蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第3章圓錐曲線與方程3-3-2拋物線的幾何性質(zhì)練習(xí)含答案

3.3.2拋物線的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練題組一拋物線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用1.(2023江蘇常州常熟中學(xué)調(diào)研)拋物線y=18x2上一點(diǎn)A(x0A.4B.2C.2D.12.(教材習(xí)題改編)已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=4x上,則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為()A.833.(2024江蘇淮陰中學(xué)等四校聯(lián)考)已知線段AB是拋物線y2=4x的一條弦,且AB的中點(diǎn)M在直線x=1上,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)()A.有最大值,無最小值B.無最大值,有最小值C.無最大值,無最小值D.有最大值,有最小值4.(2024江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)期中)已知拋物線C的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在y軸的正半軸上,經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若OA·A.y2=8xB.y2=4xC.x2=8yD.x2=4y5.(2023江蘇南通海安實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下條件的拋物線C的方程:.

①C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn);②C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;③C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為34題組二拋物線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用6.已知mn≠0,則方程mx2+ny2=1與ny2=mx在同一坐標(biāo)系內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形編號(hào)可能是()A.①④B.②③C.①②D.③④7.(2022江蘇新高考基地學(xué)校聯(lián)考)如圖1,某家用電暖氣是由反射面、熱饋源、防護(hù)罩及支架組成,為了更好地利用熱效能,反射面設(shè)計(jì)成拋物面(拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面),熱饋源安裝在拋物線的焦點(diǎn)處,圓柱形防護(hù)罩的底面直徑等于拋物面口徑.圖2是該電暖氣的軸截面,防護(hù)罩的寬度AD等于熱饋源F到口徑AB的距離,已知口徑長(zhǎng)為40cm,防護(hù)罩寬為15cm,則頂點(diǎn)O到防護(hù)罩外端CD的距離為()圖1圖2A.25cmB.30cmC.35cmD.40cm8.(2024北京入學(xué)考試)已知拋物線W:y2=2px的焦點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A.若以F為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A且與W交于點(diǎn)B,C,則下面結(jié)論正確的是()A.△BOC一定是鈍角三角形B.△BOC可能是銳角三角形C.△ABC一定是鈍角三角形D.△ABC可能是銳角三角形能力提升練題組拋物線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.(多選題)(2023江蘇揚(yáng)州月考)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn),PQ⊥l,垂足為Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),直線MN與x軸交于點(diǎn)R,若∠NRF=60°,則()A.∠FQP=60°B.QM=1C.FP=4D.FR=22.(2024福建永安第九中學(xué)期中)設(shè)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過點(diǎn)K的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn).設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)N.已知△NAB的面積為2,則直線l的斜率為()A.±223.(2023遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)段考)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且AF=2FB,拋物線的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)C,AA1⊥l于點(diǎn)A1,若四邊形AA1CF的面積為5A.x=-2C.x=-2D.x=-14.(多選題)(2024江蘇南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)已知A,B是拋物線C:y2=6x上的兩動(dòng)點(diǎn),F是C的焦點(diǎn),下列說法正確的是()A.直線AB過焦點(diǎn)F時(shí),以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切B.直線AB過焦點(diǎn)F時(shí),AB的最小值為6C.若坐標(biāo)原點(diǎn)為O,且OA⊥OB,則直線AB過定點(diǎn)(3,0)D.與拋物線C分別相切于A,B兩點(diǎn)的兩條切線交于點(diǎn)N,若直線AB過定點(diǎn)325.(多選題)(2024江西師大附中期中)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.若AB=8,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為4B.過點(diǎn)(0,1)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條C.P是準(zhǔn)線上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若FP=4D.9AF+BF≥166.(2023江蘇南通通州期中)已知拋物線M:x2=4y,圓C:x2+(y-3)2=4,在拋物線M上任取一點(diǎn)P,向圓C作兩條切線PA和PB,切點(diǎn)分別為A,B,則CA·CB的取值范圍是7.(2024山西運(yùn)城月考)已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,E的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)K,過K的直線l與拋物線E相切于點(diǎn)A,且交y軸正半軸于點(diǎn)P,△AKF的面積為2.(1)求拋物線E的方程;(2)過點(diǎn)P的直線交E于M,N兩點(diǎn),過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足MT=

