(shù)，

/為弧長。

(2)

(3)扇形的面積公式：S=LRR為圓弧的半徑，/為弧長。

2

(4)

(5)三角函數(shù)(6個)表示：a為任意角,角。的終邊上任意點P

的坐標為(x,y),它與原點的距離為r(r>0)那么角。的正弦、

余弦、正切、余切、正割、余割分別是：

.yxyxrr

sin。二:，COSQ=—，tantz=—，cota=—，seca=—，csca=—.

rrxyy

(6)

(7)同角三角函數(shù)關(guān)系式：

①倒數(shù)關(guān)系：tan〃coto=l②商數(shù)關(guān)系：tana=S.,

costz

cos。

cottz=----

sin。

③平方關(guān)系：sin2tz+cos2tz=1

(8)

(9)引誘公式：(奇變偶不變，符號看象限)k-〃/2+a所謂奇偶

指的是整數(shù)k的奇偶性

函數(shù)

2.兩角和與差的三角函數(shù):

(1)兩角和與差公式:

,,c、tantz±tanB

tana{a±/?)=----------注：公式的逆用或者變形

1+tanatan/3

(2)二倍角公式：

tan2a=-^J從二倍角的余弦公式里面可得出

1-tana

降塞公式：COS2a=3跑，

2

.1—COS2Q

sin2a=--------

2

（3）半角公式（可由降塞公式推導出）:

a,1-cost/sinal-costz

tan—=±、----------=-----------=----------

2V1+cosa1+COS67sin。

3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：（其中Aez）

三角函數(shù)

定義域(-8,+(-8,+

OO)OO)

值域[-1,1][-1,1](-8,+

OO)

最小正周

期

奇偶性奇偶奇

單調(diào)單調(diào)遞單調(diào)遞單調(diào)遞

性增增增

單調(diào)遞單調(diào)遞

減減

對稱性

零值點

最值點X=2k7T，無

'max=1；

x=(2k+1)%，

4.函數(shù)y=Asin(w+o)的圖像與性質(zhì):

(本節(jié)知識考察一樣能化成形如y=Asin(m+e)圖像及性質(zhì))

(1)

2兀

(2)函數(shù)y=Asin(m+9)和y=ACOS@X+Q)的周期都是T

(3)

(4)函數(shù)y=Atan((zix+e)和y-Acot@r+⑼的周期都是T=占

(5)

(6)五點法作y=Asing+e)的簡圖，設/=奴+0,取0、1、?、

紅、2乃來求相應x的值以及對應的y值再描點作圖。

2

(7)

(8)關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換，提倡先平

移后伸縮。切記每一個變換總是對字母x而言，即圖像變換要看

“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。(附上函數(shù)平移

伸縮變換)：

函數(shù)的平移變換：

①丁二/⑴-^二/0土幻①〉。)將y=/(x)圖像沿x軸向左(右)

平移。個單位

(左加右減)

②y=/(x)->)，=f(x)+帥>0)將y=/(x)圖像沿y軸向上(下)

平移。個單位

(上加下減)

函數(shù)的伸縮變換:

①y=/(x)->y=/Ox)O>0)將y=/(x)圖像縱坐標不變，橫坐

標縮到本來的‘倍(w>l縮短，0<卬<1伸長)

W

②y=/(x)-y=A/(x)(A>0)將y=/(x)圖像橫坐標不變，縱坐

標伸長到本來的A倍(A>1伸長，O<A<1縮短)

函數(shù)的對稱變換：

①

②y=/(x)->y=f(-x))將y=/(x)圖像繞y軸翻折180°(整體

翻折)

(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于x軸對稱)

③

④丁=/(幻->丁=-/。)將〉=/。)圖像繞％軸翻折180°(整體翻

折)

(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y軸對稱)

③y=/(X)->y=/(N)將y=/(x)圖像在y軸右側(cè)保存，并把右

側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)(偶函數(shù)局部翻折)

->=保存y=/(x)在x軸上方圖像，x軸下方圖

像繞X軸翻折上去(局部翻動)

5.三角變換:

三角變換是運算化簡進程中運用較多的變換，提高三角變換能力,

要學會創(chuàng)設條件，靈活運用三角公式，掌控運算、化簡的方法技能。

(1)

