湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第4章計數(shù)原理復(fù)習(xí)提升練習(xí)含答案

本章復(fù)習(xí)提升易混易錯練易錯點1計數(shù)時重復(fù)或遺漏致錯1.直線l的方程為Ax+By=0,若從0,1,3,5,7,8這6個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為A,B的值,則可表示條不同的直線.

易錯點2對特殊元素或特殊位置考慮不周致錯2.(2022福建福州永泰一中期中)某班進行演講比賽,共有6位選手參加,其中2位女生,4位男生,如果2位女生不能連續(xù)出場,且女生不能排在第一個和最后一個出場,則出場順序的排法種數(shù)為()A.120B.144C.480D.903.(2022湖南長沙明德中學(xué)期中)有0,1,2,3,4,5六個數(shù)字.(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?(2)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的四位數(shù)?(3)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比1230大的四位數(shù)?易錯點3不能正確區(qū)分排列與組合問題致錯4.將大小、形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球排成一排,不同的排列方法有種.

5.(2022湖南長沙麓山國際實驗學(xué)校月考)某校要從甲、乙、丙、丁等10人中挑選3人參加馬拉松比賽,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人參加且甲、乙不同時參加,丙、丁也不同時參加,則不同的報名方案有種.

易錯點4混淆展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)致錯6.(多選)(2022廣東華南師大附中期中)對于x2-3xA.所有項的二項式系數(shù)和為64B.所有項的系數(shù)和為64C.常數(shù)項為1215D.系數(shù)最大的項為第3項7.(2022河南名校聯(lián)盟期中)已知x+axn(1)求正實數(shù)a,n的值;(2)求展開式中系數(shù)最大的項.思想方法練一、分類討論思想在排列、組合中的應(yīng)用1.(2022湖南永州四中期中)甲、乙、丙3位志愿者被安排在星期一至星期五參加某項志愿者活動,要求每人參加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外兩位前面,則不同的安排方法共有()A.20種B.30種C.40種D.60種2.(2022北京豐臺期中)若從0,2,4中任取2個數(shù)字,從1,3中任取1個數(shù)字,則可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.18B.24C.28D.32二、轉(zhuǎn)化與化歸思想在排列、組合中的應(yīng)用3.某教師一天上3個班級的課,每班上1節(jié),如果一天共9節(jié)課,上午5節(jié),下午4節(jié),并且教師不能連上3節(jié)課(第5節(jié)和第6節(jié)不算連上),那么這位教師一天的課表的所有不同排法有()A.474種B.77種C.462種D.79種4.(2022吉林長春十一高期中)現(xiàn)有紅色、黃色小球各兩個,藍(lán)色小球一個,所有小球彼此不同,現(xiàn)將五個小球排成一行,顏色相同者不相鄰,則不同的排法種數(shù)為()A.48B.72C.78D.84三、整體思想在排列、組合中的應(yīng)用5.(2020山東濟寧期末)武漢封城期間,某醫(yī)院抽調(diào)5名醫(yī)生,分赴三所“方艙醫(yī)院”支援抗疫,要求每名醫(yī)生只去一所“方艙醫(yī)院”,每所“方艙醫(yī)院”至少安排一名醫(yī)生,由于工作需要,醫(yī)生甲和乙必須安排在同一所“方艙醫(yī)院”,則所有的不同安排方案有()A.18種B.24種C.36種D.48種6.(2021湖南長沙雅禮中學(xué)月考)中國古代儒家要求學(xué)生掌握六種技能:禮、樂、射、御、書、數(shù).某校國學(xué)社團周末開展“六藝”課程講座活動,每天連排六節(jié),每藝一節(jié),要求“禮”和“數(shù)”不能相鄰,“射”和“樂”必須相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()A.24種B.72種C.96種D.144種四、函數(shù)與方程思想在二項式定理中的應(yīng)用7.在(2x-3y+1)5的展開式中,不含y的所有項的系數(shù)和為(用數(shù)字作答).

8.(2022山東濰坊月考)已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,若a2=5,則m=;a1+a3+a5=.