答案與分層梯度式解析3.3.2拋物線的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練1.A把A(x0,2)代入拋物線方程中,得2=18x0因?yàn)樵搾佄锞€的對(duì)稱軸為y軸,所以拋物線y=18x2上一點(diǎn)A(x0故選A.2.A由拋物線的對(duì)稱性知等邊三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,設(shè)另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為m2∴tan30°=33=m故這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2m=83.故選A.3.D設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),易知當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí),其橫坐標(biāo)有最小值,為0;當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A的橫坐標(biāo)有最大值,由x1+x故選D.4.C根據(jù)題意設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則F0,p易知直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y=kx+p2,A(x1,y1),B(x2,y2聯(lián)立y=kx+p2∴x1x2=-p2,y1y2=x1又OA·OB=-12,∴x1x2+y1y2=-12,∴-p2+p2故拋物線的方程為x2=8y.5.答案y2=32x或y2=-32x或x2=32y或x2解析由①②可知C的方程為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,由③可知p=34所以拋物線C的方程可以為y2=32x或y2=-32x或x2=32y或x26.B方程ny2=mx(mn≠0)表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,④不符合要求.當(dāng)m,n>0時(shí),方程mx2+ny2=1表示橢圓或圓,拋物線的開口向右,③符合要求.當(dāng)m,n<0時(shí),方程mx2+ny2=1不表示任何圖形.當(dāng)m>0,n<0時(shí),方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,拋物線開口向左.當(dāng)m<0,n>0時(shí),方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,拋物線開口向左,①不符合要求,②符合要求.故選B.7.C以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OF所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)軸截面邊界曲線AOB所在拋物線方程為y2=2px(p>0),則Fp2,0,Ap2所以頂點(diǎn)O到防護(hù)罩外端CD的距離為35cm.故選C.8.A設(shè)p>0,B位于第一象限,C位于第四象限,由題意得Fp2則圓的方程為x-p22+y2=p2,與y2=2px聯(lián)立,解得則有xB=xC=xF,則BF⊥AF,則tan∠BOF=pp根據(jù)對(duì)稱性得tan∠BOC=tan2∠BOF=2×21-又因?yàn)椤螧OC∈(0,π),所以∠BOC∈π2,π,所以△BOC一定是鈍角三角形,故又因?yàn)锳F=BF=p,且AF⊥BF,所以△ABF為等腰直角三角形,故∠BAF=π4,根據(jù)對(duì)稱性知∠BAC=π2,則△ABC為直角三角形,故C,D錯(cuò)誤.故選能力提升練1.ACD如圖所示,連接MF,QF,設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為H.易知焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1,∴FH=2,PF=PQ.∵M(jìn),N分別為PQ,PF的中點(diǎn),∠NRF=60°,∴MN∥QF,∠QFH=∠NRF=60°.∵PQ⊥l,∴PQ∥OR,∴∠FQP=∠QFH=60°,A正確.∵PQ=PF,∴△PQF為等邊三角形,∵QH⊥HF,∴QF=2FH=4,∴FP=PQ=QF=4,C正確.∴MF⊥PQ,∴四邊形QMFH為矩形,∴QM=FH=2,B錯(cuò)誤.∵PQ∥OR,MN∥QF,∴四邊形QMRF為平行四邊形,∴FR=QM=2,D正確.故選ACD.2.A易得拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,則K(-1,0).顯然直線l的斜率存在且不為0,設(shè)其方程為x=ty-1(t≠0),與y2=4x聯(lián)立,化簡(jiǎn)并整理得y2-4ty+4=0.由Δ=(-4t)2-16>0,得t2>1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4t,y1y2=4,∴x1+x2=ty1-1+ty2-1=t(y1+y2)-2=4t2-2.∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),∴M(2t2-1,2t).過點(diǎn)M且平行于x軸的直線為y=2t,與拋物線的交點(diǎn)為N(t2,2t),∴MN=t2-1.又∵(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4t)2-4×4=16(t2-1),∴|y1-y2|=4t2∴△NAB的面積S=12MN·|y1-y2|=2(t2-1)3=2,得t2∴直線l的方程為x=±2y-1,即y=±22∴直線l的斜率為±22.