(2)角的變換：角之間的和差、倍半、互補、互余等關(guān)系對角

變換，還可作添加、刪除角的恒等變形

(3)

(4)函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函

數(shù)。采取公式：

asin0+bcos0=yla2+b2sin(^+^9)其中

a.b

COS。=?/.,sin夕二

yla2+b2yla2+b2

(5)

(6)常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算、求值、證明中有時候需將常

數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“1”。

(7)

(8)塞的變換：對次數(shù)較高的三角函數(shù)式一樣采取降幕處理,

有時需要升幕例如：VT/B常用升幕化為有理式。

(9)

(10)公式變形：三角公式是變換的根據(jù)，應熟練掌控三角

公式的順用、逆用及變形。

(11)

(12)結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進

行調(diào)劑，或重新分組，或移項，或變乘為除，或求差等等。

在情勢上有時需要和差與積的互化、分解因式、配方等。

(13)

(14)消元法：如果所要證明的式子中不含已知條件中的某

些變量，可用此法

(15)

(16)思路變換：如果一種思路沒法再走下去，試著改變自

己的思路，通過分析比較去挑選更合適、簡捷的方法去解題

目。

(17)

(18)利用方程思想解三角函數(shù)。如對于以下三個式子：

sino+cosQ,sinacos。

sina-cosa,已知其中一個式子的值，其余二式均可求出，且必要時

可以換元。

6.函數(shù)的最值(幾種常見的函數(shù)及其最值的求法):

①y=asinx+。(或acosx+Z?)型：利用二角函數(shù)的值域，須注意

對字母的討論

②y=asinx+bcosx型：引進輔助角化成y=V^TP_sin(x+0)再利

用有界性

③了=asin2x+Ainx+c型：配方后求二次函數(shù)的最值，應注意

|sin<1的束縛

④kasinx+人型:反解出sin%,化歸為卜inx|<l解決

csinx+d

⑥y=a(sinx+cosx)+/?sinx-cosx+c型:常用到換元法：

f=sinx+cosx,但須注意f的取值范疇：“4收。

(3)三角形中常用的關(guān)系：

.AB+C

sinA=sin(8+C),cosA=-cos(B+C)>sin一=cos-----

22

sin2A=-sin2(8+C),cos2A=cos2(3+C)

練習題:

1.（08全國一6）y=（sinx-cosx）2-1是（）

A.最小正周期為2兀的偶函數(shù)B.最小正周期為2兀的奇函數(shù)

C.最小正周期為兀的偶函數(shù)D.最小正周期為兀的奇函數(shù)

2.（08全國一9）為得到函數(shù)y=cos（x+T的圖象，只需將函數(shù)

y=sinx的圖像（）

A.向左平移生個長度單位B.向右平移四個長度單位

66

C.向左平移辿個長度單位D.向右平移如個長度單位

66

3.（08全國二1）若sina<0且tana>0是，則a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四

象限角

4.（08全國二10）.函數(shù)/（x）=sinx-cosx的最大值為（）A.1

B.V2C.V3D.2

5.（08安徽卷8）函數(shù)y=sin（2x+$圖像的對稱軸方程多是（）

6.（08福建卷7）函數(shù)片cosx（x￡R）的圖象向左平移出個單位后，

2

得到函數(shù)y/㈤的圖象，則g㈤的解析式為（）A.-sinx

B.sinxC.-cosxD.cosx

7.（08廣東卷5）已知函數(shù)/0）=（1+852小皿2%,%6/?,則y（x）是

（）

A、最小正周期為乃的奇函數(shù)B、最小正周期為王的奇

2

函數(shù)

C、最小正周期為乃的偶函數(shù)D、最小正周期為王的偶

2

函數(shù)

8.（08海南卷11）函數(shù)/（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分別

為（）

A.-3,1B.-2,2C.-3,-D.-

2

2,-

2

9.（08湖北卷7）將函數(shù)y=sin（x-。）的圖象廠向右平移2個單位長

度得到圖象尸，若尸的一條對稱軸是直線.不則。的一個可能取

值是（）

10.（08江西卷6）函數(shù)/（x）=一為絲一是（）

X

sinx+2sin—

2

A.以4%為周期的偶函數(shù)B.以2l為周期的

奇函數(shù)

