高中數(shù)學(xué)平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)歸納

高中數(shù)學(xué)平面解析幾何學(xué)問(wèn)點(diǎn)有哪些你知道嗎?近年的高中數(shù)學(xué)

解答題多呈現(xiàn)為多問(wèn)漸難式的“梯度題”，解答時(shí)不必一氣審究竟，應(yīng)

走一步解決一步，一起來(lái)看看高中數(shù)學(xué)平面解析幾何學(xué)問(wèn)點(diǎn)，歡迎查

閱！

高中數(shù)學(xué)平面解析幾何學(xué)問(wèn)點(diǎn)

平面解析幾何初步：

①直線與方程是解析幾何的基礎(chǔ)，是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，單

獨(dú)考查多以選擇題、填空題消失;間接考查則以直線與圓、橢圓、雙

曲線、拋物線等學(xué)問(wèn)綜合為主，多為中、高難度試題，往往作為把關(guān)

題消失在高考題目中。直接考查主要考查直線的傾斜角、直線方程，

兩直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，對(duì)稱問(wèn)題等，間接考查肯定會(huì)

消失在高考試卷中，主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題。

②圓的問(wèn)題主要涉及圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓

的位置關(guān)系以及圓的集合性質(zhì)的爭(zhēng)論，難度中等或偏易，多以選擇題、

填空題的形式消失，其中（熱點(diǎn)）為圓的切線問(wèn)題。③空間直角坐

標(biāo)系是平面直角坐標(biāo)系在空間的推廣，在解決空間問(wèn)題中具有重要的

作業(yè)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算就是在空間直角坐標(biāo)系下實(shí)現(xiàn)的?？臻g直

角坐標(biāo)系也是解答立體幾何問(wèn)題的重要工具，一般是與空間向量在坐

標(biāo)運(yùn)算結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，也不排解消失考查基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的選擇題和填空題。

高中數(shù)學(xué)平面解析幾何學(xué)問(wèn)點(diǎn)

1

平面解析幾何，又稱解析幾何（英語(yǔ)：Analyticgeometry）坐標(biāo)幾

何（英語(yǔ)：Coordinategeometry）或卡氏幾何（英語(yǔ)：Cartesiangeometry）,

早先被叫作笛卡兒幾何，是一種借助于解析式進(jìn)行圖形討論的幾何學(xué)

分支。解析幾何通常使用二維的平面直角坐標(biāo)系討論直線、圓、圓錐

曲線、擺線、星形線等各種一般平面曲線，使用三維的空間直角坐標(biāo)

系來(lái)討論平面、球等各種一般空間曲面，同時(shí)討論它們的方程，并定

義一些圖形的概念和參數(shù)。

平面解析幾何基本理論

坐標(biāo)

在解析幾何當(dāng)中，平面給出了坐標(biāo)系，即每個(gè)點(diǎn)都有對(duì)應(yīng)的一對(duì)

實(shí)數(shù)坐標(biāo)。最常見(jiàn)的是笛卡兒坐標(biāo)系，其中，每個(gè)點(diǎn)都有x-坐標(biāo)對(duì)應(yīng)

水平位置，和y-坐標(biāo)對(duì)應(yīng)垂直位置。這些常寫(xiě)為有序?qū)Γ▁,y）。這種系

統(tǒng)也可以被用在三維幾何當(dāng)中，空間中的每個(gè)點(diǎn)都以多元組呈現(xiàn)

（x,y,z）。坐標(biāo)系也以（其它）形式消失。在平面中最常見(jiàn)的另類(lèi)坐標(biāo)

系是極坐標(biāo)系，其中每個(gè)點(diǎn)都以從原點(diǎn)動(dòng)身的半徑r和角度0表示。

在三維空間中，最常見(jiàn)的另類(lèi)坐標(biāo)系統(tǒng)是圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

