《數(shù)學》復習人教A（新高考）-第4節(jié)　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

第七章

第4節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識分類落實考點分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實夯實基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.任意(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的

都垂直，則該直線與此平面垂直兩條相交直線l⊥al⊥ba?α

b?α

性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行a⊥α

b⊥α

(1)定義：一條斜線和它在平面上的

所成的

叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是

；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)范圍：

.2.直線和平面所成的角射影銳角直角(1)定義：從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作

的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].3.二面角兩個半平面垂直于棱(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是

，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理4.平面與平面垂直直二面角l⊥α垂線

l?β

交線

α∩β＝aα⊥βl⊥a

l?β

1.三個重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”.3.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α. (

) (2)垂直于同一個平面的兩平面平行. (

) (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.(

) (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β.(

)

解析(1)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)⊥α或l與α斜交或l?α或l∥α，故(1)錯誤. (2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤. (3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯誤. (4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的所有直線，則α⊥β，故(4)錯誤.××××2.已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n

解析由題意知，α∩β＝l， 所以l?β， 因為n⊥β， 所以n⊥l.C3.在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O. (1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心.

解析

如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心.外圖13.在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O. (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心.

解析

如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G.

因為PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， 所以PC⊥平面PAB， 又AB?平面PAB，所以PC⊥AB， 因為PO⊥AB，PO∩PC＝P， 所以AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC， 所以AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高.

同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心.垂圖24.(2020·日照檢測)已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的 (

) A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件 解析

m?α，m⊥β?α⊥β，反過來，若m?α，α⊥βD?m⊥β(m∥β或m與β斜交)， 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件.B5.(多選題)(2021·重慶質(zhì)檢)如圖所示，AB是半圓O的直徑，VA

垂直于半圓O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意 一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結(jié)論正確的是(

) A.MN∥平面ABC B.平面VAC⊥平面VBC C.MN與BC所成的角為45° D.OC⊥平面VAC

解析

易知MN∥AC，又AC?平面ABC，MN?平面ABC，

∴MN∥平面ABC，又由題意得BC⊥AC， 因為VA⊥平面ABC，BC?平面ABC， 所以VA⊥BC.

因為AC∩VA＝A， 所以BC⊥平面VAC.因為BC?平面VBC， 所以平面VAC⊥平面VBC.故選AB.AB解析連接BC1，因為AB⊥平面BB1C1C，所以∠AC1B＝30°，AB⊥BC1，所以△ABC1為直角三角形.C考點分層突破題型剖析考點聚焦2【例1】如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是 正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)證明：BE⊥平面EB1C1； 證明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1， 故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1， 所以BE⊥平面EB1C1.考點一線面垂直的判定與性質(zhì)///////師生共研解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如圖，作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.【例1】如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是 正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1. (2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積.1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思路.感悟升華【訓練1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，

E是PC的中點.證明：

(1)CD⊥AE； 證明

在四棱錐P－ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， ∴PA⊥CD， 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC.

又AE?平面PAC，∴CD⊥AE.證明

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中點，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【訓練1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，

E是PC的中點.證明：

(2)PD⊥平面ABE.【例2】(2020·全國Ⅰ卷)如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的 圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，

∠APC＝90°. (1)證明：平面PAB⊥平面PAC； 證明由題設(shè)可知，PA＝PB＝PC.

由△ABC是正三角形， 可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.

又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.

從而PB⊥PA，PB⊥PC，又PA，PC?平面PAC，PA∩PC＝P， 故PB⊥平面PAC，又PB?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAC.考點二面面垂直的判定與性質(zhì)///////師生共研解設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，所以三棱錐P－ABC的體積為1.判定面面垂直的方法主要是：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).2.已知平面垂直時，解題一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)作交線的垂線，將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.感悟升華證明

∵△ADE是等邊三角形，M是DE的中點，∴AM⊥DE.又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE＝DE，∴AM⊥平面BCDE，∵BD?平面BCDE，∴AM⊥BD，∴MD綊CN，∴四邊形MNCD是平行四邊形，∴MN∥CD.∴BD⊥CD，∴BD⊥MN.又AM∩MN＝M，∴BD⊥平面AMN.解由(1)知AM⊥平面BCDE，∴AM為三棱錐A－BGN的高.∵△ADE是邊長為2的等邊三角形，角度1平行與垂直關(guān)系的證明【例3】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形， 平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別 為AD，PB的中點.求證：

(1)PE⊥BC； 證明

因為PA＝PD，E為AD的中點， 所以PE⊥AD.

因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD.

所以PE⊥BC.考點三平行與垂直的綜合問題///////多維探究【例3】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形， 平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別 為AD，PB的中點.求證：

(2)平面PAB⊥平面PCD； 證明

因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD.