C.以2%為周期的偶函數(shù)D.以4%為周期的

奇函數(shù)

11.若動直線x=a與函數(shù)/（x）=sinx和g（x）=cosx的圖像分別交于

M,N兩點,則的最大值為（）A.1B.后C.V3

D.2

12.（08山東卷10）已知cos（a-2）+sina=《百，貝1Jsin[a+答]的值

是（）

B,正

（08陜西卷1）sin33O。等于（

14.(08四川卷4)(tanx+cotx)cos2x=()A.tanxB.sinxC.

cosxD.cotx

15.（08天津卷6）把函數(shù)y=sinx（xeR）的圖象上所有的點向左平

行移動3個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到本來的

3

工倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）

2

A.y=sinB.y=sin,XGR

，XGR

D.y-sin，R

16.（08天津卷9）設。=51!1型，b=cos—>c=tan—>貝1J（）

777

A.a<h<cB.a<c<bC.b<c<aD.h<a<c

17.（08浙江卷2）函數(shù)丁=6拘％+（：05彳）2+1的最小正周期是（）

A.-B.nC.—D.2〃

22

18.（08浙江卷7）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)

y=cosQ+網(wǎng)）（XG［0,2乃］）的圖象和直線y」的交點個數(shù)是（）A.0

222

B.1C.2D.4

19.（08北京卷9）若角a的終邊經(jīng)過點21,-2）,則tan2a的值

為.

20.（08江蘇卷1）/（x）=cos"q］的最小正周期為『其中⑦>0,

貝（J3~.

21.（08遼寧卷16）設%/（）,』，則函數(shù)yJsiMx+l的最小值

<2）-sinlx

為.

22.(08浙江卷12)若sin3+6)=3,則cos26=。

25

23.(08上海卷6)函數(shù)f(x)="\/^sinx+sin(j+x)的最大值是_

乙

24.(08四川卷17)求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x_4cos4x的最大

值與最小值。

25.(08北京卷15)已知函數(shù)/(x)=sin2s:+V^sinssin(5+/J

(0>o)的最小正周期為冗.(I)求①的值；(H)求函數(shù)人幻在區(qū)

間0,y上的取值范疇.

26.(08天津卷17)已知函數(shù)/(x)=2cos26yx+2sin6yxeos3X+1

(xeR,co>0)的最小值正周期是工.(I)求。的值；

2

(II)求函數(shù)/(x)的最大值，并且求使/(幻獲得最

大值的X的集合.

27.(08安徽卷17)已知函數(shù)/1(x)=cos(2x-巴)+2sin(x-馬sin(x+2)

344

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程

(II)求函數(shù)7(%)在區(qū)間［-會審上的值域

28.(08陜西卷17)已知函數(shù)/(x)=2sin2cos2-26sinE+6.

444

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期及最值；

(II)令g(x)=/(x+?,判定函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由.

練習題參考答案：

l.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A

ll.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.C

19.-20.1021.V322.23.2

325

24.解：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x

由于函數(shù)z=(M-1)2+6在中的最大值為

最小值為

故當sin2x=-1時)獲得最大值1(),當sin2x=1時y獲得最小值6

【點評】：此題重點考察三角函數(shù)基本公式的變形，配方法，符合

函數(shù)的值域及最值；

【突破】：利用倍角公式降幕，利用配方變?yōu)閺秃虾瘮?shù)，重視復合

函數(shù)中間變量的范疇是關(guān)鍵；

25.解：(I)/(%)=----'~+——sin2cox=——sinIcox——cos2cox+—

22222

=sin2a)x--\+-.

I6j2

由于函數(shù)/(x)的最小正周期為兀，且。＞(),

所以生=兀，解得/=1.

2G

(II)由(I)得/(x)=sin(2x-￡)+g.

由于OWxW空，

3

所以-四WF,

666

所以-gWsin^2x-^W1,

因此0Wsin(2x-E]+Lw3,即/(x)的取值范疇為0,-

26.解:

由題設，函數(shù)/(X)的最小正周期是三，可得女=工，所以啰=2.

22。2