故選A3.D解法一:由題意知Fp2,0,準(zhǔn)線l的方程為x=-p2,設(shè)A(x1,y1),B(x2則AF=p2-x1,-y1,FB=由題意知直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為y=kx-p2(k≠0),代入拋物線方程,消去y,得k2x2-(k2所以x1x2=p24聯(lián)立①②,得2x12-3px1+p解得x1=p或x1=p2(舍去),所以|y1|=2易知四邊形AA1CF是直角梯形,所以S四邊形AA1CF=將x1,|y1|的值代入,解得p=2(舍負(fù)),所以準(zhǔn)線l的方程為x=-1,故選D.解法二:不妨設(shè)A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,則AF=p1-cos因?yàn)锳F=2FB,所以p1-cosθ=2×易知四邊形AA1CF是直角梯形,其中CF=p,AA1=AF=p1-cosθ=32p,AC=AFsinθ=32p·223導(dǎo)師點(diǎn)睛AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦,A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直線的傾斜角為α,則有下列結(jié)論成立:(1)x1x2=p24,y1y2=-p(2)AF=x1+p2(3)AB=x1+x2+p=2p4.ABD對(duì)于A,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,分別過點(diǎn)A,B,M向準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為A1,B1,M1(圖略),則由拋物線的定義可得AF=AA1,BF=BB1,則MM1=AA所以以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切,故A正確.對(duì)于B,易得F32由題意可知直線AB的斜率不為0,設(shè)其方程為x=my+32,A(x1,y1),B(x2,y2聯(lián)立x=my+32,yy1+y2=6m,y1y2=-9,則x1+x2=my1+32+my2所以AB=x1+x2+3=6m2+6,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí),AB取到最小值6,故B正確.對(duì)于D,先證拋物線C在點(diǎn)y026聯(lián)立x=y03y-y026,可知方程組只有一個(gè)解,即直線x=y0可知拋物線C在點(diǎn)A,B處的切線方程分別為x=y1聯(lián)立x=y1結(jié)合B可得y1y26=-9對(duì)于C,由題意可知直線AB的斜率不為0,設(shè)其方程為x=my+a,Ay126,y1則OA=若OA⊥OB,則OA·OB=y12y2236+y1y聯(lián)立x=my+則y1y2=-6a=-36,解得a=6,此時(shí)Δ=(-6m)2+4×36=36m2+144>0,符合題意,所以O(shè)A⊥OB,則直線AB過定點(diǎn)(6,0),故C錯(cuò)誤.故選ABD.5.CD由題意得p=2,則拋物線C:y2=4x,所以焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,對(duì)于A,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=AF+BF=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6,又M為線段AB的中點(diǎn),所以Mx1+x對(duì)于B,若過點(diǎn)(0,1)的直線斜率不存在,則該直線為y軸,易知y軸與拋物線C相切;若過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率為零,則直線的方程為y=1,聯(lián)立y此時(shí)直線y=1與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn);若過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率存在且不為零,設(shè)該直線的方程為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1,y2=4x即直線y=x+1與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn),故滿足條件的直線共有三條,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,過點(diǎn)Q作準(zhǔn)線的垂線,垂足為Q',則QQ'=QF,設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D,則△PQ'Q∽△PDF,因?yàn)镕P=4FQ,所以則Q'Q=32,則xQ=QQ'-1=12,所以|yQ|=即Q'D=2,所以PD=42,則PF=22+(42)對(duì)于D,設(shè)直線AB的方程為x=my+1,由x=my+1,顯然Δ>0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,則x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(y所以1AF所以9AF+BF=(9AF+BF)1=10+BFAF+9AF當(dāng)且僅當(dāng)BFAF=9AFBF,即AF=43,BF=4時(shí)取等號(hào),故6.答案(-4,0]解析由已知得圓心C(0,3),半徑r=2.設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則x02=4yPC2=x02+(y0?3)2=在Rt△PAC中,cos2∠PCA=CA易知∠ACB=2∠PCA,則cos∠ACB=2cos2∠PCA-1=8(則CA·CB=|CA||因?yàn)閥0≥0,所以當(dāng)y0=1時(shí),CA·CB取得最大值,為328-4=0,又32所以CA·7.解析(1)由題可知Fp2,0,準(zhǔn)線方程為x=-因?yàn)橹本€l的斜率存在且不為0,所以設(shè)l的方程為x=my-p2聯(lián)立y2=2px,x因?yàn)閘與E相切,所以Δ=4p2(m2-1)=0,所以m=1或m=-1,因?yàn)橹本€l與y軸正半軸交于點(diǎn)P,所以m=1,因此y2-2py+p2=0,所以y=p,所以Ap2故AF⊥KF,所以S△AKF=12p2=2,所以p=2(負(fù)值舍去),所以拋物