又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD， 所 以AB⊥平面PAD.

又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.

又因為PA⊥PD，且PA∩AB＝A， 所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD.【例3】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形， 平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別 為AD，PB的中點.求證：

(3)EF∥平面PCD.

證明

如圖，取PC中點G，連接FG，DG.

因為F，G分別為PB，PC的中點， 因為ABCD為矩形，且E為AD的中點， 所以DE∥FG，DE＝FG.

所以四邊形DEFG為平行四邊形.

所以EF∥DG.

又因為EF?平面PCD，DG?平面PCD， 所以EF∥平面PCD.1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.2.垂直與平行的結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.感悟升華角度2平行垂直關(guān)系與幾何體的度量【例4】(2019·天津卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD

為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，

PA⊥CD，CD＝2，AD＝3. (1)設(shè)G，H分別為PB，AC的中點，求證：GH∥平面PAD； 證明

連接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.

又由BG＝PG，故GH為△PBD的中位線， 所以GH∥PD.

又因為GH?平面PAD，PD?平面PAD， 所以GH∥平面PAD.【例4】(2019·天津卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD

為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，

PA⊥CD，CD＝2，AD＝3. (2)求證：PA⊥平面PCD； 證明取棱PC的中點N，連接DN.依題意，得DN⊥PC.

又因為平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，DN?平面PCD， 所以DN⊥平面PAC.

又PA?平面PAC， 所以DN⊥PA.

又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D， 所以PA⊥平面PCD.【例4】(2019·天津卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD

為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，

PA⊥CD，CD＝2，AD＝3. (3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.

解連接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角.

因為△PCD為等邊三角形，CD＝2且N為PC的中點，1.平行垂直關(guān)系應(yīng)用廣泛，不僅可以證明判斷空間線面、面面位置關(guān)系，而且常用以求空間角和空間距離、體積.2.綜合法求直線與平面所成的角，主要是找出斜線在平面內(nèi)的射影，其關(guān)鍵是作垂線，找垂足，把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.感悟升華【訓練3】如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，

C是圓周上不同于A，B的一動點. (1)證明：△PBC是直角三角形； 證明∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的一動點. ∴BC⊥AC， ∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC， 又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC， ∴BC⊥平面PAC， ∴BC⊥PC， ∴△BPC是直角三角形.解如圖，過A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角，∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是直線PC與平面ABC所成的角，立體幾何中的探索性問題是近年高考的熱點，題目主要涉及線面平行、垂直位置關(guān)系的探究，條件或結(jié)論不完備的開放性問題的探究，重點考查邏輯推理，直觀想象與數(shù)學運算核心素養(yǎng).與垂直平行相關(guān)的探索性問題【典例】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直 角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，△PDC和△BDC均為等邊 三角形，且平面PDC⊥平面BDC. (1)在棱PB上是否存在點E，使得AE∥平面PDC？若存在，試確定點E的位置；若不存在，試說明理由.

解存在點E，當點E為棱PB的中點時，使得AE∥面PDC，理由如下： 如圖所示，取PB的中點E，連接AE，取PC的中點F，連接EF，DF，取BC的中點G，連接DG.

因為△BCD是等邊三角形，所以∠DGB＝90°.

因為∠ABC＝∠BAD＝90°，所以四邊形ABGD為矩形，因為EF為△BCP的中位線，所以四邊形ADFE是平行四邊形，從而AE∥DF，又AE?平面PDC，DF?平面PDC，所以AE∥平面PDC.解取CD的中點M，連接PM，過點P作PN⊥BC交BC于點N，連接MN，如圖所示.因為△PDC為等邊三角形，所以PM⊥DC.因為PM⊥DC，平面PDC⊥平面BDC，平面PDC∩平面BDC＝DC.所以PM⊥平面BCD，故PM為四棱錐P－ABCD的高.又BC?平面BCD，所以PM⊥BC.因為PN⊥BC，PN∩PM＝P，PN?平面PMN，PM?平面PMN，所以BC⊥平面PMN.因為MN?平面PMN，所以BC⊥MN.1.求條件探索性問題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性.2.涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點的存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點.平行或垂直關(guān)系入手，把所探究的結(jié)論轉(zhuǎn)化為平面圖形中線線關(guān)系，從而確定探究的結(jié)果.感悟升華【訓練】如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，

PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°. (1)求三棱錐P－ABC的體積； 解

由題知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°， 由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱錐P－ABC的高.解

在平面ABC內(nèi)，過點B作BN⊥AC，垂足為N.在平面PAC內(nèi)，過點N作MN∥PA交PC于點M，連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM?平面MBN，所以AC⊥BM.課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓練3一、選擇題1.(2020·淮北質(zhì)檢)已知平面α，直線m，n，若n?α，則“m⊥n”是“m⊥α”的 (

) A.充分不必要條件 B.充分必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析

由n?α，m⊥n，不一定得到m⊥α；反之，由n?α，m⊥α，可得m⊥n. ∴若n?α，則“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分條件.C2.(多選題)(2020·濰坊調(diào)研)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為CD的中點，則(

) A.A1E⊥AD1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC

解析如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1， 且BC1?平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1.