曲線方程

在解析幾何當(dāng)中，任何方程都包含確定面的子集，即方程的解集。

例如，方程y=x在平面上對(duì)應(yīng)的是全部x-坐標(biāo)等于y-坐標(biāo)的解集。這

些點(diǎn)匯合成為一條直線，y=x被稱為這道方程的直線?？偠灾€

性方程中x和y定義線，一元二次方程定義圓錐曲線，更簡(jiǎn)單的方程

則闡述更簡(jiǎn)單的形象。通常，一個(gè)簡(jiǎn)潔的方程對(duì)應(yīng)平面上的一條曲線。

2

但這不肯定如此：方程x=x對(duì)應(yīng)整個(gè)平面，方程x2+y2=0只對(duì)應(yīng)。0)

一點(diǎn)。在三維空間中，一個(gè)方程通常對(duì)應(yīng)一個(gè)曲面，而曲線經(jīng)常代表

兩個(gè)曲面的交集，或一條參數(shù)方程。方程*2+丫2F代表了是半徑為r

且圓心在(0,0)上的全部圓。

距離和角度

在解析幾何當(dāng)中，距離、角度等幾何概念是用公式來(lái)表達(dá)的。這

些定義與背后的歐幾里得幾何所蘊(yùn)含的主旨相符。例如，使用平面笛

卡兒坐標(biāo)系時(shí),兩點(diǎn)A(xl,yl),B(x2,y2)之間的距離d(又寫(xiě)作|AB|被定

義為

上述可被認(rèn)為是一種勾股定理的形式。類(lèi)似地，直線與水平線所

成的角可以定義為

其中m是線的斜率。

變化

變化可以使母方程變?yōu)樾路匠?，但保持原有的特性?/p>

交集

主題問(wèn)題編輯解析幾何中的重要問(wèn)題：

向量空間

平面的定義

距離問(wèn)題

點(diǎn)積求兩個(gè)向量的角度

外積求一向量垂直于兩個(gè)已知向量(以及它們的空間體積)

平面解析幾何初步綜合檢測(cè)

3

一、選擇題(本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.直線3ax-y-l=0與直線(a-23)x+y+l=0垂直，則a的值是()

A.-1或13B.1或13

C.-13或-1D.-13或1

解析：選D.由3a(a-23)+(-l)l=0,得a=-13或a=l.

2.直線11：ax-y+b=O,12：bx-y+a=O(aO,bO,ab)在同一坐標(biāo)系中

的圖形大致是圖中的0

解析：選C.直線11：ax-y+b=O,斜率為a,在y軸上的截距為b,

設(shè)kl=a,ml=b.直線12：bx-y+a=O,斜率為b,在y軸上的截距為

a,

設(shè)k2=b,m2=a.

由A知:由于I何2,kl=k2O,mlO,即a=bO,bO,沖突.

由B知:klk2,mlO,即ab,bO,沖突.

由C知：klO,m20,即aO,可以成立.

由D知：klO,m2ml,即aO,ab,沖突.

3.已知點(diǎn)和圓C：(x-5)2+(y-7)2=4,一束光線從A經(jīng)x軸反

射到圓C上的最短路程是()

A.62-2B.8

C.46D.10

解析：選B.點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A(-l,-1),A與圓心(5,7)的距離

為5+12+7+12=10.所求最短路程為10-2=8.

4

4.圓x2+y2=l與圓x2+y2=4的位置關(guān)系是()

A.相離B.相切

C.相交D.內(nèi)含

解析：選D.圓x2+y2=l的圓心為(0,0),半徑為1,圓x2+y2=4的

圓心為(0,0),半徑為2,則圓心距02-1=1,所以兩圓內(nèi)含.

5.已知圓C：(x-a)2+(y-2)2=4(a0)及直線I：x-y+3=0,當(dāng)直線I被圓

C截得的弦長(zhǎng)為23時(shí)，a的值等于0

A.2B.2-1

C.2-2D.2+1

解析:選B.圓心(a,2)到直線l：x-y+3=0的距離d=|a-2+3|2=|a+l|2,

依題意|a+l|22+2322=4,解得a=2-l.