9.(2021浙江寧波鎮(zhèn)海中學(xué)期末)在x-123(1)求n;(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項;(3)求展開式中所有項的系數(shù)的絕對值之和.答案與分層梯度式解析易混易錯練1.答案22解析當(dāng)A或B中有一個為0時,有2條不同的直線;當(dāng)A·B≠0時,有5×4=20條不同的直線.故共有20+2=22條不同的直線.易錯警示本題的易錯點是認(rèn)為只要選取兩個不同的數(shù)作為A,B就可得到不同的直線,從而出現(xiàn)A62=30條不同直線的錯誤答案.實際上,這種想法導(dǎo)致了重復(fù)計數(shù),所以計數(shù)時,不但要懂得計數(shù)方法,還要考慮實際情況,2.B分兩步完成:第一步,排4位男生,有A44種;第二步,在4位男生形成的中間間隔中插入2位女生,有A32種.由分步乘法計數(shù)原理知,共有A43.解析(1)分為三類:第一類:0在個位時,有A53第二類:2在個位時,首位從1,3,4,5中選定1個,有A41種,十位和百位從余下的數(shù)字中選,有A42種,共有A第三類:4在個位時,與第二類同理,也有A41·A由分類加法計數(shù)原理知,共有A53+A41·A42+(2)分為兩類:個位上的數(shù)字是0時,滿足條件的四位數(shù)有A53個;個位數(shù)上的數(shù)字是5時,滿足條件的四位數(shù)有A41·A42個.故滿足條件的四位數(shù)有A5(3)分為四類:第一類:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共A41·A第二類:形如13□□,14□□,15□□,共有A31·A第三類:形如124□,125□,共有A21·A第四類:形如123□,共有A21由分類加法計數(shù)原理知,共有A41·A53+A31·A42+易錯警示在與數(shù)字有關(guān)的排列問題中,易忽略“0”對特殊位置的要求,造成錯解.4.答案56解析8個小球排好后對應(yīng)著8個位置,相當(dāng)于在8個位置中選出3個位置給紅球,剩下的位置給白球,這3個紅球完全相同,所以沒有順序,是組合問題,這樣共有C83=56易錯警示本題是相同元素的排列問題,可以看成一個組合問題,要注意3個紅球是無差別的.5.答案84解析分3種情況討論:①只從甲、乙中選出1人參加,有C21C62=30種報名方案;②只從丙、丁中選出1人參加,有C21C62=30種報名方案;③從甲和乙、丙和丁中各選1人參加6.ABCx2-3x6的展開式中所有項的二項式系數(shù)和為26=64,A正確;x2-3x6中,令x=1,得(1-3)6=64,B正確;展開式的通項為Tk+1=C6k(x2)6-k·-3xk=(-3)kC6kx12-3k(0≤k≤6,k∈N),令12-3k=0,得k=4,所以常數(shù)項為(-3)4C64=1215,C正確;易得第2,4,6項系數(shù)為負(fù)值,第1項系數(shù)為1,第3項系數(shù)為(-3)2C62=135,第5項系數(shù)為7.解析(1)x+axn的通項為Tr+1=Cnr(x)n-r·axr=arC根據(jù)題意得Cn2-Cn1=35,即n2-3n-70=0,解得n=10又前三項的系數(shù)和為201,所以1+aCn1+a2Cn2=201,即9a2+2a-40=0,解得a=2或a=-故a=2,n=10.(2)由(1)得x+axn=x+2x10,其通項為Tr+1=2rC設(shè)第(r+1)項的系數(shù)最大,則2即2×即2r≥110-r+1,因為r∈{0,1,2,3,…,9,10},所以r=7.當(dāng)r=7時,T8=15360x-112,則展開式中系數(shù)最大的項為T8=15易錯警示(a+b)n的展開式中,第(r+1)項的二項式系數(shù)是Cnr(r=0,1,2,…,n),僅與n,r有關(guān);第(r+1)項的系數(shù)為該項字母前的數(shù)連同符號,不一定是二項式系數(shù)Cnr.注意二項式系數(shù)Cnr思想方法練1.A甲是特殊元素,甲安排在另外兩位前面,即只能在星期一、二、三參加,分情況討論并求解.分3種情況討論:甲在星期一參加,有A42=12種安排方法;甲在星期二參加,有A32=6種安排方法;甲在星期三參加,有A22=2種安排方法.2.C三位數(shù)中0不能在百位,因此需分所組成的三位數(shù)中含0和不含0兩種情況討論.