又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1， 所以BC1⊥平面A1B1CD， 又A1E?平面A1B1CD， 所以A1E⊥BC1.又易知AD1∥BC1， 所以A1E⊥AD1.AC3.(2021·鄭州調(diào)研)已知m，l是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列可以推出α⊥β的是 (

) A.m⊥l，m?β，l⊥α B.m⊥l，α∩β＝l，m?α C.m∥l，m⊥α，l⊥β D.l⊥α，m∥l，m∥β

解析在A中，m⊥l，m?β，l⊥α，則α與β相交或平行，故A錯誤； 在B中，m⊥l，α∩β＝l，m?α，則α與β有可能相交但不垂直，故B錯誤； 在C中，m∥l，m⊥α，l⊥β，則α∥β，故C錯誤； 在D中，l⊥α，m∥l，則m⊥α，又m∥β，則α⊥β，故D正確.D解析

因為D，E分別是BC和PC的中點，所以DE∥PB，又∠CAB＝90°，B所以AE2＋CE2＝AC2，即AE⊥PC，又DE∩AE＝E，所以PC⊥平面ADE，如圖，延長ED至F，使得EF＝PB，連接BF，所以BF⊥平面AED，連接AF，所以∠BAF為AB與平面ADE所成的角，5.(多選題)(2021·武漢調(diào)研)如圖，AC＝2R為圓O的直徑，

∠PCA＝45°，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周 上不與點A、C重合的點，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N， 則下列結(jié)論正確的是 (

) A.平面ANS⊥平面PBC B.平面ANS⊥平面PAB C.平面PAB⊥平面PBC D.平面ABC⊥平面PAC

解析

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC， 又AC為圓O直徑，所以AB⊥BC， 又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB， 又AN?平面ABP，∴BC⊥AN， 又AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC， ∵AN?平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC， ∴A正確，C，D顯然正確.ACD6.(多選題)(2021·濟南模擬)如圖，點P在正方體ABCD－A1B1C1D1

的面對角線BC1上運動，則下列結(jié)論正確的是(

) A.三棱錐A－D1PC的體積不變

B.A1P∥平面ACD1 C.DP⊥BC1 D.平面PDB1⊥平面ACD1

解析對于A，由題意知AD1∥BC1，從而BC1∥平面AD1C， 故BC1上任意一點到平面AD1C的距離均相等， 所以以P為頂點，平面AD1C為底面， 則三棱錐A－D1PC的體積不變，故A正確； 對于B，連接A1B，A1C1，A1C1綊AC，由A知：AD1∥BC1， 所以面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得，故B正確；ABD對于C，由于DC⊥平面BCC1B1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，則BC1⊥平面DCP，所以BC1⊥PC，則P為中點，與P為動點矛盾，故C錯誤；對于D，連接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，從而由面面垂直的判定知，故D正確.二、填空題7.已知l，m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個論斷： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：________.

答案

若m∥α，l⊥α，則l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，則m∥α，答案不唯一)

解析

已知l，m是平面α外的兩條不同直線， 由①l⊥m與②m∥α，不能推出③l⊥α， 因為l可以與α平行，也可以相交不垂直； 由①l⊥m與③l⊥α能推出②m∥α； 由②m∥α與③l⊥α可以推出①l⊥m.故正確的命題是②③?①或①③?②.8.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD， 且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足

_____________________________________時， 平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為是正確的條件即可).

解析

連接AC，BD，則AC⊥BD， 因為PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以BD⊥PC.

所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時， 有PC⊥平面MBD. PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.DM⊥PC(或BM⊥PC)

9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC＝BC＝1，

∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)是BB1上的動點，AB1，DF

交于點E，要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為________.

解析

設(shè)B1F＝x， 因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF， 所以AB1⊥DF，證明

因為AP＝CP＝AC＝4，O為AC的中點，連接OB，因為AB＝BC，AB2＋BC2＝AC2，由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.解

作CH⊥OM，垂足為H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離.11.(2021·重慶診斷)如圖，在四棱錐P－ABCD中， 底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，△PAD是正 三角形，E為線段AD的中點. (1)求證：平面PBC⊥平面PBE； 證明因為△PAD是正三角形，E為線段AD的中點， 所以PE⊥AD.

因為底面ABCD是菱形，所以AD＝AB， 又∠BAD＝60°， 所以△ABD是正三角形， 所以BE⊥AD.

又BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.

又