6.與直線2x+3y-6=0關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對(duì)稱的直線是()

A.3x-2y-6=0

B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0

D.2x+3y+8=0

解析：選D.團(tuán)所求直線平行于直線2x+3y-6=0,

設(shè)所求直線方程為2x+3y+c=0,

由12-3+c122+32=12-3-6122+32,

c=8,或c=-6(舍去)，

所求直線方程為2x+3y+8=0.

7.若直線y-2=k(x-l)與圓x2+y2=l相切，則切線方程為()

5

A.y-2=34(l-x)

B.y-2=34(x-l)

C.x=l或y-2=34(l-x)

D.x=l或y-2=34(x-l)

解析：選B.數(shù)形結(jié)合答案簡(jiǎn)單錯(cuò)選D,但要留意直線的表達(dá)式是

點(diǎn)斜式，說(shuō)明直線的斜率存在，它與直線過(guò)點(diǎn)(1,2)要有所區(qū)分.

8.圓x2+y2-2x=3與直線y=ax+l的公共點(diǎn)有()

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.隨a值變化而變化

解析：選C.直線y=ax+l過(guò)定點(diǎn)。1),而該點(diǎn)肯定在圓內(nèi)部.

9.過(guò)P(5,4)作圓C：x2+y2-2x-2y-3=0的切線,切點(diǎn)分別為A、B,

四邊形PACB的面積是0

A.5B.10

C.15D.20

解析:選B.團(tuán)圓C的圓心為(1,1),半徑為5.

|PC1=5-12+4-12=5,

|PA|=|PB|=52-52=25,

S=122552=10.

10.若直線mx+2ny-4=0(m>nR,nm)始終平分圓x2+y2-4x-2y-4=0

的周長(zhǎng)，則mn的取值范圍是0

A.(0zl)B.(0,-1)

C.(-,1)D.(-,-1)

6

解析：選C.圓x2+y2-4x-2y-4=0可化為(x-2)2+(y-l)2=9,直線

mx+2ny-4=0始終平分圓周,即直線過(guò)圓心(2,1),所以2m+2n-4=0,即

m+n=2,mn=m(2-m)=-m2+2m=-(m-l)2+ll,當(dāng)m=l時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)

n=l,與"mn”沖突，所以mnl.

11.已知直線I：y=x+m與曲線y=l-x2有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的

取值范圍是()

A(2,2)B.(-l,l)

C.[l,2)D.(-2,2)

解析：選C.曲線y=l-x2表示單位圓的上半部分，畫(huà)出直線I與

曲線在同一坐標(biāo)系中的圖象，可觀看出僅當(dāng)直線I在過(guò)點(diǎn)(-1,0)與點(diǎn)

。1)的直線與圓的上切線之間時(shí)，直線I與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)直線I過(guò)點(diǎn)(-1,0)時(shí),m=l;

當(dāng)直線I為圓的上切線時(shí)，m=2(注：m=-2,直線I為下切線).

12.過(guò)點(diǎn)P(-2,4)作圓0：(x-2)2+(y-l)2=25的切線I,直線m：ax-3y=0

與直線I平行，則直線I與m的距離為()

A.4B.2

C.85D.125

解析：選A.回點(diǎn)P在圓上，

切線I的斜率k=-lkOP=-ll-42+2=43.

直線I的方程為y-4=43(x+2),

即4x-3y+20=0.

又直線m與I平行，

7

直線m的方程為4x-3y=0.

故兩平行直線的距離為d=|0-20|42+-32=4.

二、填空題(本大題共4小題，請(qǐng)把答案填在題中橫線上)

13.過(guò)點(diǎn)A(L-1),B卜1,1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是

解析：易求得AB的中點(diǎn)為(0,0),斜率為-1,從而其垂直平分線

為直線y=x,依據(jù)圓的幾何性質(zhì)，這條直線應(yīng)當(dāng)過(guò)圓心，將它與直線

x+y-2=0聯(lián)立得到圓心0(1,1),半徑r=|OA|=2.