分2種情況討論:①從0,2,4中取2個數(shù)不含0,有1種取法,從1,3中取1個數(shù),有2種取法,取出的三個數(shù)全排列,有A33=6種情況,故共有2×6=12個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù);②從0,2,4中取2個數(shù)含0,有2種取法,從1,3中取1個數(shù),有2種取法,取出的三個數(shù)全排列再減去0在百位的情況,有A33-2=4種情況,故共有2×2×4=16個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).思想方法分類討論思想是本章最基本的數(shù)學(xué)思想,在分析較復(fù)雜的計數(shù)問題時,對問題分類討論是基本的策略.分類時要確定恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),要做到不重不漏.3.A根據(jù)題意,該教師所有的上課方法有A93種,連著上3節(jié)課的情況有5A將所求問題轉(zhuǎn)化為求問題的反面,即求連著上3節(jié)課的情況種數(shù),利用總的排列數(shù)減去連上3節(jié)課的排列數(shù)即可,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.則所求的排法種數(shù)為A93-5A34.A將所求問題轉(zhuǎn)化為求問題的反面,即求顏色相同的小球相鄰的排列數(shù),再用總的排列數(shù)減去該排列數(shù)即為所求,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.五個小球全排列,共有A55=120種排法.當(dāng)兩個紅色小球與兩個黃色小球都相鄰時,共有A22A22A33=24種排法;當(dāng)兩個紅色小球相鄰,兩個黃色小球不相鄰時,共有A22A22A32=24思想方法轉(zhuǎn)化與化歸思想在排列、組合中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在當(dāng)直接求解分類情形較多,計算較復(fù)雜時,可以采用逆向思維,轉(zhuǎn)化為求問題的反面,利用間接法求解.注意當(dāng)題目出現(xiàn)的限制條件較多時,可以考慮只對其中一個較復(fù)雜的條件利用間接法.5.C甲、乙兩人必須安排在一起,其本質(zhì)上是元素相鄰問題,把相鄰元素看成一個整體,體現(xiàn)了整體思想.將甲、乙看成一個整體,即相當(dāng)于只有4名醫(yī)生,則4名醫(yī)生中有2名去同一所“方艙醫(yī)院”,故所有的不同安排方案種數(shù)為C42·A36.D因為“射”“樂”相鄰,所以將“射”“樂”看成一個整體,體現(xiàn)了整體的思想.將“射”和“樂”看成一個整體,與“御”和“書”全排列,有A22A33種排法,因為“禮”和“數(shù)”不能相鄰,所以將“禮”“數(shù)”插在前邊產(chǎn)生的4個空中,有C42A2思想方法整體思想在排列、組合中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在有特殊元素、特殊位置的題目中,可以把要求相鄰的元素看成一個整體,再和其他元素進行排列或組合.此外還應(yīng)注意看成一個整體的元素內(nèi)部是否還有順序的要求.7.答案243解析要求(2x-3y+1)5的展開式中不含y的項的系數(shù)和,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展開式中不含y的所有項的系數(shù)和為(2x+1)5的展開式中各項的系數(shù)和,令x=1,得35=243.故答案為243.8.答案-1;0解析(1+x)5的展開式的通項為Tr+1=C5rxr(0≤r≤5,r∈N),令r=1,則T2=C51x1=5x;令r=2,則T3=C52x2=10x2,所以(1+mx)(1+x)5的展開式中含x2的項為10x2+mx·5x=5x2,故m=-1,故(1+mx)(1+x)5=(1-x)(1+x)5,令x=1,則(a0+a2+a4+a6)+(a1+a3+a5)=(1-1)×(1+1)5=0;令x=-1,則(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=(1+1)×(1-1)5=0,所以a9.解析(1)x-123xn的展