講析02 平面向量（考點(diǎn)分析）（解析版）

講析02平面向量一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、常考題型三、知識(shí)梳理1、向量的有關(guān)概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模模的特點(diǎn)：（1）向量的模；（2）向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?、零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量.5、向量的共線或平行：方向相同或相反的非零向量。規(guī)定：與任一向量共線.【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.3、共線向量與相等向量關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量．2、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法運(yùn)算（1）定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。（2）三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC（3）平行四邊形法則：已知不共線的兩個(gè)向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作?OACB，對(duì)角線OC就是a與b的和【規(guī)定】零向量與任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】=1\*GB3①在使用向量加法的三角形法則時(shí)，要注意“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合，則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即兩向量的和；=2\*GB3②平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點(diǎn)”，即兩個(gè)向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量．（4）向量加法的運(yùn)算律結(jié)合律：a＋b＝b＋a交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2、向量的減法運(yùn)算（1）相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.=1\*GB3①規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；=2\*GB3②(－a)＝a；=3\*GB3③a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；=4\*GB3④若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面定義，相反向量必為平行向量．（2）向量的減法=1\*GB3①定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.=2\*GB3②幾何意義：以O(shè)為起點(diǎn)，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．【注意】在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可．3、向量的數(shù)乘運(yùn)算（1）定義：規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．（2）運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為任意實(shí)數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.（3）線性運(yùn)算:向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.3、向量共線1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時(shí)，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時(shí)，對(duì)于向量．如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．2、向量共線的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理：若向量與非零向量共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使．【注意】（1）兩個(gè)向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時(shí)，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．（4）是判定兩個(gè)向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.4、向量的內(nèi)積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個(gè)非零向量，，是平面上的任意一點(diǎn)，作，，則（）叫做向量與的夾角．（2）性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向．（3）向量垂直：如果與的夾角是，我們說與垂直，記作．2、向量的內(nèi)積的定義（1）定義：非零向量與，它們的夾角為，數(shù)量叫做向量與的內(nèi)積；（2）記法：向量與的內(nèi)積記作，即；零向量與任一向量的內(nèi)積為0；4、平面向量內(nèi)積的性質(zhì)設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則（1）；（2）；（3）當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；特別地，或；（4）cosθ＝；（5）5、平面向量內(nèi)積的運(yùn)算律（1）；（2）(λ為實(shí)數(shù))；（3）；四、常考題型探究考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念例1．給出下列命題：(1)平行向量的方向一定相同；(2)向量的模一定是正數(shù)；(3)始點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一直線上．其中正確的序號(hào)是__(3)__.[解析](1)錯(cuò)誤．兩向量方向相同或相反都視為平行向量．(2)錯(cuò)誤．|0|＝0.(3)正確．對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的．(4)錯(cuò)誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))必須在同一直線上．故填(3)．例2．如圖，在正方形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，則圖中與eq\o(OA,\s\up6(→))相等的向量是(D)A．eq\o(OC,\s\up6(→)) B．eq\o(OD,\s\up6(→))C．eq\o(OB,\s\up6(→)) D．eq\o(CO,\s\up6(→))【解析】eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))方向相同且長度相等，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→)).【變式探究】1.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（

）①若向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若向量與向量平行，則，方向相同或相反；③若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；④若，則，是相等向量或相反向量.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】對(duì)于①，根據(jù)共線向量的定義，由向量為自由向量，可得答案；對(duì)于②，由零向量的定義和性質(zhì)，可得答案；對(duì)于③，根據(jù)向量的數(shù)量積的性質(zhì)，可得答案；對(duì)于④，根據(jù)模長的定義，可知方向不確定，可得答案.【詳解】①錯(cuò)誤，平行向量又叫共線向量，向量與是共線向量，則與平行或共線；②錯(cuò)誤，與至少有一個(gè)為零向量時(shí)，結(jié)論不成立；由向量的夾角可知③正確；④錯(cuò)誤，由，只能說明，的長度相等，確定不了方向.故選：B.考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算例3．化簡下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0.例4．已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(A)A．(4,5) B．(5，－4)C．(3,2) D．(1,3)【解析】設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，由eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝x，,3＝y(tǒng)－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝5，))∴D(4,5).例5．(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；(3)eq\f(2,3)[(4a－3b)＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,4)(6a－7b)]．[解析](1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.(3)原式＝eq\f(2,3)(4a－3b＋eq\f(1,3)b－eq\f(3,2)a＋eq\f(7,4)b)＝eq\f(2,3)(eq\f(5,2)a－eq\f(11,12)b)＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.【變式探究】1.化簡(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．[解析]方法一(統(tǒng)一成加法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.方法二(利用減法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.2.如圖，正六邊ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝(B)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))【解析】連結(jié)CF，取CF中點(diǎn)O，連結(jié)OE，CE.則eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→)).3.計(jì)算：(1)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)；(2)(m＋n)(a－b)－(m－n)(a＋b)．[解析](1)eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝(eq\f(2,5)－eq\f(2,3)＋eq\f(4,15))a＋(－eq\f(2,5)－eq\f(4,3)＋eq\f(26,15))b＝0a＋0b＝0.(2)原式＝m(a－b)＋n(a－b)－m(a＋b)＋n(a＋b)＝(m＋n－m＋n)a＋(－m－n－m＋n)b＝2na－2mb.考點(diǎn)三平行（共線）向量例6.已知是平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，且，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量平行的相關(guān)知識(shí)，結(jié)合平面向量基本定理即可求解.【詳解】由，得，所以，則，解得.故選：D例7.已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；[解析]∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，∴AB∥BD，又eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．【變式探究】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b與a＋kb共線．[解析]證明：(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線．(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.考點(diǎn)四平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例8.已知向量，則__________.【答案】【解析】.例9.已知向量，若，則（）A．-1B．2C．-6D．6【答案】D【解析】向量，則，，故，解得.故選：D【變式探究】1、已知向量，若滿足，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，將代入?.故選：A2、已知向量，，，若與共線，則（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】由題意向量，，，則，由于與共線，則，故選：D考點(diǎn)五求內(nèi)積例10.已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，試求：①a·b；②(a＋b)·(a－b)；③(2a－b)·(a＋3b).【解析】①a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×(－eq\f(1,2))＝－3．②(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34．例11.已知向量，若，則（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積得坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】，解得.故選：C.【變式探究】1.已知，，則（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】C【分析】先將表示為，展開后將坐標(biāo)代入即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：C考點(diǎn)六求向量的夾角例12.已知，，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量夾角公式即可代入求解.【詳解】設(shè)向量與的夾角為θ，則，因?yàn)?，所?故選:D.例13.已知向量，則向量的夾角的余弦值為.【答案】/0.6【分析】根據(jù)給定的坐標(biāo)，求出向量的數(shù)量積及模，再求出夾角余弦作答.【詳解】因?yàn)橄蛄?，則，，所以向量的夾角的余弦值為.故答案為：【變式探究】1、已知，，則，夾角的大小為．【答案】120