答案：(x；)2+(y；)2=4

14.過(guò)點(diǎn)P(-2,0)作直線I交圓x2+y2=l于A、B兩點(diǎn)，則

|PA||PB|=.

解析:過(guò)P作圓的切線PC,切點(diǎn)為C,在RtlSPOC中，易求|PC|=3,

由切割線定理，|PA||PB|=|PC|2=3.

答案：3

15.若垂直于直線2x+y=0,且與圓x2+y2=5相切的切線方程為

ax+2y+c=0,則ac的值為.

解析：已知直線斜率kl=-2,直線ax+2y+c=0的斜率為-a2.國(guó)兩直

線垂直,(-2)(-a2)=-l,得a=-l.圓心到切線的距離為5,即|c|5=5,c=5,

故ac=5.

答案：5

16.若直線3x+4y+m=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是.

8

解析：將圓x2+y2-2x+4y+4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

得(x-l)2+(y+2)2=l,圓心為(1,-2),半徑為1.若直線與圓無(wú)公共

點(diǎn),即圓心到直線的距離大于半徑，即d=131+4-2+m132+42=|m-5151,

mO或mlO.

答案：(-,O)(1O>+)

三、解答題(本大題共6小題，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步驟)

17.三角形ABC的邊AC,AB的高所在直線方程分別為2x-3y+l=O,

x+y=O,頂點(diǎn)A(l,2),求BC邊所在的直線方程.

解：AC邊上的高線2x-3y+l=O,

所以kAC=-32.

所以AC的方程為y-2=-32(x-l),

即3x+2y-7=0,

同理可求直線AB的方程為x-y+l=O.

下面求直線BC的方程，

由3x+2y-7=0,x+y=O,得頂點(diǎn)C(7,-7),

由x-y+l=O,2x-3y+l=O,得頂點(diǎn)B(-2,-1).

所以kBC=-23,直線BC：y+l=-23(x+2),

即2x+3y+7=0.

18.一束光線I自八(-3,3)發(fā)出，射到乂軸上,被*軸反射后與圓(：：

x2+y2-4x-4y+7=0有公共點(diǎn).

(1)求反射光線通過(guò)圓心C時(shí)、光線I所在直線的方程；

9

⑵求在x軸上，反射點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍.

解：圓C的方程可化為(x-2)2+(y-2)2=l.

(1)圓心C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(2,-2),過(guò)點(diǎn)A,C的直線的方

程x+y=O即為光線I所在直線的方程.

(2)A關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為A(-3,-3),

設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線為y+3=k(x+3).

當(dāng)該直線與圓C相切時(shí),有12k-2+3k-31l+k2=l,解得k=43或k=34,

所以過(guò)點(diǎn)A的圓C的兩條切線分別為y+3=43(x+3),y+3=34(x+3).

令y=0,得xl=-34,x2=l,

所以在x軸上反射點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-34,1].

19.已知圓x2+y2-2x-4y+m=0.

⑴此方程表示圓，求m的取值范圍；

⑵若⑴中的圓與直線x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且OMON(O

為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值；

(3)在⑵的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.

解：⑴方程x2+y2-2x-4y+m=0,可化為

(x-l)2+(y-2)2=5-m,

回此方程表示圓，

5-mO,即m5.

(2)x2+y2-2x-4y+m=0,x+2y-4=0,

消去xW(4-2y)2+y2-2(4-2y)-4y+m=0,

化簡(jiǎn)得5y2-16y+m+8=0.

io

設(shè)M(x1,yl),N(x2,y2),則

yl+y2=165,0yly2=m+85.②

由OMON得yly2+xlx2=O

即yly2+(4-2yl)(4-2y2)=0,

16-8(yl+y2)+5yly2=0.

將①②兩式代入上式得

16-8165+5m+85=0,

解之得m=85.

⑶由m=85,代入5y2-16y+m+8=0,

化簡(jiǎn)整理得25y2-80y+48=0,解得yl=125,y2=45.

xl=4-2yl=-45,x2=4-2y2=125.

M-45,125,N125,45,

MN的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為45,85.

又|MN|=125+452+45-1252=855,

所求圓的半徑為455.

所求圓的方程為x-452+y-852=165.

20.已知圓0：x2+y2=l和定點(diǎn)A(2,l),由圓O外一點(diǎn)P(a,b)向

圓0引切線PQ切點(diǎn)為Q,|PQ|=|PA|成立，如圖.

(1)求a、b間關(guān)系；

⑵求|PQ|的最小值；

⑶以P為圓心作圓，使它與圓0有公共點(diǎn)，試在其中求出半徑

最小的圓的方程.

11

解：⑴連接OQ、OP,則向OQP為直角三角形，

又|PQ|=|PA|,

所以|OP|2=|OQ|2+|PQ|2

=1+|PA|2,

所以a2+b2=l+(a-2)2+(b-l)2,

故2a+b-3=O.

(2)由⑴知,P在直線I：2x+y-3=0上,

所以|PQ|min=|PA|min,為A到直線I的距離，

所以|PQ|min=122+1-3122+12=255.

(或由

|PQI2=10P12-l=a2+b2-l=a2+9-12a+4a2-l=5a2-12a+8=5(a-1.2)2+0.8,

得|PQmin=255.)

(3)以P為圓心的圓與圓0有公共點(diǎn)，半徑最小時(shí)為與圓0相切

的情形，而這些半徑的最小值為圓0到直線I的距離減去圓0的半徑，

圓心P為過(guò)原點(diǎn)與I垂直的直線I與I的交點(diǎn)P0,所以1322+12-1=355-1,

又I：x-2y=0,

聯(lián)立I：2x+y-3=0得P0(65,35).

所以所求圓的方程為(x-65)2+(y-35)2=(355-l)2.

21.有一圓與直線I：4x-3y+6=0相切于點(diǎn)A(3,6),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,2),

求此圓的方程.

解：法一：由題意可設(shè)所求的方程為(x-3)2+(y-6)2+(4x-3y+6)=0,

又由于此圓過(guò)點(diǎn)(5,2),將坐標(biāo)(5,2)代入圓的方程求得=-1,所以所求圓

12

的方程為x2+y2-10x-9y+39=0.

法二：設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,

則圓心為C(a,b),由|CA|=|CB|,CAI,得

3-a2+6-b2=r2,5-a2+2-b2=r2,b-6a-343=-l,解得a=5,b=92,r2=254.

所以所求圓的方程為(x-5)2+(y-92)2=254.

法三：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由CAI,A(3,6),B(5,2)

在圓上，得

32+62+3D+6E+F=0,52+22+5D+2E+F=0,-E2-6-D2-343=-l,解得

D=-10,E=-9,F=39.

所以所求圓的方程為x2+y2-10x-9y+39=0.

法四：設(shè)圓心為C,貝IJCAI,又設(shè)AC與圓的另一交點(diǎn)為P,貝IJCA

的方程為y-6=-34(x-3),

即3x+4y-33=0.

又由于kAB=6-23-5=-2,

所以kBP=12,所以直線BP的方程為x-2y-l=0.

解方程組3x+4y-33=0,x-2y-l=0,得x=7,y=3.所以P(7,3).

所以圓心為AP的中點(diǎn)(5,92),半徑為|AC|=52.

所以所求圓的方程為(x-5)2+(y-92)2=254.

22.如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓Cl：(x+3)2+(y-l)2=4

和圓C2：(x-4)2+(y-5)2=4.

(1)若直線I過(guò)點(diǎn)A(4,0),且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為23,求直線I

的方程;

13

⑵設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿意：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)相互垂直的

直線II和12,它們分別與圓C